UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe 1.1 Introduction Dans tout ce chapitre, on supposera que le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v ). L ensemble des nombres complexes est noté C : c est l ensemble des couples de réels (a, b). Donc C = R R. On définit sur C les deux opérations internes suivantes : soient z = (a, b), et z = (a, b ) C, on pose : Addition : z + z = (a + a, b + b ) C Multiplication : z z = (aa bb, ab + a b) C (C, +, ) est muni d une structure de corps commutatif : on liste ci-dessous les propriétés vérifiées par ces deux opérations : Pour tous (z, z, z ) C 3, en posant z = (a, b), z = (a, b ) et z = (a, b ). Structure de groupe additif : C car (0, 0) C. L addition est associative : (z + z ) + z = (a + a, b + b ) + (a + b ) = (a + a + a, b + b + b ) et z + (z + z ) = (a, b) + (a + a, b + b ) = = z + (z + z ). L addition est commutative : z + z = (a + a, b + b ) = (a + a, b + b) = z + z. 0 = (0, 0) est l élément neutre pour l addition : en effet, z + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, b) = 0 + z = z. Tout nombre complexe z possède un opposé pour l addition : Posons z = ( a, b) alors z + ( z) = (0, 0) = 0 = ( z) + z. Structure de groupe multiplicatif : C = C {(0, 0)} car (1, 0) C

2 1. Vocabulaire La multiplication est associative : (z z ) z = = z (z z ). La multiplication est commutative : z z = (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + a b) = (a a b b, a b + ab ) = z z. 1 = (1, 0) est l élément neutre pour la multiplication : en effet, z 1 = (a, b) (1, 0) = (a, b) = z = 1 z. Tout nombre complexe z non nul possède un inverse pour la multiplication : si z = (a, b) (0, 0), posons z 1 = alors z z 1 = (a, b) ( z a a + b = a + b, ( ) a a + b, b a + b b a + b ) C, = = (1, 0) = 1 Distributivité : (z + z ) z = z z + z z = z (z + z ) (à vérifier en exercice... ) Remarques : 1. Comme dans R, l opposé (resp. l inverse) d un complexe z (resp. non nul) permet de définir la soustraction (resp. la division) de deux nombres complexes non nuls.. Justifiez que l on NE peut PAS munir C d une structure de corps ordonné. 3. Le théorème du produit nul est vrai sur C : (z, z ) C, z.z = 0 z = 0 ou z = 0 1. Vocabulaire On peut vérifier que les opérations définies sur C coïncident avec les opérations usuelles de R (i.e. si (x 1, x ) R, posons x 1 + x = x 3 et x 1 x = x 4, on a : (x 1, 0) + (x, 0) = (x 1 + x, 0) = (x 3, 0) et (x 1, 0) (x, 0) = (x 1 x, 0) = (x 4, 0)) : on peut donc identifier R avec l ensemble des nombres de la forme (x, 0) et ainsi R C. Il est usuel de poser 1 = (1, 0) et i = (0, 1) alors le nombre z = (a, b) du plan complexe s écrit simplement : z = a + ib En effet, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) Le nombre i vérifie alors : i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1 : l équation z + 1 = 0 admet ainsi une solution non réelle (le nombre i). Soit z un nombre complexe. L écriture z = a + ib, (a, b) R est dite forme algébrique de z. a est la partie réelle de z, notée Re(z). Si a = 0, on dit que z est imaginaire pur : on note ir le sous-ensemble des imaginaires purs. b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). Si b = 0, z est un réel! Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Définition 1. Le conjugué de z = a + ib est le complexe z défini par z = a ib. On utilise fréquemment les propriétés z = z z R, et z = z z ir.

