Fonction exponentielle exercices

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1 Trmial S Foctio potill Ercics Itroductio à l potill (simpl) -a : Approch par ls suits géométriqus -b : Itroductio d l'équa diff y'=ky -c : U approch graphiqu ds foctios solutios d f'()=f() -d : Utilisatio d la méthod d'eulr - : Défiitio t prmièrs propriétés d la foctio potill 3 Itroductio à l potill (difficil) -a : La méthod d Eulr 4 4 -b : Résolutio d y = y 5 -c : Qulqus propriétés d p 6 -d : Qulqus résolutios avc utilisatio d la méthod d Eulr 8 3 Ercics 9 3 U pu d théori 3 QCM QCM, Atills STL, Frac, Jui 6 ( poits) 3 5 STL, Frac, jui 5, Biochimi Géi biologiqu 3 6 STL, Frac, jui 5, ( poits) 3 7 STL, Frac, spt 4 4 STL, Frac, jui 4, Biochimi - Géi biologiqu 4 8 STL, Frac, jui 4, STL, Frac, jui Étud+air, Polyési, ov, 7 pts 4 4 Famill d foctios po + itégrals 6 4 Epo+suit itgrals Problèm po, Amériqu du Nord Problèm po, Podichéry Epo+qua diff scod ordr+itégral 4 6 Epo + acc fiis 4 7 Epo + suit itégrals 4 8 Sous-tagt costat Epo + qua diff + itégral, Asi Equa diff : iscts 4 4 Problèm- po, Djibouti Du p pour l pri d u, N Calédoi Ep+dérivabilité, La Réuio Dérivabilité, Paris C Equatio diff+foctio+itégral Etud+air+volum révo, C étragrs Sol équatio+vol d révolutio, Atills Solutio d équa diff, Polyési Problèm classiqu, Am du Sud Tagt hyprboliqu, Polyési 4 3 Etud d foctio Equatio potill+roc+pris iitiativ Epo+l Rchrch d u foctio + air +suit Group Acc fiis, N Calédoi Bac S, Epotill d bas qulcoqu Equa diff + cosh, Ctrs étragrs Tagts commus à l t p, Ep t suits, La Réuio Ep t suits, N Calédoi 996, Bac S 995, plus classiqu, tu murs (Corill) Ep t radical Ep par morcau, Bac E, Rs U problèm pas très marrat Autour d p(/) Coûts d fabricatio p( ²), Amériqu du Sud Ep+cos+suit, Polyési rmpl Ep+Itégral, Polyési spt Equatios+ROC, Asi Equatio+suit réc, C étragrs ROC+tagt+suit, N Calédoi ov ROC+suit itégrals, Liba, 5 pts ROC+suit, N Calédoi / Foctio+équa diff+air, Atills ROC+paramètrs, Asi Famill foctios+suit, C étragrs 9 5 Itroductio à l potill (simpl) -a : Approch par ls suits géométriqus U vill voit sa populatio augmtr d % chaqu aé L 3 décmbr 99, ll comptait u = 5 habitats O ot u l ombr d habitats à la dat du 3 décmbr d l aé 99 + Calculr l ombr d habitats d ctt vill ls 3 décmbr 99 t 99 Qull st la atur d la suit (u )? E déduir l prssio d u foctio d t l ombr d habitats d ctt vill l 3 XII 3 3 Placr sur u graphiqu ls poits d coordoés ( ; u ) pour tir, 3 Proposr u méthod pour stimr l ombr d'habitats d ctt vill à la fi du mois d jui d l'aé 3 Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

2 -b : Itroductio d l'équa diff y'=ky L péric suggèr qu, si l o cosidèr u populatio macroscopiqu d oyau radioactifs (c st-àdir dot l ombr st d l ordr du ombr d Avogadro, soit 3 ), l ombr moy d oyau qui s désitègrt pdat u itrvall d tmps t à partir d u istat t, rapporté au ombr total d oyau N(t) présts à l istat t t au tmps d obsrvatio t, st u costat λ caractéristiqu du oyau qustio N( t) N( t) N( t + t) N( t) O put doc écrir : = λ t ou cor = = λn( t) N( t) t t dn( t) E faisat tdr t vrs, o trouv alors N '( t) = λ N( t) ou cor = λn( t) dt Trouvr ls foctios N qui satisfot ctt coditio, c st résoudr l équatio différtill y' = λy O put prsstir qu la doé d la populatio N() = N au départ détrmi parmi ls solutios trouvés cll qui décrira l évolutio d N (l'uicité d la solutio sra put-êtr démotré plus tard) L problèm posé trms mathématiqus st alors l suivat : Résoudr l équatio différtill y' = λy C st à dir chrchr ls foctios f dérivabls sur R qui vérifit qu pour tout t R, f (t)= λ f(t) Puis parmi clls-ci, cll qui vérifi f()= N -c : U approch graphiqu ds foctios solutios d f'()=f() Préambul: Nous cosidéros ici l'équatio différtill : y = y U foctio st u solutio d ctt équatio différtill, si ll st dérivabl sur R t qu pour tout rél, o a f'() = f() O put rmarqur qu si f st u solutio d l'équatio différtill y' = y alors la foctio g défii par g() = kf() avc k u rél qulcoqu st égalmt u solutio t il ist alors u ifiité d solutios à ctt équatio différtill L'activité suivat coduit à u costructio ds courbs itégrals (c sot ls courbs ds foctios solutios d l'équatio différtill) t prmt d visualisr qu la doé d'u valur d la foctio (b = f(a)) détrmi ctt foctio Activité: Supposos qu (a ; b) sot ls coordoés d'u poit M appartat à la courb rpréstativ C d'u solutio d l'équatio différtill Commços tout d abord par l poit M d coordoés ( ; ) Détrmir u équatio d la tagt M Soit M, M 3 t M 4 ls poits d coordoés rspctivs( ; ), ( ; ) t ( ; ) Détrmir u équatio d la tagt chacu d cs poits U mêm courb put-ll passr par M t M 4? 3 Démotrr qu, das l cas gééral l équatio d la tagt T à C M st y = b ab + b Qull rmarqu put-o fair sur l cofficit dirctur d ctt tagt? M t M état du poits d mêm ordoé qu put-o dir ds tagts M t M? 4 Das l pla mui d u rpèr orthoormal (uité 3 cm), o cosidèr ls poits dot ls coordoés k k' ( ; y) vérifit 4, y, = t y = avc k t k tirs Pour chacu d cs poits tracr u sgmt d tagt (viro cm) 5 Admttos qu'il ist u uiqu foctio f solutio vérifiat f() = t pour tout rél, f '() = f() Costruir u ébauch d la courb rpréstativ d ctt foctio Qull valur approché d f() obtit-o? -d : Utilisatio d la méthod d'eulr D ombru phéomès d évolutio sot modélisés par u foctio dérivabl f dot la dérivé f st proportioll à la foctio f ll-mêm (f = kf) Nous allos obsrvr l u d ll par la méthod d Eulr Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

