Chapitre 3. Suites récurrentes

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1 Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,.... Les nombres u i sont appelés les termes de la suite. Une suite (u n ) permet donc d associer à chaque entier n un réel qu on note u n Mode de génération Une suite (u n ) est entièrement définie si on est capable de calculer u n pour n importe quelle valeur de n. Il existe deux façons usuelles pour définir une suite Suite définie explicitement Exemple 3.1 On considère la fonction f : R R. x f (x) = x+3 x 2 +1 Si x N, f (x) est toujours défini. On peut donc considérer la suite u de terme général : u n = f (n) = n + 3 n On a alors : u 0 = = 3, u 1 = = 2,... Dans cette situation, on est bien en mesure de calculer u n pour tout n N Suite définie par récurrence Définition 3.2 Soit f une fonction numérique définie sur R, et a un réel quelconque. On dit que la suite u0 = a (u n ) n 0 vérifiant est définie par récurrence et on note : u n+1 = f (u n ), pour tout n N u : u0 = a pour n N, u n+1 = f (u n )

2 26 Suites récurrentes Remarque 3.1 Quelque soit l entier n, le calcul de u n est donc possible. Il est toutefois à noter que ça peut être long car pour calculer u n il faut connaître u n 1, pour connaître u n 1 il faut avoir u n 2,... Représentation graphique d une suite définie par récurrence u0 R Soit u la suite définie par : u n+1 = f (u n ) pour tout n 0 On trace dans un repère la droite d d équation y = x et la courbe représentative C f de la fonction f. On place ensuite sur l axe des abscisses u 0. On a u 1 = f (u 0 ) ; on peut donc lire u 1 sur l axe des ordonnées comme l image de u 0 par f. On reporte alors u 1 sur l axe des abscisses grâce à d. Exemple 3.2 Le graphique ci-dessous est obtenu avec f : x 2 x + 2 et u 0 = 1. On a donc u définie par : u0 = 1 u n+1 = 2 u n + 2 pour tout n 0 u 5 u 4 u 3 u 2 C f u 1 d j i u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u Variations d une suite Définition 3.3 On définit les sens de variation au sens large d une suite ainsi : une suite est dite croissante si pour tout entier naturel n on a u n+1 u n ; une suite est dite décroissante si pour tout entier naturel n on a u n+1 u n ; une suite est dite stationnaire si pour tout entier naturel n on a u n+1 = u n. On pourrait de même définir la stricte croissance et la stricte décroissance en utilisant des inégalités strictes. Exemple 3.3 Étudier les variations de la suite u définie sur N par u n = 2n 2 + 3n 4.

3 3.2 Axiome de récurrence Suites arithmétiques. Suites géométriques Définition 3.4 Une suite est dite arithmétique s il existe un entier r tel que pour tout n N on a u n+1 = u n + r. Le réel r est appelé raison de la suite u. Propriété 3.1 On a alors pour tout n N et tout p N : n u n = u p + (n p) r; u i = u p + u n 2 i=p (n p + 1) où p < n Définition 3.5 Une suite est dite géométrique s il existe un entier q tel que pour tout n N on a u n+1 = u n q. Le réel q est appelé raison de la suite u. Propriété 3.2 On a alors pour tout n N et tout p N : n u n = u p q n p ; u i = u p q u n 1 q i=p 3.2 Axiome de récurrence = u p 1 qn p 1 q où p < n, q 1 et si q 0 En mathématiques, on est parfois amené à démontrer une propriété dans laquelle le résultat dépend d un entier n. Exemple 3.4 Prenons la propriété suivante : quelque soit l entier n, la somme des cubes des n premiers entiers naturels est égale au carré de leur somme. On peut facilement vérifier que c est vrai si n = 1, n = 2, n = 3,... voire avec un ordinateur si n = 500 ; mais toutes ces vérifications ne prouvent pas le résultat pour tout n. Axiome Si une propriété est vraie pour un entier n 0 fixé et qu il est prouvé que lorsqu elle est vraie pour l entier p n 0 elle est vraie aussi au rang p + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à n 0. Ce sont Peano ( ) et Poincaré ( ) mathématiciens italiens et français qui ont posé cet axiome de récurrence. Remarque 3.2 La démonstration d une propriété P par cet axiome comporte donc trois étapes : montrer que la propriété est vraie au rang n 0 : on écrit P n0 est vraie ; prendre pour hypothèse qu elle est vraie à un rang p n 0 quelconque (on suppose que P P est vraie) et montrer qu elle est alors vraie au rang p + 1 (on montre que P n+1 est vraie) ; conclure à l aide de l axiome de récurrence. Exemple 3.5 Prouver par récurrence le résultat de l exemple 3.4.