3 1.3 Représentation graphique 3 Proposition 1. On vérifie aisément (en utilisant les formes algébriques par exemple) que pour tous complexes z et z : 1. Re(z) = z + z et Im(z) = z z i. z + z = z + z 3. zz = z z 4. z = z 5. n N, z n = z n (à démontrer par récurrence sur n N) 6. z = z 7. z 0, ( ) z = z z z 1.3 Représentation graphique Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; u, v ), à tout nombre complexe (a, b) C on associe de façon évidente le point M de coordonnées (a, b) et réciproquement, à tout point M(x, y) on peut associer un unique nombre complexe z défini par z = x + iy, (x, y) R. Dans ce cas z est appelé l affixe du point M(x, y) ( 1 ) et M(a, b) est le point image de z = a + ib. Figure 1 Le plan complexe On peut s apercevoir que si M est le point image d un nombre complexe z et M le point image de z alors M est l image de M par la symétrie d axe (O u ) Module et argument Il est conseillé de revoir les notions d angles orientés de vecteurs et de mesures d un angle orienté. 1. On dit aussi que z est l affixe du vecteur OM

4 .1 Définition 4.1 Définition Définition. Soit z C, le module de z = a + ib, (a, b) R est le réel z = a + b Remarque : Si M est le point image de z, z représente la distance OM. Figure Module (et argument) d un nombre complexe Propriété : z = a + ib C, z = a + b = (a + ib)(a ib) = z z Proposition. Pour tous nombres complexes z et z, on a : 1. z = z. ( z) = z 3. z z = z z 4. n N, z n = z n 5. si z z 0, z = z z Preuve : Ces propriétés se démontrent en utilisant les formes algébriques de z et z Théorème 1. Pour tous complexes z et z : 1. z + z ] z + z. z z z z Définition 3. Soit z un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z, toute mesure en radians de l angle orienté ( u, OM). L argument est donc défini à kπ (k Z) près. Les angles orientés de vecteurs étant définis à (π) près, si θ est un argument de z, on notera arg z = θ (π). 0 n a pas d argument.

5 .1 Définition 5 Proposition 3. Pour tous nombres complexes non nuls z et z on a : 1. arg(z z ) = arg(z) + arg(z ) (π) ( ) z. arg = arg z arg(z ) (π) z 3. n N, arg(z n ) = n arg(z) (π) 4. arg( z) = π + arg z (π) 5. arg(z) = arg z (π) 6. z R arg(z) = 0 (π) et z ir arg(z) = π (π) Ces propriétés se démontrent aisément en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes, voir paragraphe suivant. Rappels : On munit le plan complexe d un repère orthonormal direct (O; u, v ). Soit z un nombre complexe non nul de point image M O. Soit M le point image de z d argument θ = arg(z) et de module 1 (M est l intersection de la demi-droite [OM 0 ) et du cercle C(O, 1) dit cercle trigonométrique) alors θ est la longueur de l arc de cercle reliant les points U(1) et M. Figure 3 Cercle trigonométrique Pour un réel θ donné, on définit le cosinus de θ (noté cos θ) comme l abscisse du point M et le sinus de θ (noté sin θ) comme l ordonnée du point M. Le tabeau suivant comporte les valeurs trigonométriques de base. t 0 π 6 π 4 π 3 π cos θ sin θ Proposition 4. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même module et des arguments égaux à un multiple (entier) de π près.

6 . Forme trigonométrique 6 Exercice 1. Déterminer le module et l argument des nombres complexes suivants : 1. z 1 =. z = i 3. z 3 = 3 3i 4. z 4 = 4 + 4i 3. Forme trigonométrique Définition 4. Soit z un nombre complexe non nul, en posant r = z et θ = arg(z)(π), on peut écrire z = r(cos θ + i sin θ). C est la forme trigonométrique de z. Justification : Soient M 0 le point image de z, et M le point image de z = z r = x + iy, alors OM = z = 1 et cos θ = cos( u, OM) = cos( u, OM) = x et sin θ = y. D où z = cos θ + i sin θ et z = rz = r(cos θ + i sin θ)..3 Forme exponentielle Définition 5. Pour tout réel θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ. Ainsi, si z C, z = z e iθ où θ = arg z(π) : c est la forme exponentielle de z. Exemples 1. e i0 =, e iπ =, e i π =, e i π =. z = i 3 = Proposition 5. Pour tous réels strictement positifs r et r et pour tous réels θ et θ : 1. re iθ r e iθ = r r e i(θ+θ ) 1. e = iθ e iθ = e iθ re iθ 3. = r ) r e iθ r ei(θ θ Théorème (Formules d Euler). Pour tout réel θ : cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i Preuve : Écrire e iθ = cos θ + i sin θ et e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ

