Nombres complexes. I Cours 3

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1 Nombres complexes Table des matières I Cours 3 1 Les opérations + et Propriétés des opérations Intégrité R, Q, Z, N, stabilité par les opérations Présentation de C 6.1 Propriétés caractéristiques de C Parties réelles et imaginaires Lien avec la géométrie du plan Affixe et coordonnées Lien avec les opérations Conjugaison Définition et propriétés Orthogonalité Module Définition et propriétés simples Inégalité triangulaire En géométrie : alignement Les fonctions cosinus et sinus Propriétés admises Formules d addition Duplication Tangente Exponentielle complexe Définition de l exponentielle sur U Morphisme Définition de l exponentielle sur C Trigonométrie Linéarisation Factorisation Méthode : quand développer, quand factoriser? Phase et amplitude Équations trigonométriques Écriture exponentielle d un complexe Fonctions circulaires réciproques

2 6 Interlude : applications linéaires 0 7 Géométrie Interprétation géométrique de la multiplication Multiplication par e iθ Multiplication par un réel Résumé, et autres transformations Calcul d angle Alignement Milieu En résumé : formules de géométrie à connaître II Exercices 3 1 Opérations sur les nombres 1 Module, conjugué, notions générales 1 3 Trigonométrie 4 Application à la géométrie 3

3 Première partie Cours La définition précise de C et de ses opérations + et n est pas au programme. Nous allons dans cette première partie énumérer les propriétés élémentaires de cet ensemble et de ces opérations, sans les justifier : ce seront nos axiomes. En fait, pour la plupart des chapitres nous procéderons ainsi : on admet un petit d assertions de base, et on voit tout ce qu on peut en déduire. C est précisément cela la démarche mathématique. 1 Les opérations + et 1.1 Propriétés des opérations On commence par énumérer les propriétés de l addition + et de la multiplication. Elles vont vous paraître évidentes, mais elles prendront leur importance au second semestre lorsque nous étudierons d autre additions et d autre multiplications qui ne les vérifierons pas toujours. De plus, même si les propriétés vous sont connues, vous ne connaissez peut-être pas leur nom. 1. L addition est associative, ce qui signifie que : (a, b, c) C 3, (a + b) + c = a + (b + c). En conséquence, il n est pas obligatoire d écrire les parenthèses dans un calcul ne faisant intervenir que l addition : le nombre a + (b + c) (qui est aussi égal à (a + b) + c) pourra être noté juste a + b + c.. La multiplication aussi est associative. 3. Le nombre 0 est un élément neutre pour l addition, ce qui signifie que a C, a + 0 = a et 0 + a = a. 4. Le nombre 1 est un élément neutre pour la multiplication. 5. Pour tout nombre complexe z, il existe un nombre complexe opposé à z, qu on note z et qui vérifie : z + ( z) = 0 et z + z = 0 6. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un nombre complexe inverse de z, qu on note 1 z ou z 1 et qui vérifie : z 1 z = 1 et 1 z z = 1 7. L addition est commutative, ce qui signifie que (a, b) C, a + b = b + a. 8. La multiplication aussi est commutative. 9. La multiplication est distributive par rapport à l addition, ce qui signifie : (a, b, c) C 3, (a + b) c = a c + b c et a (b + c) = a b + a c. Remarques et notations : Soit (z 1, z ) C. Le nombre z 1 + ( z ) peut être noté z 1 z. De même, si z 0 de sorte que 1 z existe, le nombre z 1 1 z peut être noté z 1 z. 3

4 On remplace souvent le symbole par un simple point. Parfois même, lorsque le contexte est clair, on l oublie complètement. Dans un calcul utilisant uniquement +, les parenthèses sont inutiles grâce à l associativité. De même dans un calcul utilisant uniquement. Par contre, dans un calcul combinant les deux, elles sont indispensables. On décide que lorsqu aucune parenthèse n est écrite, c est la multiplication qui doit être effectuée en premier. Ainsi.3 + signifie (.3) + (donc 8) et non pas.(3 + ) (qui ferait 10). Puisque + est commutative, lorsque la condition a 1 = a est vérifiée, on a automatiquement 1 a = a. Mais le jour où vous rencontrerez une multiplication non commutative, il faudra bien vérifier les deux pour prouver qu un élément est neutre. Exemple: Effectuer le calcul ( ) 14 le plus rapidement possible. Quelles propriétés utilisez-vous? Même question avec ( ) + (11 17), puis 99, en remarquant que 99 = Proposition 1.1. (multiplication par 0) Pour tout z C, 0.z = z. 1. Intégrité Voici une conséquence du fait tout complexe hormis 0 admet un inverse pour, qui est indispensable à la résolution d équations : Théorème 1.. ((C, +,.) est intègre) Pour tout (z, z ) C : z.z = 0 z = 0 ou z = 0. Démonstration: Le sens n est autre que la proposition 1.1. Réciproquement, supposons que z.z = 0. Nous allons considérer deux cas, selon que z est nul ou pas : 1. Si z = 0 : l assertion «z = 0 ou z = 0» est vraie.. Si z 0 : Dans ce cas, z est inversible, i.e. z 1 existe. On a alors, en multipliant l égalité z.z = 0 par z 1 à gauche : z 1.z.z = z 1.0 donc 1.z = 0 (définition de z 1 à gauche, et proposition 1.1 à droite ) donc z = 0. (1 est neutre pour.) Nous avons traité tous les cas possibles (z = 0 ou z 0) et à chaque fois, nous avons vu que z = 0 ou z = 0. Ce théorème est très important : c est celui qui permet de résoudre la plupart des équations. Par exemple résoudre les équations suivantes, d inconnue x C : (A) : x = 4 (B) : x = (C) : x = 1 (D) : cos(x) + x cos(x) = 0 (E) : x + x + = 0 (F ) : x + x + = R, Q, Z, N, stabilité par les opérations La définition des ensembles N, Z, Q, R n est pas au programme. Dans ce paragraphe, on rappelle juste un point : les opérations + et appliquées à deux nombres réels donnent un nombre réel. En formules : (a, b) R, a + b R et (a, b) R, a b R 4

5 On dit que R est stable par + et. Les ensembles Q, Z et N sont également stables par + et. Concernant l opposé et l inverse, on a : a R, a R. On dit que R est stable par passage à l opposé. Z également est stable par passage à l opposé. Par contre N ne l est pas. a R, 1 a R. Exemple: Soit a R et b C \ R. Démontrer que a + b C \ R. Indication :Par l absurde. Même question pour a.b. Attention : il y a un piège... Remarque : La notation d ensemble stable par les opérations sera très importante au second semestre. 5

