Introduction à la Logique Catégorique

Transcription

1 Introduction à la Logique Catégorique DEUXIÈME VERSION CORRIGÉE ET AUGMENTÉE Alain Prouté Equipe de Logique Mathématique UMR 7056 du CNRS Université Denis Diderot-Paris P(X) 1 P j (X) 2 Master 2 de Logique Mathématique et Fondements de l Informatique Master 2 de Mathématique Fondamentales Année Dernière mise à jour de ce texte : 1 er novembre 2016

2

3 Remerciements. J e rè mèˇr`cˇiè l affl `d i rè cˇtˇr i`c e F rà n`ç o i sfiè Dè l o nffl èˇt l eṡ mè m b rèṡ `d uffl b u rè åuffl `dè l É`qfi u i pè `dè Lòˆgˇi`qfi uè `dè l u n i vfleˇr sfi i t é Dè n i s D i`dèˇrò t `qfi u iffl ò n t b iè nffl vô u lˇuffl mffl à`c cˇuèˇi l lˇi rffl `dà n s l eˇu rffl `é qfi u i pè, èˇt `qfi u iffl mffl ò n t ò f f eˇr t l affl pòşfi sfi i b i lˇi t é `dè f åi rè u nffl `c o u r s `dè l oˆgˇi`qfi uè `c åt é g o r i`qfi uè `dà n s l e M`āsfi t eˇrffl `dèˇu xˇi`è mè à nffl- n`é e Lòˆgˇi`qfi uè Mà t h`é m`åtˇi`qfi uè èˇt Fò n`dè mè n tṡ `dè l I n f o r m`åtˇi`qfi uè. J e rè mèˇr`cˇiè p`år tˇi`cˇu lˇi`èˇrè mè n t A r n`åu`dffl D u rà n`dffl, `d i rè cˇt eˇu rffl `dè `c e M`āsfi t eˇrffl. J e rè mèˇr`cˇiè `é g ãl e mè n t M`år`c Ròşfi sfiò, `d i rè cˇt eˇu rffl `d uffl M`āsfi t eˇrffl `dèˇu xˇi`è mè à n n`é e M`åt h`é m`åtˇi`qfi uèṡ Fò n`dà mè n t a l eṡ `qfi u iffl àffl `àc c eṗ t é `qfi uè l affl p rè m i`èˇrè mò i tˇi`é `dè `c e `c o u r s f āsfi sfiè p`år tˇiè `dè sfiò nffl M`āsfi t eˇrffl. J e rè mèˇr`cˇiè `é g ãl e mè n t l eṡ `éˇtˇu`d ià n tṡ èˇt l eṡ nò m b rèˇu x `åu`d i t eˇu r s `qfi u iffl ò n t sfi u i v iffl mò nffl `c o u r s è nffl p`år tˇi`cˇi pà n t `àcˇtˇi vfle mè n t, sfià n s ò u b lˇièˇrffl `c eˇu x `qfi u iffl l ò n t sfi u i v iffl `àffl `d i sfi t a n`c e v iàffl l I n t eˇr nèˇt. Mèˇr`cˇiffl `àffl t o u s `c eˇu x `qfi u iffl ò n t rè lˇuffl `dèṡ p`år tˇièṡ `d uffl mà n u sfi`cˇr i p t èˇt sfi u`g g éˇr`é `dèṡ `c o r rè cˇtˇiò n s. J e rè mèˇr`cˇiè p lˇu s p`år tˇi`cˇu lˇi`èˇrè mè n t pò u rffl l eˇu rffl p`år tˇi`cˇi p`åtˇiò nffl Sà m y A b bflèṡ, N`åt hà n`àë l F i j ãl kò w, J o n`ās F rè y, J éˇr`ô mè J e a nffl-c h`år l eṡ, A n`åt o l e K h`é lˇi f, A l åi nffl Mò lˇi n ièˇrffl èˇt E l e nàffl Sè n`d rò i uffl. Mèˇr`cˇiffl `é g ãl e mè n t `àffl A l bfleˇr t B u r rò n iffl, t o u j o u r s `d i sfi pò n i b l e pò u rffl `dèṡ `d i sfi`cˇu sfi sfi iò n s èˇt è xṗ lˇi`c åtˇiò n s sfi u rffl l eṡ nò tˇiò n s `c åt é g o r i`qfi uèṡ. Mèˇr`cˇiffl `àffl A n`d r`é J o y ãl `qfi u iffl àffl b iè nffl vô u lˇuffl mè `c o n sfi`àcˇrèˇrffl u nè `dè m iffl- j o u r n`é e `dè `d i sfi`cˇu sfi sfi iò nffl l o r s `dè mò nffl r`é c e n t p`āsfi sfi`àg e `àffl Mò n tˇr`é ãl. J e rè mèˇr`cˇiè M`àdà mè M i`c h`è l e W`āsfi sfiè, rèṡfi pò n sfi`ãb l e `dè l affl sfi`c o l år i t é `dèṡ M`āsfi t eˇr s `dè `dèˇu xˇi`è mè à n n`é e, pò u rffl sfiò nffl `d`é vô uè mè n t sfià n s bô r nè èˇt sfiò nffl è f fˇi`c a`cˇi t é. J e rè mèˇr`cˇiè Mà xˇi mò D i`c k mà n nffl `qfi u iffl àffl b iè nffl vô u lˇuffl `àc c eṗ t eˇrffl l affl sfiè c o n`dè vfleˇr sfi iò nffl `c e t e xˇt e pò u rffl l eṡ p r`éṗ u b lˇi`c åtˇiò n s `dè l É`qfi u i pè `dè Lòˆgˇi`qfi uè, `āp r`èṡ à vô i rffl `d`é j àffl `àc c eṗ t é l affl p rè m i`èˇrè vfleˇr sfi iò nffl. Mèˇr`cˇiffl è n fˇi nffl `àffl mò nffl m`åî tˇrè, `c o l l è gˇuè èˇt à m iffl S`åu n`dèˇr s M`àc Là nè, h`é l ās `åu j o u r`dffl h u iffl `d i sfi p`år uffl.