3 Soit f u foctio dérivabl sur R vérifiat f() = t pour tout : f () = f() Motrr qu, pour tous réls a t h (h voisi d ), l approimatio affi d f a, s écrit : f( a+ h) f( a) ( + h) Appliqur ctt formul avc a =, a = h, a = h, E déduir qu, si l o part d f(), la suit ds valurs approchés d f() obtus par la méthod d Eulr, avc l pas h, st u suit géométriqu Qull st sa raiso? 3 Costruir poit par poit sur l mêm graphiqu, u rpréstatio graphiqu approché d f prat u pas h d,5 puis d, Prologr la courb sur l itrvall [ ; ] avc la mêm méthod (pas h d,) A l aid d u tablur, o put rpréstr ctt foctio d maièr cor plus précis t sur u itrvall plus larg La foctio f st applé foctio potill 4 Valur approché d f() : o s plac sur l itrvall [ ; ] qu l o subdivis itrvalls L pas h vaut doc ici a Motrr qu la valur approché d f() obtu par ctt méthod st + b Dor la valur approché d f() corrspodat à = O admttra qu la suit d trm gééral + covrg t o otra sa limit - : Défiitio t prmièrs propriétés d la foctio potill L étud fait das ls qustios précédts ous amè à cojcturr l istc d solutios à l équatio différtill y = y (c sot ls foctios dot o put tracr ls rpréstatios graphiqus d maièr approché «suivat» ls tagts tracés 3) Cpdat cs costatatios costitut pas u pruv Pour poursuivr otr étud ous somms coduits à admttr u résultat : «Il ist u foctio f dérivabl sur R qui st solutio d y = y t qui vérifi f() =» Nous allos étudir das la suit ls coséqucs d ctt cojctur (das la suit du problèm f désigra toujours ctt foctio) Posos F() = f() f( ) Calculr la dérivé d F E déduir qu f() st jamais ull Supposos qu g st u (autr) solutio d y = y Posos a Démotrr qu h st dérivabl sur R t qu h () = Trmial S 3 F Laroch Foctio potill rcics g( ) h( ) = f( ) b E déduir qu pour tout rél, g( ) = g() f( ), puis qu f st la sul solutio d l équatio différtill qui prd la valur 3 Soit a u rél O cosidèr la foctio g défii par g( ) = f( a+ ) Démotrr qu g st u solutio d l équatio différtill y = y E déduir qu pour tout réls a t b, o a : f( a+ b) = f( a) f( b) 4 a t b sot du réls qulcoqus a E utilisat judiciusmt l égalité démotré à la qustio précédt t f()=, calculr f ( a) f ( a b ) b Démotrr qu pour tout tir rlatif f ( a) ( f ( a) ) Corrctio = O part doc sur la costatatio qu f st solutio d y = y, soit f = f t f() = t

4 F() = f() f( ) La dérivé d f ( ) st f '( ) doc F '( ) = f '( ) f ( ) + f ( ) f '( ) = f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) Comm f '( ) = f ( ) t égalmt f '( ) = f ( ), o a F ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) F st u costat Par aillurs f ( ) = doc F ( ) = f ( ) f ( ) = Si il ist a tl qu f ( a ) = alors o aurait F ( ) a g( ) h( ) = avc g = g t f = f f( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) a = c qui st impossibl g'( ) f g f g f g f h'( ) = = = h = ct g( ) g( ) b h( ) = = = g( ) doc ( ) ( ) ( ) f ( ) ' = = doc ( ) ( ) ( ) g h = h = g = g( ) g( ) = g( ) f ( ) f A priori g ( ) put prdr import qull valur ; si ctt valur était, o aurait g( ) f ( ) st la sul solutio d l équatio différtill qui prd la valur 3 g( ) f( a ) = +, g'( ) f '( a ) f ( a ) g( ) = + = + = doc g st u solutio d l équatio y = y = doc f Pros = b : g( b ) = f ( a+ b ) = g( ) f ( b ) = f ( a+ ) f ( b ) = f ( a) f ( b ) doc f( a+ b) = f( a) f( b) 4 a O prd évidmmt b a tir alors ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = f ; o = : f( a a) f( a) f( a) f ( a) f ( a) f ( ) f ( a) ( ) ( a) ( ) f f a b = f a f b = f a = f b f b = + = ; b Par récurrc, o a f ( a) f ( a a) f ( a) puis f (( + ) a) = f ( a+ a) = f ( a) f ( a) = f ( a) + ( a) Itroductio à l potill (difficil) L objctif d c travail st d découvrir la foctio potill réll à travrs la résolutio d u équatio différtill par la méthod d Eulr La prmièr parti doit vous prmttr d maîtrisr ctt méthod avc l cocours d Ecl, la duièm prmt d trouvr la solutio d l équatio différtill, la troisièm démotr crtais résultats très importats quad à la quatrièm o rvit à la méthod d Eulr pour résoudr du équatios différtills itérssats -a : La méthod d Eulr U équatio différtill st u équatio liat u foctio icou (oté gééralmt y) t ss dérivés (y, y, ) O dira qu l équatio st liéair t du prmir ordr si o put l écrir y' + P( ) y = Q( ) L équatio st sas scod mmbr si Q() = Par la suit k, k, C désigrot ds costats, la variabl D u maièr gééral si o a u équatio différtill (E) t qu l o ous do u foctio f dot o dmad si ll st solutio, il suffit d calculr ls dérivés écssairs d f, d rmplacr t d vérifir qu f satisfait (E) (o arriv alors à u égalité du styl =) O s itérss à la résolutio d l équatio différtill y' = rvat à la défiitio du ombr dérivé, motrr qu Trmial S 4 F Laroch Foctio potill rcics ky où k st u rél qulcoqu E y( + h) = ( + hk) y( ) + hε( h ) avc lim ε( h ) = O défiit ls suits ( ) t (y ) par = α, y = β, + = + h t y+ = ( + hk) y + hε( h ) Dor l prssio d foctio d α, h t E cosidérat qu hε( h ) st égligabl dor u prssio d y foctio d β, h, k t h

5 3 O prd α = t β = a Costruir u fuill d calcul prmttat d calculr ls valurs succssivs d t y Tracr ls rpréstatios graphiqus C (, y ) obtus das ls cas suivats avc u pas h =, : Trmial S 5 F Laroch Foctio potill rcics k = ; k =,5 ; k = ; k =,5 ; k = ; k = b Toujours avc α = t β =, justifir qu quad k > la foctio y st croissat, quad k = la foctio y st costat t quad k < la foctio y st décroissat c E modifiat ls valurs d α t β das la fuill d calcul détrmir ls chagmts apportés par cs différts valurs au courbs C -b : Résolutio d y = y O ot! (c qui s lit factorill d ) l ombr 3( ) a O s dmad s il ist u foctio polyôm satisfaisat à l équatio () y' = y avc y () = Pour cla o pos P( ) N = = polyôm ul) st solutio a Calculz P () t déduisz- qu aucu foctio polyôm (autr qu l b O cosidèr qu das P() N dvit très, très grad Motrz alors qu si P était solutio o aurait = a O admttra qu la foctio (si, si, ça rprést bi u foctio) défii par f( ) = st! =! solutio d () (la foctio f ici défii a été trouvé par Nwto au débuts du calcul différtil) O rvit à la méthod d Eulr : o cosidèr ls suits =, y =, + = + h, y+ = ( + h) y t o pos pour u valur fié h = O ot alors = ( ) t y = y( ) + Motrz alors qu ( ) = y ( ) 3 O s itérss au comportmt d y( ) lorsqu td vrs l ifii a Motrz qu lorsqu st positif ou ul, y( ) + = w( ) t qu lorsqu st égatif ou ul, y( ) + = w( ) w( ) b Motrz qu lim = O admttra qu pour suffisammt grad ls suits w( ) t y( ) sot y ( ) «équivalts», c st-à-dir qu lls ot l mêm comportmt 4 Comportmt d w( ) a Démotrz par récurrc la propriété (P) : ( + u) + u pour tout rél u > b Ss d variatio d w : motrz qu + = + Justifiz alors qu si > >, + ( + ) + + ( ) + = + = + w ( + )( + ) + + ( ) puis utilisat (P) qu pour u tir suffisammt grad, Cocluz 5 O cosidèr z( ) = + toujours avc > > + + ( ) + + = w + ( ) w

