Corrigé : EM Lyon 2005

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1 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck a b c a b a b c a La famille (I,J,K) est doc libre. Aisi (I,J,K) est ue base de E et doc dime 3.. O a J K, JK, KJ et K. 3. a) Motros par récurrece que la propriété P() : L I +J + ( ) K est vraie pour tout etier aturel : Rag : o a I +J + ( ) K I et de plus L I doc P() est vraie. Soit u etier fié. Supposos P() vraie. Alors o a : ( L + L L I +J + ( ) K I +J +J +J + ( ) I +(+)J + (+) K ) (I +J) K + ( ) KJ Doc P(+) est alors vraie. Grâce au pricipe de récurrece o a motré que pour tout etier aturel, L I +J + ( ) K. b) O remarque que L est ue matrice triagulaire sas sur sa diagoale doc L est iversible. O viet de motrer que la formule est vraie pour Pour, o va utiliser le fait que L est l iverse de L. Lorsque, o a doc L I J + ( ) K. Vérifios que I +J + ( ) K est bie l iverse de L. O a ( L I +J + ( ) ) K I +J + ( ) + (+) I + ( ) I K J J ( ) KJ + ( )(+) K K K + (+) K Doc pour tout etier égatif, L est iversible et so iverse est I +J + ( ) K. O a doc bie pour, L I +J + ( ) K. Doc pour tout etier relatif : L I +J + ( ) K. c) Tout d abord calculos L (I +J) I +J +J I +J +K. Il ous faut ici eprimer J et K e foctio de I, L et L. O a immédiatemet, J L I et doc o e déduit que K L I J I L+L. JK + (+) K EM Lyo 5 Page Corrigé

2 Grâce à la questio précédete o a doc L I +J + ( ) K I +(L I)+ ( ) ( + ( ) ( )( ) ) (I L+L ) I +( ( ))L+ ( ) L I +( )L+ ( ) L Pour tout etier relatif, L ( )( ) I +( )L+ ( ) L 4. O recherche les valeurs propres de f, doc de A. O cherche tous les réels λ tels que A λi est pas iversible : A λi λ λ 3 3 λ 3 3 λ λ L λ L λ λ 3 λ L L L 3λ+4 λ +3λ L 3 λl +L λ λ +3λ 3λ+4 λ L +3λ 3L +L λ λ +3λ 6λ 3 8λ +8λ 6 L 3 ( 3λ+4)L +L 3 Doc λ est ue valeur propre de A (et doc de f) si et seulemet si 6λ 3 8λ +8λ 6. Or 6λ 3 8λ +8λ 6 6(λ ) 3 doc f admet qu ue seule valeur propre qui est. Sous-espace propre associé à : f(,y,z) (,y,z) A y 3y +z y y z z { z y Doc E vect((,, )). Comme ((,, )) est ue base de E, o a E qui est de dimesio. La somme des dimesios des sous-espaces propres est pas égale à doc f est pas diagoalisable. (O peut aussi résoer par l absurde : si f est diagoalisable alors sa matrice das ue base de vecteurs propres est I (car la diagoale e cotiet que les valeurs propres) et la formule de chagemet de base doe alors, avec P la matrice de passage de la base caoique das la base de vecteurs propres : A P IP I ce qui est pas vrai.) 5. a) Pour calculer v et u o passe par le calcul matriciel. O a (A I) doc v (,,) 3 De plus (A I) doc u (,, ) 3 O cherche tous les réels a, b et c tels que : a b+c au+bv +cw (,,) b a b c a+b La famille (u,v,w) est doc libre. La famille (u,v,w) est ue famille libre de 3 vecteurs de R 3 qui est u espace vectoriel de dimesio 3 doc (u,v,w) est ue base de R 3. EM Lyo 5 Page Corrigé

3 b) O détermie les coordoées des images : Comme u est u vecteur propre associé à la valeur propre, o a f (u) u Comme (f e)(v) u o a f (v) u+v Comme (f e)(w) v o a f (w) v +w Doc la matrice de f das la base (u,v,w) et I +J L c) Comme est pas valeur propre de f, f est u edomorphisme bijectif c est-à-dire u automorphisme de R 3. Sa matrice das la base (u,v,w) est L doc la matrice de f est L 3+ I + ( ) L+ ( ) L O a doc f 3+ e+ ( ) f + ( ) f Eercice :. f est dérivable sur ],+ [ et f (t) 3 <. f est doc strictemet décroissate sur ];+ [. (+t) O a lim f (t) et lim f (t) doc la courbe représetative de f a ue demi-tagete à droite e de pete t + t +. E + o a lim f (t) t + y. (i) f est ulle sur R et strictemet positive sur ];+ [. Doc f est positive ou ulle sur R. (ii) f est cotiue sur R car costate et f est cotiue sur ];+ [ car +t e aule pas sur cet itervalle. Doc f est cotiue sur R. (iii) Étudios la covergece de f(t) dt. O a f(t) dt dt. f est cotiue sur ];+ [ et admet ue limite fiie e + dot Or lim A + Doc + doc +A A (+t) dt f(t) dt coverge et vaut + Doc f est bie ue desité de probabilité. 3. Comme f est ue desité, Pour : Pour : f(t)dt f(t)dt f(t)dt coverge. dt dt+ [ ] A +t +A + f(t) dt est covergete et vaut. (+t) dt [ ] +t Pour α, α f(t)dt α +α α +α α α vérifie α f(t)dt f(t) dt est impropre e +. Soit A > : EM Lyo 5 Page 3 Corrigé