4

5 pour Fanny et César, qui commencent à s intéresser aux mathématiques Ω Jules Rex Jazou Gaston Médor (Le classifiant du foncteur des sous-objets dans le topos «canin»)

6

7 J ai commencé à composer ce texte en septembre 2008 et depuis cette époque j ai pu en enseigner deux fois le contenu dans les Masters deuxième année de l universite Denis Diderot-Paris 7. Une première publication de ces notes dans la série des prépublications de l Équipe de Logique de Paris 7 a eu lieu en novembre La présente version, significativement plus épaisse, s enrichit principalement par rapport à la précédente d un traitement des topologie de Grothendieck et de Lawvere-Tierney, et de résultats concernant l axiome du choix. Bien entendu, un certain nombre d erreurs ont aussi été corrigées dans le reste du texte, mais il doit certainement en rester. L appendice a été enrichi de nouvelles solutions d exercices, mais reste encore assez incomplet. La raison principale pour cette nouvelle publication «intermédiaire» d un texte qui est encore loin d être achevé, est tout simplement le fait que de plus en plus de personnes m en réclament un exemplaire alors que la première «édition» (qui était d une centaine d exemplaires seulement) est épuisée. On trouvera dans ces pages quelques incohérences dûes à leur état partiel d achèvement. Le plus souvent ce sont des redites, ou de petites parties encore manquantes, mais auquelles on se réfère quand même. Par exemple, plusieurs allusions sont faites aux foncteurs logiques entre topos, mais cette notion n est pas encore traitée. On trouvera aussi des concepts définis deux fois, de manière toutefois différentes quoi qu équivalentes, ou des théorèmes démontrés deux fois, en particulier concernant les topos relatifs, mais bien entendu de façons différentes. C est dû au fait que j ai souhaité, par curiosité essentiellement, voir ce que donneraient certaines démonstrations sans utilisation du langage interne. Dans la version finale de ce texte, un choix devra être fait, mais ce n est pas le cas pour le moment. Le présent texte doit donc encore être considéré comme «en travaux». Ce n est pas bien grave en réalité, et l ensemble garde suffisamment de cohérence pour être utilisé avec profit. Une question qui n est pas encore traitée ici est celle des fondations au dessus desquelles on peut traiter la théorie des catégories. Par exemple, ce qu on entend par «catégorie des ensembles» n est pas très précisément défini et reste du domaine intuitif. Je suppose que le lecteur admettra qu il y a une classe de tous les ensembles et une classe de toutes les applications entre ensembles, et que tout cela fait une catégorie. Plus généralement la question des fondations des mathématiques elles-même est mon dada depuis de nombreuses années, et l une des principales motivations pour ce texte. Les chapitres concernant ces questions ne sont encore aujourd hui qu à l état d esquisses et n ont donc pas été insérés dans la présente version. Paris, octobre 2010.

