MATHS MPSI MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES VUIBERT
|
|
- Oscar Chaput
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS MPSI Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés A. Bechata N. de Granrut
2
3 Table des matières Chapitre 1. Bases mathématiques Principaux types de raisonnement 1. Opérations sur les ensembles 3 3. Applications 3 4. Relation d équivalence, relation d ordre 3 Exercices 5 Corrigés 9 Chapitre. Nombres complexes Écriture cartésienne 19. Exponentielle d un imaginaire pur 0 3. Écriture exponentielle d un complexe 0 4. Racines n-ièmes d un complexe 1 5. Interprétation géométrique 6. Exponentielle d un complexe Exercices 3 Corrigés 7 Chapitre 3. Manipulations algébriques Symbole somme et produit 41. Sommes remarquables 4 Exercices 45 Corrigés 48 Chapitre 4. Fonctions usuelles Dérivation 55. Bijections Fonctions usuelles Fonctions trigonométriques et réciproques 58 Exercices 60 Corrigés 63 Chapitre 5. Équations différentielles Primitives 75. Équations différentielles linéaires Résolution des EDL Résolution des EDL à coefficients constants 77 Exercices 80 Corrigés 83 Chapitre 6. Suites numériques Suites usuelles 95. Limites des suites numériques Comparaison des suites usuelles 98 Exercices 100 Corrigés 104 Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité Limite 117. Continuité Intervalles et continuité 119 Exercices 11 Corrigés 15 Chapitre 8. Dérivabilité Fonctions de classe C n Propriétés des fonctions de classe C n Applications aux suites u n+1 = f (u n ) 140 Exercices 141 Corrigés 146 Chapitre 9. Études locales et asymptotiques Comparaison des fonctions 161. Comparaison des suites Développements limités 163 Exercices 165 Corrigés 169 Chapitre 10. Arithmétique des entiers Divisibilité et division euclidienne 185. PGCD et algorithme d Euclide Nombres premiers entre eux Nombres premiers Congruences 189 Exercices 190 Corrigés 194 III
4 Table des matières Chapitre 11. Structures algébriques Loi de composition interne 05. Groupes Anneaux Corps 08 Exercices 09 Corrigés 13 Chapitre 1. Polynômes et fractions rationnelles Propriétés arithmétiques des polynômes 5. Racines de polynômes 6 3. Fractions rationnelles 8 Exercices 9 Corrigés 33 Chapitre 13. Espaces vectoriels Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 45. Familles de vecteurs Applications linéaires Somme d un nombre fini de sous-espaces Endomorphismes remarquables 49 Exercices 50 Corrigés 54 Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie Dimension d un espace vectoriel 65. Dimension d un sous-espace Théorème du rang Forme linéaire et hyperplan 67 Exercices 69 Corrigés 73 Chapitre 15. Matrices Calcul matriciel 83. Matrices d applications linéaires Matrices d endomorphismes 87 Exercices 88 Corrigés 93 Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires Opérations élémentaires 305. Systèmes linéaires 308 Exercices 310 Corrigés 313 Chapitre 17. Déterminants Permutation 31. Déterminant Développement des déterminants 3 4. Formes n-linéaires alternées Caractérisation des bases, isomorphismes et des inversibles 34 Exercices 36 Corrigés 331 Chapitre 18. Espaces euclidiens Produit scalaire 345. Orthogonalité Bases orthonormales Projection orthogonale Groupe orthogonal 348 Exercices 349 Corrigés 353 Chapitre 19. Calcul intégral Intégrale d une fonction continue par morceaux 365. Intégration et dérivation Formules de Taylor 367 Exercices 368 Corrigés 37 Chapitre 0. Séries numériques Généralités 385. séries à termes positifs Séries à termes quelconques 388 Exercices 389 Corrigés 393 Chapitre 1. Dénombrement Cardinal 407. Listes et combinaisons 408 Exercices 411 Corrigés 415 IV
5 Table des matières Chapitre. Probabilités sur un univers fini Espaces probabilisés 47. Probabilités conditionnelles 49 Exercices 43 Corrigés 437 Chapitre 3. Variables aléatoires Loi 451. Indépendance Espérance Variance, écart-type 454 Exercices 456 Corrigés 461 Chapitre 4. Problèmes de synthèse Corrigés 483 V
6
