Lorsque la matrice M est de format (2,2), le déterminant s écrit :

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1 Fiche 6. Le déterminant. Le déterminant Le déterminant est un outil très utile lorsque l on manipule des matrices carrées. Nous allons construire une fonction appelée déterminant qui associe un nombre réel à chaque matrice carrée et qui permettra de caractériser facilement les matrices inversibles puisque ce sont celles dont le déterminant est non nul! Toutefois, les formules permettant de calculer le déterminant d une matrice sont un peu complexes et demandent d importants calculs si la taille de la matrice est élevée... Le déterminant d ordre Le nombre det(m) est le déterminant de la matrice M. On notera le déterminant en remplaçant les parenthèses de la notation matricielle par des barres : det M m '' m ++ Lorsque la matrice M est de format (,), le déterminant s écrit :.. Règle de Sarrus a '- det M a '' a -' a a '' a -- a -' a '- -- Pour une matrice 3 3 (et seulement pour une matrice d ordre 3), le déterminant est défini par un calcul un peu plus compliqué! Nous décrivons la règle de Sarrus pour calculer des déterminants 3 3. Pour calculer le déterminant d une matrice carrée d ordre 3, la méthode la plus simple consiste à répéter les deux premières colonnes (resp. lignes) à droite (resp. au-dessous) de la matrice (règle de Sarrus). Licence économie-gestion année 06-07

2 On ajoute ensuite les produits des termes de chaque diagonale du même sens que la diagonale principale et on enlève les produits des termes de chaque diagonale de sens opposé. det M m '' m '- m '0 m -' m -- m -0 m '0 m -0 m 00 m '' m '- m '0 m -' m -- m -0 m '0 m '' m -0 m '- m 00 m '0 m -' m -- m -0 det M m '' m -- m 00 + m -' m 0- m '0 + m 0' m '- m -0 m 0' m -- m '0 + m 0- m -0 m '' + m -' m '- m 00 Attention. Cette règle n est valable que pour les déterminants des matrices 3 3! Il existe un autre calcul pour trouver la valeur de ce déterminant. Un déterminant d ordre n s exprime en fonction d un déterminant d ordre n à l aide de la matrice des cofacteurs! Exercice. Calculer, à l aide de la règle de Sarrus, le déterminant de la matrice A définie par : det det Licence économie-gestion année 06-07

3 Propriétés.. M une matrice carrée et M t sa transposée, alors det (M t ) det (M).. On ne change pas la valeur du déterminant si on ajoute à l une de ses lignes (resp. l une de ses colonnes), une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). 3. On change le signe du déterminant si on échange deux lignes (resp. deux colonnes). 4. Si dans une matrice, on multiplie une ligne (resp. colonne) par un réel λ non nul, alors le déterminant est multiplié par λ. 5. Si M est une matrice triangulaire supérieure, inférieure ou diagonale, alors le déterminant de M est le produit des éléments diagonaux det(m) m m mnn..3. Calcul du déterminant par triangularisation d une matrice A l aide d opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes, on transforme la matrice en une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure). On déduit ensuite la valeur du déterminant en effectuant le produit des éléments qui se trouvent sur la diagonale. Ces opérations élémentaires sont : la multiplication d une ligne par un nombre réel non nul, l addition à la ligne d indice i du produit par un scalaire λ d une ligne d indice j i et la permutation de deux lignes. Attention. L opération élémentaire Li λ Li ou Ci λ Ci modifie la valeur du déterminant (le déterminant est alors multiplié par λ). Exercice. Calculer le déterminant de la matrice A définie par : Licence économie-gestion année

4 det det det det det det det det La Méthode des cofacteurs Il existe des formules pour calculer le déterminant d une matrice M de taille n à l aide de certaines matrices «extraites» de M et qui sont toutes de taille n. Soit M (mij), une matrice de format n n. On appelle mineur de l élément mij, le déterminant de la sous-matrice obtenue en éliminant la i ième ligne et la j ième colonne de la matrice M. On le note Mij. On appelle cofacteur de mij, la quantité Cij ( - ) i + j Mij. Un déterminant d ordre n s exprime à l aide de n déterminants d ordre n. En développant suivant la i ième ligne (resp. la j ième colonne), on obtient : det M m >? >@? M >? Le terme Mij est appelé mineur du terme mij. Le terme ( - ) i + j Mij est le cofacteur du terme mij. Les coefficients multiplicatifs + et - que l on doit affecter à chaque mij de la ligne (ou de la colonne) choisie pour le développement sont donnés par le schéma suivant : Licence économie-gestion année

5 En développant suivant la première colonne, à la matrice M d ordre 3, on associe le nombre: det (M) m M- m M+ m3 M3 où Mij est le déterminant d ordre déduit de M en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne (c est-à-dire la ligne et la colonne contenant mij). Nous avons défini le déterminant de la matrice M en donnant un rôle privilégié aux coefficients de la première colonne. On dit que l on a développé suivant la première colonne. On aurait pu également développer suivant la seconde colonne, première ligne, dernière ligne! Exercice. Calculer, à l aide de la méthode des cofacteurs, le déterminant de la matrice A définie par : En développant ce déterminant suivant la première colonne, il vient : det det det En développant ce déterminant suivant la première ligne, il vient : det det det Licence économie-gestion année

6 . Application du déterminant.. Calcul de l inverse d une matrice par la méthode des cofacteurs On appelle matrice des cofacteurs la matrice C M de terme général cij ( -) i+j Mij où Mij est le déterminant d ordre n - obtenu à partir de la matrice M en enlevant sa i ième ligne et sa j ième colonne. Si det(m) 0, alors M est inversible et on a : Licenceéconomie-gestion année05- M A' det (M) ME F Exercice. Déterminer l inverse de la matrice A par la méthode des cofacteurs det det com com com A F F A A' Licence économie-gestion année

7 Nous vérifions le résultat à l aide du produit matriciel : A A A' Remarque On peut retenir ce résultat pour carrée d ordre. Soit la matrice A définie par : a b c d A A' a d b c d b c a.. Résolution d un système par la méthode de Cramer On peut utiliser le déterminant pour la résolution des systèmes linéaires Exercice. Résoudre le système : S x + y + z 3x + 4y + z x + y + 3z x 4 4, y et z La solution du système est le triplet :S x, y, z 4, P -, 4. Licence économie-gestion année

8 .3. Résolution d un système d équations linéaires par inversion d une matrice Soient A une matrice carrée de taille n et B, un vecteur colonne. A est inversible ssi le système d équations linéaires A X B admet une unique solution. Cette solution est donnée par X A B. Exercice. Résoudre le système : S x + y + z 3x + 4y + z x + y + 3z On écrit la matrice A : det com(a) com com(a) F F A A' AX B X A A' B x y z La solution du système est le triplet :S x, y, z 4, P -, 4. Licence économie-gestion année