Fonctions exponentielles

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Henri Stéphane François
il y a 7 ans
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1 Foctios potills I Foctios potills d bas. Foctio :, avc > 0 La suit ( u ) d trm gééral u st u suit géométriu d raiso. La octio potill déii par ( ) st l prologmt d ctt suit géométriu. La courb rpréstativ d la octio potill cotit ls poits d la suit ( u ). Empl : Soit la suit ( u ) déii par u 2 t la octio déii par ( ) 2. Ls poits A, B, C t D rpréstt grapiumt la suit ( u ). La courb C st la rpréstatio grapiu d. La courb C cotit ls poits d la rpréstatio grapiu d la suit. 2. Propriétés Soit la octio potill déii par ( ) La octio potill trasorm u somm u produit soit ( ) ( ) ( ) c ui do

2 Démostratio Cosidéros la octio : t C sa courb rpréstativ. Cas particulir avc u tir rlati : Soit A l poit d Soit B l poit d C d absciss. C d absciss +. Soit C l poit d C d absciss. O a A t B A B O a :. O rtrouv l absciss d C t soit. O rtrouv l ordoé d C. A B A B O put coclur u C ( ; A B) appartit à C. 2 A B Gééralisatio : m Si o a A ( m; ) t B ( ; ) m m C ( ; ) appartit à la courb rpréstativ d 2 m 2 m Doc soit du poits d la courb rpréstativ d m ( 2 2 ) ( m 2 ) doc O put coclur u ( m ) ( m) ( ). m m alors Cosidéros la octio : t C sa courb rpréstativ. D après la démostratio O a 0 t par covtio. 0 doc 0 c ui do ( ) doc c ui do

3 t c ui do, gééralisat t pour tout d. doc. st la raci -ièm d. 3. Variatios d la octio potill d bas Activité Avc l logicil géogébra - crér u grapiu avc grill (Mi = 5, Ma = 5, Mi = t Ma = 0). - Crér u cursur ommé avc mi 0, ma 3, icrémt 0, d largur Das la zo d saisi, tapr () = ^. - E aisat varir l cursur, o obtit du tps d courb slo ls valurs d.

4 Variatios 0 La octio potill d bas st strictmt décroissat sur. La octio potill d bas st strictmt croissat sur. lim 0 t lim lim t lim 0 La octio potill st cov La octio potill st cov II Foctios potills d bas. Déiitio Activité Avc l logicil géogébra, o va crcr s il ist u tagt au poit d absciss 0 d coicit dirctur - crér u grapiu avc grill (Mi = 4, Ma = 4, Mi = t Ma = 8). - Crér u cursur ommé avc mi 0, ma 4, icrémt 0,00 d largur Das la zo d saisi, tapr () = ^. - Das la zo d saisi, tapr t = Tagt(0, ) - Fair varir l cursur pour u l coicit dirctur soit à pu près d - O trouv = 2,72 à pu près. E crcat à air, o trouvrait 2,78 à 3 0 près.

5 Qu put-o cojcturr? Grapiumt, o rmaru u l coicit dirctur d la tagt à la courb rpréstativ d la octio potill au poit d absciss 0 st strictmt croissat t pass d à. Doc d après l téorèm ds valurs itrmédiairs, il ist u u sul valur d pour laull l coicit dirctur d la tagt st égal à. Ctt valur st oté avc 2,78. La octio st applé octio potill d bas ou tout simplmt octio potill. 2. Coséucs La octio potill st dérivabl sur (ls ombrs dérivés istt pour tout d ) t admt pour ombr dérivé 0 d où (0) =. La octio potill d bas st strictmt positiv sur doc pour tout d o a 0. Pour tous réls t t pour tout tir rlati lim t lim 0 3. Dérivé t ss d variatio Soit la octio déii par ( ). Soit u rél t u rél o ul. L tau d accroissmt d tr t + st : ( ) ( ) soit ( ) ( ) ( ) Pour la octio potill, o obtit ( ). 0 Or c st l tau d accroissmt d la octio potill tr 0 t. O a vu u l ombr dérivé d 0 st doc lim t lim. 0 0 O put coclur u ( )'. O a vu précédmmt u pour tout d o a 0 doc la octio potill st strictmt croissat sur.

6 0 Sig d () + Variatios d 0 Coséucs Pour tous réls t : t III Foctio u( ). Déiitio u( ) Soit la octio. u( ) La octio st l caîmt ds octios u( ) t. 2. Dérivé t ss d variatio u( ) ' u( ) u( ) O admt u st dérivabl sur t u '( ). u( ) u Comm 0, ls octios u t ot ls mêms ss d variatio.

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