6 Présentation de C.1 Propriétés caractéristiques de C Voici les propriétés caractéristiques de C. Tous les théorèmes que nous prouveront dans ce chapitre en découleront. Proposition.1. Il existe un nombre complexe noté i vérifiant : 1. i = 1. z C,!(x, y) R tel que z = x + i.y Nous fixons pour toute l année (et aussi celle à venir) un tel nombre complexe i. Remarque : i vérifie aussi ces deux conditions! Peut-être que les extra-terrestres utilisent i au lieu de i lorsqu ils utilisent les nombres complexes.. Parties réelles et imaginaires Il est important de noter que les réels x et y du ) sont uniques. Ceci nous autorise à leur donner un nom. De manière général, on peut poser une définition, c est-à-dire donner un nom à un objet à partir du moment où on est sûr qu il existe et qu il est unique. Définition.. Soit z C. Soient (x, y) R l unique couple de nombres réels tels que z = x + iy. 1. x est appelé la partie réelle de z, et y sa partie imaginaire. On note x = Re(z) et y = Im(z).. L écriture z = x + iy s appelle l écriture algébrique de z. 3. Lorsque Im(z) = 0, on a z R, on peut dire que z est réel. 4. Lorsque Re(z) = 0, on dit que z est imaginaire pur. L ensemble des nombres imaginaires purs se note ir. On a donc ir = { i x x R }. Par exemple quelle est l écriture algébrique de 0? Bien sûr, c est i. Détaillons le calcul à titre d exercice : Principe général : dans un calcul, partir de préférence du côté le plus compliqué. Ici, c est 0 + 0i i = 0 i car 0 est neutre = 0 par la proposition 1.1 (multiplication par 0) Ainsi, 0 = i, nous avons trouvé l écriture algébrique de 0. On constate alors que la partie imaginaire de 0 est 0, et que sa partie réelle est 0. 1 Exemple: Déterminer partie réelle et imaginaire de. Il s agit donc de mettre ce nombre sous sa 1 + i forme algébrique. Bien sûr vous connaissez la méthode : multiplier numérateur et dénominateur par 1 i. Proposition.3. (linéarité de Re et Im) Soit (z, z ) C. Alors : Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) 6

7 Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ). En outre, si λ R, on a : Re(λz) = λre(z) Im(λz) = λim(z). On dit que les fonctions Re et Im sont «linéaires». N.B. Il n y a pas de formule simple pour Re(z z ) ou Im(z z )! À titre d exercice, déterminer une formule pour exprimer Re(z z ) et Im(z z ) en fonction de Re(z), Re(z ), Im(z), Im(z ). Logique : on va utiliser la notion d implication et d équivalence. Théorème.4. (z, z ) C, z = z { Re(z) = Re(z ) Im(z) = Im(z ). Démonstration: Notons x, y, x, y les parties réelles et imaginaires de z et z, respectivement. Donc z = x + iy, z = x + iy, et x, y, x, y sont réels. Commençons par : { x = x On suppose que. Alors : y = y Réciproquement, prouvons par : z = x + iy = x + iy = z. On suppose z = z. Alors z = x + iy = x + iy. On a trouvé deux couples de réels permettant d écrire z sous forme algébrique. Or les axiomes de C indiquent qu un tel couple est unique. Donc ces deux couples sont en fait le même, i.e. x = x et y = y. Et donc les parties réelles et imaginaires de z et z sont les mêmes. N.B. L écriture z = x + iy est unique à condition que x et y soient réels! Par exemple, on a 0 = 0 + i 0 et 0 = 1 + i i, mais seule la première écriture est l écriture algébrique de 0..3 Lien avec la géométrie du plan Il est souvent parlant de représenter un nombre complexe par un point du plan. Nous rappelons ici définitions et propriétés élémentaires, sachant que cette partie restera un peu imprécise car nous n avons pas fait de rappels sur la géométrie du plan (plus vraiment au programme) Affixe et coordonnées Soit P un plan, muni d un repère orthonormé R = (O, i, j). On notera P l ensemble des vecteurs de P. Ces notations seront conservées pour tout le chapitre. Si M P et un point et u P un vecteur, alors on peut définir l image de M par la translation de vecteur u, celle-ci est notée M + u. On rappelle que pour tout point M P, il existe un unique couple (x, y) R tel que M = O + x i + y j : ce sont les coordonnées de M dans le repère (O, i, j). Et pour tout vecteur u P, il existe un unique couple (x, y) R tel que u = x i + y j : ce sont les coordonnées de u dans la base ( i, j). 7

8 Définition.5. (affixe d un vecteur) Pour tout vecteur u de coordonnées (x, y) dans ( i, j), on appelle affixe du vecteur u dans la base ( i, j) le nombre complexe x + iy. Dans l autre sens, si z = x + iy est un nombre complexe, on appelle le vecteur d affixe z dans la base ( i, j) le vecteur de coordonnées (x, y) dans ( i, j) (i.e. le vecteur x. i + j). Définition.6. (affixe d un point) Pour tout point M de coordonnées (x, y), on appelle affixe du point M dans le repère R le nombre complexe x + iy. Dans l autre sens, si z = x + iy est un nombre complexe, on appelle point d affixe z dans le repère R le point de coordonnées (x, y) dans R (i.e. le point O + x i + y j). N.B. Un nombre complexe peut donc être utilisé pour représenter un point ou un vecteur : ne pas mélanger les deux! Remarques : Si z est l affixe d un vecteur (resp. d un point) u (resp. M) dans la base ( i, j) (resp. le repère (O, i, j)), alors Re(z) est son abscisse et Im(z) est son ordonnée. Par ailleurs, il n existe pas de notation clairement fixée pour l affixe d un point/vecteur ou pour le point/vecteur d affixe donnée. Le mieux est d écrire la phrase en français. Les définitions précédente nous permettent de penser aux nombres complexes comme à des vecteurs ou comme à des points du plan. (On choisira selon la situation la représentation la mieux adaptée.) Ceci permet souvent de mieux comprendre les problèmes. Et réciproquement, un problème de géométrie plane pourra souvent être traité de manière plus simple grâce aux nombres complexes..3. Lien avec les opérations Opérations usuelles sur les points et les vecteurs du plan : Milieu de deux points Étant donnés deux points A et B, on peut définir le vecteur AB Additionner deux vecteurs Multiplier un vecteur par un réel Étant donnés un point et un vecteur, effectuer la translation de ce point par ce vecteur. Pour chacune des opérations suivantes, voyons comment on calcule les coordonnées et l affixe du résultat. Proposition Soit A un point d affixe z A et u un vecteur d affixe z u. Alors le point A + u a pour affixe z A + z u.. Soient u et v deux vecteurs, d affixes z u et z v. Alors u + v a pour affixe z u + z v. 3. Soient z 1 et z sont les affixes de deux points A et B, alors AB a pour affixe z z Soit u P, soit z sont affixe. Soit λ R. Alors l affixe de λ. u est λ.z. N.B. Le sens géométrique de la multiplication par un complexe non réel est plus difficile, et sera traité plus loin dans le chapitre. Démonstration: Soient (x A, y A) les coordonnées de A et (x u, y u) les coordonnées de u. Alors les coordonnées de A + u sont (x A + x u, y A + y u). Par ailleurs, z A = x A + iy A et z u = x u + iy u, donc z A + z u = x A + x u + i(y A + y u). On constate donc qu effectivement, l affixe du point A + u est z A + z u. 8

