Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie

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1 Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie I Fonctions trigonométriques ) cercle trigonométrique Définition On considère un repère orthonormé (O ; I, J) Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon, centré en O Tout point M de ce cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc IM, affectée d'un signe (le «+» correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au sens des aiguilles d'une montre) cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J) Pour tout réel x, on a : cos xsin x= Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM Définition Soit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I Lorsque M n'appartient pas à (OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK)

2 Pour tout réel x n'appartenant pas à Z, on a : tan x= sin x cos x Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK ) valeurs remarquables x 0 sin(x) 0 cos(x) tan(x) non défini 0 3) fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R Elles sont - périodiques La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire On a donc, pour tout réel x : sin x =sinx ; cosx=cosx ; cos x=cos x ; sin x= sin x On a de plus : sin x=sin x ; cos x= cos x ; sin x= sin x ; cos x= cos x ; cos x = sin x ; sin x =cos x ; cos x =sin x ; sin x =cos x Ce sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel représenté sur le cercle trigonométrique Représentations graphiques

3 La fonction tangente est définie sur R { k k Z } par tan x= sin x cosx Elle est - périodique et impaire On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à Z : tan x=tan x ; tan x= tan x On a de plus : tan x= tan x Il suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus Représentation graphique ) formules de trigonométrie Formules d'addition (admises) a et b sont deux réels Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies cosab =cosa cosb sin asin b cosa b =cosa cosbsinasin b sin ab=sin a cosbsin bcosa sin a b=sin a cosb sinbcos a tanatan b tan a tanb tan ab= tan a b= tan atan b tan a tan b Exercice Calculer une valeur exacte de cos On a : = 3 Donc, on peut écrire : ;sin et tan cos =cos 3 =cos 3 cos sin 3 sin = 3 = 6 sin =3 = 6 tan = 3 3 = 3 = ; 3 3 = 3 ; 3

4 Formules de duplication (admises) a et b sont deux réels Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies cos a =cos a sin a = cos a = sin a ; sin a=sin acosa ; tan a tan a = tan a De ce qui précède, on déduit : cos a= cosa Exercice Calculer une valeur exacte de cos On a : cos sin 8 = cos 8 = cos 8 et sin 8 = Donc, on peut écrire : 8 = = donc cos = = donc sin et sin cos a a= 8 = 8 = 5) fonctions trigonométriques réciproques Définition (admise) La fonction arcsin:[ ;] [ ; ] sin : [ ; ] [ ;] = = car cos 8 0 car sin 8 0 est l'application réciproque de la fonction Elles est continue et strictement croissante sur [- ; ] C'est une fonction impaire Pour tout x [ ;], arcsin (sin (x)) = x Pour tout y [ ; ], sin(arcsin(y) = y Représentation graphique

5 Exemple x arcsin(x) Définition (admise) La fonction arccos :[ ;][0 ;] est l'application réciproque de la fonction cos:[0;][ ;] Elle est continue et strictement décroissante sur [- ; ] Elle n'est ni paire, ni impaire Pour tout x [ ;], arccos (cos(x)) = x Pour tout y [0;], cos(arccos (y)) = y Représentation graphique Exemple x arccos(x) Pour tout x [ ;], on a : sin arccosx=cosarcsin x= x sin arccos x= cos arccosx= x cosarcsin x= sin arcsinx= x 5

6 Définition (admise) La fonction arctan: R ] ; [ est l'application réciproque de la fonction tan : ] ; [ R Elle est continue et strictement croissante sur R C'est une fonction impaire Pour tout x R, arctan (tan(x)) = x Pour tout y ] ; [, tan (arctan(y)) = y Représentation graphique Exemple x 3-3 arctan(x) II Nombres complexes ) notion de nombre complexe Théorème (admis) Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : C contient l'ensemble des nombres réels ; l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ; il existe un nombre complexe noté i tel i = (on note également j = ) ; tout complexe z s'écrit de manière unique z=aib ou z=a jb, avec a et b réels 6

7 Définition L'écriture, z=aib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z a est appelée la partie réelle de z, notée Rz et b est appelée la partie imaginaire de z, notée I z Exemple z=3i est un imaginaire pur Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique d'un nombre complexe Remarque En particulier z=aib=0 équivaut à a=b=0 Dans le plan muni d'un repère orthonormal O ;u, v, à tout point M correspond un couple de coordonnées réelles (a ; b) Réciproquement, à tout couple de réels correspond un unique point du plan Ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du plan et les nombres complexes ; c'est l'objet de la définition suivante Définition Le nombre complexe aib est l'affixe du point Le point M a ;b ou du vecteur OM a M a ;b est l'image du complexe aib et le vecteur OM a image du complexe aib b b est le vecteur 7