6 a Tracz avc l aid d votr tablur préféré ls suits w( ) t z( ) pour = puis pour =,5 Qulls cojcturs pouvz-vous fair sur lur comportmt? Ls vraimt couragu puvt s attaqur au qustios d, t f b Motrz qu = w( ) z ( ) c Motrz qu w( ) = z( ) ; déduisz- qu z( ) st décroissat à partir d u crtai rag ; qu déduisz-vous pour w( ) t z( )? d Motrz qu < z( ) w( ) < w( ) Qull st la limit d z( ) w( ) quad td vrs l ifii? Cocluz! 6 O coclut doc d tout cci à l istc d u limit commu au suits w( ) t z( ) ; ctt limit st u foctio t st oté p() (potill d ) avc p( ) = lim + = lim = p( ) Par défiitio ds suits y( ) t z( ) o a p() = O s itérss ici à la dérivé d p (a priori p doit êtr solutio d y = y, doc sa dérivé doit êtr llmêm, sio tout c qu o a fait aura srvi à ri) : o chrch doc la limit d p( + h) p( ) h lorsqu h td vrs + h h h a Motrz qu y( + h) = + = + + = y( ) h b Motrz qu lorsqu st suffisammt grad o a > + h c E utilisat la propriété (P) motrz qu y( + h) y( ) + puis qu + y( + h) y( ) y( ) h + Lorsqu td vrs l ifii qull iégalité obtz-vous? O rmplac h par h das l iégalité précédt, c qui do puis par + h : p( h) p( ) hp( ) p( ) p( h) hp( ) p( + h) p( ) hp( + h) ( h)p( + h) p( ) h E prat h ptit, h > d où p( + h) p( ) p( + h) p( ) Il y a plus qu à h h coclur 7 Nous savos maitat qu l équatio y = y avc y()= a au mois u solutio Est-c la sul? a O suppos qu il ist u solutio g autr qu p Posos f( ) = g( )p( ) Calculz f () b Motrz qu g st alors tll qu g'( ) = Qu vaut g()? c E utilisat f() =, motrz qu f st autr qu p -c : Qulqus propriétés d p Ls qustios précédts motrt du défiitios différts d p() : Trmial S 6 F Laroch Foctio potill rcics

7 N p( ) = lim = = N! =! t p( ) = lim + (La prmièr défiitio a pas été justifié proprmt, c sra l objt d u problèm ultériur) Avc Ecl tracz ls du suits rpréstat p() pour compris tr t aisi qu u droit horizotal rpréstat p() (o l obtit dirctmt avc la foctio p d Ecl) Qull défiitio vous smbl la plus fficac trm d tmps d calcul? L ombr p(),783 st oté simplmt p st toujours strictmt positiv a O suppos qu il ist u rél α tl qu p(α) =, calculz p( α)p( α) ; cocluz b Comm p st dérivabl sur R ll st cotiu sur R E utilisat l théorèm ds valurs itrmédiairs motrz qu p() > pour tout rél c Déduisz- l ss d variatio d p 3 Dérivé d p(u) E utilisat la dérivatio ds foctios composés motrz qu ( p( u) ) = u'p( u ) 4 La limit d p + st + E utilisat la propriété (P) motrz qu Détrmiz égalmt lim p( ) 5 Cp(k) st la solutio d y = ky p( ) lim( + ) ; déduisz- la limit d p + a Calculz la dérivé d f( ) = Cp( k ) t vérifiz qu f st solutio Qu vaut f si y() =? b Soit g u autr solutio possibl, o pos g( ) = h( )p( k ) ; motrz qu g st costat Cocluz 6 p(a + b) = p(a)p(b) Ctt propriété fodamtal put êtr motré utilisat ls défiitios à bas d suits mais c st u pu laboriu O va utilisr l fait qu p(k) st l uiqu solutio d y = ky avc y() = a O motr d abord qu si p(a) st solutio d f = af alors p(a + b) = p(a)p(b) : soit g la foctio défii par g( ) = p( a+ ) p( a)p( ) Motrz qu g'( ) = ag( ), calculz g() Cocluz b O motr maitat qu si u foctio f st tll qu f(a + b) = f(a)f(b) pour tous a, b réls alors f() = p(k) Dérivz la rlatio f(a + ) = f(a)f() par rapport à Qu s pass-t-il lorsqu =? Déduisz- qu f st solutio d y = ky où k = f () Pour qulqus complémts : + La rlatio précédt st jamais qu la propriété bi cou ds puissacs : u a u b = u a b avc a, b ratiols La défiitio d la foctio potill étd alors au puissacs rélls ctt propriété ; comm o a par aillurs p() =, o ot gééral p( ) = où ls règls d calcul habitulls sur ls puissacs s appliqut évidmmt O put s dmadr c qui s pass si o étd la défiitio d rél à compl das N p( ) = lim = par mpl ; o défiit alors u foctio applé potill compl qui a N!! = = ls mêms propriétés qu l potill réll t o otra + p( ) = z = iy = iy z Das l cas où la parti réll d z st ull o rtrouv la otatio potill vu das ls compls d où Trmial S 7 F Laroch Foctio potill rcics

8 z = (cos y+ isi y) = cos y+ i si y Ctt foctio st fodamtal das d ombru domais ds mathématiqus t d la physiqu Voici qulqus aprçus d l potill compl comm o put la rpréstr qu 4 dimsios, il faut s fair u idé d sa structur à partir d projctios das l spac 3D -d : Qulqus résolutios avc utilisatio d la méthod d Eulr y' = ky+ k ' O cosidèr l équatio différtill : (A) y' = y + 6 où y désig u foctio d la variabl t, dérivabl sur R a E utilisat la méthod d Eulr avc y() = t u pas h =, tracr la courb solutio sur [ ; 5] b Trouvr K costat réll tll qu f(t) = K soit solutio d(a) c O pos y = u + K ; motrr qu y st solutio d (A) si t sulmt si u st solutio d (B) : y = y d Détrmir ls solutios d (B), déduir ls solutios d (A) E utilisat la mêm méthod qu au III 4 b motrr qu ls solutios trouvés sot ls suls possibls f Détrmir la solutio d (A) tll qu f() = Tracz ctt solutio sur la mêm figur qu à la qustio IV a Rpréstz égalmt l écart tr la solutio obtu avc Eulr t la solutio act Itrprétz Trmial S 8 F Laroch Foctio potill rcics

9 Etablissmt d u courat das u bobi Au bors d u bobi d résistac R (primé ohms) t d iductac L (primé hrys), o brach, à la dat t =, u géératur d forc élctromotric E (primé volts) L uité d tmps st la scod L itsité du courat das l circuit (primé ampèrs) st u foctio dérivabl du tmps, oté i A la dat t = l itsité st ull Au cours d l établissmt du courat, la foctio i st solutio d l équatio différtill : di Li + Ri = E (ou L + Ri = E ) dt Valurs umériqus : das tout la suit, o prd R = 5, L =,5 t E = 3 Déduir ds qustios précédts l prssio d i(t) pour t > Détrmir lim i( t ) Dor u itrprétatio physiqu du résultat t + 3 Au bout d combi d tmps l courat attit-il la valur d,59 ampèrs (o chrchra la répos avc Ecl)? Voir égalmt l sujt du bac atioal 4 3 Ercics 3 U pu d théori A O vut détrmir touts ls applicatios d l smbl Q ds ombrs ratiols das l smbl R ds ombrs réls tlls qu pour tout t tout y das Q : f( + y) = f( ) + f( y) Détrmir f () Pour tout ombr tir N, calculr f( ) foctio d f () 3 Pour tout ombr tir { } Trmial S 9 F Laroch Foctio potill rcics N, calculr 4 Pour tout p N t tout q N, q, calculr f p f q 5 Motrr qu pour tout ratiol r Q : f( r) = f( r) foctio d f () foctio d f () 6 Coclur qu il ist u ombr rél a R tl qu pour tout ratiol Q, f( ) B O s itérss maitat au applicatios g d l smbl = a + R ds ombrs réls strictmt positifs das l smbl R ds ombrs réls tlls qu pour tout t tout y das R : g( y) = g( ) g( y) Motrr qu s il ist u rél Motrr qu s il ist u rél 3 Motrr qu s il ist u rél > tl qu ( ) > tl qu ( ) > tl qu ( ) + g = alors, pour tout g alors g () = >, ( ) g = g alors, pour tout rél >, g( ) > 4 O suppos qu il ist > tl qu g( ) t o cosidèr l applicatio f = l g p où l st la foctio logarithm épéri t p la foctio potill : f st-ll bi défii sur l smbl R? a Motrr qu f vérifi la propriété : pour tout t tout y das R, f( + y) = f( ) + f( y) b E déduir l istc d u rél a tl qu, pour tout > d la form = p( y) avc y R, 3 QCM g( ) = p( al ) Répodr par Vrai ou Fau à chaqu qustio sas justifir Chaqu répos just rapport,75 poits ; tout répos fauss coût,5 poits ; pas d répos rapport i lèv ri Si touts ls réposs sot justs u bous d poit st doé

