étude de fonctions trigonométriques 5) Calculer les limites aux bornes de cet ensemble d étude. Y a-t-il une asymptote?

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1 Chapitre Eercice : étude de fonctions trigonométriques Terminale S sin Le but est d étudier et de représenter la fonction tangente définie par : tan = cos ) Déterminer l ensemble de définition de la fonction tangente ) Montrer que la fonction est périodique de période 3) Montrer que la fonction tangente est impaire ) En déduire l intervalle sur lequel nous allons étudier la fonction ) Calculer les limites au bornes de cet ensemble d étude Y a-t-il une asymptote? 6) Etudier la fonction tangente sur cet ensemble d étude 7) Déterminer l équation de la tangente en 8) Construire la courbe de la fonction tangente sur l ensemble d étude (Unité : cm ) 9) En déduire la courbe de la fonction tangente sur son ensemble de définition Eercice : Soit f la fonction définie sur [ ] par f( ) = cos + ) Justifier que la fonction f est dérivable sur [ ] et vérifier que pour tout de [ ], f ( ) = sin + dans quel intervalle se trouve + f sur [ ] puis établir le tableau de variation de f sur [ ] ) Si [ ] 3) En déduire le signe de Eercice 3 : pour les curieu ) a) Faire l étude complète de la fonction cotangente définie par : l eercice ) cos cotan = (s inspirer de sin b) Représenter cette fonction sur son ensemble de définition c) Vérifier l égalité : cotan = tan En déduire que la courbe de la fonction cotan se déduit de la courbe de la fonction tan par une transformation géométrique à préciser ) Faire l étude complète de la fonction sécante définie par : graphiquement sec = La représenter cos

2 Eercice : Au secours, voilà dracula! On souhaite étudier la fonction définie surrpar f ( ) = sin + cos ) Montrer que la fonction f est périodique ) Montrer que la droite d équation = est ae de symétrie de la courbe de f 3) Justifier que l étude de f sur permette d étudier f surr ) Calculer la fonction dérivée de f surr puis chercher à la factoriser ) Etudier les variations de f sur 6) Tracer la courbe sur l intervalle [ ] ordonnées Eercice : Au secours, encore dracula! (6 cm pour sur l ae des abscisses 3 cm pour une unité sur l ae des On considère la fonction f définie surr par f () = cos cos ² C f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal ) Etudier la parité de la fonction f ) Montrer que f est une fonction périodique de période 3) Epliquer en quoi l étude de f sur [ ] permet-elle d obtenir l étude de f surr ) a) Montrer que pour tout de[ ], f () = sin ( cos ) b) Etudier les variations de f sur [ ] et dresser son tableau des variations sur [ ] ) a) Donner une équation de la tangente T à C f au point d abscisse b) Tracer la représentation graphique de f sur [ ], la tangente T et les autres tangentes trouvées (Unités graphiques : 6 cm pour sur l ae des abscisses cm pour une unité sur l ae des ordonnées) 6) En déduire le tracé de C f sur l intervalle [ ] (utiliser une couleur différente) Eercice 6 : Linéarisations Linéariser : faire en sorte qu il n y ait plus d eposant sur les sinus ou les cosinus ) On sait que e i = cos θ + isin θet que e θ = cos θ isin θ e + e e e Montrer alors que cos θ = et sin θ = i ) En déduire la linéarisation des calculs suivants: a) cos θ et sin θ b) cos θ et sin θ

3 Terminale S Correction TD : étude de fonctions trigonométriques Eercice : sin Le but est d étudier et de représenter la fonction tangente définie par : tan = cos ) Il faut que cos c'est-à-dire cos cos alors + k ou + k k Z ce qui peut ce résumer par + k k Z donc l ensemble de définition est \ k R + k Z (On peut écrire aussi Df = k k + + k Z ) Si + k alors k + ++ c est-à-dire + + ( k+ ) donc + Df sin( +) sin sin f( + ) = tan( + ) = = = = tan = f( ) Alors la fonction est périodique de période cos + cos cos 3) + k alors k c est-à-dire k d où + ( k ) donc + Df sin( ) sin sin f( ) = tan( ) = = = = tan = f( ) Donc la fonction tangente est impaire cos cos cos ) On peut étudier la fonction f sur un intervalle der symétrique par rapport à O, de période Le plus judicieu est Par périodicité on étend sur l ensemble de définition Comme f est impaire alors sa courbe est symétrique par rapport à O donc l étude se fera sur sin ) f tan lim sin cos = = = = = et lim f( ) = lim cos = + lim f( ) lim tan( ) < < = =+ La droite d équation = est donc asymptote verticale (Par symétrie, la droite d équation = est aussi asymptote verticale) cos cos + sin sin ( cos ) + ( sin ) 6) f ( ) = = = ou ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( sin ) ( cos ) f = + = + tan La fonction dérivée est donc strictement positive sur La fonction tangente sera donc strictement croissante sur cet intervalle 7) L équation de la tangente en a pour équation y= f ( ) + f Or f = = = et f () = Donc cos l équation de la tangente en est y = < < A o B 8) 9)