8 Définition Pour tout nombre complexe z de forme algébrique, aib le conjugué de z est le nombre complexe a ib Le conjugué de z est noté z On lit «z barre» Exemples 3i= 3i ; i= i ; = ; 3i= 3i (admise) Dans le plan complexe, le point M' d'affixe z est l'image du point M d'affixe z par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses z est un nombre complexe z est réel équivaut à z=z z est imaginaire pur équivaut à z= z z=z aib=a ib i b=0 b=0 z= z a ib= a ib a=0 a=0 z = a+ ib est un nombre complexe zz=r z z z=i I z z z=a b zz=aiba ib=a= Rz z z=aib aib=ib=i Iz z z=aiba ib=a i b =a b 8

9 ) module et argument d'un nombre complexe Définition z=aib est un nombre complexe On appelle module de z, le nombre réel positif a b On note z = a b Remarques Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = z C'est une conséquence du théorème de Pythagore Si x est un nombre réel, alors le module de x est égal à la valeur absolue de x z =0 équivaut à z = 0 z z=a b = z Définition Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure en radians de l'angle orienté u,om Représentation graphique Exemples arg =0 ; arg i= ; arg 3= ; arg i= ; arg i= Remarques Un réel strictement positif a un argument égal à 0 et un réel strictement négatif à un argument égal à On a donc la propriété suivante : z R z=0 ou arg z=0 Un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement positive a un argument égal à et un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement négative a un argument égal à z i R z=0 ou arg z= On a donc la propriété suivante : 9

10 Rappel Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (a ; b) ou par ses coordonnées polaires r,, où r = OM et =u,om On a alors a=r cos et b=r sin Définition z est un nombre complexe non nul L'écriture z=r cosi sin, avec r= z et =arg z, est appelée forme trigonométrique de z Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (défini à près) C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique et des définitions du module et d'un argument d'un nombre complexe s du module Pour tous nombres complexes z et z ', on a : zz ' z z' (inégalité triangulaire) ; zz ' = z z ' ; Pour tout entier naturel n, z n = z n ; Si de plus, z est non nul, on a : z ' ' z = z z M et M' sont deux points d'affixes respectives z et z' On considère le point S du plan défini par OS=OM OM ' Alors OS a pour affixe z + z' Par conséquent, on a : OS= zz ' ; OM = z et MS=OM '= z ' On applique l'inégalité triangulaire au triangle OMS : OS OM MS, c'est-à-dire : zz ' z z' zz ' = zz ' zz '= z z z' z '= z z ' On effectue une démonstration par récurrence Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : z n = z n P(0) et P() sont évidentes P() est vraie d'après le résultat sur le module du produit de deux nombres 0

11 complexes Soit n, on suppose P(n) et on démontre P(n + ) z n = z n z = z n z (car P() est vraie) Or P(n) est vraie donc z n = z n D'où z n = z n z = z n z = z n, ce qui est P(n + ) On a prouvé P(0), P(), P() et pour tout n, P n P n Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : z n = z n z ' z = z' z = z' z = z ' z ' = z ' = z ' = z z z z z z s des arguments Pour tous nombres complexes non nuls z et z', on a : arg zz ' =arg zarg z ' [ ] ; Pour tout entier naturel n, arg z n =n argz [ ] ; arg z ' z =arg z ' argz [] z=r cosisin et z '=r' cos' isin ' zz '=rr ' cos cos' sin sin 'isin cos'sin ' cos zz '=rr ' cos' isin ' D'où arg zz ' =arg zarg z ' [ ] On effectue une démonstration par récurrence Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : arg z n =n argz [ ] P(0) et P() sont évidentes P() est vraie d'après le résultat sur l'argument du produit de deux nombres complexes Soit n, on suppose P(n) et on démontre P(n + ) arg z n =arg z n z=arg z n arg z [] (car P() est vraie) Or P(n) est vraie donc arg z n =n argz [] Par conséquent, on a : arg z n =arg z n argz [] arg z n =n arg zarg z [] arg z n =n arg z [ ] Ce qui est P(n + ) On a prouvé P(0), P(), P() et pour tout n, P n P n Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : arg z n =n argz [ ] arg z ' z =arg z ' z =argz ' arg z [] Or arg zarg z =arg z =arg =0 z [] arg z = arg z [] donc

12 D'où arg z ' z =arg z 'arg z =arg z' argz [ ] Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal O ;u,v, on considère les points A et B d'affixes respectives z A et z B Alors : AB= AB = z B z A Si de plus A et B sont distincts, on a : u,ab =arg z B z A z B z A est l'affixe du vecteur OB OA, c'est-à-dire le vecteur AB, d'où les deux résultats Conséquence Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A,z B, z C et z D Alors AB,CD=arg z D z C z B z A =arg z z argz z D C B A En effet, on a : AB,CD=AB, u u,cd=u,cd u,ab=arg z D z C arg z B z A =arg z D z C z B z A 3) écriture exponentielle Notation On note : cosi sin =e i Exemples e i 0 =e i = ; e i =e i = ; e i =i ; e i = i ; e i 3 = i 3 s et ' sont deux réels, n est un entier naturel e i = et arg e i = [] e i e i ' =e i ' e i ' ; e i =ei' ; e i =e i e i n =e i n (formule de Moivre) cos= ei e i et sin = ei e i i (formules d'euler) Ces résultats découlent immédiatement du fait que e i est un complexe de module et d'argument et des propriétés du module et des arguments