7 MÉTHODE 11 Chapitre Structures algébriques 1. Loi de composition interne Définition Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application : E E E, c est-à-dire que : x,y E, x y E. Si est une loi de composition interne sur E, on dit : que est associative si : x,y,z E 3, x y z = x y z ; que est commutative si : x,y E, x y = y x ; que e E est un élément neutre pour si : x E, e x = e = x e ; que x E est inversible pour la loi s il existe y E tel que y x = e = x y ; qu une partie F de E est stable par si x,y F, x y F. Exemple L addition sur est une loi de composition interne, elle est associative et 0 est l élément neutre pour. Par contre, aucun élément de \{0} ne possède d inverse par +, car, si n 1, alors m, n + m 1 n + m 0.. Groupes Définition 11.. On appelle groupe tout couple (G, ) où G est un ensemble non vide et une loi de composition interne sur G. Cette loi doit être associative, posséder un élément neutre e G et tout élément de G est inversible. Pour tout x G, on note x 1 son unique inverse et, pour tout n, on définit x n par : x x 0 = e G, x n } {{ x } si n = n fois. (x n ) 1 si n... 05
8 Maths MPSI On dit que le groupe (G, ) est commutatif si est une loi commutative. Dans ce cas, on note plutôt «+» la loi (sauf si cela prête à confusion). L élément neutre se note 0 G, l inverse de tout élément x G se note x et, pour tout entier n, on définit nx par : x + + x si n 0x = 0 G, nx = n fois. (( n)x ) si n Définition : Sous-groupe Soit (G, ) un groupe et H un ensemble. On dit que que H est un sous-groupe de (G, ) si (H G et (H, ) est un groupe). Théorème : Caractérisation des sous-groupes Soit (G, ) un groupe et H un ensemble. H est un sous-groupe de (G, ) si les quatre propriétés suivantes sont vérifiées : H G ; e G H; x,y H, x y H, x H, x 1 H. Théorème : Groupes usuels Les ensembles suivants sont des groupes commutatifs pour les lois habituelles d addition et de multiplication dans les nombres. (,+),,+, (,+), (,+).,, +,, (, ), +,, (, ). (, ), ( n, ) où l on a posé = {z, z = 1} et n = {z, z n = 1} avec n. Exemple Soit n, on note n = {na, a }. Montrons que (n,+) est un groupe en prouvant qu il s agit d un sous-groupe de (,+). On a évidemment n et (,+) est un groupe. 0 = 0 = n0 n. Si x,y n, alors il existe (a,b) tel que x = na et y = nb, donc : {}}{ {}}{ x + y = n(a + b) n et x = n( a ) n. Définition : Ensemble des permutations Soit X un ensemble non vide, on note X l ensemble des applications f : X X qui sont bijectives. Tout élément de X s appelle une permutation de X. 06
9 MÉTHODE CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Théorème : Groupe des permutations L ensemble (S X, ) (ensemble des permutations de X muni de la composition) est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément). 3. Anneaux Définition On appelle anneau tout triplet (A,+, ) où A est un ensemble non vide, + et deux lois de compositions internes telles que : (A,+) est un groupe (d élément neutre 0 A ) ; est associative sur A, admet un élément neutre noté 1 A et est distributive par rapport à «+», c est-à-dire que : x,y,z A 3, x y + z = x y + (x z ), y + z x = y x + (z x ). Si x,y sont deux éléments de A, on dit qu ils commutent si x y = y x. Si la loi est commutative, on dit que l anneau (A,+, ) est commutatif. Théorème : Anneaux usuels Les ensembles (,+, ),,+,, (,+, ), (,+, ) sont des anneaux commutatifs (pour l addition et la multiplication usuelle). Exemple a On note =, (a,n) (ensemble des nombres décimaux). Montrons 10n que (,+, ) est un anneau commutatif. Si x,y, il existe (a,b) et (n,m) tels que x = a 10 et y = b n 10, donc : m x y = {}}{ a 10 m b 10 n ab et x y =. 10 n+m 10n+m Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 = 0 10, 1 0 = Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans, et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Par conséquent, (,+, ) est un anneau commutatif. 07