10 Soit la foctio ( ) ( 3 ) f = + t C sa courb rpréstativ a Pour tout >, o a : f( ) + 3 b La droit d équatio y = st asymptot à la courb C c La dérivé d f st f '( ) = ( ) d La foctio f admt u uiqu trmum Pour tout rél m, l équatio f( ) = m admt soit soit solutios f La foctio g( ) = ( + 3) st pas dérivabl g La foctio f st-ll u solutio d l équatio différtill y' y = 7? h La valur moy d f tr t st 3 3 QCM, Atills 6 3 poits Pour chaqu qustio u sul ds réposs proposés st act Aucu justificatio st dmadé Chaqu bo répos rapport,75 poit, chaqu rrur lèv,5 poit, l absc d répos vaut poit Si l total ds poits d l rcic st égatif, la ot st ramé à Vous répodrz sur votr copi idiquat l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à votr répos L équatio 3 4 = admt das R : a solutio b solutio c solutios d plus d solutios L prssio a st jamais égativ b st toujours égativ 3 lim = + + c st égativ qu si st positif d st égativ qu si st égatif a b c d + 4 L équatio différtill y = y a pour smbl d solutios : a k avc k R b k + avc k R avc k R c k d k + avc k R 3 4 STL, Frac, Jui 6 ( poits) O cosidèr la courb C rpréstat la foctio f défii sur R par ( ) ( ) rapporté a u rpèr orthoormal ( O ; i, j) (uité graphiqu cm) PARTIE A a Détrmir la limit d la foctio f f = + das l pla b Motrr qu si st différt d zéro o a : f ( ) = + + E déduir la limit d la foctio f + Itrprétr graphiqumt c résultat a Motrr qu ( ) ( ) b Étudir l sig d f ( ) f = t déduir l tablau d variatios d la foctio f sur R 3 Détrmir u équatio d la tagt T à la courb C au poit d absciss Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

11 4 Étud d la positio d C par rapport à T a Motrr qu pour tout rél o a : f ( ) ( + ) = ( + ) g( ) avc ( ) g = + b Calculr g () t étudir so sig c Drssr l tablau d variatios d la foctio g d E déduir l sig d g(), puis d f() ( +) E déduir la positio d C par rapport à T f Après avoir rproduit t complété l tablau d valurs ci-dssous, tracr T t C das l rpèr ( O ; i, j) Dor ls valurs d f() arrodis à près,5, f() PARTIE B a Motrr qu la foctio F défii par ( ) ( 4 5 ) Trmial S F Laroch Foctio potill rcics F = st u primitiv d la foctio f b Calculr l air cm d la régio du pla compris tr ls as d coordoés, la courb C t la droit d équatio = 3 Dor la valur act puis u valur approché à près 3 5 STL, Frac, jui 5, Biochimi Géi biologiqu poits O cosidèr la foctio f défii sur [ ; + [ par : f ( ) 4 3 = 4 + C st sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé du pla (uité graphiqu 5 cm) Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios sur [ ; + [ Calculr la limit d f + (o pourra motrr qu f ( ) 4 3 = Dor ls valurs approchés à près d f() pour ls valurs suivats d : ;, ;,4 ;,6 ;,8 ; ;, t,4 4 Détrmir l cofficit dirctur d la tagt T à C au poit d absciss 5 Tracr la courb C t sa tagt T 6 Motrr qu f ( ) = O cosidèr la foctio F défii sur [ ; + [ par F( ) ( ) primitiv d f sur [ ; + [ 3 6 STL, Frac, jui 5, ( poits) Parti A : Étud d u foctio = l + + Epliqur pourquoi F st u O cosidèr la foctio f défii sur l smbl R ds ombrs réls par f ( ) = 5 O ot C sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; i, j) graphiqu cm a Calculr la limit d f() quad td vrs + b Calculr la limit d f() quad td vrs c E déduir l équatio d u droit D asymptot â la courb C d Calculr ls coordoés du poit d itrsctio A d la droit D t d la courb C Détrmir la positio rlativ d la courb C par rapport â la droit D d uité

12 a Calculr f () b Étudir l sig d f () t déduir l tablau d variatios d f sur R 3 Dor u équatio d la tagt T à la courb C au poit d absciss 4 a Motrr qu l équatio f() = admt u solutio sur [ ; 3] b Dor u cadrmt d à près 5 Tracr sur u mêm graphiqu la droit D, la tagt T t la courb C Parti B : Calcul d air O cosidèr la foctio g défii sur R par g( ) a Calculr g () b E déduir u primitiv d f sur R 3 = 5 a Hachurr sur l graphiqu l domai délimité par la courb C, l a ds abscisss, l a ds ordoés t la droit d équatio = b Calculr l air d la parti hachuré Dor la valur act cm, puis la valur arrodi à près 3 7 STL, Frac, spt 4 5 poits Soit f la foctio umériqu d la variabl défii sur R par f ( ) = + O ot C la courb rpréstativ d f das l pla rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; i, j) d uité graphiqu cm Parti A a Détrmir ls limits d f() quad td vrs + puis quad td vrs b E déduir qu la courb C admt du asymptots D t D dot o dora ls équatios Étudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios 3 Soit T la tagt à la courb C au poit I( ; ) Détrmir u équatio d la droit T 4 a Pour tout rél, o appll M l poit d la courb C d absciss t M clui d absciss Démotrr qu I( ; ) st l miliu du sgmt [MM ] b Qu rprést l poit I pour la courb C? 5 Tracr ls droits D, D, T t la courb C Parti B Vérifir qu, pour tout rél, f ( ) = E déduir u primitiv F d f sur R + α désig u rél ifériur ou égal à O appll A( α ) l air, cm, d la parti du pla, smbl ds poits M( ; y) tls qu : α t y f ( ) a Calculr A( α ) foctio d α b Dor la valur act d A() puis sa valur arrodi au cm c Calculr lim A( α ) α 4 STL, Frac, jui 4, Biochimi - Géi biologiqu poits Parti A Ls êtrs vivats cotit du carbo 4 radioactif (costammt rouvlé) qui s maitit à la valur d 5,3 uités Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