7 7 3 Applications à la géométrie Remarque : Soient A(z A ) et B(z B ) deux points du plan complexe. Soit M(z M ) le point tel que OM = AB. Alors z M = z B z A. On note z AB = z B z A : on parle de l affixe du vecteur AB. Justification : Revenir aux coordonnées cartésiennes : A(x A, y A ) z A = x A + iy A et B(x B, y B ) z B = x B + y B. OM = ( ) xb x A AB z M = (x B x A ) + i(y B y A ) = z B z A. y B y A Proposition 6. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan d affixes respectives z A, z B, z C z D. 1. z B z A = AB et arg(z B z A ) = ( u, AB) (π) z. D z C z B z = CD ( ) A AB et arg zd z C = ( AB, CD) (π) z B z A Exercice. Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct (O, u, v ) on considère les points A(z A = 5 i 3), B(z B = 4 + i 3) 1. Déterminer les coordonnées de Q milieu de [OB].. Déterminer les coordonnées de K de telle sorte que ABQK soit un parallélogramme. 3. Quelle est la nature du triangle OKA? Quelle est la nature du quadrilatère OQKA? 4. Soit C d affixe z C = z A. Que peut-on dire des points B, C et K? 3 4 «Racines» d un nombre complexe - Équations polynomiales dans C 4.1 «Racines carrées» d un nombre complexe Proposition 7. Soit z un nombre complexe non nul, l équation (E) : ω = z admet exactement deux racines z 1 et z = z 1 appelées «racines carrées» de z. Exercice 3. Déterminer les racines carrées de z = + i. Remarques : 1. Le choix d utiliser la forme exponentielle de z se fera si celle-ci est simple à déterminer.. Il est interdit d utiliser la notation pour exprimer la racine carrée d un nombre complexe, car ce n est pas une fonction sur C.

8 4. Équations polynomiales du second degré 8 4. Équations polynomiales du second degré La méthode pour résoudre une équation du second degré (E) : az + bz + c = 0, a 0, est identique au cas réel : posons = b 4ac : si 0, possède deux racines carrées complexes δ et δ (voir paragraphe précédent) et les deux solutions complexes sont alors : z 1 = b + δ a Exercice 4. Résoudre l équation z 3 + i = 0. et z = b δ a Exercice 5. Résoudre l équation z (5 + 3i)z + 7i + 4 = Équations polynomiales de degrés supérieurs à Rappels : Définition 6. On appelle racine réelle (respectivement complexe) d un polynôme P tout nombre réel (resp. complexe) u vérifiant P (u) = 0. Théorème 3. Soit P un polynôme de degré p, P (z) = a a p x p (p > 0 et (a 1,, a p ) C p, a p 0) et u C tel que P (u) = 0 ; alors il existe un polynôme R de degré p 1 tel que P (z) = (z u)r(z). Une identité remarquable importante (d un intérêt propre) permet de prouver cet énoncé : Proposition 8. Soient (a, b) C, n 1 : a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + + ab n + b n 1 ) Exemple. x 3 x + x 1 = (x 1)(x + 1). En effet : soit P (x) = x 3 x + x 1 alors P (1) = 0, ainsi P (x) = P (x) P (1) = x 3 1 (x 1) + (x 1) = (x 1)((x + x + 1) (x + 1) + 1) Exemple 3. Soit P (x) = x 4 + x 3 x 3x +. Déterminer deux racines «évidentes» de P (x) afin de factoriser au maximum P (x) sur R. Le théorème suivant est un résultat fondamental qui étend les précédents (et sera admis) : Théorème 4 (de d Alembert ou Théorème fondamental de l Algèbre). Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet (au moins) une racine complexe. Le théorème de factorisation se réécrit pour un polynôme à coefficients complexes. Corollaire 1 (factorisation sur C). Si un polynôme à coefficients complexes s écrit il a alors d racines z 1,..., z d et P (z) = a a d z d, avec d > 0, a d 0, a 0,..., a d C (1) P (z) = a d (z z 1 ) (z z d ) ()

