SOLUTION A. x' y' x'( π 4 ) y'( x'( 3π

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1 Partie I SOLUTION A A.) Les fonctions x et y sont périodiques de période π. cos(θ) x' = qui s'annule pour θ = π ( sin(θ)) et π sin(θ)( sin(θ)) + cos(θ) y' = = sin(θ) qui s'annule pour θ = π ( sin(θ)) ( sin(θ)) et 3π Le tableau de variation est le suivant : t π π π π 3π x' + + x + y y' x'( π) = y'( π) x'( π ) y'( π ) x'( π ) y'( π ) = = formant un angle de π avec Ox parallèle à Oy parallèle à Oy x'( π ) y'( π ) x'( 3π ) y'( 3π ) = parallèle à Ox = parallèle à Ox Ci-dessous, on a indiqué en bleu les valeurs de θ et en noir quelques coordonnées cartésiennes. En θ =, M() = (, dm ) et dθ () = (, ). π - -

2 y π/ O π/ π/ + x ±π 3π/ A.) Pour tout θ, on a x(π θ) = x(θ) et y(π θ) = y(θ). Les points M(θ) et M(π θ) sont symétriques par rapport à Ox. Si on s'en est aperçu au début du ), cela permet de réduire l'intervalle d'étude à θ [ π, π ], de façon que π θ [π, 3π ], balayant ainsi un intervalle de longueur π. A.3) Cette question est plus délicate que la précédente. Montrons que (Γ) est symétrique par rapport à la droite d'équation x =. Comme on a déjà montré que la courbe est symétrique par rapport à Ox, il suffit de prouver la symétrie de la partie supérieure de la courbe, située dans le demi-plan y. Il en sera de même de la partie inférieure. Il s'agit donc de trouver une transformation : θ [ π, π ] f(θ) [π, π ] x(f(θ)) + x(θ) telle que y(f(θ)) = y(θ) et =. On doit donc avoir : x(f(θ)) = sin(f(θ)) = sin(θ) cos(f(θ)) y(f(θ)) = sin(f(θ)) = cos(θ) sin(θ) La première équation donne sin(f(θ)) = 3 sin(θ) ce qui définit f. Il suffira ensuite de sin(θ) vérifier l'autre équation. On a donc : sin(θ) sin(f(θ)) = 3 sin(θ) sin(θ) sin(f(θ)) = 3 sin(θ) = 3sin(θ) 3 sin(θ). f(θ) = arcsin( 3sin(θ) 3 sin(θ) ) car f(θ) est supposé appartenir à [π, π ] [ π, π ] On peut remarquer que θ 3sin(θ) est une fonction strictement décroissante de sin(θ), donc 3 sin(θ) décroissante de θ [ π, π ], variant de pour θ = π, à pour θ = π, donc f(θ) est parfaitement défini, décroissant bien de π à π. Il reste à vérifier que : - -

3 cos(f(θ)) sin(f(θ)) = cos(θ) sin(θ) cos(f(θ)) = cos(θ) sin(θ) ( sin(f(θ))) cos(f(θ)) = cos(θ) sin(θ) sin(θ) 3 sin(θ) = cos(θ) 3 sin(θ) cos cos (f(θ)) = (θ) car les deux cosinus sont positifs sur les domaines concernés (3 sin(θ)) sin cos (f(θ)) = (θ) (3 sin(θ)) ( 3sin(θ) cos 3 sin(θ) ) = (θ) (3 sin(θ)) ( 3sin(θ))) = (3 sin(θ)) cos (θ) = (3 sin(θ)) + sin (θ) ce qui est bien vrai. A.) Pour tout θ : sin(θ) = x(θ) cos(θ) = y(θ) x(θ) y(θ) donc x(θ) + ( x(θ) ) = y(θ) + x(θ) x(θ) + = y(θ) + (x(θ) ) = (x(θ), y(θ)) appartient au cercle de centre (, ) et de rayon. On peut aussi vérifier directement cette équation en devinant quel est le centre et le rayon au vu de la représentation graphique de (Γ). Inversement, si (x, y) appartient à un tel cercle, on a : y + (x ) = y x + ( x ) = et il existe θ tel que y x = cos(θ) et = sin(θ), etc. x Partie II A.5) On peut bêtement appliquer le théorème de Thalès : x P = x M donc x P = x M y M y M Si on n'y pense pas, on peut paramétriser la droite (MN) par t N + tnm ce qui donne : x = tx M y = + t(y M ) P vérifie y P = ce qui correspond à t = et donc x P = x M y M y M x A.6) Réciproquement, si x est donné, on doit déterminer x M et y M tels que x = M et x M + y M = y M

