TRIGONOMÉTRIE REPÉRAGE POLAIRE

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1 TRIGNMÉTRIE REPÉRAGE PLAIRE I Angles orientés Remarque n considère le cercle de centre et de rayon, que l'on appelle cercle trigonométrique. Le périmètre de ce cercle est. n considère la droite graduée tangente au cercle en I. Pour un réel repéré sur la droite, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle par "enroulement" de la droite sur le cercle. n dit que M est l'image sur le cercle du réel. Par convention l'enroulement se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre appelé sens trigonométrique. sens trigonométrique M I Eemples Le périmètre du cercle de rayon étant égal à, le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, la moitié d'un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le I sens trigonométrique, le tiers d'un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à - est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens trigonométrique, le quart d'un demicercle à partir de I. - Eercice 0 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à Eercice 0 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à Eercice 0 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à ères Trigonométrie Repérage polaire page

2 Définition M n considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel. n dit que est une mesure en radians de l'angle orienté ( I M) noté plus simplement ( I M). I Correspondances degrés radians 6 0 Les mesures d'un angle en degrés et en radians sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est de pour passer des degrés au radians et de des radians au degrés. pour passer v Définition Deu vecteurs u et v non nuls déterminent un angle orienté noté ( u v ). En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure en radians de l'angle orienté ( u v ). u I Remarque Si k et k' sont des réels strictement positifs, les mesures des angles (k u k' v ) et ( u v ) sont identiques. Propriété (admise) Soit ( u v ) un angle orienté et une mesure en radians de ( u v ). L'ensemble des mesures de l'angle orienté ( u v ) est l'ensemble des réels + k avec k ZZ. c'est-à-dire qu'un angle est mesuré à un certain nombre de tours de cercle près. (l'entier k représente ce nombre de tours) L'angle orienté ( u v ) a une et une seule mesure dans l'intervalle ]- ], cette mesure est appelée mesure principale de l'angle ( u v ). Remarques n assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi on pourra écrire ( u v ) = ou ( u v ) = + k k ZZ ou ( u v ) = []. on n'écrira jamais = 5 qui est une égalité fausse entre deu réels mais = 5 []. Pour que deu réels et y soient des mesures du même angle orienté ( u v ), il faut et il suffit que y - soit un multiple entier de (c'est-à-dire y - = k avec k ZZ ). n écrira y - = 0 [] ou y = [] Eercice 0 Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont : ères Trigonométrie Repérage polaire page

3 Eercice 05 Dans le plan rapporté au repère orthonormal ( i, j ) placer les points M, M, M et M tels que : M = et ( i M ) = M = et ( i M ) = M = et ( i M ) = 6 M = et ( i M ) = 7 Eercice 06 Soit ABCD un carré de centre tel que ( AB, AD) = + (on dit que ABCD est un carré direct). Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n est demandée) : ( AB AC) ( B BC) ( DC DA) ( A C) ( C DA) ( C BC) ( DB AB ) ( A CB) Propriétés (voir justification 0) Pour tout vecteur non nul u, on a : ( u u ) = 0 [] ( u - u ) = [] Pour tous vecteurs non nuls u, v, on a : ( v u ) = - ( u v ) (- u - v ) = ( u v ) ( u - v ) = ( u v ) + [] et si k et k' sont deu réels strictement positifs (k u k' v ) = ( u v ) Pour tous vecteurs non nuls u, v et w, on a : ( u v ) + ( v w ) = ( u w ) (Relation de Chasles) Propriétés (voir justification 0) Soient u et v deu vecteurs non nuls u et v sont colinéaires et de même sens ( u v ) = 0 [] u et v sont colinéaires et de sens contraire ( u v ) = [] u et v sont colinéaires ( u v ) = 0 [] c'est-à-dire ( u v ) = 0 + k avec k ZZ Eercice 07 n considère deu vecteurs u et v tels que ( u v ) = [] Déterminer ( u - v ) (- u v ) ( v - u ) (- u - v ) Eercice 08 ) Soit ABC un triangle. Démontrer que ( AB AC) + ( BC BA ) + ( CA CB) = []. ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AB AC) = - []. Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir ( BC BA ) = + []. En déduire que ( BC BA ) = - []. Justifier de même que ( CA CB) = - []. ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AB AC) = - []. - v u Soient A', B' C' les milieu respectifs de [BC] [AC] [AB]. Déterminer ( AC AB ) ( BA BA') ( CA' CB') ( A'C C'A) ( B'A C'B) (on justifiera) ères Trigonométrie Repérage polaire page