9 4.4 Racines énièmes d un nombre complexe 9 La relation () est appelée factorisation d un polynôme à coefficients complexes. Ici, certaines racines peuvent être répétées. Cas particulier des polynômes à coefficients réels : P (z) = a a d z d, avec d > 0, a d 0, a 0,..., a d R (3) Dans ce cas les racines sont réelles ou complexes. Soit u C tel que P (u) = 0 alors les propriétés de la conjugaison impliquent P (u) = 0. On peut ainsi classer les racines de P selon qu elles soient réelles ou complexes. Si z 1,..., z k sont les racines de P de partie imaginaire strictement positive, on en déduit k autres racines complexes z 1,..., z k et les d k autres racines x 1,..., x d k sont alors réelles. Par suite la factorisation complexe () peut être réécrite ici comme : P (z) = a d (z x 1 ) (z x d k ) ((z z 1 )(z z 1 )) ((z z k )(z z k )) Lemme : Soit u C alors : (z u)(z u) = z (u + u )z + u = z Re(u)z + u où Re(u) désigne la partie réelle de u. Ce lemme implique alors : Corollaire (factorisation sur R). Soit P un polynôme à coefficients réels, il existe des nombres réels α 1,..., α k, x 1,..., x d k R, β 1,..., β k > 0 vérifiant P (x) = a d (x x 1 ) (x x d k )(x α 1 x + β 1 ) (x α k x + β k ). (4) On note que α j = Re(z j ) et β j = z j si 1 j k. Exercice 6. Factoriser sur C puis R le polynôme P (x) = x 5 x 4 + x Racines énièmes d un nombre complexe Le but de ce paragraphe est l étude de l équation ω n = z où n est un entier strictement positif et z est un complexe non nul. Remarque : Nous aurons besoin d utiliser dans ce paragraphe la formule de De Moivre (qui sera démontrée au paragraphe suivant) : Pour tout entier n et tout réel θ : ( e iθ) n = e inθ Racines énièmes de l unité Théorème 5. Soit n N. L équation (E 0 ) : ω n = 1 admet n solutions distinctes dans C, appelées racines énièmes de l unité. Ce sont les nombres complexes ω k définis par : ω k = e i kπ n avec k {0, 1,, n 1}. Exemples 4. Si n =, ω 0 = 1 et ω 1 = 1 Si n = 3, ω 0 = 1, ω 1 = e i π 3 et ω = e i 4π 3 On note j = e i π = + i, alors j = j = e i 4π 3 : ce sont les racines cubiques de l unité. Si n = 4, ω 0 = 1, ω 1 = i = e i π,ω = 1 = e iπ, ω = i = e i 3π