4 x = x M y M et x M + y M = et x = x M ( y M ) = y M ( y M ) x = x M y M et x M + y M = et ( + x )y M x y M + x = x = x M et x M + y M = et y M = x ± y M x + x M = x( y M) et x M + y M = et y M = x x + car y M x (x M, y M ) = ( x +, x x + ) expression qui tend bien vers (, ) = N quand x tend vers l'infini. PARTIE III A.7) Le paramétrage de la droite (MN) analogue à celui de la question 5) donnera en dimension 3 : x = tx M y = ty M z = + t(z M ) Comme z P =, on a t = donc (x P, y P ) = ( x M, y M ). z M z M z M A.8) On procède comme dans le 6). On cherche cette fois (x M, y M, z M ) tel que : x = x M et y = y M et x M + y M + z M = et donc x + y = (x M + y M ) z M z M ( z M ) = z M ( z M ) On tombe sur la même équation qu'au 6), mais avec z M comme inconnue et x + y au lieu de x, donc : z M = x + y x + y + x puis x M = x + y +, y y M = x + y + A.9) a) Les points de (C) vérifient x + y + z = et x =, donc y + z =. Il s'agit dans le plan x = du cercle de rayon centré au point (,, ). On peut proposer comme paramétrage : y = cos(t) sin(t) et z = (et x = ) b) Les points (X, Y) de p((c)) vérifieront donc, étant donnée l'expression de p donnée en 7) : X = x z = y et Y = sin(t) z = cos(t) sin(t) p((c)) est l'image de (Γ) par l'application linéaire Id. A.) a) En reprenant les expressions de la question 8), on obtient : x + y + 6 8xy (x + y + ) 8xy x y + 6 6x 6y b) Pour tout (x M, y M, z M ) de (S ) \ {N}, posons (x, y) = p(x M, y M, z M ). On a alors : g(x M, y M, z M ) = J(x, y)f(x, y). - -

5 Mais f(x, y) a deux composantes. Le produit J(x, y) f(x, y) est donc une combinaison linéaire des deux colonnes de J. Il suffit donc de vérifier que ces deux colonnes sont orthogonales au vecteur x M y M = z M x + y + x y. On a bien : x + y x + y + 6 x < 8xy, y > = 6x x + y 8xy x et < x y + 6, y > = 6y x + y c) Pour M N, on prend un champ de vecteurs f sur qui ne s'annule pas, par exemple le champ constant, et on prend g = (J f) o p, i.e. ici la première colonne de J appliquée sur (x, y) = p(x M, y M, z M ). Il est plus simple de prendre un champ colinéaire à g en tout point en x + y + éliminant le facteur commun (x + y + ) et ne gardons que xy, qu'il convient x d'exprimer en fonction de (x M, y M, z M ). Comme (x, y) = ( x M z M, y M z M ) (question 7), on obtient après quelques simplifications et élimination d'un autre facteur commun, g(m) = vérifier que : lim M N g(m) = = g(n) puisque x N = y N = et z N = M (S ) <g(m), OM> = z M x M x M y M x M x M z M. On pourra résultant du -b) ou bien par vérification directe M N, g(m) Pour le dernier point, g(m) = x M ou y M = (deuxième composante de g(m)). Si x M =, alors z M = (première composante de g(m)), donc y M = puisque M (S ). Donc M = N. Si x M, alors z M = (troisième composante de g(m)), conduisant à une contradiction sur la première composante. Donc ce cas ne se produit pas