9 Deuxième point similaire..4 Conjugaison.4.1 Définition et propriétés Définition.8. Soit z = x + iy C. Alors son conjugué, noté z est : z = x iy. Remarque : En physique, le conjugué de z est parfois noté z. De plus, certains ont l habitude de souligner tous les nombres complexes. Géométriquement : soit z C et soit M le point d affixe z, et M le point d affixe z. Alors M est le symétrique de M par rapport à l axe des ordonnées O + Vect( i). Proposition.9. (propriétés de la conjugaison) (compatibilité avec + et : Pour tous (z, z ) C, on a : z + z = z + z et zz = z. z. (compatibilité avec le quotient :) Soit z C et z C, alors ( ) z z = z. z (compatibilité avec les puissances) z C, n N, z n = z n. En outre, si z 0, alors ceci est encore valable pour n Z. (la conjugaison est une involution :) z C, z = z. z C, z + z = Re(z) et z z = i.im(z). N.B. La conjugaison a de très bonnes propriétés vis-a-vis des opérations. C est pourquoi elle est très utile dans les exercices. Notamment, dans un exercice utilisant des modules, il sera souvent judicieux de les remplacer par des conjugués, grâce à la formule z = z z (formule rappelée ci-après). Le théorème ci-dessous est le plus souvent utilisé concernant la conjugaison. Il permet de savoir facilement quand est-ce qu un nombre est réel ou imaginaire pur. Théorème.10. (caractérisation d un réel ou d un imaginaire pur) Soit z C. Alors : 1. z R z = z.. z ir z = z. Démonstration: On prouve le premier point, le second étant similaire. Prouvons : On suppose z R. Alors l écriture algébrique de z est z = z + 0i, et donc z = z Oi = z. Réciproquement, prouvons : supposons que z = z. Soient (x, y) R tels que z = x + iy. On a : donc donc z = z { x iy = x + iy x = x y = y donc.y = 0 donc y = 0 Et par conséquent, z = x, et c est un nombre réel. proposition.4 cf exercice: 9 Exemple: Soit (a, b, c, d) R 4. On suppose que l équation (E) : az 3 + bz + cz + d = 0 d inconnue z C a une seule solution. Montrer que celle-ci est réelle. En général, montrer que pour tout z C, si z est solution de (E), alors son conjugué z aussi. Remarque : bien entendu ceci est valable pour n importe quelle équation polynomiale, la preuve étant toujours la même. 9

10 .4. Orthogonalité Soient ( u, v) ( P). On dit qu ils sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul i.e. u. v = 0. Soient (x, y) R les coordonnées de u et (x, y ) celles de v. Alors u. v = x.x + y.y, et donc u v xx + yy = 0. Traduisons ceci à l aide de nombres complexes : Soit z = x + iy l affixe de u et soit z = x + iy l affixe de v. On constate que xx + yy = Re( z.z ), d où : u v Re( z.z ) = 0 z.z ir z.z = z.z proposition.10 z. z = z.z propriétés de la conjugaison z. z + z.z = 0 Remarque : Les calculs ci-dessus sont simples : si vous avez oublié le résultat, refaites-les! cf exercice:??.5 Module.5.1 Définition et propriétés simples Le module prolonge la notion de valeur absolue pour les nombres complexes. Définition.11. Soit z = x + iy un nombre complexe et son écriture algébrique. On définit le module de z, noté z par : z = x + y. Remarque : La définition est valide car x + y est un nombre réel, et positif. Géométriquement, soit z C. Soit M le point d affixe z, soit u le vecteur d affixe z. Alors z est la longueur OM, c est aussi la norme du vecteur u : z = OM = u. Proposition z C, z est un réel positif ou nul.. z R, le module de z est égal à sa valeur absolue. (Ceci justifie l utilisation de la même notation z.) 3. z C, le nombre z. z est un réel positif, et : z = z. z. 4. (z, z ) C, z.z = z. z. 5. z C, z = 0 z = z C, z = z. Démonstration: 1. évident.. Soit z R, alors l écriture algébrique de z est z = z + 0.i, et son module est z + 0 = z. Ceci est effectivement égal à la valeur absolue de z. 3. Soit z = x + iy un complexe et son écriture algébrique. Alors : z. z = (x + iy).(x iy) = (x + y ) + i( xy + yx) = x + y. C est bien un réel positif, et sa racine carrée est bien z. 4. On utilise le point précédent : z.z = z. z. z. z = z.z. z. z = (z.z ).z.z = z. z. 5. Soit z C, et soit x + iy son écriture algébrique. Alors : z = 0 x + y = 0 x + y = 0 (x = 0 et y = 0) z = 0. 10

11 .5. Inégalité triangulaire Théorème.13. (inégalité triangulaire) 1. Pour tout (z, z ) C : z + z z + z.. (cas d égalité) Pour tout (z, z ) C : z + z = z + z λ R + tq (z = λ.z ou z = λ.z). La condition d égalité s interprète très simplement géométriquement : les deux vecteurs d affixe respective z et z sont colinéaires et de même sens. N.B. z z = z + ( z ) z + z = z + z. cf exercice: 9,13,14 Remarque : Cette inégalité permet de majorer que z + z, i.e. de montrer que z + z n est pas trop grand. C est ce dont on a besoin le plus souvent. Cependant, si vous vouliez minorer cette quantité (donc montrer que z + z n est pas trop petit), vous auriez besoin d une inégalité dans l autre sens. Cette inégalité existe, et s appelle la seconde inégalité triangulaire, la voici : (z, z ) C, z + z z z. En outre, il y a égalité si et seulement si λ R tq z = λz ou z = λz. Géométriquement, c est lorsque les vecteurs d affixes z et z sont colinéaires de sens opposé..5.3 En géométrie : alignement Nous venons de parles de vecteurs colinéaires. Développons et profitons-en pour étudier l alignement des points. 3 Les fonctions cosinus et sinus 3.1 Propriétés admises La définition et les preuves des propriétés élémentaires des fonctions sinus et cosinus ne sont pas au programme. S en tenir à la vision géométrique du cercle trigonométrique. On rappelle quelques propriétés élémentaires : Proposition 3.1. (admis) 1. θ R, cos (θ) + sin (θ) = 1.. Pour tout couple (x, y) R tel que x + y = 1, il existe θ R tel que x = cos(θ) et y = sin(θ). Interprétation géométrique : soit (x, y) R tel que x + y = 1, alors (x, y) sont les coordonnées d un point M du cercle trigonométrique. Le réel θ donné par le point (ii) est alors une mesure de l angle ( i, OM). Les points (iii) et (iv) indiquent que les autres mesures possibles de cet angle sont tous les nombre de la forme θ + kπ, pour k Z. Enfin, le point (i) peut-être vu comme une réciproque : pour tout θ R, le couple (cos(θ), sin(θ)) forme les coordonnées d un point du cercle trigonométrique. Notons que (i) implique que pour tout θ R, cos(θ) [ 1, 1]. En effet, sinon on aurait cos (θ) > 1 et donc cos (θ) + sin (θ) > 1 car sin (θ) 0 puisque c est un carré. Et de même et sin(θ) [ 1, 1]. La proposition suivante indique quand est-ce que les fonctions cosinus et sinus peuvent prendre deux fois la même valeur, ce sera en particulier le résultat essentiel pour résoudre des équations : Proposition Pour tout (θ 1, θ ) R, cos(θ 1) = cos(θ ) k Z tq θ 1 = θ + kπ ou θ 1 = θ + kπ.. Pour tout (θ 1, θ ) R, sin(θ 1) = sin(θ ) k Z tq θ 1 = θ + kπ ou θ 1 = π θ + kπ. { 3. Pour tout (θ 1, θ ) R cos(θ) = cos(θ ), k Z tq θ = θ + kπ. sin(θ) = sin(θ ) 11