8

9 9 Table des matières 1 Logique Applications croissantes adjointes Ordres et préordres Majorant, plus grand élément, borne supérieure Applications adjointes Existence d une adjointe La logique naturelle Introduction L interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov Le calcul des séquents Variables, contextes, substitutions Mathématique sur un système de types Première exploration des preuves structurelles Algèbres de Heyting Algèbres de Boole Autres conséquences Modèles Motivations : le modèle usuel Définition des modèles Modèles de Heyting-Beck-Chevalley Robustesse Le cas du modèle usuel Le modèle «graphique» Ensembles et applications graphiques Produits Algèbre des parties graphiques La condition de Beck-Chevalley graphique Un modèle de Heyting-Beck-Chevalley Conséquences Behaviorisme Transformations naturelles Catégories et foncteurs Graphes et diagrammes Comma-catégories Transformations naturelles Compositions verticales, horizontales et hétérogènes Calcul bidimensionnel Isomorphismes et équivalences de catégories Produits de catégories Catégories de foncteurs

10 Monomorphismes et épimorphismes Sous-objets Catégories monoïdales Problèmes universels Objets initiaux et objets finals Produits Sommes Exponentielles Caractérisations équationnelles Langages de programmation fonctionnelle Produits fibrés et sommes amalgamées Le foncteur des sous-objets Égaliseurs et coégaliseurs Limites et colimites Recouvrements et séparateurs Limites et colimites dans Ens Limites et colimites dans les catégories de foncteurs Exponentielles dans les catégories de foncteurs Colimites et pullbacks Sous-objets d une colimite Classifiants et adjonctions Foncteurs représentables et classifiants Lemme de Yoneda Foncteurs adjoints Unité et co-unité Fonctorialité Foncteurs préservant une structure Catégories relatives Les théorèmes d existence de Freyd Objet initial Classifiant Foncteurs adjoints Algèbre Monades Définition Deux monades familières Les monades sont des monoïdes Catégories d algèbres Algèbres sur une monade Catégorie d Eilenberg-Moore Catégorie de Kleisli La monade d une adjonction Monadicité Le théorème de Beck Ensembles Première notions sur les topos élémentaires Motivations Topos Quelques propriétés du foncteur P Compréhension et appartenance Recouvrements

11 4.1.6 L égalité interne Quelques opérations «internes» Topos relatifs Le langage interne Prédicats internes Éléments généralisés Variables Changements de contexte Paires, ensembles, égalités Flèches Résumé Quelques outils Changement de contexte Occurrences libres et occurrences liées Remplacement Connecteurs logiques et sémantique de Kripke-Joyal Vrai Le quantificateur universel La conjonction L implication Les connecteurs additifs Preuves Calculs Robustesse du fragment multiplicatif Robustesse du fragment additif L algèbre de Heyting «externe» Sub(X) Utilisation du langage interne Extensionnalité Monomorphismes et épimorphismes Le principe de description Exponentielles L algèbre de Heyting «externe» Sub(X) L algèbre de Heyting «interne» P(X) Ensembles et sous-objets Monadicité de P Modèles Préfaisceaux Ensembles hétérogènes et attributs Plongement et lemme de Yoneda Atomes Éclatement d un préfaisceau Le foncteur Sub Topos de préfaisceaux La structure de P(ζ) Cribles Faisceaux Topologies de Grothendieck Topologies de Lawvere-Tierney Retour au langage interne Faisceaux Topos de faisceaux Le faisceau associé

