Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel)

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1 Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 80 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 La mesure principale de l angle A 1 π. B 1π est : π. C π. D π + 5π. Rappel : Parmi toutes les mesures d un angle orienté, celle qui se situe dans l intervalle ] π ; π] est appelée mesure principale. 1π π π = + = π+ π donc la mesure principale de l angle est π Exercice n Parmi les angles suivants, celui qui équivaut à 0 est : A 5 π 7π 7π 5π. B. C. D 181π. Réponse juste : D. 0 équivaut à un angle de 0 π 0 = π. Les propositions A, B et C sont donc fausses, puisque différentes de π [π]. La proposition D est juste ; en effet : 181π 5 π 5π π = 90 π + π = + k π avec k = 90. Exercice n 1 Si cos x =, alors : A x = 5 π. B cos(x) = 1. C sin x =. D sin x = 1. cos x = 1 cos x = cos π π π x = + k π ou x = + k π. Ceci invalide les propositions A, B et D. π sin = =. Page 1 sur 5

2 Exercice n Parmi les nombres suivants, ceux égaux à sont : π π π π A cos. B cos. C sin. D 1 cos. Réponse juste : A Se reporter aux sinus et cosinus des valeurs remarquables (cf. p. 15 du manuel). Exercice n 5 π Le nombre cos est égal à : A cos π π π 7π. B cos. C sin. D sin. Réponses justes : A, B et D. π La fonction cosinus est paire et de période π donc cos = cos π π et cos = cos π. De plus cos π 1 = = sin 7 π. Exercice n En utilisant le cercle trigonométrique, les égalités vraies sont : π A sin + = sin x. B sin π + = cos x. C sin(x + π) = sin x. D cos(x + π) = sin x. E cos( x) = cos x. F sin( x) = sin x. Réponses justes : C et F. Se reporter aux propriétés des fonctions sinus et cosinus (cf. p. 1-1 du manuel). Exercice n 7 Pour tout x réel, cos x + sin x est égal à : π π π π A cos. B cos. C cos +. D sin. π π cos x + sin x = cos + + sin π π + π π = cos cos sin π π sin + sin π π cos + cos π π sin π = cos sin π + sin π + cos π π = cos. Page sur 5

3 Exercice n 8 π Les solutions dans R de l équation sin x = sin sont : A x = B x = π.. π π C x = + kπ ou x = + kπ, avec k Z. D x = π + kπ, avec k Z. π π π π Sur R : sin x = sin x = + k π ou x = π + kπ x = k π + π ou x = + k π. Exercice n 9 L équation, d inconnue x, cos x + sin x = 1 : A n a aucune solution dans R. B a exactement une solution dans R. C a trois solutions dans l intervalle ] π ; π]. D a une infinité de solutions Réponse juste : D. Sachant les fonctions sinus et cosinus π-périodiques, la solution x = 0 valide la proposition D et invalide les propositions A et B. La proposition C est fausse ; on peut le prouver par exemple géométriquement, ou en reprenant l égalité de l exercice n 7 : π cos x + sin x = cos. Exercice n 10 Dans un repère orthonormé, on considère les points A( ; 5), B(7 ; ) et C( ; 1). On a alors : A AB = 5. B AB = 5. C AB ( ; ). D ABC est un triangle rectangle. AB ( ; ), donc AB = AB = + = 5. Pour montrer que le triangle ABC n est pas rectangle, on calcule les produits scalaires : AB. AC, BA. BC et CA. CB, et on vérifie qu ils sont non nuls. Page sur 5

4 Exercice n 11 Dans un repère orthonormé (O ; u, v ), on considère les points A( ; 1) et B( 5 ; 9). On peut écrire : π π A ( u, AB ) =. B ( u, AB ) =. C AB u = 8. D AB = 8. Réponses justes : B et C AB ( 8 ; 8). Donc AB = ( ) = 8 (une norme est positive). Par ailleurs AB u = u AB = 1 ( 8) = 8 = u AB cos( u, AB ) 1 d où cos( u, AB ) = π, soit par exemple ( u, AB ) =. Exercice n 1 La figure ci-dessous est composée de deux triangles équilatéraux. a. Une mesure pour l angle orienté ( AC π π A. B. C ; DC ) est : π. D π. Réponses justes : B et C. π Les mesures de (AC, DC) sont les mêmes que celles de (BD, BA) soit + k π, avec k entier. La proposition B est exacte en prenant k = 1 ; la proposition C est exacte en prenant k = 0. La proposition A est fausse car l équation d inconnue k, π π + kπ= n a pas de solution entière. De la même manière, la proposition D est fausse. b. Une mesure pour l angle orienté ( AD ; BC ) est : π π π π A. B. C. D. π Les mesures de (AD, BC) sont + k π, avec k entier. La proposition A est exacte en prenant k = 0. π π La proposition B est fausse car l équation d inconnue k, + kπ= n a pas de solution entière. De la même manière, les propositions C et D sont fausses. Page sur 5

5 Exercice n 1 Le trinôme x x + 5 : A n a pas de racine réelle. B se factorise dans R. C a pour racines 1 et 1. D un discriminant strictement positif. Réponse juste :A. Le discriminant du trinôme est négatif (Δ = ), ce qui invalide les propositions B, C et D et valide la proposition A. Page 5 sur 5

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