13 À lur mort, c carbo 4 st plus rouvlé ; il st désitégré à u vitss proportioll, à tout istat, au carbo 4 cor prést das l orgaism O motr qu l cofficit d proportioalité st voisi d,3 Aisi, la radioactivité du carbo 4 prést das u orgaism à l istat t après sa mort (t primé f ' t =,3f t t f() = 5,3 millirs d aés), oté f(t), vérifi ls du coditios : ( ) ( ) Résoudr l équatio différtill y =,3y t y() = 5,3 Parti B O étudi sur [ ; + [ la foctio f défii par ( ) a Calculr la limit d f quad t td vrs + Trmial S 3 F Laroch Foctio potill rcics,3 t f t = 5,3 b E déduir l istc d u asymptot (qu l o précisra) à C, courb rpréstativ d f das u rpèr orthogoal a Pour tout ombr t positif, calculr f (t ), où f désig la dérivé d f b Étudir l sig d f (t) t déduir ls variatios d f sur [ ; + [ 3 Costruir C prat cm pour 5 millirs d aés abscisss, cm pour uité ordoés (o placra ls poits d abscisss : ; 5 ; ; 5 ; ; 5 t 3) 4 Placr sur l dssi précédt la tagt T à C au poit d absciss Parti C O cosidèr qu la foctio f doé das la parti B do la radioactivité du carbo 4 das u orgaism après sa mort, foctio d t ( millirs d aés) O trouv das u grott ds débris d os préstat u radioactivité égal à, uités Estimr l âg d cs débris à l aid d u lctur graphiqu Lorsqu la radioactivité dvit ifériur à % d sa valur iitial, l calcul d f(t) st taché d trop d icrtitud pour prmttr d datr raisoablmt à l aid du carbo 4 Trouvr à partir d qul âg u orgaism put plus êtr daté au carbo STL, Frac, jui 4, poits Parti A O cosidèr la foctio f défii sur R par : ( ) ( 5 7 ) f = + O ot C sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal ( O ; i, j) d uité graphiqu cm a Détrmir la limit d f + b O rappll qu : lim = pour tout tir aturl E rmarquat qu ( ) f = 5 + 7, détrmir la limit d f E déduir qu C admt u asymptot dot o dora u équatio a Démotrr qu pour tout d R o a : '( ) ( 3 ) b Détrmir l sig d f () puis ls variatios d f f = + Drssr l tablau d variatios d f (o dora ls valurs acts d f() t d f()) 3 a Détrmir u équatio d la tagt T à la courb C au poit d absciss b Qu put-o dir d la tagt à C au poit d absciss? Et au poit d absciss? 4 Rproduir puis complétr l tablau suivat :,5 f() O dora ds valurs approchés à près par défaut 5 Costruir la droit T t la courb C

14 Parti B a Hachurr sur l dssi la parti du pla compris tr la courb C, la droit d équatio = t ls du as du rpèr O appll A so air, cm b E utilisat la parti A motrr qu pour tout d l itrvall [ ; ] o a : ( ) c E déduir l cadrmt suivat : ( ) Trmial S 4 F Laroch Foctio potill rcics f d f 3 d E utilisat l cadrmmt ci-dssus justifir qu l air A st compris tr 8 t 33 cm a Soit g la foctio défii sur R par : ( ) ( 7 4) Motrr qu g st u primitiv d f sur R g = + b E déduir la valur act d A puis la valur arrodi à l uité près 4 9 STL, Frac, jui 4 poits O cosidèr la foctio f défii sur ] ; + [ par : ( ) f = + + O ot C sa courb rpréstativ das u rpèr orthogoal (uités : cm sur l a ds abscisss, cm sur l a ds ordoés) Détrmir la limit d f quad td vrs, rél positif E déduir qu C possèd u asymptot dot o précisra l équatio Détrmir la limit d f + Motrr qu la droit D d équatio y = + st asymptot à C Étudir la positio d C par rapport à la droit D 3 a Calculr, pour tout rél strictmt positif, l ombr dérivé f () Motrr qu, pour tout rél ( ) strictmt positif, f '( ) = ( ) b Étudir l sig d f () sur l itrvall ] ; + [ E déduir l tablau d variatios d f sur ct itrvall 4 Tracr la courb C t ss asymptots 5 a Détrmir ls réls a, b t c tls qu pour tout >, ( ) c f = a + b+ b Hachurr la parti du pla limité par la courb C l a ds abscisss t ls droits d équatios = t = 3 Détrmir l air d ctt parti du pla, primé uités d air 4 Étud+air, Polyési, ov, 7 pts Parti Soit g la foctio défii sur [ ;+ [ par ( ) g Détrmir la limit d g + Étudir ls variatios d la foctio g 3 Dor l tablau d variatios d g = + 4 a Démotrr qu l équatio g( ) = admt sur [ ;+ [ u uiqu solutio O ot α ctt solutio b À l aid d la calculatric, détrmir u cadrmt d amplitud d α c Démotrr qu α = α 5 Détrmir l sig d g( ) suivat ls valurs d

15 Parti Soit A la foctio défii t dérivabl sur [ ;+ [ tll qu A( ) 4 = + Démotrr qu pour tout rél positif ou ul, A ( ) a l mêm sig qu g( ) défii das la parti E déduir ls variatios d la foctio A sur [ ;+ [ Parti 3 O cosidèr la foctio f défii sur [ ;+ [ par f ( ) das u rpèr orthoormé ( O ; i, j) Pour tout rél positif ou ul, o ot : M l poit d (C) d coordoés ( ; f()), P l poit d coordoés ( ; ), Q l poit d coordoés ( ; f()), où g st la foctio 4 = O ot (C) sa courb rpréstativ + La figur st doé ci-dssous Démotrr qu l air du rctagl OPMQ st maimal lorsqu M a pour absciss α L poit M a pour absciss α La tagt (T) M à la courb (C) st-ll parallèl à la droit (PQ)? Das ctt qustio, tout trac d rchrch,mêm icomplèt, ou d iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio Trmial S 5 F Laroch Foctio potill rcics

16 4 Famill d foctios po + itégrals, y,8,6 C C,4 C 3 C 4,,,4,6,8, O do ls courbs C rpréstativs ds foctios s st arrêté à =, mais ls rpréstatios sot similairs) O cosidèr alors la suit d itégrals Trmial S 6 F Laroch Foctio potill rcics I = d O rappll qu,78 t qu! = 34( ) f( ) = sur [ ; ] avc (sur la figur o a Détrmiz graphiqumt la valur ds cofficits dircturs ds tagts au courbs C pour = puis pour Vérifiz vos résultats avc u calcul b Doz u itrprétatio géométriqu d ( I ) Qulls cojcturs pouvz-vous fair sur l comportmt d ctt suit (ss d variatio, covrgc, limit)? O va motrr ls résultats obtus b a Motrz qu I = au moy d u itégratio par partis b Motrz qu ( I ) st décroissat ; déduisz- u cadrmt d I t cocluz quad à sa covrgc c Motrz qu sur [ ; ] o a f( ) E déduir qu I Qull st la limit d + + I? Détrmiz la valur d l tir tl qu pour > o st sûr qu 3 O ssai d obtir u prssio d I a Au moy d u itégratio par partis, motrz qu I = ( + ) I Déduisz- ls valurs acts d I, I3, I 4 b Il smbl clair qu I put s mttr sous la form I =! a : détrmiz u rlatio d récurrc tr a + t a Motrz par récurrc qu +!!!! a =! +! ! 3! 4!! I

17 Déduisz- qu 4 Epo+suit itgrals = lim ! 3!! O cosidèr la foctio f défii sur R {} par f( ) = O rappll qu,783 La courb C rpréstativ d f das u rpèr orthoormé st doé sur la fuill joit (ls uités ot aucu importac) ; l tablau d variatio d f st fouri ci-dssous O cosidèr l itégral J = f( t) dt ; l objt d l rcic st d trouvr u cadrmt prmttat u calcul approché d J t o d dor u calcul act Itrprétr géométriqumt J : o fra u ptit croquis plicatif sur la fuill joit qu l o rdra avc la copi Dor u stimatio à la louch d J Utilisr l tablau d variatio d f pour justifir qu J 3 Rapplr la démostratio d la formul d la somm ds trms d u suit géométriqu d r trm + t d raiso Justifir alors l égalité : = 4 E déduir qu J = u + u + u + + u + R où 5 Justifir l cadrmt déduir qu R + ( + ) quad td vrs l ifii? uk + + t dt R t dt k t = t dt t ; Qull st la limit d R O pos doréavat S = u + u + + u ; o voit doc qu la suit J S td vrs, soit qu ls valurs succssivs d S costitut u «bo» approimatio d J 6 Jusqu à qul trm doit-o calculr S pour êtr sûr qu S st u valur approché d J à près? 7 O s itérss d plus près à u k a Calculr u b E utilisat u itégratio par partis motrr qu u ( ) k k = + kuk + R = t f( t) dt c A l aid d ctt rlatio dor sous la form ak + bk, où a k t b k sot du tirs rlatifs, la valur d u, u, u3, u 4 t u 5 E déduir ls valurs d S 4 t S 5 Dor u stimatio d la précisio obtu aisi sur J f + f Trmial S 7 F Laroch Foctio potill rcics

