Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

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1 Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées Équation du second degré à coefficients réels Module et argument d un nombre complexe. Module Argument Forme trigonométrique Notation exponentielle 6. Définition de l exponentielle complexe Application à la géométrie Droite Cercle Utilisation du module et de l argument Équation du second degré. Racines carrées Définition Une racine carré d un nombre complexe d un réel a est un nombre complexe z tel que z = a. Propriété Tout réel non nul admet deux racines complexes. Le réel 0 n en admet qu une, lui même. Si a > 0, ce sont a et a. Si a < 0, ce sont i a et i a. Preuve : Si a < 0, alors a = ( a = i ( a...

2 . Équation du second degré à coefficients réels Propriété on considère le polynôme P défini par P (z = az +bz +c, a 0, et l équation (E : P (z = 0 de discriminant = b 4ac. Signe de Factorisation de P Racines de P > 0 P (z = a (z z (z z z = b a z = b + a racines réelles = 0 P (z = a (z z 0 z 0 = b a racine réelle < 0 P (z = a (z z (z z z = b i a z = b + i a racines complexes Preuve : P (z = a ( ( z + b puis factorisation.. a 4a Module et argument d un nombre complexe. Module Définition On appelle module d un nombre complexe z = a + ib le réel positif a + b (ou zz, noté z ; on a zz = z. Si z a pour image M, alors z = OM et si z est l affixe du vecteur AB, alors z = AB. Propriété : On a les propriétés suivantes : z = z = z zz = z z z z = z z z + z z + z (inégalité triangulaire n N, z n = z n Remarques :

3 Soient A et B d affixes z A et z B, alors AB = AB = z A z B. z = r M est sur le cercle de centre O et de rayon r. Donc z = M est sur le cercle trigonométrique. On peut donc conclure que pour tout complexe z non nul, le complexe complexe de module. Il est donc sur le cercle trigonométrique.. Argument z z est d un Définition Soit z un nombre complexe et M le point d affixe z. b M(z Un argument du complexe non nul z, et noté arg (z est une mesure de l angle orienté : ( i ; OM j z arg (z O i a Remarque : Les arguments sont définis à π près. Le réel 0 n pas d argument car l angle n est pas défini sir l angle est en O. Propriété : Tout réel strictement positif a un argument égal à 0. Tour réel strictement négatif a un argument égal à π. Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive, a un argument égal à π. Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative, a un argument égal à π. Pour tout points A et B distincts d affixes z A et z B : ( i ; AB = arg (z B z A + Kπ (k Z

4 Propriété : Pour tout nombre complexe z non nul : M(z arg (z = arg (z + kπ (k Z arg ( z = arg (z + π + kπ (k Z arg (z + π j arg (z arg (zz = arg (z + (z + kπ ( z arg = arg (z arg (z + kπ z O i arg (z arg (z n = n arg (z + kπ M( z M(z Propriété (Rappel Le tableau ci-dessous donne les valeurs des cosinus et sinus des principaux angles dans le cercle trigonométrique : x 0 π 6 π 4 π π cos(x 0 sin(x 0. Forme trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i ; j. Définition Pour tout nombre complexe z non nul, z = r (cos(θ + i sin(θ avec r = z et θ = arg(z. Cette écriture est appelée forme trigonométrique d un nombre complexe. Exemple i = cos( π ( i + sin(π car i = et arg(i = ; j = π. Remarque : ( i = (cos(π + sin(π car = et arg( = ; i = π. Comme l écriture d un nombre complexe sous forme algébrique est unique, il existe un lien entre forme algébrique et forme trigonométrique. 4

5 L écriture sous forme trigonométrique exprime le même nombre complexe! Ce sont juste deux écritures différentes. Elles expriment cependant des propriétés différentes. Propriété : Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z = a + ib avec z = r et θ = arg(z. Alors : r = a + b cos(θ = a r etsin(θ = b r équivaut à a = r cos(θ b = r sin(θ Méthode On passe d une forme à une autre de la façon suivante : De la forme trigonométrique à la forme algébrique : Il suffit de développer l expression en remplaçant les valeurs du cosinus et du sinus. Si z = ( ( cos π ( + isin π = ( 4 4 i = i De la forme algébrique à la forme trigonométrique :. On calcule z. On exprime z sous forme algébrique, et on cherche le réel θ tel que cos(θ z soit égal à la partie réelle et sin(θ soit égal à la partie imaginaire. Si z = + i :. z = + = z. z = + i = + i cos(θ =. On cherche θ tel que sin(θ =, on trouve alors θ = π. 5