4 28 Suites récurrentes 3.3 Propriétés de convergence Nous allons voir dans cette partie quelques propriétés, en plus de celles vues dans le chapitre 1, permettant d étudier la convergence d une suite Suites majorées, minorées, bornées Définition 3.6 Soit u une suite numérique définie sur N. Alors : la suite u est dite majorée s il existe un réel M tel que pour tout n N on a u n M ; M est alors appelé un majorant de u ; la suite u est dite minorée s il existe un réel m tel que pour tout n N on a m u n ; m est alors appelé un minorant de u ; la suite u est dite bornée si elle est majorée et minorée. Remarque 3.3 Si une suite est majorée par un réel M alors tout réel M > M est aussi un majorant de u. De même si u est minorée par m alors tout réel m < m est aussi un minorant de u. Exemple 3.6 La suite u définie par u n = n n 20 est majorée par 5. La suite v définie par v n = sin(n 2 ) est bornée par 1 et 1. Théorème 3.1 Toute suite croissante et non majorée admet pour limite +. Toute suite décroissante et non minorée admet pour limite. Soit u une suite croissante non majorée. La suite u n est pas majorée donc quelque soit le réel A > 0 il existe p tel que u p > A. Or la suite u est croissante donc pour tout n p on a u n u p > A. Finalement pour tout A > 0 il existe un rang (ici p) à partir duquel tous les termes de la suite sont dans ]A ; + [ ; la suite u diverge donc vers +. On montrerait de la même manière le deuxième cas. Théorème 3.2 Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Axiome (de la borne supérieure) : si l ensemble des majorants d une suite n est pas vide, il admet un plus petit élément ; c est-à-dire que si u est majorée, il existe un majorant de u plus petit que tous les autres. Soit u une suite croissante majorée par M. Il existe alors un majorant A plus petit que tous les autres (d après l axiome précédent). Soit ɛ un réel strictement positif et I l intervalle ]A ɛ ; A + ɛ[. Cet intervalle I contient au moins un terme u p de la suite u. En effet sinon A ɛ serait un majorant de u plus petit que A ce qui contredit la définition de A.

5 3.3 Propriétés de convergence 29 De plus, la suite u est croissante donc pour tout n p, on a u n u p > A ɛ. Ainsi, quel que soit l intervalle I ouvert contenant A, tous les termes de la suite u sont dans I à partir d un certain rang (ici c est le rang p) donc la suite u converge vers A. Remarque 3.4 Attention, le théorème 3.2 permet de prouver qu une suite converge mais il ne permet pas de déterminer sa limite. Exemple 3.7 Soit u la suite définie sur N par u n = n 2. Montrons que pour k 2 on a 1 k 2 1 k 1 1 k : On a : 1 k 1 1 k = k (k 1) k(k 1) = 1 k(k 1). Or k 1 < k donc 1 k 1 > 1 k (car k > 0) et donc en multipliant par 1 k, on obtient : 1 k 2 < 1 k(k 1) = 1 k 1 1 k. En additionnant membre à membre les inégalités obtenues en remplaçant k par 1, 2,... n, on obtient : ( 1 2 n < ) ( ( ) n 1 1 ) = 2 1 n n < 2 Ainsi, la suite u est croissante et majorée par 2 donc elle converge, mais on ne connaît pas sa limite (ce n est pas nécessairement 2). En fait on pourrait prouver que la limite de u est π Suites définies par récurrence Propriété 3.3 u0 Soit f une fonction et u la suite définie par : u n+1 = f (u n ), n N. Si u converge vers l et si f est continue en l alors f (l) = l. On a : lim u n = l et lim f (x) = f (l) par définition de la continuité de f en l. n + x + En utilisant le théorème 1.6 sur la limite de la composée d une suite et d une fonction, on obtient : lim f (u n) = f (l). n + On sait que lim n + u n = l donc tout intervalle ouvert contenant I contient tous les termes de la suite u à partir d un certain rang p, donc il contient tous les termes de la suite f (u n ) à partir du rang p 1. Ainsi la suite f (u n ) converge vers l. La limite d une suite si elle existe est unique donc f (l) = l. Remarque 3.5 Pour une fonction numérique, un réel a vérifiant f (a) = a est appelé un point fixe pour f. Exemple 3.8 Soit u la suite définie par u 0 = 1 et pour tout entier n, u n+1 = u n + 1. Montrons que u converge et déterminons sa limite. u est définie par une relation de récurrence du type u n+1 = f (u n ) où f est définie par f (x) = x + 1. On montre sans trop de difficulté (par récurrence) que pour n N, u n croissante. 2 et que u est

6 30 Suites récurrentes La suite u est donc croissante et majorée donc elle converge vers une limite l et si f est continue en l alors cette limite est solution de f (x) = x. La fonction f est continue sur ] 1 ; + [, la suite u est croissante avec u 0 = 1 donc l 1 et donc f est continue en l. Résolvons f (x) = x pour x 1 : f (x) = x x + 1 = x x + 1 = x 2 car x 1 x = 1+ 5 > 1 ou x = 1 5 < La seule solution qui convient est donc 1+ 5, ainsi u converge vers 1+ 5 ; ce nombre est appelé 2 2 le nombre d or Suites adjacentes Définition 3.7 Deux suites u et v sont dites adjacentes si l une est croissante, l autre décroissante et que lim n + (u n v v ) = 0. Exemple 3.9 Soit u et v les suites définies pour n N par u n = Montrer que u et v sont adjacentes. Théorème 3.3 Si deux suites sont adjacentes, alors : elles sont toutes les deux convergentes ; elles ont la même limite. n et v n 1 n = 1 1. n 2 Soit u et v deux suites adjacentes avec u croissante et v décroissante. Montrons d abord que pour tout n, u n v n. Soit w la suite définie par w n = v n u n. On sait que u est croissante et v décroissante donc pour tout n on a u n+1 u n 0 (donc u n u n+1 0) et v n+1 v n 0. Donc w n+1 w n = (v n+1 u n+1 ) (v n u n ) = (v n+1 v n ) + (u n u n+1 ) 0 ; ainsi la suite w est décroissante et admet pour limite 0. On a donc pour tout n N, w n 0 et donc v n u n. La suite u est donc croissante et majorée (par v 0 par exemple) donc elle converge vers une limite L 1. La suite v est donc décroissante et minorée (par u 0 par exemple) donc elle converge vers une limite L 2. Enfin, w converge vers 0 donc lim n + (v n u n ) = 0 et donc : L 2 L 1 = 0 (soit L 1 = L 2 ). Ainsi u et v sont convergentes et elles admettent la même limite.