18 4 3 Problèm po, Amériqu du Nord 999 O cosidèr la foctio umériqu f défii sur ] ; [ par f( ) = ( ) O désig par ( Γ ) la courb rpréstativ d f das l pla rapporté à u rpèr orthoormé ( O ; i, j), l uité graphiqu état cm Parti a Soit X = Prouvr l égalité valurs ifériurs b Détrmir la limit d f c E déduir u asymptot à la courb (Γ ) a Soit v la foctio umériqu défii sur ] ; [ par b Démotrr qu 4 f '( ) = 4 ( ) c Etudir ls variatios d f d Tracr la courb (Γ ) Parti + Détrmir u primitiv d f sur ] ; [ Soit α u rél tl qu < α < Détrmir 3 Qull st la limit d g lorsqu α td vrs? + X f( ) = X E déduir la limit d f quad td vrs par + v( ) = Calculr v () α g( α ) = f( ) d 4 Qull st l air cm du domai limité par la courb d f, l a ds abscisss, ls droits d équatios = α t = α? Parti 3 a Démotrr qu l équatio b Dor u cadrmt d β d largur f( ) = a du solutios dot l u st O otra β l autr solutio Soit a u élémt d ] ; [ Détrmir graphiqumt foctio d a, l ombr d solutios d l équatio f() = f(a) Trmial S 8 F Laroch Foctio potill rcics

19 4 4 Problèm po, Podichéry 3 O cosidèr la foctio umériqu défii sur R par rpréstatio d ctt foctio f( ) = L graphiqu ci-dssous st u Au vu d ctt courb qulls cojcturs pouvz-vous fair sur : a l ss d variatio d f sur [ 3 ; ] ; b la positio d la courb par rapport à l a ( )? Das la suit d c problèm, o s propos d validr ou o cs cojcturs t d ls complétr Parti A : Cotrôl d la prmièr cojctur Calculr f'() pour tout rél, t l'primr à l'aid d l'prssio g() où g st la foctio défii sur R par g( ) = ( + ) Etud du sig d g() pour rél a Calculr ls limits d g() quad td vrs + puis quad td vrs b Calculr g' () t étudir so sig suivat ls valurs d c E déduir l ss d variatio d la foctio g, puis drssr so tablau d variatio d Motrr qu l'équatio g() = possèd u uiqu solutio das R O ot α ctt solutio Motrr qu, < α <, Détrmir l sig d g() suivat ls valurs d 3 Ss d variatio d la foctio f sur R a Etudir, suivat ls valurs d, l sig d f () ; b E déduir l ss d variatio d la foctio f ; c Qu psz-vous d votr prmièr cojctur? Parti B Cotrôl d la duièm cojctur O ot C la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) cotrôlr la positio d la courb par rapport à l'a (') Motrr qu α f( α) = ( α + ) Trmial S 9 F Laroch Foctio potill rcics 3 O cosidèr la foctio h défii sur l'itrvall [ ; ] par 3 h( ) = ( + ) a Calculr h'() pour [ ; ], puis détrmir l ss d variatio d h sur [ ; ] b E déduir u cadrmt d f( α ) 3 a Détrmir ls abscisss ds poits d'itrsctio d la courb C avc l'a (') b Précisr alors la positio d la courb C par rapport à l'a ds abscisss O s propos d

20 c Qu psz-vous d votr duièm cojctur? Parti C : Tracé d la courb Compt tu ds résultats précédts, o s propos d tracr la parti Γ d C corrspodat à l'itrvall O ; i, j avc ls uités suivats : [, ;,4], das l rpèr orthogoal ( ) Sur l'a ( ) : cm rpréstra,5 Sur l'a (y y) : cm rpréstra, Complétr l tablau suivat à l'aid d la calculatric idiquat ls valurs approchés sous la form 4 ( tir rlatif),,5,,5,5,,5,,5,3,35,4 f() - Tracr alors Γ das l rpèr choisi Parti D : Calcul d'air O désir maitat calculr l'air du domai D frmé délimité par la courb Γ, l'a ds abscisss, l'a ds ordoés t la droit d'équatio = l() A l'aid d'u doubl itégratio par partis, détrmir u primitiv sur R d la foctio E déduir u primitiv F d la foctio f 3 Calculr alors uité d air l air du domai D t dor u valur approché au cm 4 5 Epo+qua diff scod ordr+itégral Objctif du problèm : Résolutio d'u équatio différtill t étud d'u d ss solutios O ; i, j (uité graphiqu : cm) L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( ) Parti A O cosidèr l'équatio différtill : y'' + y + y = (E) Détrmir l rél a tl qu la foctio y défii sur R par (E) Trmial S F Laroch Foctio potill rcics ( ) y = a soit solutio d l'équatio Démotrr qu y, foctio umériqu du fois dérivabl sur R, st solutio sur R d (E) si t sulmt si la foctio z défii par z = y y st solutio d l'équatio différtill (E ) : z + z + z = β 3 O admt qu ls solutios d (E ) sot d la form z = ( α + ) : fair la vérificatio 4 E déduir l'smbl ds solutios d l'équatio (E) 5 Détrmir la solutio f d (E) dot la courb rpréstativ das l rpèr (O ; i, j) pass par l poit d coordoés ( ; ) t admt c poit u tagt d vctur dirctur i Parti B f( ) ( ) Soit f la foctio défii sur R par = + O ot (C) la courb rpréstativ d f das l rpèr (O ; i, j) a Détrmir la limit d f b Détrmir la limit d f + Dor u itrprétatio graphiqu d c résultat c Étudir l ss d variatio d f t drssr so tablau d variatio Détrmir u équatio d la tagt (T) à (C) au poit d'absciss 3 O s propos das ctt qustio d'étudir la positio d (C) par rapport à (T) a O pos k( ) = + Calculr k () ; déduir l ss d variatio d k t so sig b E déduir la positio d (C) par rapport à (T)

21 4 Après avoir rproduit t complété l tablau d valurs ci-dssous, tracr (T) t (C) das l rpèr (O ; i, j),5,5, f() Ls valurs d f() srot doés à près 5 O cosidèr la suit (u ) défii, pour tout tir aturl o ul, par : a Rpréstr u 3 sur l graphiqu précédt + u = 4 f( t) dt b Démotrr qu, pour tout tir aturl o ul : 4 f( + ) u 4 f( ) E déduir l ss d variatio d (u ) c Détrmir la limit d la suit (u ) 4 6 Epo + acc fiis Parti A g( ) ( ) O cosidèr la foctio g défii sur R par = + Soit C la rpréstatio graphiqu d la foctio g das l rpèr orthoormal (O ; i, j), uité graphiqu cm Calculr la dérivé g d g Motrr qu g () st du sig d ( ) E déduir ls variatios d g Motrr qu : a lim g( ) = + b lim g( ) = t précisr l'asymptot à C corrspodat + 3 Tracr la courb C das l rpèr (O ; i, j) O placra particulir ls poits d la courb d'abscisss rspctivs ; ; ; t 3 4 a Par u lctur graphiqu, idiqur, suivat ls valurs du ombr rél k, l ombr d solutios d l'équatio g() = k b Prouvr rigourusmt qu l'équatio g() = admt u solutio α t u sul Prouvr qu α appartit à l'itrvall [ ; ] c Motrr qu α vérifi la rlatio α = Parti B O appll f la foctio défii sur l'itrvall I = [ ; ] par : f( ) = Étud d f a Étudir ls variatios d f sur I b E déduir qu, pour tout élémt d I, f() appartit à I c Motrr qu, pour tout élémt d I, α f '( ) d O rappll qu f( α) = α E itégrat l iégalité précédt, motrr qu, pour tout élémt d I, o a : f( ) α α Approimatio d α à l'aid d'u suit Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