4 5. a) O a ϕ () Et comme + +u u f(t)dt f (t)dt u f (t)dt f (t)dt+ lim ϕ (u) u + Doc ϕ () et lim u + ϕ (u) +u f (t)dt et que f (t)dt+ f (t)dt f(t) dt coverge alors f(t) dt b) Soiet < u < v alors v < u < +u < +v doc o peut découper ϕ (v) : ϕ (v) ϕ (u) u v u v f (t) dt+ f (t)dt+ et comme v < u et que f alors u v +u u +v +u f (t) dt+ f (t)dt f (t)dt. Doc, (u,v) [,+ [, u < v ϕ (v) ϕ (u) +v +u f(t)dt. +v Comme o a alors +v > +u > et f (t) > sur [+u;+v] alors +u f (t) dt +v +u +u u f(t)dt > f (t)dt Doc, (u,v) [,+ [, v > u ϕ (v) > ϕ (u) ce qui est la défiitio d ue foctio strictemet croissate sur [;+ [. ϕ est strictemet croissate sur [;+ [ c) ϕ est doc strictemet croissate et cotiue sur [,+ [. D après le théorème de bijectio mootoe ϕ réalise doc ue bijectio de [;+ [ sur [ [ ϕ ();lim ϕ [,[ + Comme [,[alors il admet u uique atécédetpar ϕ das [;+ [ et doc l équatioϕ (u), d icoue u, admet ue solutio et ue seule das [;+ [. [ 6. a) Soit ; [ O calcule +( ) ( ) f(t)dt Et comme alors +( ) f(t)dt f(t)dt dt+ (+t) dt Doc f(t)dt ( ) (+t) dt grâce à la questio 4. [ Doc pour tout ; [, U() est bie ue solutio. C est doc la boe. [ [ b) Pour tout ;+, grâce à la questio 3. ϕ () + f(t)dt (+t) dt + Si alors + doc + et doc ϕ (). O a doc ϕ () ϕ (U ()) et comme ϕ est strictemet croissate sur [,[ (même ses de variatio que ϕ ) alors U() et doc U() Efi, comme U(), alors f (t) sur tout l itervalle [ U (),+U ()] et doc (+t) EM Lyo 5 Page 4 Corrigé

5 +U() U() f(t)dt +U() (+t) dt U() ] +U() [ +t U() ++U () + + U () (+ U ())+(++U ()) (++U ())(+ U ()) U () (+) U () Doc ϕ (U ()) U () (+) U () U () +4U () (+) équatio du secod degré e U () qui a pour discrimiat 6+4(+) 4 (4+(+) ) et pour racies U () 4± 4+(+) ± 4+(+) et comme 4+(+) < et que U () alors U () + 4+(+) 7. a) Pour [ [ o a 4+(+) doc U est cotiue sur,+ [ De plus elle est cotiue sur, [ (foctio affie) Efi lim U () ( ) (/) lim U () U (/) + Doc U est cotiue e Doc U est cotiue sur [,+ [ [ [ b) De même, U est dérivable sur,+ (4+(+) > ) et sur si < De plus U () + si >. 4+(+) [, [. E il faut tester si les dérivée à droite et à gauche sot égales : U() U(/) / lim lim lim (/) / (/) / (/) U() U(/) 4+(+) 5/ lim lim (/) + / (/) + / lim (/) + 4+(+) 5/4 ( /)( 4+(+) +5/) lim (/) + (+) 9/4 ( /)( 4+(+) +5/) lim (/) + lim (/) + ( /)(+5/) ( /)( 4+(+) +5/) (+5/) ( 4+(+) +5/) 3 5 Doc U est dérivable à droite et à gauche e mais les dérivées à droite et à gauche e sot pas égales doc U est pas dérivable e. EM Lyo 5 Page 5 Corrigé

