Résultats de convergence d'un schéma modifié de Monte Carlo pour la résolution numérique de l'équation de Smoluchowski

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1 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 Résuas de coverece d'u schéa odfé de Moe Caro our a résouo uérque de 'équao de Souchows Résué : Ba Baraeh Uversé de Baaad Déaree de Mahéaques B.:00-TroLba. ea : ba.barae@baaad.edu.b L équao de Souchows es u odèe décrva see a coauao de arcues. useurs aorhes sochasques o éé roosés our résoudre cee équao. Das ce rava ous éudos e schéa uérque odfé de ye Moe Caro roosé ar Babovsy 999. ous roosos ue déosrao coèe de sa coverece e doa our cea es ees e es héorèes écessares. Absrac : The Souchows equao overs he coauao rocess of arces. Severa sochasc schees have bee roosed for he resouo of hs equao. The a of hs aer s o sudy he odfed Moe Caro schee roosed by Babovsy 999. A coverece roof based o arorae eas ad heores s reseed. Mos-cefs : quao de Souchows ; Schéa de Moe Caro ; Coverece. Iroduco Les odèes sochasques d aoérao des arcues e des arcues us rosses o éé rodus ar Souchows 96 our décrre évouo de a cocerao c des arcues de ae à u sa. Cee équao e esace dscre e es cou es a suvae: our 3 e 0 c c 0 c 0 K c c K c c fa équao es u sysèe f d équaos dfféreees o éares du reer ordre avec ue codo ae our chaque. A sa a 0 a quaé osve c0 es a rooro des arcues de ae ee que c 0. Doc es c0 fore ue desé de robabé. S o oe e obre oa des arcues à sa 0 aors à sa a quaé c es a rooro des arcues de ae e c es e obre oa des arcues de ae à sa. Au cours du es ore quee arcue de ae eu s aoérer avec ore quee aure arcue de ae our forer ue arcue de ae. Le aux de coauao d ue arcue de ae avec ue aure arcue de ae es doé ar e oyau de coauao K qu es suosé osf e syérque: K 0 e KK. La asse d ue arcue éa rooroee à sa ae a asse oae des arcues à sa s'écr: M µ c où µ es a cosae de rooroaé.

2 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 ua équao ar e e soa sur ous es o vérfe Cf. Hea 99 que a asse es coservée c es à dre: d c 0 d à codo que o usse erchaer es ses soes e dérvées. La résouo uérque de équao avec es éhodes déerses es ue âche dffce. our cea useurs aorhes sochasques o éé roosés. A ce roos Babovsy 999 a éab u schéa uérque odfé de ye Moe Caro our suer a desé de asse des arcues de aes défe ar c. Mas a coverece de ce schéa uérque a éé que brèvee abordée. Das a sue o reforue aorhe e o doe ue reuve de sa coverece. Descro de aorhe our suer suff d rodure u obre fxe suffsae rad de arcues. Mas cec es as vaabe our suer c0 ar exee. effe arès queques as de es e obre a de arcues due ar aoérao e fau doc rodure de ouvees arcues our aéorer a récso de aorhe. S o écr our équao deve: où 0 0 K K K. K La foco K es suosée borée. De us o suose que. 4 As a reao de coservao de a asse eraîe. 0 our I o oe. aqua e schéa d uer drec e e usa e fa que our ou I 5 o eu reacer équao 3 ar équao dscrésée suvae : K K O chos u eer e our ou I o aroche a souo à sa à ade de arcues... ees que I #{ : }. 7 Le syboe # rerésee e carda de esebe cosdéré. Das a sue o ose #{ : }. 8 L aorhe de Moe Caro eu aors êre résué coe su: 3 6

3 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 Iasao: our o chos à sa 0 0 {3...} es que I 0 0 Coauao: our e assae de à es doé ar e eu aéaore suva : our o chos es obres aéaores e déedas e uforée dsrbués resecvee das {...}e das 0]. O chos u as de es e que Su K <. I O oe K e o déf our r : s r s o 9 O rodu es varabes aéaores réees de Berou s 0 0 s o e o déf auss es varabes aéaores réees suvaes: #{ : } avec 3 Coverece du schéa uérque our vérfer a coverece de aorhe o raee d abord es ees suvas: Lee. So Ω A u esace de robabé. So X ue sue de varabes aéaores réees das L Ω e γ IR. Les deux codos suvaes so équvaees : a L Ω γ ; b X X ] γ e X ] γ { } Lee. Soeδ a esure de Drac sur I * e ue sue de robabés sur I qu covere fabee vers ue robabé sur I * avec {} α δ e {} α δ : α α C 0 : < c'es à dre I ou ecore ϕ ϕ > < ϕ > S s aors es ue fae de sues uforée borées e s ue sue borée ees que I s s α s α s. Cea que e arcuer que our oue sue boréeσ o a * 3

4 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 σ α σ α La coverece du schéa uérque découe de a rooso suvae: rooso. our ou s I : I L aors : I L. Déosrao: Soe d arès e ee suff de vérfer que e I I ] 3 e } { ] ] } { } { 4 our vérfer a reao 3 o cacue our ]. O a: ] O sfe cee reao e o coece d abord ar e ere o a: a s < e - aors r ; b s aors r > - ; c s o 0. assos aea au ere o a: ] ]. D aure ar 4

5 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 ] ] 5 aors. As ] ] ]. ] ] ] ] soa ces éaés de à e e dvsa es deux ebres ar o a ] ] ] ] ] ara des reaos 5 e o déf sur I * es robabés: {} δ e. {} δ ] D arès hyohèse de a rooso e e ee o obe e résua suva: ] I 6 doc a sue covere fabee vers. S 'o défe d'ue ar a sue 7 < o s 0 s s e d'aure ar our es sues uforée borées: * I < o s 0 s ] s 8 o obe à arr de a reao 6 e du ee : ] ] usa aea a sue σ o dédu de 6 e du ee : ]. ar coséque ]. Cec ere a reuve de a reao 3. La reao 4 es déorée coe su: } { e carré d'ue foco dcarce éa éae à ee êe. Mas our es v.a.r. so déedaes. As e 5

6 8 èe Corès Fraças de Mécaque reobe 7-3 aoû 007 { Les varabes } ] ] ] ] éa des varabes de Berou o dédu facee que: doc ] e { ]} ] 0 { ]} ar coséque ] { ] ] ]} { ] } ce qu ere a reuve de a reao 4. La déosrao de a rooso découe évdee du ee e a coverece de 'aorhe es as vérfée. 4 Cocusos Arès avor reforué es rcaes éaes de aorhe sochasque roosé ar Babovsy 999 our résoudre équao de Souchows ous avos éocé e déoré ue rooso basée sur ue aroche robabse qu a codu à éabr a coverece du schéa uérque. Ce rava veu êre ue corbuo qu ade à eux coredre a coverece d aures schéas uérques sares. Référeces Babovsy H. 999 O a Moe Caro schee for Souchows s coauao equao. Moe Caro Mehods A. 5-8 Adous D.J. 999 Deersc ad sochasc odes for coaescece areao & coauao: a revew of he ea fed heory for robabss. Berou Hea O.J. 99 Aayca souos of Souchows s coauao equao. J.hys. A Léco C. & WaerW. 004 A quas Moe Caro schee for Souchows s coauao equao. Maheacs of Couao Souchows M.V. 96 Versuch eer aheasche Theore der Koauaose ooder L & osue. Z. hys.che

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