4 II Trigonométrie Définition ( voir animation ) n dit qu'un repère orthonormal ( i, j ) est direct lorsque ( i j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel, l'abscisse de M est appelée cosinus de, elle est notée cos ou cos(). l'ordonnée de M est appelée sinus de, elle est notée sin ou sin(). sin M cos Eercice 09 Donner les valeurs de : cos 0 sin 0 cos sin cos sin cos sin cos sin cos - sin - Propriété (voir démonstration 0) Pour tout réel, on a : - cos - sin cos + sin = (L'epression cos désigne le carré de cos c'est-à-dire (cos ) et de même sin désigne (sin ) ) Eercice 0 est un réel tel que 0 et cos =. Calculer la valeur de sin. est un réel tel que - et sin = -. Calculer la valeur de cos. est un réel tel que et cos =. Calculer la valeur de sin. est un réel tel que 0 et sin =. Calculer la valeur de cos. 0 sin 0 cos Valeurs particulières (voir démonstration 0) ( voir animation ) 6 Définition n appelle fonction cosinus la fonction : n appelle fonction sinus la fonction : cos : IR IR cos sin : IR IR sin Propriété (voir démonstration 05) Pour tout réel : cos( + ) = cos et sin( + ) = sin n dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période. Propriété (voir démonstration 06) Pour tout réel : cos(- ) = cos et sin(- ) = - sin La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. ères Trigonométrie Repérage polaire page

5 Pour tout réel : Propriété (voir démonstration 07) ( voir animation ) sin + = cos cos sin - = cos cos + = - sin - = sin - + sin - sin ( + ) = - sin cos ( + ) = - cos cos sin ( - ) = sin cos ( - ) = - cos + Remarque Il faut savoir retrouver toutes ces égalités à partir du dessin. Les relations sin - = cos et cos - = sin sont particulièrement importantes car elles permettent de transformer un cosinus en sinus et un sinus en cosinus Propriété : Formules d'addition (voir démonstration 08) n a cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a- b) = sin a cos b - cos a sin b Eercice En remarquant que Eercice = -, trouver les valeurs eactes de cos et sin Eprimer en fonction de cos et sin : - sin + sin - 6 cos cos - sin - sin - Propriété : Formules de duplication (voir démonstration 09) cos (a) = cos a - sin a = cos a - = - sin a sin (a) = sin a cos a Eercice Eprimer en fonction de cos et sin : cos - sin ( + ) cos + Eercice Eprimer en fonction de cos et sin : cos + - sin cos + 6 sin sin + - Eercice 5 En utilisant les formules de duplication, déterminer les valeurs de cos et sin. Vérifier que cos = 6 + et sin = ères Trigonométrie Repérage polaire page 5

6 Eercice 6 Vérifier, pour tous réels a et b les égalités suivantes : sin (a + b) + sin (a- b) = sin a cos b sin (a + b) + cos (a- b) = + sin a sin b [sin(a + b) + sin (a- b)] + [cos(a + b) + cos (a- b)] = cos b cos a + sin a = cos a - Eercice 7 ) Déterminer cos en fonction de cos ) Soit f la fonction définie sur IR par f() = - Démontrer que l'équation f() = a dans IR trois solutions. Déterminer, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, une valeur approchée à 0 - près de chacune des solutions. ) Déduire des question précédentes une valeur approchée de cos 9. Eercice 8 n considère un réel α tel que α et sin α = Calculer les valeurs eactes de cos α sin α cos α sin α cos α Propriété (admise) ( voir animation ) lim sin 0 = et lim cos - = 0 0 Propriété (voir démonstration 0) La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (sin )' = cos La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos )' = - sin Eercice 9 Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : f() = sin g() = cos h() = - sin + t() = sin - cos Tableau de variations Sur l'intervalle [- ], la fonction cosinus a le tableau de variations suivant : - 0 -sin cos - - Sur l'intervalle [- ], la fonction sinus a le tableau de variations suivant : - - cos sin ères Trigonométrie Repérage polaire page 6

7 Représentation graphique de la fonction cosinus n peut tracer, sur l'intervalle [- ], la courbe représentative de la fonction cosinus. La fonction cosinus étant une fonction paire, la courbe a pour ae de symétrie l'ae y. n peut ensuite compléter la courbe sur IR en utilisant le fait que la fonction cosinus est périodique de période. La courbe se complète donc en faisant des translations de vecteur V ( 0) ou - V (- 0) V (0) - - n a cos = 0 et la tangente au point d'abscisse a pour coefficient directeur - sin = -. Représentation graphique de la fonction sinus n peut tracer, sur l'intervalle [- ], la courbe représentative de la fonction sinus. La fonction sinus étant une fonction impaire, la courbe a pour centre de symétrie l'origine. n peut ensuite compléter la courbe sur IR en utilisant le fait que la fonction sinus est périodique de période. La courbe se complète donc en faisant des translations de vecteur V ( 0) ou - V (- 0) V (0) - - n a sin 0 = 0 et la tangente au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur cos 0 =. Remarque ( voir animation ) n sait que pour tout réel, sin + courbe de la fonction cosinus en faisant une translation de vecteur = cos. La courbe de la fonction sinus peut donc se déduire de la V 0. cosinus cos V + sinus ères Trigonométrie Repérage polaire page 7