4 Eercice : Soit f la fonction définie sur [ ] par f( ) = cos + ) La fonction f est dérivable sur [ ] comme composée de fonctions dérivables sur [ ] et pour tout de [ ], si u( ) = + alors u ( ) = et si g( ) = cos alors g ( ) = sin donc f ( ) = u g ( u) = sin + ) Si [ ] + 3 3) Si + = c est-à-dire si = = alors sin + = 3 Si + c est-à-dire si alors sin + > 3 Si + c est-à-dire si alors sin + < et f ( ) = et f ( ) < et f ( ) > Alors : 3 f'() cos(+pi/) - - f cos = = f = cos + = cos = 3 3 f = cos + = cos = Eercice 3 : pour les curieu cos ) a) Faire l étude complète de la fonction cotangente définie par : cotan = (s inspirer de l eercice ) sin Il faut que sin c'est-à-dire sin sin alors + k ou + k k Z ce qui peut ce résumer par k k Zdonc l ensemble de définition est R \{ k} k Z (On peut écrire aussi Df = k ( k+ ) Si k alors + + k c est-à-dire + ( k+ ) donc + D cos + cos cos f( + ) = cotan( + ) = = = = cotan = f( ) Alors la fonction est périodique de période sin + sin sin Si k alors + + k k et k alors + Df et si k alors k k alors D f cos cos + sin sin f f + + = + = + = = Donc le point de coordonnées cos cos sin sin + est centre de symétrie pour la courbe de cotan On peut alors étudier la fonction f sur un intervalle der, symétrique par rapport à, de période Le plus judicieu est Par périodicité on étend sur l ensemble de définition Comme la courbe de f est symétrique par rapport à alors ] [ l étude se fera sur f k Z

5 cos ) f cotan = = = = lim sin = + et lim cos = lim f( ) = lim cotan( ) =+ sin > > > La droite d équation = est donc asymptote verticale (Par symétrie, la droite d équation = est aussi asymptote verticale) sin sin cos cos ( cos ) + ( sin ) 6) f ( ) = = = ou ( sin ) ( sin ) ( sin ) ( cos ) ( sin ) f = = cotan La fonction dérivée est donc strictement négative sur La fonction tangente sera donc strictement décroissante sur cet intervalle b) Représenter cette fonction sur son ensemble de définition o sin cos c) tan = = = cotan donc sur la courbe de la fonction cotan se déduit de la courbe de la sin cos fonction tangente par par symétrie de centre O puis par translation de vecteur i On généralise par périodicité ) Faire l étude complète de la fonction sécante définie par : sec = La représenter graphiquement cos Il faut que cos c'est-à-dire cos cos alors + k ou + k k Z ce qui peut ce résumer par + k k Z donc l ensemble de définition est \ k R + k Z (On peut écrire aussi Df = k k + + k Z Si D f alors D f et f( ) = sec( ) = = = f( ) donc f est paire(symétrie d ae (Oy)) cos cos Si D alors f D f f + = sec + = = = f cos cos + et ( + ) donc f est périodique f f + + = + = + = = donc le point de coordonnées est centre sin sin cos cos + de symétrie pour la courbe de sec

6 On fera donc l étude de cette fonction sur un intervalle symétrique par rapport à de longueur c est-à-dire Par parité on étudie sur et par symétrie de centre, on étudiera sur sin sin f ( ) = = Sur, f ( ) est strictement positive donc sur, f est strictement croissante cos cos lim f = lim cos = + < < lim f = lim sec( ) =+ et < < f = sec = = = cos Tableau de variation sur Par symétrie de centre, tableau de variation sur : - /cos /cos Par parité, tableau de variation sur : /cos On généralise par périodicité On aurait pu aussi faire une étude sur et généraliser par périodicité voici le tableau de variation : - /cos o