6 c) Il suffit ici de calculer la limite e + de 4+(+) ( ). C est pour l istat ue forme idétermiée doc o va trasformer cette epressio e se servat de l epressio cojuguée : 4+(+) ( ) 4+(+) (+) ( 4+(+) (+))( 4+(+) +(+)) 4+(+) +(+) 4 4+(+) d) Or lim 4+(+) +(+) + doc lim U() ( ) et aisi + + la droite d équatio y est asymptote à la courbe représetative de U e + y 8. a) Motros par récurrece que la propriété P() : a est vraie pour tout etier. a doc P() est vraie. Soit fié. Supposos que P() est vraie. O a doc a, ce qui ous doe ( + a ) 9 4, doc 4+(+a ) 5 et doc U(a ). O a doc bie a + et doc P(+) est vraie. Grâce au pricipe de récurrece o a doc motré que N, a. b) Das la questio 6. b) o a démotré que si alors U() doc o a a U(a ) a +. La suite (a ) est doc décroissate. c) La suite est décroissate et miorée par doc elle coverge vers ue limite l Comme U est cotiue sur [,+ [ elle est cotiue e l. Doc e passat à la limite das l égalité a + U(a ) o a U (l) l. Pour o a : U() 4+(+) + 4+(+) (+) car + > Doc U () et doc lim a + d) O calcule a et tat que a > 6 : Program premier; var :iteger;a:real; begi a:;:; while abs(a-.5) >. do begi a:-+sqrt(4+sqr(+a)); :+; ed; writel(); ed. EM Lyo 5 Page 6 Corrigé

7 Eercice 3:. a) Après le ( )-ième succès, o recommece à faire ue successio d épreuves idépedates das l attete d u succès (qui est de probabilité ) et T est le rag d apparitio de ce succès doc T suit ue loi géométrique de paramètre ( ). T (Ω) N et k N, P(T k) k ( ) O a doc E(T ), V(T ) ( ) b) Soit et (k k,,k ) (N ). O cherche à calculer P([T k ] [T k ] [T k ]). Notos E i l évéemet la i-ième épreuve est u échec. O a alors : [T k ] [T k ] E E E k E k E k+ E k+k E k+k Et comme les épreuves sot idépedates : E k+k + E k+ +k E k+ +k P([T k ] [T k ] [T k ]) k ( ) k ( ) k ( ) Doc les variables T, T,, T sot idépedates. P(T k ) P(T k ) c) O sait que S T + + T et comme tous les T i admettet ue espérace, S admet ue espérace et o a E(S ) E(T )+ +E(T ). U somme de variable aléatoire admettat ue variace, admet ue variace doc S admet ue variace et comme les (T i ) sot idépedates o a V(S ) V(T )+ +V(T ) ( ) d) Le -ième succès peut arriver au mieu à la -ième épreuve doc S (Ω) [;+ [. Soit k S (Ω). L évéemet [S k] sigifie qu au cours des k premières épreuves ous avos obteu succès et que la k-ième épreuve était u succès. Cela sigifie doc qu au cours des k première épreuves ous avos obteus succès (( ) ) et k échecs ( k ). De plus, o peut placer ces succès où l o veut et il y a ( ) k faços de placer succès parmi k épreuves. O a doc : ( ) k P(S k) k ( ) ( ) Les évéemets ([S k]) k formet u système complet d évéemets doc e) D après la questio précédete o a : k P(S k) k ( ) k ( )) k ( ) k k ( ) k k ( ) k k P(S k). ( ). a) X correspod au rag d apparitio du premier succès lors d ue successio d épreuves réalisées das des coditios idetiques. La probabilité de succès état à chaque fois égale à p, X suit ue loi géométrique de paramètre p. X(Ω) N et k N, P(X k) ( p) k p Lorsqu o sait que [X k] est réalisé,y compte le ombre de réalisatiosde l évéemet obteir pile au cours de la réalisatio de k réalisatio de la même épreuve où la probabilité de succès est égale à p. La loi coditioelle de Y à l évéemet [X k] est doc ue loi biomiale de paramètres k et p. Pour tout j [;k], P [Xk] (Y j) ( k j) p j ( p) k j et si j > k, P [Xk] (Y j) b) O a Y(Ω) N car X peut predre toutes les valeurs etières o ulles. c) La famille ([X k]) k N est u système complet d évéemets doc d après la formule des probabilités totales : P(Y ) p q k k P(X k)p [Xk] (Y ) pq k p q k (q ) k k q q pq ( q)(+q) q +q pq k q k EM Lyo 5 Page 7 Corrigé

8 d) De même que das la questio précédete : P(Y ) P(X k)p [Xk] (Y ) k k ( ) k pq k p q k k ( ) k p + q k O a doc P(Y ) p+ q + k p+ q + k+ ( ) k (q ) k ( k p+ q + q (q ) + ( q ) + p + q ( q) + (+q) + q (+q) + (+q) ) (q ) k ( ) q +q EM Lyo 5 Page 8 Corrigé