12 Remarques : Pour dire «k Z tq θ = θ + kπ», on peut noter «θ θ + πz», ou encore «θ θ [π]». Nous n avons pas parlé de la définition du nombre π... En réalité, une définition possible, et même sans doute celle la plus utilisée, serait que π est le plus petit réel strictement positif qui annule la fonction sin. Proposition 3.3. (symétries) 1. x R, cos(x + π) = cos(x). On dit que la fonction cosinus est π-périodique.. x R, sin(x + π) = sin(x). La fonction sinus est donc également π-périodique. 3. x R, cos( x) = cos(x) : on dit que cosinus est paire 4. x R, sin( x) = sin(x) : on dit que sinus est impaire 5. x R, cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x) 6. x R, cos( π x) = sin(x) et sin( π x) = cos(x) On déduit de ces formules les formules pour cos(π/ + x), cos(π x) Formules d addition On propose dans ce paragraphe une preuve géométrique des formules d addition pour sinus et cosinus (sin(a+b) =.., cos(a + b) =...) Soit (a, b) R. Pour simplifier, prenons en fait (a, b) [0, π ], tel que a + b π/, de sorte que les sinus et cosinus de a, b et a + b sont positifs. Nous munissons le plan d un repère orthonormé (O, i, j). Pour tout θ R, on notera M(θ) le point du cercle trigonométrique repéré par θ. Notons A = M(a). Soit H le projeté orthogonal de M(a) sur O +R. i (l axe des abscisses autrement dit). Soit B l intersection entre la droite (OM(b)) et la perpendiculaire à (OA) passant par A. Soit J le projeté orthogonal de B sur O + R i, et I le projeté orthogonal de B sur (AH). A a I B C O b a H J Un simple calcul d angles montre que ( AH, AB) a pour mesure a. Comme OA = 1 (A est un point du cercle trigonométrique), cos(a + b) = OH et sin(a + b) = AH. Nous allons calculer la longueur AH : AH = AI + IH = AI + BJ = AB. cos(a) + OB. sin(a) = sin(b). cos(a) + cos(b). sin(a) Nous avons donc obtenu que : sin(a + b) = sin(a). cos(b) + cos(a). sin(b) Nous admettrons que cette formule reste valable pour tout (a, b) R. Pour obtenir la formule analogue concernant le cosinus, on peut : 1

13 refaire une preuve similaire, en partant de cos(a + b) = OH = AJ HJ Appliquer la formule pour le sinus avec π/ a au lieu de a, et b au lieu de b 3.3 Duplication Des formules d addition déjà vues, on obtient immédiatement : { cos(x) = cos (x) sin (x) = cos (x) 1 = 1 sin (x) x R, sin(x) = sin(x). cos(x) Notons que la première formule permet par exemple de calculer le cosinus ou le sinus de la moitié d une valeur connue. En effet, on à x R, en appliquant les formules ci-dessus avec x/ : cos ( x ) = cos(x) + 1 sin ( x ) = 1 cos(x) Il reste juste à connaître le signe de cos(x) pour savoir si cos(x) = cf exercice: Tangente Définition 3.4. Pour tout θ R \ ( π + πz), on pose : tan(θ) = sin(θ) cos(θ). cos(x) + 1 cos(x) + 1 ou. Soit (a, b) R \ ( π + π.z) tel que a + b R \ ( π + π.z), de sorte que tan(a), tan(b), et tan(a + b) sont bien définies. Exprimons tan(a + b) en fonction de tan(a) et tan(b) : sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) tan(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b) Ensuite, la formule de duplication : pour tout a R \ ( π + π.z) : 4 4 Exponentielle complexe tan(a) = 4.1 Définition de l exponentielle sur U Définition 4.1. Pour tout θ R, on pose : tan(a) 1 tan (a) e iθ = cos(θ) + i sin(θ). La fonction ainsi définie est π-périodique : pour tout θ R, on a e i(θ+π) = cos(θ + π) + i sin(θ + π) = cos(θ) + i sin(θ) = e iθ. Quelques valeurs remarquables : e i0 = cos(0) + i sin(0) = 1, de sorte que cette définition est cohérente avec celle de l exponentielle réelle. e iπ = 1. e iπ/ = i Proposition 4.. (propriétés simples de l exponentielle complexe) La fonction θ e iθ est π-périodique, c est-à-dire que pour tout θ R, e i(θ+π) = e iθ. Pour tout θ R, e iθ = e iθ. Pour tout θ R, cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ. 13

14 4. Morphisme La fonction exponentielle est très pratique en trigonométrie, car elle rassemble en une seule fonction les fonctions cosinus et sinus. De plus, les formules concernant l exponentielle complexes sont plus simples à retenir que celles concernant cos et sin. Proposition 4.3. (propriété fondamentale de l exponentielle complexe) Pour tout (θ, θ ) R, e i(θ+θ )) = e iθ.e iθ. Remarque : On dit que l exponentielle complexe est un «morphisme» de (R, +) vers (U, ). Démonstration: C est une simple conséquence des formules donnant cos(θ + θ ) et sin(θ + θ ). D une part, e i(θ+θ ) = cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ) + i ( sin(θ) cos(θ ) + cos(θ) sin(θ ) ). D autre part, e iθ.e iθ = ( cos(θ) + i sin(θ) ) + ( cos(θ ) + i sin(θ ) ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ) + i ( sin(θ) cos(θ ) + cos(θ) sin(θ ) ). Les deux nombres sont bien les mêmes. Remarque : L égalité e i(θ+θ ) = e iθ.e iθ «contient» les deux égalités cos(θ + θ ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ) et sin(θ + θ ) = sin(θ) cos(θ ) + cos(θ) sin(θ ) (il suffit de prendre la partie réelle pour cos et la partie imaginaire pour sin), mais elle est beaucoup plus facile à retenir. En cas de trou de mémoire, on pourra donc retrouver ces dernières à partir de la première. Une simple récurrence permet d obtenir le résultat suivant : Proposition 4.4. (formule de Moivre) Pour tout θ R et tout n Z, e inθ = ( e iθ ) n. Autrement dit : cos(nθ) + i sin(nθ) = ( cos(θ) + i sin(θ) ) n. Proposition 4.5. (égalité de deux exponentielles) Pour tout (θ, θ ) R : e iθ = e iθ k Z tq θ = θ + kπ (ou encore θ θ [π], ou encore θ θ + πz.) Démonstration: Soit (θ, θ ) R, alors : e iθ = e iθ cos(θ) { + i sin(θ) = cos(θ ) + i sin(θ ) cos(θ) = cos(θ ) sin(θ) = sin(θ ) k Z tq θ = θ + πz 14