10 10 Théorème 6. Les images des racines énièmes de l unité forment un polygone régulier à n côtés, tracé sur le cercle unité, et dont l un des sommets est le point d affixe 1. Justification : Soit ω 1 = e i π n : les n racines énièmes de l unité sont alors les n puissances de ω1 : si k [[1; n], ω k = ω1 k (avec ω1 n = 1). On note M k le point image de ω k : pour tous k {1,, n}, M k M k+1 = ω k+1 ω k = ω1 k+1 ω1 k = ω1 ω k 1 1 = ω 1 1 car ω 1 est de module 1. Donc M k M k+1 est constant : le polygone M 1 M M n est donc régulier Théorème 7. Si ω est une racine énième de l unité, avec ω 1, alors 1+ω +ω + +ω n 1 = 0. En particulier, la somme des n racines énièmes de l unité est nulle. Exemple 5. A retenir : 1 + j + j = Racines énièmes d un complexe non nul On veut généraliser l étude précédente, et résoudre l équation d inconnue ω, (E) : ω n = z, où z est un complexe non nul (on écarte le cas z = 0 car, de manière évidente, seul 0 est dans ce cas solution). On procède comme au paragraphe ci-dessus, avec les formes exponentielles ω = ρe iθ et z = re iα ; l équation (E) devient : ρ n e inθ = re iα, d où l on tire ρ = r 1 n, et θ = α n ( π n Théorème 8. Soit n un entier non nul. Tout complexe non nul z = re iα admet n racines énièmes. w k = r 1 n e i α+πk n où k {0,, n 1} Remarque : On obtient toutes les racines énièmes d un complexe non nul en multipliant l une quelconque d entre elles par toutes les racines énièmes de l unité. Justification : Soient n N et z = re iα C, Ω une racine énième de z et {ω 0, ω,, ω n 1 } les n racines énièmes de l unité. Alors pour tout k {0,, n 1}, (Ωω k ) n = (Ω) n (ω k ) n = z 1 = z. De plus, si k k, alors Ωω k Ωω k, on obtient donc les n racines énièmes de z Exercice 7. Calculer les racines quatrièmes de z = 3 + i. ). 5 Trigonométrie L argument d un nombre complexe θ = arg z étant défini à π près, s il existe k Z tel que θ = θ + kπ, alors z = e iθ = z = e iθ. Une première conséquence est que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période π : cos(θ + π) = cos θ sin(θ + π) = sin θ Une application importante du cercle trigonométrique est la résolution d équations trigonométriques, la preuve de l énoncé qui suit se lit simplement sur le cercle trigonométrique (voir figure 4.).

11 11 Théorème L équation cos α = cos θ admet les solutions α = θ + kπ et α = θ + kπ où k Z.. L équation sin α = sin θ admet les solutions α = θ + kπ et α = π θ + kπ où k Z. Figure 4 Équations trigonométriques Théorème 10 (formule de De Moivre). (θ, θ ) R, e iθ e iθ = e i(θ+θ ) Ci-dessous, quelques utilisations fondamentales de ces formules : Restituée en termes des fonctions trigonométriques sin et cos, la formule de De Moivre s écrit : { cos(θ + θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ sin(θ + θ ) = sin θ cos θ + sin θ cos θ Quelques conséquences de cette relation : on utilise arg z = arg z et (e iθ ) = cos θ i sin θ i.e. e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ donc cos( θ) = cos θ et sin( θ) = sin θ ( cos θ + π ) ( = sin θ et sin θ + π ) = cos θ ( ) ( ) π π cos θ = sin θ et sin θ = cos θ cos(π + θ) = cos θ et sin(π + θ) = sin θ cos(π θ) = cos θ et sin(π θ) = sin θ On en déduit par récurrence la formule suivante, connue sous le nom de formule de De Moivre : n Z, θ R, e inθ = ( e iθ) n Elle s écrit en utilisant la formule du binôme : ( ) n n cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) n = i n k cos k θ sin n k θ k=0 k