6 Notation exponentielle. Définition de l exponentielle complexe Soit f la fonction définie sur R et à valeurs dans C par : f (θ = cos(θ + isin(θ. On peut prouver que cette fonction vérifie certaines relations fonctionnelles que la fonction exponentielle :. Pour tout nombres réels θ et θ, f (θ + θ = f(θf(θ. Preuve : Formule d addition de S avec le produit scalaire... La fonction f est dérivable et f (θ = if(θ : Preuve : En utilisant les dérivées des fonctions trigonométriques : cos = sin et sin = cos. Cette propriété est analogue à celle de la dérivée de la fonction x e kx. Définition - Formule d Euler Pour tout réel θ, on pose : e iθ = cos(θ + i sin(θ Remarque : e iθ est le nombre complexe de module et d argument. Exemple e i0 =, e iπ, e i π = i et e i π = i Remarque : L égalité e iπ + = 0 est appelée identité d Euler. C est une relation qui lie plusieurs constantes fondamentales des mathématiques : e, i et π. Définition et théorème Tout nombre complexe non nul z s écrit sous forme exponentielle (cas particulier de la forme trigonométrique : z = r e iθ où r = z et θ = arg(z. Réciproquement, si z = r e iθ avec r et θ réels et r > 0, alors z = r et θ = arg(z + kπ. Propriété : Pour tout nombres réels θ et θ et pour tout entier naturel n :. e iθ e iθ = e i(θ+θ. ( e iθ n Moivre. 4. e iθ = e iθ = e iθ e iθ e iθ = e i(θ θ = e inθ (formule de 5. e iθ = e iθ θ = θ mod(π. r e iθ r e iθ = rr e i(θ+θ. ( r e iθ n = r n e inθ (formule de Moivre. 4. r e iθ = r e iθ = r eiθ r e iθ r e iθ = r r e i(θ θ 6

7 . Application à la géométrie Le plan est muni d un repère orthonormé... Droite A, B et M(x; y sont des points du plan. On note la droite (AB. Propriété : Caractérisation d une droite par les vecteurs : M M, A et B sont alignés AM et AB sont colinéaires k R tel que AM = k AB Caractérisation d une droite par les angles : M M, A et B sont alignés Médiatrice d un segment : A, B et M sont des points d affixes z A, z B et z. ( AM; AB = kπ k Z M appartient à la médiatrice du segment [AB] AM = BM z z A = z z B.. Cercle A, B et M(x; y sont des points du plan. On note Γ le cercle de centre I (x I ; y I et de rayon R. Caractérisation analytique d un cercle : M Γ IM = R IM = R (x x I + (y y I = R (x x I + (y y I = R est une équation du cercle de centre I et de rayon R. Remarque : Tout cercle possède une équation de la forme x +y +ax+by +c = 0 mais toute équation de ce type n est pas nécessairement celle d un cercle. Dans un exercice, si l on rencontre une équation du type x + y + ax + by + c = 0 on cherche à la mettre sous la forme (x x I + (y y I = R, ce qui permet de prouver que le point M(x; y appartient au cercle de centre I (x I ; y I et de rayon R. 7

8 Propriété : Caractérisation d un cercle par les modules : M est le point d affixe z et I le point d affixe z I. M Γ (I; R IM = R z z I = R Caractérisation d un cercle par les angles : M appartient au cercle de diamètre [AB] { M = A ou M = B ou AMB est rectangle en M { AM ( = 0 ou BM = 0 ou MA; MB = π + kπ, k Z Caractérisation d un cercle par le produit scalaire : Le cercle de diamètre [AB] est l ensemble des points M tel que MA. MB = 0... Utilisation du module et de l argument Propriété : Si A et B sont deux points d affixes z A et z B dans un repère orthonormé (O, u, v, alors AB a pour affixe z B z A et AB = z B z A. De plus, si A B, arg (z B z A = ( u ; AB Si A, B, C et D sont quatre points d affixes z A, z B, z C et z D dans un repère orthonormé (O, u, v, alors si C D et A B, ( zd z ( C arg = AB; CD z B z A 8