15 4.3 Définition de l exponentielle sur C Définition 4.6. Soit z = x + iy un nombre complexe sous sa forme algébrique. On définit : Ainsi nous obtenons une fonction C C. e z = e x.e iy. Vérifions que cette définition est compatible avec l exponentielle réelle déjà étudiée : soit x R, alors x = x + 0.i donc la définition ci-dessus donne e x+0i = e x.e 0i = e x.1 = e x. Remarque : La notation «exp» sans plus précision représente a priori l exponentielle réelle R R +. Il n y a pas de notation spécifique à l exponentielle complexe. Proposition 4.7. Pour tous (z, z ) C, on a : e z+z = e z.e z. Autrement dit, la fonction C C z e z est un morphisme de groupes de (C, +) dans (C,.). De plus son noyau est iπ.z. Remarque : On peut facilement montrer aussi que cette fonction est surjective. Démonstration: Soient (x, y, x, y ) R 4 tels que z = x + iy et z = x + iy. Alors : e z+z = e x+x +i(y+y ) = e x+x.e i(y+y ) (définition 4.6) = e x.e x.e iy.e iy (propriétés de l exponentielle réelle et proposition 4.3) ) ( = (e x.e iy. e x.e iy ) (commutativité de C) = e x+iy.e x +iy (encore selon la définition 4.6) = e z.e z Montrons que exp est surjective dans C : soit z C, soit (x, y) R tel que z = x+iy. Nous savons (coordonnées polaires) qu il existe (ρ, θ) R + R tels que x = ρ. cos(θ) et y = ρ. sin(θ). Alors : z = ρ.e iθ = e ln(ρ)+iθ Enfin, étudions le noyau de exp. Déjà, il est clair que iπ.z est inclus dans le noyau de exp. Réciproquement, soit z Ker(exp). Donc e z = 1. Notons x + iy l écriture algébrique de z. Alors e z = e x.e iy. Déjà, on peut étudier le module : 1 = z = e x. D où x = 0. On obtient alors e iy = 1. Vue notre étude de la fonction θ e iθ, ceci implique y π.z. Remarque : La surjectivité de exp est en fait peu utile. Remarque : L exponentielle complexe est assez facilement définie, par contre l existence d un logarithme complexe est bien plus délicat. En classe préparatoire, on appliquera la règle : ne jamais prendre le logarithme d un nombre complexe! Corollaire 4.8. Soit (z, z ) C. Alors : Démonstration: e z = e z k Z tq z = z + ikπ e z = e z e z z = 1 z z Ker(exp) z z iπz k Z tq z = z + ikπ 15

16 5 Trigonométrie Les fonctions trigonométriques sont très fréquentes toutes sciences confondues, il est important de savoir les manipuler. On a vu partie 3 les formules les plus élémentaires. L usage de l exponentielle complexe va nous permettre maintenant de prouver facilement quelques formules un peu plus élaborées. 5.1 Linéarisation Pour commencer, voyons sur un exemple comment d y prendre pour linéariser une expression polynomiale en cos(x) et sin(x). Il suffit de remplacer cos(x) par eix + e ix et sin(x) par eix e ix. i Soit x R, linéarisons cos (x). sin (x) : ( ) cos (x). sin e ix + e ix ( ) e ix e ix (x) = i = 1 ) ) (e ix + + e ix (e ix + e ix 16 = 1 16.(e4ix + e 4ix 4) = cos(4x) cf exercice:??,18 Maintenant, voyons comment linéariser une expression plus générale : où les cos et les sin ne sont plus forcément évaluée en une même valeur x comme ci-dessus. Soit (a, b) R. Cherchons à linéariser les expressions cos(a) cos(b), sin(a) sin(b), et sin(a) cos(b). cos(a) cos(b) = eia + e ia sin(a) sin(b) = eia e ia i sin(a) cos(b) = eia e ia i cf exercice: 15.4), 18,17 5. Factorisation. eib + e ib. eib e ib i. eib + e ib = 1 4.(ei(a+b) + e i(a b) + e i(a b) + e i(a+b) ) = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) = 1 4.(ei(a+b) e i(a b) e i(a b) + e i(a+b) ) = 1 (cos(a b) cos(a + b)) = 1 4i.(ei(a+b) + e i(a b) e i(a b) e i(a+b) ) = 1.(sin(a + b) + sin(a b)) A présent, nous cherchons plutôt à factoriser une somme. Typiquement, dans l optique de résoudre une équation ou d étudier un signe. Dans ce paragraphe nous traitons un cas très particulier : Soit θ R, alors : (On a «factorisé par l angle moitié».) 1 + e iθ = e iθ/.(e iθ/ + e iθ/ ) = e iθ/. cos( θ ). On peut généraliser un peu le principe : soit (a, b) R, alors : ) e ia + e ib = e i(a+b)/. (e i(a b)/ + e i(b a)/ (Ici, on a factorisé par «l angle moyen».) =.e i(a+b)/. cos( a b ). Cette factorisation a ceci de pratique qu un des facteurs est réel. Elle est donc très pratique pour rechercher une partie réelle ou imaginaire (cf exercice:??,?? ). 16

17 En prenant les parties réelles et imaginaires dans ce qu on vient d obtenir, on trouve : cos(a) + cos(b) = cos( a + b a b ). cos( ) sin(a) + sin(b) = sin( a + b a b ). cos( ) D où : Par ailleurs, en partant de e ia e ib on trouve : cf exercice: 3( 4 et 5), 0,1. Exemple: Accordage de guitare. e ia e ib = ie i(a+b)/ sin( a b ) cos(a) cos(b) = sin a + b a b ). sin( ) 5.3 Méthode : quand développer, quand factoriser? Nous avons vu comment «linéariser» (i.e. de transformer en somme), ou au contraire de «factoriser» (i.e. transformer en produit) une expression trigonométrique. L opération n est pas difficile, avec un peu d entraînement (indispensable!) cela devient mécanique. Par contre il faut savoir reconnaître les situations où il est utile de factoriser, et celles où il est utile de linéariser. Typiquement : la linéarisation est utile pour dériver ou intégrer. La factorisation est utile pour résoudre une équation, ou une inéquation, en particulier étudier un signe. Exercice : 1. Étudier sur [0, π] les variations de la fonction f : x sin(x) + cos(x).. Calculer π cos(x) sin(x)dx Calculer la dérivée troisième de x cos 3 (x). 4. Résoudre l équation cos(x) + cos(4x) = cos(3x). 5.4 Phase et amplitude Il arrive fréquemment en physique que l on somme deux fonctions sinusoïdales de pulsation différente. Il est bon de savoir qu alors le résultat est encore une fonction sinusoïdale, simplement il y aura un décalage, une «phase». Précisément : Proposition 5.1. Soit (a, b) R, x R. Alors il existe A R et ϕ R tel que : Plus précisément, on peut prendre A = a + b. a. cos(x) + b. sin(x) = A. cos(x ϕ). (Pas de formule simple et générale pour calculer ϕ.) Il faut savoir faire ce calcul si nécessaire, et pour ce, suivre la démonstration que voici. Démonstration: Posons A = a + b. Si a = 0 et b = 0, alors A = 0 et la formule voulue est vraie quel que soit ϕ. Supposons à présent a 0 ou b 0, donc A > 0. On a alors : ( ) a a cos(x) + b sin(y) = A A cos(x) + b A sin(x) ( ( ) a b Mais on a = 1, donc le point ( A) a A A, b ) est un point du cercle trigonométrique, et ces deux nombres A a peuvent être mis sous forme d un cos et sin d un même angle. En termes exacts, il existe ϕ R tel que A = cos(ϕ) b A = sin(ϕ). Nous fixons un tel ϕ, il vient alors : a cos(x) + b sin(y) = A(cos(ϕ) cos(x) + sin(ϕ) sin(x)) = A. cos(x ϕ) 17