12 1 Exercice 8. Utiliser la formule de De Moivre afin de «linéariser» cos θ, sin θ, cos 3 θ et sin 3 θ. Exercice 9. Résoudre l équation (E) : cos 3x + cos x cos x 1 = 0 Exercice 10. Soit (p, q) R : écrire sous forme de produits sin p + sin q et cos p + cos q 6 Transformations du plan Définition 7. Une transformation T du plan est une application bijective du plan dans luimême. Définition 8. écriture complexe d une transformation Soit T une transformation du plan complexe. À tout point M d affixe z du plan, T associe un unique point M d affixe z du plan. L application de C vers C, qui à z associe z, est appelée fonction complexe (ou écriture complexe) associée à T. Exemples La translation de vecteur u d affixe z u a pour écriture complexe : z = z + z u.. L homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k R a pour écriture complexe z = k(z ω)+ω. 3. La rotation de centre Ω(ω) et d angle θ a pour écriture complexe : z = e iθ (z ω) + ω. 4. Les projections sur une droite ne sont pas des transformations. Exercice 11. Donner l écriture complexe des transformations suivantes : 1. La rotation de centre A( + i) et d angle π 4.. La symétrie centrale de centre A(1 i). 3. La translation de vecteur u ( i). Définition 9. Une similitude plane S du plan est une transformation qui conserve les rapports des distances : i.e. pour tous points M, N, et P (M N) d images respectives M, N et P par S, on a M P = MP M N MN Proposition 9. Une transformation du plan est une similitude si et seulement si S multiplie les distances par un réel k > 0 appelé rapport de la similitude. Preuve : Si S est une similitude plane qui transforme les points M, N et P (distincts deux à deux) en M, N et P on a M P = MP M N MN donc M N MN = M P. Ainsi, pour tous points M et N MP distincts, le rapport M N est constant, égal à un réel k > 0 MN

13 13 Définition 10. Une transformation f du plan est une isométrie si elle conserve les distances, i.e. pour tous points M et N d images respectives M et N par f, on a M N = MN. En d autres termes, les isométries sont les similitudes de rapport 1. Exemples 7. du plan. Les translations, les rotations, les symétries axiales et centrales sont des isométries Proposition 10. La composée d une similitude de rapport k > 0 et d une similitude de rapport k > 0 est une similitude de rapport k k. Proposition 11. La transformation réciproque d une similitude S de rapport k > 0 est une similitude S de rapport 1 k. Exercice 1. Extrait de l examen de janvier Pour tout nombre complexe z on pose : P (z) = z 4 1 (a) Factoriser P (Z). (b) En déduire les solutions dans C de l équation P (z) = 0. ( ) z (c) En déduire les solutions dans C de l équation = 1 z 1 (on donnera les solutions sous forme algébrique). Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u; v) (d unité 5cm) 1 3i 1 + 3i (a) Placer Les points A, B, et C d affixes : a = ; b = et c =. 5 5 (b) Démontrez que les points O; A; B; C sont situés sur un cercle dont on donnera le centre et le rayon. 3. (a) Placez le point D d affixe d = i sur la figure. (b) Exprimez sous forme trigonométrique le complexe z défini par : z = a c d c (c) Quelles conclusions géométriques pouvez vous tirez de l expression de z? Exercice 13. Extrait de l examen de juin 01 Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O; i, j), d unité graphique cm, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives a = i, b = i, c = 1 + i et d = 1 + i. Vous devez faire une figure que vous complèterez au fur et à mesure de l exercice. 1. Soit f l application de P privée du point B dans P qui à tout point M d affixe z z B associe le point M d affixe z tel que : z (z i) = i (z i) Déterminez l ensemble des points M de P vérifiant f(m) = M : donnez leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique.