13 Remarque La formule de Moivre s'écrit également cosi sin n =cosni sin n Exemples À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos 3 x et sin 3 x en fonction de cos x et sin x cos3 xi sin 3 x=cos xisin x 3 =cos x 3 3cos x isin x3 cos x i sin x i sin x 3 =cos 3 x3i cos xsin x 3 cos xsin x i sin 3 x D'où cos3 x=rcos3 xi sin 3 x=cos 3 x 3cos xsin x et sin 3 x=icos3 xi sin 3 x=3cos xsin x sin 3 x En utilisant les formules d'euler, linéariser l'expression cos3 xsin x cos3 xsin x= e3i x e 3i x ei x e i x i = ei x e i x e i x e i x i = sin x sin x Définition z est un nombre complexe non nul L'écriture z=r e i avec r= z et =arg z est appelée forme exponentielle de z Exemples Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : 3e i =3 cos i sin =30 i= 3i e 3 i = cos 3 isin 3 = i = i ; 6e i =6 3 cos 3 i sin 3 =6 i 3 = 33 3i 3e i ; e 3i ; 6e i 3 Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : 5i ; i ; 3 i 5 5i=5e i ; i = =3= ; cos= = ainsi i= e i ; 3 i = 3 = = ; cos= 3 ; sin = = d'où = ; ; sin = d'où = 6 ; ainsi 3 i=e i 6 ; de la formule de Moivre, on déduit que 3 i 5 = 5 e i 5 6 =3e i 5 6 3

14 ) équations du second degré a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels Soit a un réel Si a0 alors l'équation z =a a exactement deux solutions réelles : a et a Si a=0 alors l'équation z =a a exactement une solution réelle : 0 Si a0 alors l'équation z =a a exactement deux solutions imaginaires pures : i a et i a Si a0 alors l'équation z =a est équivalente à z a z a=0, d'où les deux solutions réelles : a et a Si a=0 alors l'équation z =a devient z =0 et par conséquent z = 0 Si a0 alors l'équation z =a est équivalente à z a=0 z a=0 z i a=0 z i a zi a=0 D'où les deux solutions imaginaires pures : i a et i a Exemple On considère l'équation z = dans C Alors cette équation a deux solutions : i et i Vérification : i = = De même pour l'autre solution Préliminaire Pour tout complexe z, a z bzc=a z b a z c a =a z b a =b ac Si 0 ou si =0, on retrouve les solutions réelles (cf résolution dans R ) Si 0 alors a =i a = i d'où : a a i a =a a z b a a =a z b avec a z b i a z bi a L'équation a z b zc=0 (où a, b, c sont réels et a 0 ) de discriminant =b ac admet : si 0, deux solutions réelles : z = b a si =0, une solution réelle : z 0 = b a ; et z = b a ;

15 si 0, deux solutions complexes conjuguées : z = b i a z = bi a et Exemple Résoudre dans C l'équation z z=0 On calcule le discriminant =b ac = = = 3 Comme 0 alors l'équation admet deux solutions : z = i 3 et z = i 3 b) racines carrées d'un nombre complexe non nul Soient Z =X iy et z=xiy deux nombres complexes non nuls tels que Z =z Z =z X iy =xiy { x y = X xy=y On peut ajouter à ce dernier système d'équations, celle obtenue en considérant les modules : x y = z = Z = X Y = X X Y D'où : Z =z {x y = X X Y xy=y La troisième équation est utilisée pour les signes de x et y Les deux racines carrées ainsi obtenues sont opposées l'une de l'autre Exemple Calculer les racines carrées complexes de i xiy = i { x y = xy= { x = 5 x y y = =5 5 xy= Donc les racines carrées complexes de i sont : 5 i 5 et 5i 5 c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes Pour tout complexe z, a z bzc=a z b a z c a =a z b a =b ac avec a 5

16 Si 0, alors on peut considérer une racine carrée complexe de Dans ce cas, l'équation admet deux solutions distinctes : z = b et z a = b a Si =0, l'équation admet une solution double : z= b a Exemple Résoudre dans C l'équation : iz 5 i z0=0 =5 i i 0=5 0i 00i= 630i xiy = 630i { x y = 6 xy=30 { x = 63 { x =9 y = x y =3 36 y =5 xy=30 xy=30 On considère donc =35i comme racine carrée complexe de i On a alors : z = 5 i 3 5i et z i = 5 i35i i Ainsi, on a : z = 3 i i = 3ii = i et z = i i =ii =3 i Table des matières I Fonctions trigonométriques ) cercle trigonométrique ) valeurs remarquables 3) fonctions sinus, cosinus et tangente ) formules de trigonométrie3 5) fonctions trigonométriques réciproques II Nombres complexes6 ) notion de nombre complexe6 ) module et argument d'un nombre complexe9 3) écriture exponentielle ) équations du second degré3 a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels3 b) racines carrées d'un nombre complexe non nul c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes5 6