6 ) a) b) r = f x x r + f y y r = f x x + f y F r = cos(θ) f x ( x r + f y x SOLUTION B f f = cos(θ) + sin(θ) x y y f = r sin(θ) x f + r cos(θ) y y r ) + sin(θ) ( f x y x f y r + y r ) = cos (θ) f x + cos(θ)sin(θ) f x y + sin (θ) f y F f = r cos(θ) x r sin(θ) f x ( x + f y y x ) r sin(θ) f y + r cos(θ) ( f x x y + f y y ) = r cos(θ) f x c) straightforward r sin(θ) f y + r sin (θ) f x r sin(θ)cos(θ) f y x + r cos (θ) f y ) F est continue comme somme finie de fonctions continues de (r, θ). On a évidemment F(, θ) = G(θ). Il reste à vérifier que r F r + r r + F =. On notera que certains termes de la somme disparaissent quand on les dérive car ils ne dépendent pas de la variable. On peut aussi rajouter des termes nuls dans une somme de façon à avoir un indiçage plus commode. r = n ak k r k cos(kθ) donc r k= r = n ak k r k cos(kθ) k= F r = n ak k(k ) r k cos(kθ) donc r F k= r = n ak k(k ) r k cos(kθ) k= = n ak k r k sin(kθ) k= donc F = n ak k r k cos(kθ) k= r F r + r r + F = 3) a) Pour montrer que F est continue, il suffit de montrer que la série définissant F converge normalement puisqu'il s'agit d'une série de fonctions continues. Or on a : donc r [, ], θ, a n r n cos(nθ) a n N (a n r n cos(nθ)) a n (à vrai dire, on a l'égalité), et comme a n converge absolument, N (a n r n cos(nθ)) converge et donc a n r n cos(nθ) converge normalement

7 b) Puisque (a n ) tend vers (la série étant convergente), la suite (a n ) est bornée. Il existe donc une constante telle que : n, θ [, π], r [, R[, a n n r n cos(nθ) Cte n R n donc, la borne supérieure étant ici calculée sur D(R) : N (a n n r n cos(nθ)) Cte n R n = O( n ) car R < donc N (a n n r n cos(nθ)) converge, donc a n n r n cos(nθ) converge normalement. Or il s'agit de r (a n r n cos(nθ)). Donc la fonction an r n cos(nθ) admet une dérivée partielle continue par n= rapport à r égale à an n r n cos(nθ) (le terme constant a disparaît dans la dérivation). n= c) (a n r n cos(nθ)) = n a n r n sin(nθ) et la convergence normale se montre comme cidessus. d) On aura donc pour les séries un résultat comparable à celui qu'on avait pour les sommes finies dans la question ) : r = an n r n cos(nθ) n= F r = an n(n ) r n cos(nθ) n= = an n r n sin(nθ) n= F = an n r n cos(nθ) n= donc r F r + r r + F = sur D(R) e) Pour tout R <, r F r + r r + F =. Prenons (r, θ) dans D(), donc tel que r <. Il existe R tel que r < R <, donc (r, θ) est élément de D(R), donc r F r + r r + F = en ce (r, θ). Ce résultat étant montré pour tout (r, θ) de D(), on a montré que r F r + r r + F = sur D(). ) On utilise la parité de G pour se ramener à des intégrales entre et π. Pour le calcul de a n, n, on effectue une intégration par parties : a = π π θ dθ = π n, a n = π π θ cos(nπ) dθ = π π sin(nθ) dθ = ( ( )n ) n πn - 7 -

8 Comme a n = O( n ), la série converge absolument. On a donc : F(r, θ) = π n= ( ( ) n ) πn r n cos(nθ) = π π n impair r n cos(nθ) n - 8 -