22 Soit (u ) la suit d'élémts d I défii par la rlatio d récurrc u + = f(u ) t la coditio iitial 3 u = a Démotrr qu, pour tout tir aturl, o a : u+ α u α b E déduir qu, pour tout tir aturl, o a u α + c Prouvr qu la suit (u ) covrg, précisr sa limit t détrmir u tir tl qu approché d α à 3 près Calculr 4 7 Epo + suit itégrals Parti A u O cosidèr la foctio g défii sur R par : g( ) = a Etudir ls variatios d g (o dmad pas ls limits) Calculr g(), déduir l sig d g b E déduir qu pour tout rél,, puis qu > u soit u valur O désig par f la foctio défii sur R par f( ) = Soit C sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormé (uités : 3 cm) a Vérifir qu f st défii sur R b Détrmir ls limits d f t + c Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios d Ecrir u équatio d la tagt T à C au poit d absciss Tracr T puis C 3 a Détrmir ls imags par f ds itrvalls [, ] t [, + [ b E déduir qu f( ) pour tout positif ou ul Parti B Soit f( ) = défii sur [, ] Dor u itrprétatio géométriqu du ombr Soit u ombr tir aturl o ul, t I = f( ) d J = d a A l aid d u itégratio par partis, motrr qu J = b O s propos d calculr J sas utilisr u itégratio par partis : détrmir ls cofficits a, b t c tls qu la foctio H() défii par H( ) = ( a + b+ c) soit u primitiv d h( ) = E déduir 5 qu J = 4 3 Pour tout tir o ul, o pos u = + J + J + + J a Motrr qu pour tout rél, = b E déduir qu + ( + ) I u = f( ) d ( ) + Trmial S F Laroch Foctio potill rcics

23 + ( + ) c E utilisat Ab motrr qu pour tout positif ou ul : + + ( + ) E déduir qu f( ) ( ) puis u cadrmt d u Détrmir lim u + 4 Motrr qu u I u + ( ) Sachat qu u = + J + J, trouvr du ombrs d t d tls qu < d - d < t d <I< d 4 8 Sous-tagt costat U propriété d la foctio potill Tracr la courb rpréstativ C d la foctio potill das u rpèr orthoormé sur l itrvall [ ; ] (uités : cm par a) Tracr sur la mêm figur ls tagts à C au poits d abscisss, t Msurr à la règl la distac tr l absciss d chaqu poit t l poit où ls dits tagts coupt l a horizotal Qu costatz-vous? 3 Soit u poit A d C d absciss a ; vérifir qu l équatio d la tagt à C A st y = + ( a) E déduir qu la distac chrché au st bi u costat qu l o détrmira 4 O chrch maitat s il y aurait d autrs courbs préstat ctt propriété, à savoir qu la distac tr l absciss du poit t l poit d itrsctio d la tagt à la courb c poit soit costat : a a A y=f() T a a Ecrir l équatio d la tagt T au poit a pour u courb qulcoqu, détrmir l absciss u du poit d itrsctio d T avc (O), calculr la distac tr cs du poits t motrr qu répodr à la f qustio rvit à résoudr l équatio différtill = costat f ' b Coclur 4 9 Epo + qua diff + itégral, Asi 999 poits I Résolutio d l équatio différtill (E) : y' + y = A l aid d u itégratio par partis, calculr t ( t ) dt Soit z u foctio dérivabl sur R, o pos f( ) = z( ) Motrr qu f st solutio d (E) si, t sulmt si, pour tout rél, z'( ) = ( ) 3 A l aid d la prmièr qustio, détrmir touts ls foctios z vérifiat z'( ) = ( ) 4 Déduir d la qustio précédt ls solutios d (E) Détrmir la solutio pour laqull l imag d st II Etud d u foctio Trmial S 3 F Laroch Foctio potill rcics

24 Soit f la foctio défii sur R par f( ) = +, (C) sa courb rpréstativ L pla st rapporté au rpèr orthoormé ( O ; i, j) (uité graphiqu : cm) a Etudir l ss d variatio d f b Précisr lim f( ) t lim f( ) + a Motrr qu la droit (D) d équatio y = st asymptot d la courb (C) b Précisr la positio d (C) par rapport à (D) 3 Tracr (D) t (C) III Calcul d airs Soit u rél strictmt positif O cosidèr l domai limité par (C), (D) t ls droits = t = Eprimr à l aid d l air S d c domai O cosidèr la foctio g défii par g( ) =, dor u itrprétatio graphiqu d l itégral ayat srvi au calcul d S à l aid d la courb (C g ) d g (fair u schéma plicatif après avoir tracé rapidmt (C g )) 3 A st l poit d coordoés A( ;) B st l poit d (C g ) d absciss (T) st la tagt à (C g ) au poit B, K st l poit d itrsctio d (T) avc l a ds abscisss Détrmir ls coordoés d K 4 Calculr uités d air l air S du triagl ABK Vérifir qu S + S = 4 Equa diff : iscts L but d ct rcic st l étud d la dyamiqu d u populatio d œufs t d larvs d crtais iscts foctio du tmps Das l smbl d ctt modélisatuio, l tmps st msuré das u uité choisi (par mpl l mois) Parti A La foctio N qui do à l istat t l ombr d œufs vivats podus st défii pour t par,3t N( t) = N où N désig l ombr iitial d œufs au momt d la pot (t=) O prdra das la suit N = Etudir la foctio N sur [, + [ (ss d variatio, limits) Qulls itrprétatios cocrèts tirz vous d ctt étud? Costruir la rpréstatio graphiqu(c) d N pour t [ ; 5] das u rpèr orthogoal : cm par uité d tmps absciss t cm pour ordoés 3 Résoudr das [, + [ l équatio N( t) = N O otra t sa solutio (qu rprést t?) ; placr l poit d (C) d absciss t sur l graphiqu 4 a st u rél strictmt positif a Calculr a I( a) = N( t) dt foctio d a Détrmir la limit d I quad a td vrs + b O cosidèr qu la duré d vi moy d u œuf st doé par E = lim J( a) où a + Calculr J(a) au moy d u itégratio par partis t déduir la valur d E Parti B a J( a) = tn( t) dt La foctio L qui do, à l istat t, l ombr d larvs vivats st solutio das [, + [ d l équatio différtill L' =, 5N, L, soit () :,3t L'( t) +, L( t) = 5 Résoudr l équatio différtill L'( t) +, L( t) = Trmial S 4 F Laroch Foctio potill rcics