10 Maths MPSI Définition : Inversibles d un anneau Si (A,+, ) est un anneau, on note A l ensemble des inversibles de A pour la loi, c est-à-dire : A = x A, y A, x y = 1 A = y x. Théorème : Groupe des inversibles d un anneau Soit (A,+, ) un anneau, alors ( A, ) est un groupe. Théorème : Formule du binôme Soit (A,+, ) un anneau et a,b A deux éléments qui commutent, alors, pour tout entier naturel n, on a : n n (a + b) n = a k b n k. k k =0 Théorème : Formule de Bernoulli Soit (A,+, ) un anneau et a,b A deux éléments qui commutent, alors pour tout entier naturel n, on a : n 1 a n b n = (a b) a k b n 1 k. k =0 4. Corps Définition On appelle corps tout anneau (K,+, ) commutatif dont tous les éléments différents de 0 A sont inversibles pour la loi. Théorème : Corps usuels Les ensembles,+,, (,+, ), (,+, ) sont des corps (pour l addition et la multiplication usuelle). 08
11 Exercices Structures algébriques Exercices guidés Exercice A (10 min.) Soit (G, ) un groupe. On pose : Montrer que (Z (G ), ) est un groupe. Z (G ) = x G, y G, x y = y x. Exercice B (0 min.) a On note = b, (a,b) avec b un entier impair. 1) Montrer que (,+, ) est un anneau. Est-ce un corps? ) Déterminer les inversibles de. Exercice C (15 min.) Soit G un sous-groupe de (, ). On suppose que G = g 1,..., g n est un ensemble fini formé de n éléments distincts. 1) Soit z G. Montrer que z g = g. ) En déduire que G = n. g G g G Exercices Exercice 1 (5 min.) Soit (G, ) un groupe tel que x G, x = e G. Montrer que est commutative. Indication : On pourra considérer x y avec x,y G. Exercice (0 min.) Soit (G, ) un groupe. On note : F G = x G, n x, x n x = e G. 1) On suppose que (G, ) est commutatif. Montrer que (F G, ) est un groupe. 09 EXERCICES
12 Maths MPSI ) On suppose que G = = f : bijective, qui est un groupe pour la composition. Montrer que (F G, ) n est pas un groupe. Indication : On pourra utiliser les fonctions : f 1 : x x et f : x 1 x. Exercice 3 (0 min.) Soit (G, ) un groupe. Pour tout a G, on note : G G Φ a : x a x a 1 et I G = {Φ a, a G }. 1) Soit (a,b) G. Déterminer c G tel que Φ a Φ b = Φ c. En déduire que Φ a est une bijection et expliciter (Φ a ) 1. ) Montrer que (I G, ) est un groupe et l expliciter lorsque (G, ) est commutatif. Exercice 4 (10 min.) Soit (G, ) un groupe fini. On considère une partie H non vide de G, stable par et telle que e G H. Montrer que H est un sous-groupe de G. Indication : Pour x H fixé, on pourra montrer que l application f : y y x est une bijection de H sur H. Exercice 5 (10 min.) Soit P une partie de 3. On note : H P = σ {1,,3}, / (x 1,x,x 3 ) P, x σ(1),x σ(),x σ(3) P. Montrer que (H P, ) est un groupe. Rappelons que S {1,,3} désigne les permutations (bijections) de l ensemble {1,, 3}. Exercice 6 (15 min.) On note H = x + y 3, x,y /x 3y = 1. 1) Justifier que H. ) Établir que (H, ) est un sous-groupe de (, ). Exercice 7 (10 min.) Soit (G,+) un groupe commutatif. Pour tout élément x de G, on note : x + A = {x + a, a A}. Montrer que H = {x G, A = x + A} est un sous-groupe de G. Exercice 8 (0 min.) πi Soit j = exp, on rappelle que 1 + j + j = 0. On note : 3 j = a + b j, (a,b). Montrer que j,+, est un anneau commutatif. 10
13 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 9 (30 min.) πi Soit j = exp, on note j = a + b j, (a,b). On admet que j,+, 3 est un anneau commutatif. 1) Établir que, si z j, alors z. ) Soit z j. Prouver que z = 1 si, et seulement si, z est inversible. 3) Démontrer que j possède un nombre fini d inversibles et les expliciter. Exercice 10 (10 min.) On note = a + b, (a,b). Montrer que,+, est un anneau commutatif. Exercice 11 (10 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un anneau. 1) Soit z = a +b avec (a,b). On suppose que a b = ±1. Montrer que z est inversible dans. ) Expliciter un élément z ±1 inversible dans. En déduire que admet une infinité d éléments inversibles. Exercice 1 (15 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un anneau commutatif. 1) Montrer que, si a + b = 0 avec (a,b), alors a = b = 0. ) Soit (a,b,c,d ). On pose : z = a + b, z = c + d, w = a b, w = c d. On suppose que z est inversible dans d inverse z. a) Justifier que w est inversible et que son inverse est w. b) En déduire que a b = ±1. Exercice 13 (15 min.) On note [i ] = a + bi, (a,b). Montrer que [i ],+, est un corps. Exercice 14 (15 min.) On note = a + b, (a,b). Montrer que,+, est un corps. Exercice 15 (15 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un corps. Soit K un corps tel que K. 1) Montrer que K. ) On suppose que K. Montrer que K =. 11 EXERCICES