7 Eercice : Au secours, voilà dracula! f = sin + cos On souhaite étudier la fonction définie surrpar ) Soit R alors + R et f ( ) sin ( ) cos ( ) sin cos ( ) sin cos f ( ) + = = + + = + = Donc f est périodique ) Soit R alors + Ret R donc f + = sin + + cos + = cos + cos( + ) = cos cos f = sin + cos = cos + cos ( ) = cos cos Pour tout R f + = f donc la droite d équation = est ae de symétrie de la courbe de f 3) Comme f est périodique alors on peut réduire l ensemble d étude sur un intervalle de longueur par eemple 3 et comme l ae d équation = est ae de symétrie de la courbe de f, on peut réduire l ensemble d étude sur On reconstituera la courbe de f par symétrie sur 3 et par périodicité surr f = cos sin En utilisant les ) f est dérivable surrcar les fonctions cos et sin le sont surr et pour tout R, formules de duplication, f ( ) = cos sin cos = cos ( sin ) ) L étude est sur ssi = ou f ( ) = ssi = ou sin = sin ssi 6 cos sin = ssi cos = ou sin = ssi = ou = ou sin = = ou égal à,et c est ) Pour le signe : dans 6, = ou = (il n y a qu une valeur dans 6 cos et sin ssi sin Grâce au f'() cercle trigonométrique, sin ssi 6 f () Voici le tableau de variation de f sur : -3 f = sin + cos = + cos( ) = = 3 f = sin + cos = + cos = = 6) Voici la courbe sur l intervalle[ ] (unités non respectées) - tel que ce sinus soit 3 f = sin + cos = + cos = + = Eercice : Au secours, encore dracula!

8 On considère la fonction f définie surr par f () = cos cos ² C f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal ) Soit R alors f cos cos cos cos f cos = cos ) donc f est paire R et ( ) = ( ) ( ) = = (car Donc la courbe de f est symétrique par rapport à l ae des ordonnées ) Soit R alors f cos cos cos cos f cos + = cos ) + R et ( + ) = ( + ) ( + ) = = (car donc f est une fonction périodique de période Donc la courbe de f se répète tous les intervalles de longueur qui est un intervalle de longueur et par 3) Si on étudie f sur [ ], par parité, on connaîtra les variations de f sur [ ] périodicité, on complétera l étude surr en répétant ces variations ) a) f est dérivable sur [ ] comme somme et carré de fonctions dérivables sur [ ] f ( ) = sin + sin cos = sin ( + cos ) et pour tout de[ ] : b) f ( ) = ssi sin ( + cos ) = ssi sin = ou + cos = ssi sin = sin ou cos = ssi sin = sin ou cos = cos ssi = ou = ou = ou = ( ) Dans [ ], S = Sur [ ], sin et sur [ ], + cos ssi 3 On en déduit le tableau de signe de f et le le tableau de variations de f : 3 sin() 3 -+*cos() f'() f ( ) f () La fonction f est croissante sur 3 et décroissante sur 3 - f = cos cos = = f ( ) = cos cos = = et f = cos cos = = ) a) Cette équation est de la forme : y = f + f Or f = cos cos = = et f = sin + cos = ( ) = donc une équation de la tangente T à C f au point d abscisse est donnée par : y = + c est-à-dire : y = + b) et 6) Voir dessin : (unités non respectées)

9 Eercice 6 : Linéarisations ) On sait que e i = cos θ + isin θet que e θ = cos θ isin θ Alors : e + e cos θ + isin θ + cos θ isin θ cosθ = = = cosθ et e e cosθ + i sin θ cos θ + i sin θ i sin θ = = = sin θ i ) On utilise le triangle de pascal et les formules précédentes e + e cos θ = = e + e e + e = e + e e + e cos θ = ( cos θ + 8cos θ + 6) = cos θ + cos θ a) e e i i i i i i i i sin θ = = e e + 6 e + e = e + e e + e + 6 i 6 3 sin θ = ( cos θ 8cos θ + 6) = cos θ cos θ ( θ θ θ θ ) θ θ ( θ θ ) i θ i e e θ i θ i b) cos θ = = ( e + e + e + e + e + e ) = ( e + e + ( e + e ) + ( e + e )) cos θ = ( cosθ + cos3θ + cos θ ) = cosθ + cos3θ + cos θ i i θ θ e e i 3i i i 3i i i i 3i 3i i i sin θ = = e e + e e + e e = e e e e + e e i ( θ θ θ θ θ θ ) ( θ θ ( θ θ ) ( θ θ )) i 3i sin θ = ( isin θ isin 3θ + isin θ ) = sin θ sin 3θ + sin θ 3i 6 6 8