25 Détrmir l rél K tl qu la foctio f défii par touts ls solutios d () sot d la form 3 Détrmir la solutio pour laqull L()=N 4 Problèm- po, Djibouti 995 Soit f la foctio défii sur [ ; + [ par,3t f( t) = K soit solutio d () E déduir qu,t,3t L( t) = k + K 3 f( ) = 3+ 3 t g la foctio égalmt défii sur [ ; + [ par g( ) = 3 O ot C la courb rpréstativ d f das l rpèr orthoormal O ; i, j, uité graphiqu : cm ( ) Ss d variatio d g a Calculr la dérivé g' d g ; vérifir qu g' ( ) st toujours strictmt positif b Calculr la limit d g quad td vrs + c Déduir d c qui précèd l istc t l'uicité d'u ombr rél α > tl qu g( α ) = t motrr qu,4 α,5 d Étudir l sig d g( ) sur [ ; + [ Motrr qu f '( ) g( ) Comportmt asymptotiqu d f + a Détrmir la limit d f + b Détrmir l sig d ot P la courb d'équatio 3 Sig d f = ; déduir l ss d variatio d f f( ) ( 3) t sa limit + ; itrprétr graphiqumt c résultat ; o y = 3 a Drssr l tablau d variatio d f b Prouvr qu l'équatio f ( ) = admt u solutio o ull a t u sul appartat à l'itrvall [ α ; + [ t motrr qu,8 < a <,9 c Étudir l sig d f ( ) sur [ ; + [ 4 Courb Tracr das l rpèr orthoormal ( O ; i, j ) d'absciss 4 Du p pour l pri d u, N Calédoi 996 ls courbs P t C O précisra la tagt à C au poit A O désig par f la foctio défii sur R par f( ) = t o appll C la courb rpréstativ d f O ; i, j das l rpèr orthoormal ( ) Étudir ls variatios d f Précisr ls limits d f t + Détrmir l sig d f() foctio d 3 Tracr la courb C B Das ctt parti, o s propos d'étudir la foctio g défii sur R {} par g( ) = l O ot G la courb rpréstativ d g das l rpèr ( O ; i, j ) Précisr ls limits d g, + t Trmial S 5 F Laroch Foctio potill rcics

26 Calculr g'() t détrmir l sig d g'() utilisat l sig d f'() t l sig d f() Drssr l tablau d variatio d g 3 Démotr qu pour tout rél strictmt positif, g( ) l = Motrr qu la droit D d'équatio y = st asymptot à la courb G Étudir la positio d la courb G par rapport à D pour tout rél strictmt positif 4 Démotrr qu pour tout rél strictmt égatif : g( ) = l Motrr qu la droit d d'équatio y = st asymptot à la courb G Étudir la positio d G par rapport à d pour tout rél strictmt égatif 5 Costruir G, D t d (o utilisra u graphiqu différt d clui d la parti A) 4 3 Ep+dérivabilité, La Réuio 7 6 poits = si t f ( ) = O ot C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( O ; i, j) O cosidèr la foctio f défii sur R par : f ( ) a Détrmir la limit d f b Établir qu, pour tout ombr rél o ul, ( ) Dor, sas démostratio, la limit suivat : f = + E déduir la limit d f + lim t démotrr qu f st cotiu 3 a Démotrr qu, pour tout ombr rél, o a : +, t qu l égalité a liu qu pour = b Calculr la dérivé f ' d la foctio f t détrmir la foctio g tll qu, pour tout ombr rél o ul, f '( ) = ( ) g ( ) c Dor l tablau ds variatios d f 4 Soit u ombr rél o ul t ls poits M( ; f()) t M ( ; f( )) d la courb C a Établir qu f ( ) =, puis détrmir l cofficit dirctur d la droit (MM ) b O admt qu la foctio f st dérivabl Qu suggèr alors l résultat précédt? 4 4 Dérivabilité, Paris C 979 L objt d ct rcic st d'étudir la foctio g défii sur [ ;+ [ par a Établir qu g st cotiu b Détrmir la limit d g + a Pour tout t >, calculr g'(t) b Prouvr qu pour tout t, + t t t g( t) = si t > t g() = t c E déduir l sig d g' t l ss d variatio d g (o dmad pas d costruir la courb rpréstativ d g) Trmial S 6 F Laroch Foctio potill rcics

27 3 O s propos d'étudir la dérivabilité d g À ct fft o itroduit la foctio h défii sur [, + [ t t par : h( t) = t+ a Calculr h t h, aisi qu ls valurs d h() t h'() 3 t b Prouvr qu pour tout t, h( t) () Pour cla, o établira d abord qu h''( t) t t o 6 déduira u cadrmt d h t d h c Déduir d la rlatio () u cadrmt d dor la valur d g () t t t Prouvr fialmt qu g st dérivabl t 4 Costruir la courb rpréstativ C d g, l pla état rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) 4 5 Equatio diff+foctio+itégral Parti A O s propos d résoudr sur R l équatio différtill (E) : y y = ( ) Motrr qu la foctio h défii sur R par : h( ) = + st solutio d l équatio différtill (E) O pos : y = z + h Motrr qu y st solutio d (E) si t sulmt si z st solutio d l équatio différtill : z' z = Résoudr ctt drièr équatio différtill t déduir ls solutios d (E) 3 Démotrr qu il ist u solutio t u sul d (E) s aulat Ell sra applé g t étudié das la parti B Parti B O cosidèr la foctio g défii sur R par g( ) = ( ) + Détrmir l ss d variatio d g Préstr so tablau d variatio E déduir l sig d g sur R Résoudr das R l iéquatio : g( ) 3 Calculr l itégral : ( g( )) d 4 Itrprétr graphiqumt ls résultats ds qustios t 3 Parti C O cosidèr la foctio umériqu f défii pour tout rél par : a Calculr ls limits d f, t + f( ) = b E déduir qu la courb rpréstativ d la foctio f admt u asymptot qu l o précisra Détrmir l ss d variatio d f t dor so tablau d variatio (o pourra utilisr la parti B) 3 Soit (C) la courb rpréstativ d f das l rpèr orthogoal ( O ; i, j) avc pour uités 4 cm absciss t cm ordoé Après avoir rcopié t complété l tablau ci-dssous avc ds valurs approchés arrodis à près, costruir la courb (C) pour ls valurs d compriss tr t,5,5,,,5,5,,,5 f() f( ) = f( )si 4 Soit f la foctio défii par f() = Trmial S 7 F Laroch Foctio potill rcics

28 Ctt foctio st défii t cotiu sur R E supposat qu f st dérivabl, pliqur commt o put détrmir graphiqumt u valur approché du ombr dérivé f () Fair ctt lctur graphiqu Qul résultat d limit cla prmt-il d cojcturr? Parti D O s propos d trouvr u cadrmt d l itégral Motrr qu pour tout d [ ; ] o a : E déduir u cadrmt d J d amplitud, 4 6 Etud+air+volum révo, C étragrs 6 6 poits J = d,86,99 = + O ot C la courb rprstativ d f das u rpèr orthoormal ( O ; i, j), (uité graphiqu : 5 cm) O désig par f la foctio défii sur l smbl R ds ombrs réls par f ( ) Parti A : étud d la foctio f Vérifir qu pour tout ombr rél : f ( ) = + Détrmir ls limits d f t + Itrprétr graphiqumt ls résultats obtus 3 Calculr f () pour tout ombr rél E déduir ls variatios d f sur R 4 Drssr l tablau ds variatios d f 5 Tracr la courb C t ss asymptots évtulls das l rpèr ( O ; i, j) Parti B : qulqus propriétés graphiqus O cosidèr ls poits M t M d la courb C d abscisss rspctivs t Détrmir ls coordoés du miliu A du sgmt [MM ] Qu rprést l poit A pour la courb C? Soit u tir aturl O désig par D l domai du pla limité par la droit d équatio y =, la courb C t ls droits d équatios = t =, A désig l air du domai D primé uité d air a Calculr A b Étudir la limit évtull d A, lorsqu td vrs + Parti C : calcul d u volum Soit λ u rél positif, O ot V(λ ) l itégral π ( ) λ f d O admt qu V(λ ) st u msur, primé uité d volum, du volum gdré par la rotatio autour d l a ds abscisss, d la portio d la courb C obtu pour λ a b = + Détrmir ls ombrs réls a t b tls qu : pour tout ombr rél, ( ) ( ) Eprimr V(λ ) foctio d λ 3 Détrmir la limit d V(λ ) lorsqu λ td vrs Sol équatio+vol d révolutio, Atills 4 5 poits Soit f la foctio défii sur [ ; + [ par ( ) = f + Ls du partis puvt êtr abordés idépdammt Parti A Drssr l tablau ds variatios d f sur [ ; + [ t détrmir ls évtulls asymptots d la courb rpréstativ Trmial S 8 F Laroch Foctio potill rcics