14 14. (a) Montrez que, pour tout complexe z différent de i : z = AM ; et si de plus z i, BM arg(z ) = ( MB; MA) + π (π). (b) Déterminez puis construisez l ensemble (E) des points M d affixe z tels que z = 1. (c) Déterminez puis construisez l ensemble (F) des points M d affixe z tels que arg(z ) = π (π) 3. (a) Démontrez que pour tout complexe z différent de i : z i = 1 z i. (b) Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1, démontrez que son image M par f appartient à un cercle de centre B dont vous préciserez le rayon. Définition 11. On dit qu une similitude S du plan est directe si elle conserve les angles orientés de vecteurs : ainsi, soient A, B, C et D quatre points où A B et C D d images respectives A, B, C et D alors ( AB, CD) = ( A B, C D ) (π) Proposition La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.. La réciproque d une similitude directe est une similitude directe. La démonstration est immédiate Théorème 11. Toute similitude directe du plan a une écriture complexe de la forme z = az + b où a C et b C. Exercice 14. Montrer que la réciproque du théorème précédent est vraie. Proposition 13. Soit S une similitude directe d écriture complexe z = az + b. 1. Si S n est pas une translation (i.e. a 1), alors S possède un unique point fixe (i.e. invariant par S) : appelé centre de la similitude.. Soient A et B deux points distincts d images respectives A et B alors l angle orienté ( AB, A B ) ne dépend ni de A ni de B. Cet angle est appelé angle de la similitude directe. Propriété 1. Une similitude directe qui n est pas une translation est entièrement déterminée par la donnée de son centre, d un point et de son image. Conséquence : On connaît l écriture complexe d une similitude directe S (qui n est pas une translation) dès lors que l on connaît son centre Ω, son angle Θ et son rapport k > 0 : si cette écriture est de la forme z = az + b, alors a = ke iθ et b se détermine en résolvant l équation z Ω = az Ω + b Définition 1. Une similitude directe de rapport k = 1 est appelée déplacement.

15 15 Proposition 14. Tout déplacement du plan est soit une translation, soit une rotation. Preuve : D après la définition, un déplacement f a une écriture complexe de la forme z = e iθ z+b : si θ = 0, f est une translation, et si θ 0, f est une rotation d angle θ Définition 13. Une similitude non directe (ou indirecte) est une similitude qui inverse les angles orientés : i.e. soient A, B, C et D quatre points (avec A B et C D) d images respectives A, B, C et D : on a ( AB, CD) = ( A B, C D ) (π). Exemple 8. Toute réflexion d axe est une similitude indirecte. Théorème 1. Toute similitude indirecte peut se décomposer sous la forme f = σ S où S est une similitude directe et σ une symétrie axiale (ou réflexion). Théorème 13. Une transformation du plan est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z = a z + b où a et b sont deux nombres complexes, a 0. Exercice Soit S d écriture complexe z = 3iz 1 + i. Donner le rapport de S et ses points invariants.. Soit S d écriture complexe z = z + (Le rapport de S est égal à 1 on dit que S est un antidéplacement). Vérifier que S ne possède pas de point invariant, puis que S est la composée de la translation de vecteur u et de la réflexion d axe (Ox) Les deux lemmes qui suivent permettent de démontrer le théorème [1] : Lemme 1. Une similitude plane S qui admet trois points fixes non alignés est l identité. Preuve : Soient A, B et C trois points non alignés tels que S(A) = A, S(B) = B et S(C) = C. Le rapport de la similitude est S(A)S(B) = AB = 1 : S est une isométrie. Soit M un point AB AB quelconque du plan. Supposons que S(M) M alors, comme s est une isométrie, on en déduit que A, B et C sont sur la médiatrice de [MM ] : contradiction avec le fait qu ils ne sont pas alignés. Lemme. Une similitude plane S qui admet deux points fixes distincts A et B est l identité ou la réflexion d axe (AB). Preuve : Soit C un point n appartenant pas à la droite (AB). Soit C = S(C). 1. Si C = C : alors S admet trois points fixes non alignés et S = id.. Sinon, on le rapport de S est S(A)S(B) = 1, S est une isométrie : soit t la symétrie axiale AB d axe (AB) : on a AC AC = 1 = BC BC donc A et B appartiennent à la médiatrice de [CC ] Soit t la symétrie d axe (AB) on a t(c ) = C et donc S t(c) = C. De plus S t(a) = A et S t(b) = B. Donc S t admet trois points fixes non alignés : c est l identité et S = t 1 = t