Transformations du plan et complexes

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1 Transformatons du plan et complexes I Préambule. Une transformaton du plan est une bjecton du plan dans lu-même. Autrement dt, tout pont a une mage et tout pont a un antécédent unque. Ou encore, une transformaton admet une transformaton récproque. Ic, on se bornera à étuder la translaton, l'homothéte et la rotaton. Pour les élèves suvant la spécalté on ajoutera la smltude drecte ( qu conserve l'orentaton ) qu est la composée d'une rotaton et d'une homothéte et la smltude ndrecte (qu change l'orentaton) qu est la composée d'une rotaton, d'une homothéte et d'une réflexon. Un complexe peut être nterprété géométrquement comme l'affxe d'un pont donc à toute foncton f de C dans C on peut fare correspondre une foncton T du plan dans lu-même défne par : le pont M d'affxe z a pour mage le pont M ' =T M d'affxe f z. II Translaton Défnton géométrque. Le translaté, T M =M ', du pont M par la translaton T de vecteur t vérfe : MM ' = t Interprétaton avec les complexes. S le vecteur t a pour affxe t, M a pour affxe z et T M =M ' a pour affxe f z =z ' alors z '=z t Reconnaître une translaton. En général, pour reconnaître une transformaton T du plan on commence par chercher les ponts fxes, c'est à dre les ponts M vérfant T M =M. Une translaton n'a pas de pont fxe donc l'équaton f z =z n'a pas de soluton. ème étape. S'l n'y a pas de pont fxe, on calcule dépend pas du z chost. f z z et on vérfe que ce complexe est constant, ne On conclut que la transformaton est une translaton de vecteur t d'affxe t= f z z La transformaton du plan T est défne par : Le pont M d'affxe z a pour mage le pont T M =M ' d'affxe z '=z On cherche s T a les ponts fxes ( cette étape est facultatve) : z=z = 1 Il n'y a pas de soluton donc pas de pont fxe. 1 3 Therry Vedel page 1 sur 5

2 On cherche s z ' z est constant : z ' z= = = 3 est une constante donc la transformaton est une translaton de vecteur t d'affxe t= 4 Remarque. Avant d'effectuer ces calculs on peut chercher les mages de quelques ponts, O l'orgne, I d'affxe 1, J d'affxe pour vor ce qu se passe. III Homothéte Défnton géométrque. L'mage (homothétque), H M =M ', du pont M par l'homothéte H de centre A et de rapport k, non nul, vérfe : AM ' =k AM Interprétaton avec les complexes. S le pont A a pour affxe a, M a pour affxe z et H M =M ' a pour affxe f z =z ' alors z ' a=k AM ' a pour affxe z ' a et AM a pour affxe et, pour z a, =k R donc AM ' les ponts A, M et M' sont algnés et AM = k donc c'est ben une homothéte de centre A et de rapport k. Reconnaître une homothéte. On recherche les ponts fxes. L'équaton f z =z a une soluton unque a affxe du centre A. constant. ème étape. S'l y a un pont fxe unque, on calcule, pour z a, et on vérfe c'est un réel k On conclut que la transformaton est une homothéte de centre A et de rapport k. La transformaton du plan H est défne par : Le pont M d'affxe z a pour mage le pont H M =M ' d'affxe z '= z 4 On cherche s T a les ponts fxes : z= z 4 3z= 4 z= donc l y a un pont fxe unque A d'affxe a= Therry Vedel page sur 5

3 IV Rotaton On calcule pour z a. z 4 = z z 4 z 3 4 = = = R. 3 3 z 4 3 z 4 Donc la transformaton est une homothéte de centre A et de rapport -. Défnton géométrque. L'mage, R M =M ', du pont M par la rotaton R de centre A et d'angle, non nul, vérfe : AM ; AM ' = k p et AM =AM ' Interprétaton avec les complexes. S le pont A a pour affxe a, M a pour affxe z et R M =M ' a pour affxe f z =z ' alors z ' a=e AM ' a pour affxe z ' a et AM a pour affxe et, pour z a, =e donc AM ; AM ' =arg z ' a = k AM ' et AM = e =1 donc c'est ben une rotaton de centre A et d'angle. Reconnaître une rotaton. On recherche les ponts fxes. L'équaton f z =z a une soluton unque a affxe du centre A. ème étape. S'l y a un pont fxe unque, on calcule, pour z a, de module 1 et d'argument. et on vérfe c'est un complexe On conclut que la transformaton est une rotaton de centre A et de d'angle. La transformaton du plan R est défne par : Le pont M d'affxe z a pour mage le pont z '= 1 z 4 3 On cherche s R a les ponts fxes : z= 1 z 4 3 R M =M ' d'affxe z z= 4 3 Therry Vedel page 3 sur 5

4 4 3 z= 4 3 z= 4 3 z= z= z= =1 donc l y a un pont fxe unque A d'affxe a=1 8 4 On calcule z ' a= z ' a= 1 z 1 z 1 3 (1) = 1 z 3 z ' a = 1 z 1 3 = 1 z 1 3 z 1 z 1 z 1 complqué est on est vrament mal part. Essayons de ruser. ce calcul est très On sat qu'on dot trouver la relaton z ' a=e c'est à dre dans ce cas partculer : z ' 1 = 1 z 1 () En comparant (1) et () on vot qu'l sufft de montrer que 1 1 = =1 1 = 1 3 donc la relaton (1) peut s'écrre : z ' a= 1 z 1 1 = 1 z 1 et = 1 =e 4 donc la transformaton est une rotaton de centre A et d'angle 4. V La bonne méthode de calcul. Reprenons l'exemple de la rotaton. Il y a un pont fxe unque A d'affxe a=1 donc : a= z '= 1 a z En effectuant la dfférence on obtent : z ' a= 1 z ' a=e 4 Therry Vedel page 4 sur 5

5 VI Cas général. Foncton complexe assocée a une transformaton du plan s'écrvant sous la forme : f z =z '=a z b Premer cas : a = 1. S b = 0 alors la foncton s'écrt f z =z et tous les ponts du plans sont fxes. C'est l'dentté Id du plan. Id M =M S b 0 alors alors la foncton s'écrt f z =z b et l n'y a pas de ponts fxes. L'équaton f z =z donne z=z b pus 0 =b comme b 0 l n'y a pas de soluton. C'est une translaton de vecteur w d'affxe b. Deuxème cas : a 1. Recherche du pont fxe. L'équaton f z =z donne z=az b pus z= b a 1 Il y a un unque pont fxe d'affxe = b et c'est (une smltude drecte pour les spés ) 1 a une rotaton ou une homothéte de centre Recherche des caractérstques ( rapport, angle). f z Calcul de z. est un pont fxe donc f = et =a b f z f z f az b a b = = = a z z z z z =a donc a le coeffcent de z nous ndque les caractérstques. Premer cas : a R. La transformaton est une homothéte de centre et de rapport a. Deuxème cas : a =1. a=e et la transformaton est une rotaton de centre et d'angle Cas général seulement pour les spés. a= e et la transformaton est une smltude drecte de centre, d'angle et de rapport. Therry Vedel page 5 sur 5