14 Maths MPSI Exercice 16 (10 min.) Soit (A,+, ) un anneau commutatif possédant un nombre fini d éléments et tel que : x,y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0. Montrer que (A,+, ) est un corps. 1
15 Corrigés Structures algébriques Corrigés des exercices guidés Exercice A Montrons qu il s agit d un sous-groupe de (G, ). Il est immédiat que Z (G ) G et que (G, ) est un groupe. e G Z (G ), car : Soit x,x Z (G ), on a : y G, e G y = y = y e G. y G, x x y = x x y = y x x Z (G ) = x y x = x Z (G ) y x x = y x x, donc x x Z (G ). En outre, on a : y G, x y = y x e G y = x 1 y x x 1 y = x 1 y x y x 1 = x 1 y x x 1 x 1 y x 1 = x 1 y x 1 Z (G ), ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G, ), donc (Z (G ), ) est un groupe. Exercice B 1) Soit x,y, il existe (a,a ), (b,b ) ( ) tels x = a b, y = a des entiers impairs. On a : x y = {}}{ ab a b bb, x y = impair {}}{ a a bb impair b et b,b sont Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 1, 1 = Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans, et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres 13 CORRIGÉS
16 Maths MPSI dans. Ainsi, (,+, ) est un anneau. Par contre, ce n est pas un corps. En effet, le nombre = 1, mais il n existe aucun élément x = a b ((a,b) avec b impair) tel que : a x = 1 b = 1 b impair = a pair ce quiest impossible. Par conséquent, (,+, ) n est pas un corps. ) Soit x = a b ((a,b) avec b impair) un élément inversible de, il existe y = a b ((a,b ) avec b impair) tel que : x y = 1 a a bb = 1 a a = bb. Comme bb est un entier impair, on est assuré que a a est un entier impair, donc il est indispensable que a ne soit pas un entier pair (le produit d un entier pair par un entier est un entier pair). Réciproquement, si x = a b avec (a,b) et a,b des entiers impairs, alors x 0 et 1 x = b a, car (b,a ) et a est un entier impair. Par conséquent, les inversibles de sont exactement les éléments de la forme a b avec (a,b) et a,b sont des entiers impairs. Exercice C 1) Puisque G est un sous-groupe de (, ), pour tout b G, z g G. On peut, donc G G considérer f :. Elle est injective, car : g z g g, g G, f g = f g z g = z g z 1 g = g. L application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle est bijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f g g = f 1 (h), ce qui nous donne : z g = g G g G f h=f (g) g = g =f 1 (h) h f 1 (G )=G h = h = h G g =h ) D après la question précédente et par multiplicativité de, on a : g = z g = z g = z n g z n = 1 g G g G g G g G (en divisant par g qui est non nul). Ceci fournit l inclusion G n. Comme G et n g G sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G = n. g G g G g. 14
17 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Corrigés des exercices Exercice 1 Pour tout x,y G, on a : x y = e G x y x y = e G x x y x y = x x =e G y x y = x y y x y = x y y =e G y x = x y. Exercice 1) Montrons que F G est un sous-groupe de (G, ). On a évidemment F G G et (G, ) est un groupe. e G F G, car (e G ) 1 = e G. Si x,y F G, il existe n x,n y ( ) tel que : x n x = eg y n x y n x n y = y = e x n x n y y n x n y = (x n x ) n y y n y n x G est commutative = (e G ) n y (e G ) n x = e G e G = e G, donc x y F G. En outre, on a : x 1 n x = x n x = (x n x ) 1 = (e G ) 1 = e G, donc x 1 F G. Par conséquent, F G est un sous-groupe de (G, ), donc (F, ) est un groupe. ) Il est immédiat que les f 1 et f sont des bijections de sur, donc appartiennent à. Un calcul direct montre que : x, f 1 (x) = f 1 f 1 (x) = f 1 ( x) = ( x) = x f 1 = Id f 1 F G. x, f (x) = f f (x) = f (1 x) = 1 (1 x) = x f = Id f F G. Si l on pose f 3 = f f 1, un autre calcul montre que : x, f 3 (x) = f f 1 (x) = f ( x) = 1 ( x) = x + 1. Une récurrence immédiate montre que : n, x, f 3 n (x) = x + n x. Par conséquent, pour tout entier n, f 3 n Id, donc f 3 = f f 1 / F G, ce entraîne que (F G, ) n est pas un groupe. 15 CORRIGÉS