18 5.5 Équations trigonométriques Essentiellement, on utilise la proposition 3.. Quelques exemples, toutes d inconnue x R : label=(a) : cos(3x) = 1. lbbel=(b) : cos(x) = sin(x). Ici on peut transformer le cosinus en sinus par cos(x) = sin( π x). lcbel=(c) : 3 cos(x) + sin(x) =. Factoriser le côté gauche en utilisant l écriture «amplitude / phase». ldbel=(d) : cos(x)+cos(3x) = cos(x). Pas d astuce ici : factorisez! Et si vous ne connaissez pas par cœur les formules de factorisation, retrouvez-les grâce à l exponentielle complexe en partant ainsi : cos(x) + cos(3x) = Re(e i3x + e ix ). cf exercice: Écriture exponentielle d un complexe Logique : on va utiliser la notion d ensemble, d ensemble défini par équation et par paramétrisation, et montrer que deux ensembles sont égaux par double inclusion. Définition 5.. On note U = { z C z = 1 }. On appelle cet ensemble le «groupe unitaire». Proposition 5.3. U = { e iθ θ R } Démonstration: On montre les deux inclusions. Montrons : Il s agit de prouver que tout complexe de module 1 peut s écrire sous la forme e iθ, pour un certain θ R. Soit z U, donc z = 1. Prouvons qu il existe θ R tel que e iθ = z. Soit (x, y) R les parties réelles et imaginaires de z. Le fait que z = 1 donne x + y = 1. (Donc le point (x, y) d affixe z est un point du cercle trigonométrique.) D après les propriétés de cos et sin rappelées (et admises) au chapitre 0, il existe θ R tel que x = cos(θ) et y = sin(θ). On a alors z = cos(θ)+i sin(θ) = e iθ. Montrons : Cette inclusion est plus simple : soit z exp(ir), ceci signifie qu il existe θ R tel que z = e iθ. Alors z = cos (θ) + sin (θ) = 1. N.B. Les deux inclusions dans cette proposition sont utiles : d une part e iθ est de module 1 pour tout θ R. D autre part, tout complexe de module 1 peut s écrire ainsi. Corollaire 5.4. Soit z C. Alors il existe ρ R + et θ R tels que z = ρ.e iθ. Si de plus z 0 et θ ] π, π], alors cette écriture est unique. Définition 5.5. Dans la situation du corollaire, l écriture z = ρ.e iθ géométrique) de z. s appelle une écriture trigonométrique (ou cf exercice: 7,10, 11 N.B. L écriture algébrique d un complexe z est unique. Par contre, il existe plusieurs écritures trigonométriques, et plusieurs arguments. La notation «arg(z)» n est pas bien définie. Parfois «Arg(z)» (avec la majuscule) signifie l argument principal de z, celui-ci est effectivement unique. Mais attention avec cette notation on n aura pas les formules de type Arg(z.z )= Arg(z) +Arg(z ). Tout ceci pour dire qu on déconseille fortement l usage de telle notation... 18

19 Remarque : Si z = ρ.e iθ, avec ρ < 0, alors un argument de z est θ + π. En effet, z = ρ.( 1).e iθ = ρ.e iπ.e iθ = ρ.e i(θ+π). Comme ρ > 0, on a bien une écriture trigonométrique de z (ce n était pas le cas pour ρ.e iθ ). Et donc θ + π est un argument de z. Géométriquement, soit z C et u P d affixe z. un argument de z est une mesure de l angle ( i, u). Voici une formule pour calculer un argument d un nombre complexe. Proposition 5.6. Soit z C. (i) Si z i.r, alors l argument principal de z est π/ ou π/. (ii) Sinon, on a pour tout θ R : tan(θ) = Im(z) Re(z) θ ou θ + π est un argument de z. Remarque : Le problème vient de ce que si z = ρ.e iθ avec ρ < 0, alors on a quand même tan(θ) = Im(z) Re(z). Remarque : On peut aussi prouver que si θ est un argument de z, alors cos(θ) = Re(z) et sin(θ) = Im(z). Le formule z z ci-dessus avec la tangente est un peu plus simple lorsqu on dispose de la forme algébrique de z : il n y a pas à calculer de module. Démonstration: (i) Premier cas : si z ir. Supposons d abord z i.r + : il existe ρ R + tel que z = i.ρ. Alors z = ρ.e iπ/ est une écriture trigonométrique de z, donc π/ est un argument. Ensuite, si z i.r. Il existe ρ R + tel que z = iρ = ρ.e π/. Un argument de z est donc π/. (ii) À présent, on suppose que z n est pas imaginaire pur, donc Re(z) 0. On commence par le sens. Supposons que θ soit un argument de z. Alors ρ R + tel que z = ρ.e iθ = ρ cos(θ) + iρ sin(θ). Donc : Im(z) Re(z) = ρ sin(θ ρ cos(θ) = tan(θ). De même, si θ + π est un argument de z, alors ρ R + tq z = ρ.e i(θ+π). D où : Im(z) Re(z) = ρ sin(θ + π ρ cos(θ + π) = tan(θ). Passons à la réciproque : soit θ R tel que tan(θ) = Im(z) Re(z). Soit z = ρ.eiα une écriture trigonométrique de z. Alors, le même calcul que précédemment montre que Im(z) Re(z) = tan(α). Par conséquent, tan(α) = tan(θ). Cela signifie soit que α = θ [π] au quel cas θ est un argument de z ; soit que α = θ + π [π] auquel cas θ + π est un argument de z. N.B. Par définition, pour tout x R, le nombre Arctan(x) est l unique θ ] π, π [ tel que tan(θ) = x. Lorsqu on cherche un argument d un complexe z, on peut donc calculer θ 0 = Arctan( Im(z) ) ; un argument de z sera θ0 si Re(z) Re(z) > 0, ou bien θ 0 + π si Re(z) < 0. Si en plus on veut l argument principal, alors il faut prendre θ 0 π dans le cas où Re(z) < 0 et Im(z) > Fonctions circulaires réciproques Voici les fonctions présentes dans les calculettes permettant de calculer la mesure d un angle lorsqu on connaît sont cosinus, son sinus, ou sa tangente : 1. Soit x [ 1, 1]. Arccos(x) est le nombre θ [0, π] tel que cos(θ) = x.. Soit x [ 1, 1]. Arcsin(x) est le nombre θ [ π, π ] tel que sin(θ) = x. 19