8 Propriété (admise) α + k L'équation cos = cos α où α est un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ cos α -α + k Courbe de la fonction cosinus α α cosα α α α+ α+ Remarque L'équation cos = 0 a pour ensemble de solutions + k - + k avec k ZZ. Cet ensemble peut aussi s'écrire sous la forme (k + ) k ZZ. - α + k α + k Propriété (admise) sin α L'équation sin = sin α où α est un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ Courbe de la fonction sinus sinα α α α α α+ α+ Remarque L'équation sin = 0 a pour ensemble de solutions { 0 + k + k avec k ZZ. }. Cet ensemble peut aussi s'écrire sous la forme {k avec k ZZ }. Eemple Pour résoudre l'équation cos = on pourra écrire : = cos = cos = cos ou + k = - + k avec k ZZ L'ensemble des solutions de l'équation cos = est donc - + k + k avec k ZZ. ères Trigonométrie Repérage polaire page 8

9 Eercice 0 Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. sin = cos = cos = - sin = Eercice Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. cos = cos sin = cos = - cos + = 0 7 Eercice En utilisant le cercle trigonométrique, donner les solutions dans l'intervalle [- ] de : cos ³ - En utilisant le cercle trigonométrique, donner les solutions dans l'intervalle [0 ] de : sin - 0 En utilisant le cercle trigonométrique, donner les solutions dans l'intervalle [0 ] de : cos ³ n ne demande pas de justification. Eercice Résoudre dans IR chacune des équations suivantes, représenter les solutions sur un cercle trigonométrique puis donner les solutions dans [- ]. sin = cos sin = Eercice cos = sin Résoudre dans IR les équations : sin - = 0 cos + cos = 0 cos + cos - = 0 sin - sin - = 0 Eercice 5 n considère la fonction f définie sur IR par f() = sin En utilisant la courbe de la fonction sinus, représenter graphiquement la fonction f. Eercice 6 n considère la fonction f définie sur IR par f() = sin ( + ) ) Eprimer f() en fonction de sin et cos ) Calculer la dérivée de f de deu façons différentes. Vérifier que les deu résultats sont identiques. Eercice 7 Soit f la fonction définie sur IR par f() = cos sin - sin Calculer f'() et donner son epression en fonction de cos. Étudier le signe de f'() et donner le tableau de variations de f sur [- ]. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. Eercice 8 n considère f définie sur IR par f() = sin et (C) sa courbe dans un repère orthogonal ( i, j ). ) Montrer que la fonction f est périodique de période. ) Tracer la représentation graphique (Γ) de la fonction sinus sur [- ] dans le repère ( i, j ). Soit [- ]. Montrer que : M( y) (Γ) M' y (C) Tracer la courbe (C). ) Calculer la dérivée de f. ) En utilisant un cercle trigonométrique, étudier le signe de f'() pour Donner le tableau de variations de f sur ères Trigonométrie Repérage polaire page Vérifier le graphique du ) 5 ) Donner l'équation de la tangente à (C) au point.

10 III Repérage polaire Définition n appelle repère polaire du plan, tout couple ( i ) où est un point appelé origine (ou pôle) et i un vecteur de norme. Pour tout point M du plan distinct de, il eiste un couple M (r θ) avec r IR * + et θ IR tel que : M = r et ( i M) = θ []. n dit que (r θ) est un couple de coordonnées polaires de M dans le repère ( i ). r est le rayon polaire de M, θ est un angle polaire de M. r θ i Remarques À chaque couple (r θ) avec r IR * + et θ IR, correspond un unique point M du plan. À un point M du plan distinct de, correspond une infinité de couples (r θ) avec r IR * + θ est défini modulo. n conviendra que le pôle a pour coordonnées (0 θ) avec θ quelconque. et θ IR, car Eercice 9 Le plan est rapporté à un repère polaire ( i ). Placer les points M M M M M 5 M 6 de coordonnées polaires : Eercice 0 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( i, j ). n considère les points M M M M de coordonnées polaires 5 6 dans le repère polaire ( i ). Faire un dessin et calculer les coordonnées cartésiennes de M M M M. - ( ) Propriété (voir démonstration ) Si un point M a pour coordonnées ( y) dans le repère orthonormal direct ( i, j ) et pour coordonnés polaires (r θ) dans le repère polaire ( i ), alors on a : = r cos θ y = r sin θ et r = + y y r θ M Eercice Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( i, j ). n considère les points M M M M de coordonnées ( ) (- -) (0-5) (- ) Faire un dessin et donner un couple de coordonnées polaires de M M M M dans le repère ( i ) Eercice Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( i, j ). Représenter l'ensemble des points M de coordonnées polaires ( θ) dans le repère polaire ( i ) avec θ [0 ] l'ensemble des points M de coordonnées polaires k dans le repère polaire ( i ) avec k [0 + [ ères Trigonométrie Repérage polaire page 0