18 Maths MPSI Exercice 3 1) Pour tout x G, on a : donc : On remarque également que : ce qui nous donne pour tout a G : (Φ a Φ b )(x) = Φ a (Φ b (x)) = Φ a b x b 1 = a b x b 1 a 1 = (a b) x b 1 a 1 = (a b) x (a b) 1 = Φ a b (x ), (a,b) G, Φ a Φ b = Φ a b. Φ eg : x e G x (e G ) 1 = x Φ eg = Id G, Φ a Φ a 1 = Φ a a 1 = Φ eg = Id G Φ a 1 Φ a = Φ a 1 a = Φ eg = Id G donc Φ a est bijective et (Φ a ) 1 = Φ a 1. ) Montrons que I G est un sous-groupe de ( G, ) (ensemble des applications f : G G bijectives). D après la question précédente, on a l inclusion I G G et ( G, ) est un groupe. On a également e G = Id G = Φ eg I G. Pour tout f, g (I G ), il existe a,b G tel que f = Φ a et g = Φ b alors : f g = Φ a Φ b = Φ a b I G, f 1 = Φ a 1 I G, donc I G est un sous-groupe de ( G, ), ce qui démontre que (I G, ) est un groupe. Si (G, ) est commutatif, on a pour tout a G : x G, Φ a (x) = a x a 1 = a a 1 x = e G x = x, donc Φ a = Id. Ceci démontre l inclusion I G {Id G } et, comme {Id G } I G, on peut affirmer que I G = {Id G }. Exercice 4 Soit x H, pour tout y H, f y = y x H (car H est stable par ), donc f : H H. L application f est injective, car y,y H, f y = f y y x = y x y x x 1 = y x x 1 y e G = y e G y = y. x 1 Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemble fini. L application f : H H est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y H tel que : f y = e G y x = e G y x x 1 = e G x 1 x 1 = y H. x 1 Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G, il est stable par et par passage à l inverse, donc c est un sous-groupe de (G, ). 16
19 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 5 Il est immédiat que H {1,,3} et {1,,3}, est un groupe. e {1,,3} = Id {1,,3} H, car : (x 1,x,x 3 ) P, x Id(1),x Id(),x Id(3) = (x1,x,x 3 ) P. Soit σ,σ H, alors, pour tout (x 1,x,x 3 ) P, on a : xσ(1),x σ(),x σ(3) P (car σ H). Comme σ H, on en déduit que : xσ (σ(1)),x σ (σ()),x σ (σ(3)) P x(σ σ)(1),x (σ σ)(),x (σ σ)() P donc σ σ H. Comme {1,, 3} est un ensemble fini, {1,,3} est aussi un ensemble fini. Puisque H est un sous-ensemble non vide de {1,,3} contenant e {1,,3} et stable par, on en déduit (en utilisant l exercice 4) que H est un sous-groupe de {1,,3},, donc (H, ) est un groupe. Exercice 6 1) Soit z H, il existe x,y tel que z = x + y 3 avec : x 3y = 1 x + 3y x y 3 = 1 z 0 H. } {{ } =z ) D après la question précédente, on a H et (, ) est un groupe. 1 H avec 1 = avec (1, 0) et = 1. Soit (z,z ) H, il existe x,x,y,y 4 tel que : z = x + y 3, x 3y = 1 z = x + y 3, (x ) 3 y = 1. On peut, alors écrire : et on a : z z = xx + 3y y + x y + x y 3 xx + 3y y 3 x y + x y = x x + 6xx y y + 9y y 3 x y + xx y y + x y = x x 3 y 3 x 3 y y = x 3 y x 3y = 1 1 = 1, donc z z H. Pour finir, on a : 1 z = 1 x + y 3 = x y 3 = x y 3 x + y 3 x y 3 x 3y = x + y 3 H, ce qui démontre que (H, ) est un sous- avec x 3 y = x 3y = 1 donc 1 z groupe de (, ). 17 CORRIGÉS
20 Maths MPSI Exercice 7 Par définition, on a H G et (G,+) est un groupe. 0 G H, car : 0 A + A = {0 A + a, a A} = {a, a A} = A. Soit (h,h ) H, donc h + A = A et h + A = A, ce qui permet d écrire : h + h + A = h + h + a, a A = {h + b, b b=h +a h + A } donc h + h H. En outre, on a : = {h + b, b A} = h + A = A, A = {a, a A} = { h + h + a, a A} = { h + b, b h + A } b=h+a =A = { h + b, b A} = h + A, donc h H, ce qui démontre que H est un sous-groupe de G. Exercice 8 Soit x,y j, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que x = a + b j, y = a + b j, alors on a : x y = a a + b b j j, x y = a a + ab j + ba j + bb j = a a + ab j + ba j + bb 1 j = a a bb + ab + ba bb j j. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de j. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur j. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur j. En outre, on a : 0 = j j, 1 = j j. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans j, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans j. On en déduit que j,+, est un anneau commutatif. Exercice 9 1) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j, donc : z = z z = a + b j a + b j = a + ab j + j + b j j π = a + ab cos + b j = a ab + b. 3 Ainsi, z est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réel positif (c est le carré d un réel), donc c est un entier naturel. =A 18
21 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES ) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j. Implication directe : Supposons que z 1 = 1 z z = 1 z z = z = a + b j = a + b 1 j j +j = 1 = (a b) + ( b) j j, donc z est inversible dans j (et son inverse est simplement 1 z ) Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans j, alors il existe z j tel que : z z = 1 z z = 1 z z = 1. Comme z et z sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement : z = z = 1. 3) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j. Alors, z est inversible si et seulement si : z = 1 a ab + b = 1 () : ab = a + b 1. Il est opportun de rappeler une majoration célèbre : x,y, x y 1 x + y (elle découle du développement x y ), donc : a + b 1 = ab ab 1 a + b 1 a + b 1 a + b a = a a + b a 1 b = b a + b b 1, car a et b sont des entiers relatifs. Il n y a qu un nombre fini de valeurs possibles pour a et pour b, donc il n y a qu un nombre fini d inversibles de j. Déterminons les. Premier cas : a = 0. D après la relation (), on a : b = 1 b = ±1 z = ±j. Deuxième cas : a = 1. D après la relation (), on a : b = b b (b 1) = 0 b {0, 1} z 1, 1 + j. Troisième cas : a = 1. D après la relation (), on a : b = b b (b + 1) = 0 b {0, 1} z 1, 1 j. On en déduit que les inversibles de j sont contenus dans l ensemble A = ±1,±j,± 1 + j et chaque élément de A est un inversible de j (car ils appartiennent à j et leur module au carré vaut 1), donc les inversibles de j forment l ensemble A. 19 CORRIGÉS
22 Maths MPSI Exercice 10 Soit x,y, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que : x = a + b, y = a + b x y = a a + b b, x y = a a + bb + ab + ba. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = , 1 = Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Ainsi,,+, est un anneau commutatif. Exercice 11 1) Puisque l on a : ±1 = a b = a + b a b z ± a b = 1, =y [ ] on en déduit que z est inversible dans (car y tel que x y = 1). ) Puisque 1 1 = 1, on en déduit que z = 1 + est inversible. Les inversibles d un anneau formant un groupe multiplicatif, donc n, z n est aussi inversible. Comme z > 1, la suite (z n ) n tend vers +, donc elle contient une infinité d éléments distincts. A fortiori, l ensemble des inversibles de est infini. Exercice 1 1) Soit (a,b) tel que a +b = 0 a = b. Si b 0, alors on a : = a b, ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0. ) a) Par définition, on a : z z = 1 (a c + bd ) + (a d + bc) (a c + bd 1) + (a d + bc) = 0 a c + bd 1 = 0 () cf. q1 a d + bc = 0 w w = (a c + bd ) (a d + bc) = 1, =1 d après () =0 d après () donc w est inversible dans et son inverse est w. 0
23 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES b) z est inversible dans et son inverse est z, donc z z = 1. D après la question précédente, on a w w = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dans les égalités : z = 1 z w = 1 z w = 1 z w a b 1 = c d. w Puisque a b et c d sont deux entiers relatifs inverses l un de l autre, la seule possibilité est qu ils soient égaux et valent ±1. Exercice 13 Soit x,y [i ], il existe (a,b,a,b ) 4 tel que x = a + ib et y = a + ib, donc : x y = a a } {{ } x y = a a bb } {{ } + i b b [i ] + i ab + a b [i ]. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de [i ]. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur [i ]. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur [i ]. En outre, on a : 0 = 0 = 0 + i 0 [i ], 1 = 1 = 1 + i 0 [i ]. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans [i ], on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans [i ]. Ainsi, [i ],+, est un anneau commutatif. Soit x [i ]\{0}, il existe (a,b) tel que x = a + ib. Comme x 0, on est assuré que a 0 ou b 0, donc a ib 0, et on a : 1 x = 1 a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a b i [i ]. a + b }{{ a } + b On a déterminé un élément y = 1 x [i ] tel que x y = 1, donc tout élément non nul de [i ] admet un inverse dans [i ], ce qui démontre que [i ],+, est un corps. Exercice 14 Soit x,y, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que : x = a + b, y = a + b x y = a a + b b, x y = a a + bb + ab + ba. 1 CORRIGÉS
24 Maths MPSI Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = , 1 = Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Ainsi,,+, est un anneau commutatif. En outre, si x = a +b 0, vérifions que a b 0. On procède par l absurde en supposant que a b = 0. Si b 0, alors on a : = a, ce qui est impossible, donc : b b = 0 a = b = 0 x = a + b = 0, ce qui est absurde, d où a b 0. On peut alors écrire : 1 x = = 1 a + b = a b a + b a b a b +. a b }{{ a } b On a déterminé un élément y = 1 x tel que x y = 1, donc tout élément non nul de admet un inverse dans, ce qui démontre que,+, est un corps. Exercice 15 1) ) Puisque K est un corps inclus dans, on a 1K = 1 = 1 K, donc : n, n1 = n K K stable par inverse n, 1 n K K stable (n,m), n 1 par produit m = n m K K. 3) D après l hypothèse, il existe x K \. Soit (a,b) tel que x = a +b. Comme a K, on a x a = b K. Si b = 0, alors x = a, ce qui est absurde, donc b 0. Comme b K et b K \{0}, on en déduit que b 1 b = K. Par conséquent, pour tout y, il existe (c,d ) tel que y = c + d. Puisque c,d K et K, on en déduit que y = c + d K d où l inclusion K. L inclusion réciproque est immédiate, ce qui fournit l égalité souhaitée.
25 CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 16 Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit x A\{0 A }, pour tout y A, x y A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut A A considérer l application f :. Elle est injective, car : a xa a,a A, f (a ) = f a xa = xa x a x a = 0 x a a = 0 par hypothèse x = 0 A (impossible) ou a a = 0 a = a. de l énoncé a a = 0 A Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peut affirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1 A admet un antécédent par f, c est-àdire qu il existe y A tel que : f y = 1 A x y = 1 A. Comme la loi est commutative, on a aussi y x = 1 A, donc x est inversible dans A, quel que soit x A\{0 A } ce qui démontre que (A,+, ) est un corps. 3 CORRIGÉS
26 VUIBERT MATHS MPSI MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES Des ouvrages pour faire la différence : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s entraîner et se mettre en situation d épreuve : exercices guidés, exercices d application et problèmes de synthèse. SOMMAIRE 1. Bases mathématiques. Nombres complexes 3. Manipulations algébriques 4. Fonctions usuelles 5. Équations différentielles 6. Suites 7. Limites de fonctions, continuité 8. Dérivabilité 9. Études locales et asymptotiques 10. Arithmétique des entiers 11. Structures algébriques 1. Polynômes et fractions rationnelles 13. Espaces vectoriels 14. Espaces vectoriels de dimension finie 15. Matrices 16. Échelonnement et systèmes linéaires 17. Déterminants 18. Espaces euclidiens 19. Calcul intégral 0. Séries numériques 1. Dénombrement. Probabilités sur un univers fini 3. Variables aléatoires 4. Problèmes de synthèse Les auteurs : Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe à Caen Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin Roosevelt à Reims ISBN :
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCatalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailSites web éducatifs et ressources en mathématiques
Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détail