20 3. Soit x R. Arctan(x) est le nombre θ ] π, π [ tel que tan(θ) = x. Remarque : Nous démontrerons plus tard l existence et l unicité du nombre θ vérifiant les conditions ci-dessus, et nous pourrons alors donner une vraie définition propre de ces fonctions. Pour l instant, le but est juste de vous indiquer comment retrouver la mesure d un angle à partir de son cosinus, sinus ou de sa tangente. Ainsi, si nous cherchons un nombre θ R : Si nous connaissons son cosinus, notons-le x, alors : Si sin(θ) 0, alors θ Arccos(x) [ p i] Si sin(θ) 0, alors θ Arccos(x) [ p i] Si nous connaissons son sinus, notons-le x, alors : Si cos(θ) 0, alors θ Arcsin(x) [ p i] Si cos(θ) 0, alors θ π Arcsin(x) [ p i] Si nous connaissons sa tangente, notons-la x, alors : Si cos(θ) 0, alors θ Arctan(x) [ p i] Si cos(θ) 0, alors θ π + Arctan(x) [ p i] (Tout ceci est à savoir retrouver en dessinant un cercle trigonométrique.) cf exercice: 7 6 Interlude : applications linéaires Maintenant ou plus tard? Proposition 6.1. (Caractérisation d une AL) Définition 6.. (Image et noyau) 7 Géométrie Dans ce paragraphe nous étudions le sens géométrique des opérations élémentaires sur les complexes. Nous nous placerons uniquement du point de vue affine : c est-à-dire que nous utiliserons uniquement l interprétation d un complexe comme un point (et pas comme un vecteur). 7.1 Interprétation géométrique de la multiplication On étudie à présent le sens géométrique de la multiplication dans C. Nous allons distinguer deux cas : la multiplication par un réel, et la multiplication par un complexe de module Multiplication par e iθ En premier lieu, pour tout θ R, la multiplication par e iθ correspond à la rotation d angle θ de centre l origine du repère : Proposition 7.1. Soit θ R. 1. (version affine : pour les points) Soit M un point z et z son affixe. Le nombre e iθ.z est l affixe de l image de M par la rotation de centre O et d angle de mesure θ.. (version vectorielle) Soit u un vecteur, et z son affixe. Le nombre e iθ.z est l affixe de l image de u par la rotation d angle de mesure θ. N.B. C est le résultat clé pour utiliser les nombres complexes en géométrie. Une fois ceci bien assimilé, le reste vous paraîtra évident. N.B. C est surtout la version vectorielle qui sera utile. En effet la version affine ne parle que de la rotation par rapport à l origine, ce qui est limité. Pour étudier une rotation par rapport à un point autre que O, on utilise ce qui suit (très utile en pratique!) : 0

21 Soient A, B, C trois points et θ R. Notons a, b, c les affixes de A, B, C respectivement, alors : BC est image de BA par rotation d angle de mesure θ affixe de BC = e iθ affixe de BA c b = e iθ (b a) cf exercice: 35 Démonstration: Soit α un argument de z, de sorte que z = z.e iα. Alors z.e iθ = z.e i(α+θ). On se contentera ensuite d un dessin... On en déduit comment calculer les mesure de l angle entre deux vecteurs : Proposition 7.. Soient u, v deux vecteurs non nuls. Soient z 1 et z leurs affixes dans une certaine BONd. Les mesure de l angle ( u, v) sont les arguments de z z 1. cf exercice: 3 (le ) ). Démonstration: Notons θ 1, θ des arguments de z 1 et z et ρ 1, ρ les modules. Donc z = ρ.e i(θ θ 1 ), un argument de z /z 1 est bien θ θ z 1 ρ 1 1. Déjà l angle ( u, v) est le même que ( u u, v ). L avantage est que ces deux nouveaux vecteurs sont de norme 1, v il sont toujours les mêmes arguments. Ainsi, leurs affixes sont e iθ 1 et e iθ. On constate que pour passer de e iθ 1 à e iθ, il faut multiplier par e i(θ θ 1 ) u. Cela signifie que pour transformer u en v, il faut faire une rotation d angle de mesure θ θ1. Ce qui signifie bien que l angle est θ θ1. v 7.1. Multiplication par un réel La multiplication par un nombre réel correspond quand à elle à une homothétie de centre O : Proposition 7.3. Soit r R. 1. (version vectorielle) Soit u un vecteur et z son affixe. Alors r.z est l affixe du vecteur r. u.. (version affine) Soit M un point et z son affixe. Le point d affixe r.z est l image de M par l homothétie de centre O de rapport r Remarque : On dit que r. u est l image de u par l homothétie (vectorielle) de rapport r. L homothétie de rapport r est juste la fonction qui multiplie les vecteurs par r! Rappel : Une homothétie de centre O et de rapport r est un «agrandissement» (si r > 1), ou un «rétrécissement» (si r [0, 1[), basé en O. Si r = 1, c est la symétrie de centre O, de sorte que si r < 1 c est un agrandissement suivi de la symétrie de centre O, si r ] 1, 0[, c est un rétrécissement suivi de centre symétrie. C est une opération qui préserve les angles, mais multiplie les longueurs par r. Si r > 0 elle préserve l orientation, si r < 0 elle l inverse. Elle est définie précisément ainsi : Pour tout M P, l image de M par l homothétie de centre O et de rapport r est le point M tel que : OM = r. OM Résumé, et autres transformations Voici les transformations (point de vue affine) qu on a déjà rencontrées : translation homothétie de centre O rotation de centre O 1

22 Voyons comment écrire une rotation ou une homothétie de centre autre que O. Soit A P, θ R, soit r la rotation de centre A d angle de mesure θ. Notons z A l affixe de A. Soit M P, d affixe z, notons enfin z l affixe de r(m). On sait que r(m) est caractérisé par : 1. AM = Ar(M). si A = M, r(m) = M, et sinon ( AM, Ar(M)) est de mesure θ. Donc si z = z A, alors z = z = z A. Sinon considérons le complexe z z A z z A un argument est θ par le point (ii). Donc z z A z z A = e iθ. Et finalement : z = (z z A).e iθ + z A : son module est 1, par le point (i), et Ainsi l image par r du point d affixe z est le point d affixe (z z A).e iθ + z A. De même, l image d un point d affixe z par l homothétie h de centre A et de rapport ρ est (z z A).ρ + z A. Et enfin, l image d un point d affixe z par la composée h r est le point d affixe (z z 1).ρ.e iθ + z A. 7. Calcul d angle Proposition 7.4. (argument et produit) Soient z et z deux complexes non nuls. Si θ est un argument de z et θ un argument de z, alors : 1. θ + θ est un argument de z.z.. θ θ est un argument de z/z. N.B. L argument a de mauvaises propriétés vis-à-vis de la somme. Géométriquement : Soient u et v deux vecteurs non nuls d affixe z 1 et z. Alors les mesures de l angle ( u, v) sont les arguments de z /z 1. cf exercice: Alignement On a les conséquences suivantes : 1. u v z /z 1 est imaginaire pur.. u et v sont colinéaires ssi z /z 1 est réel. Le point (ii) est de toute façon évident avec la définition de la colinéarité. Poursuivons un peu les équivalence : u, v colinéaires z R ( z 1 ) z = z 1 ( z z 1 ) z.z 1 = z. z 1 z 1. z R Im(z 1. z ) = 0 On rappelle qu on avait déjà vu que u. v = Rez 1. z, et donc que : u v Rez 1. z = 0 On constate donc qu à la fois la partie réelle et la partie imaginaire du nombre z 1. z sont utiles. Pour conclure, donnons une formule en coordonnées pour Im(z 1. z ) : soit (a, b, c, d) R 4 tel que z 1 = a + ib et z = c + id. (Donc u a pour coordonnées (a, b), et v a pour coordonnées (c, d).) Alors : Im(z 1. z ) = Im((a + ib).(c id)) = ad bc Définition 7.5. Avec les notations ci-dessus, le nombre ad bc s appelle le déterminant de ( u, v) et se note det( u, v).

23 Et on a donc det( u, v) = Im(z 1. z ) et surtout : u, v colinéaires det( u, v) = 0. (Résultat qui ne fait plus apparaître de nombres complexes. On aurait pu le prouver sans les complexes, mais c est moins pratique.) cf exercice: 3, 41, Milieu Proposition 7.6. Soient A, B deux points du plan et a, b leurs affixes. Alors l affixe du milieu de [AB] est : a + b. 7.5 En résumé : formules de géométrie à connaître Soient A, B deux points et u, v deux vecteurs du plan, vous devez savoir calculer : Affixe de AB ; Distance AB ; Affixe du milieu de [AB] ; Mesure de l angle ( u, v) ; Produit scalaire u v ; Savoir quand deux vecteurs sont colinéaires ; Savoir quand trois points sont alignés. Deuxième partie Exercices 3

24 Exercices : nombres complexes Dans les fiches de TD, les étoiles indiquent approximativement la difficulté : une étoile indique une application directe du cours, deux étoile indiquent un exercice du niveau ordinaire d une colle ou d une question de devoir, trois étoiles indiquent un exercice difficile, destiné à ceux qui tenteront les concours plus difficiles. En outre, un point d exclamation indique un exercice classique, à savoir absolument refaire seul. Deux points d exclamation indiquent un exercice faisant quasiment partie du cours : le résultat prouvé pourra être utilisé dans un devoir sans justification. Vous trouverez un certain nombre d indications à la fin de la fiche de TD. En outre, sur le site internet se trouvent un certain nombre corrigés. Je rajouterai tout corrigé ou indication sur simple demande. Pour n importe quel exercice, mais encore plus dans ce chapitre, il est important de faire des dessins à chaque fois que possible pour comprendre le problème et deviner une solution. 1 Opérations sur les nombres Exercice 1. *! identités remarquables Soient (a, b) C. Démontrer que (a + b) = a + ab + b et que (a b)(a + b) = a b en citant soigneusement chacune des propriétés de + et de utilisée. Exercice. * Distributivité à trois termes Soit (a, b, c, d) C 4. Démontrer que a (b + c + d) = a b + a c + a d. Exercice 3. * inverse non nul Soit a C. Démontrer que a 1 0. Exercice 4. ** Somme d un réel et d un non réel Soit a Q et b R \ Q (i.e. b est un nombre réel mais pas un nombre rationnel). 1) Démontrer que a + b Q ) Dans quel cas est-il possible que a b Q? Exercice 5. *** unicité des éléments neutres, opposés et inverse 1) Montrer que 0 est l unique élément neutre pour + dans C. De même, montrer que 1 est l unique élément neutre pour. ) Soit z C. Montrer que z est l unique opposé de z. De même, si z 0, démontrer que 1 z est l unique inverse de z. Module, conjugué, notions générales Exercice 6. *! Formes algébriques et trigonométriques Pour chacun des nombres complexes suivants, trouver l écriture algébrique et une écriture trigonométrique : 1) i(1 + 3) 1 + i ) i( 3 3) i + 3 3) Pour θ R, (tan(θ) + i) 4) Pour θ R, 1 + e iθ 5) Les racines carrée de i 6) Les racines cubiques de i 7) ( 1 + i ) i Exercice 7. *! Forme géométrique Calculer module et argument des nombres suivants. On donnera une écriture à l aide de Arccos, de Arcsin, et enfin de Arctan. 1

25 1) + 5i ) 5i 3) 5i 4) 5i Exercice 8. *! inégalité entre module et parties réelle et imaginaire Montrer que z C, Re(z) z et Im(z) z. Faire un dessin. Exercice 9. * module et conjugaison Soit z C \ {1}. Montrer que : z = z 1 z ir. Exercice 10. ** Un nombre réel Soit (z, z ) C non nuls et de même module. Démontrer que (z + z ) Exercice 11. ** D autres nombres réels z.z R +. 1) Soit n Z et x = (1 3i) n. Pour quelles valeurs de n est-ce que x R +? (i 1)n ) Même question avec y = 3 + i 3. Exercice 1. *** identifier un nombre réel, plus dur ( ) z + 1 Soit z C \ {1} et a =. Quand est-ce que z ir? z 1 Exercice 13. ** inégalité triangulaire Soit (z, z ) C. 1. Montrer que z + z z z. Préciser le cas d égalité.. Montrer que z + z z + z + z z. Interprétation géométrique? Préciser le cas d égalité. Exercice 14. *** Équation avec la formule du module Résoudre l équation d inconnues (u, v) C : 3 Trigonométrie (E) : u + iv = u + v Exercice 15. *! Quelques valeurs trigonométriques Calculer les nombres suivants : 1) cos(π/8) ) sin(5π/4) 3) tan(π/1) 4) sin(π/1) sin(5π/4) Exercice 16. ** utilisation d une forme exponentielle 1. Calculer cos( π 8 ) et sin( π 8 ).. En déduire une expression simple de Exercice 17. ** une utilisation de la linéarisation Calculer la dérivée sixième de f : x cos 4 (x). Exercice 18. **! intégrales trigonométriques Calculer les intégrales suivantes : ( + + i 8. ) 1) π cos(x) sin(x)dx 0 ) π cos (x)dx 0 3) π sin 3 (x)dx 0 4) π 0 cos (x) sin (x)dx 5) π 0 cos(x + π 6 ) sin(x)dx

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