12 12 6 Classissisme Le principe du tiers exclu L axiome du choix Objets projectifs et objets intérieurement projectifs L axiome du choix interne Le théorème de Diaconescu L axiome du choix externe Indépendance de l axiome du choix interne Indépendance de l axiome du choix externe A Solutions de quelques exercices. 331 A.1 Exercices du chapitre A.2 Exercices du chapitre A.3 Exercices du chapitre A.4 Exercices du chapitre A.5 Exercices du chapitre A.6 Exercices du chapitre

13 13 Chapitre 1 Logique. C est avec la logique que nous prouvons et avec l intuition que nous trouvons. Henri Poincaré Dans ce chapitre nous utilisons la notion d adjonction entre applications croissantes, aussi connue sous le nom de «correspondance de Galois» pour modéliser le raisonnement naturel. Il s agit d un cas particulier de la notion de «foncteurs adjoints» qui sera exposée en détails au chapitre 2. Ce cas particulier est nettement plus simple que le cas général. En particulier, on n a pas besoin de définir la notion de transformation naturelle pour manipuler des applications croissantes adjointes, alors que c est indispensable pour manipuler des foncteurs adjoints. De plus, ce cas particulier n est pas qu un cas d école. C est un outil suffisamment puissant pour nous permettre de modéliser d importants phénomènes logiques. On trouvera dès ce chapitre des applications fondamentales de cette notion, qui sont aussi cruciales en théorie des topos. Ce chapitre est organisé comme suit. Après une introduction aux applications croissantes adjointes, un aperçu de la naissance de la logique catégorique est donné. Il n a aucune prétention à l exhaustivité, ni même à être une vision historique du développement de la logique catégorique. Il consiste plutôt en une analyse des principaux évènements qui ont conduit aux concepts de la théorie, cette analyse étant d ailleurs celle de l auteur qui en assume la responsabilité. La «logique naturelle» est ensuite présentée par une utilisation systématique des adjonctions. Cette présentation met en évidence la notion de preuve «structurelle», aussi appelée preuve «intuitionniste» ou «constructive». Le modèle «classique» de cette logique est ensuite présenté. Il s agit de l interprétation ensembliste usuelle qui est celle de tout mathématicien, lequel n a conscience en général que de celle-ci quand il s agit d un non logicien. Ce modèle est ensuite généralisé en une notion «abstraite» d interprétation de la logique. Enfin, cette situation générale est particularisée, à titre d exemple, à un modèle non classique («exotique»), que nous appellerons «modèle graphique», l un des plus simples possibles, entrouvrant ainsi, en particulier pour le non logicien, une porte sur un univers dans lequel les mathématiques s interprètent de multiples façons. 1.1 Applications croissantes adjointes. Avertissement : En général, en mathématiques, le symbole («plus petit que ou égal à») a précédence sur les connecteurs logiques comme,,. Par exemple, l expression x y E se lit

14 14 Chapitre 1. Logique. généralement comme (x y) E et non pas comme x (y E). Toutefois, dans ce chapitre, et en particulier dans la section consacrée aux algèbres de Heyting, on emploie souvent la convention contraire. L ajout de parenthèses aurait considérablement alourdi le texte. Le lecteur déterminera la lecture correcte d après le sens. En effet, dans chaque situation, une seule manière de placer les parenthèses peut mener à des expressions ayant un sens Ordres et préordres. Les notions de relation d ordre et de préordre sont parmi les plus fondamentales de la logique, et pas seulement de la logique catégorique. L une des raisons en est que la «démonstrabilité» d un énoncé F à partir d un énoncé E (le fait de pouvoir démontrer F sous l hypothèse E) est une relation de préordre sur les énoncés. C est cette relation qui est au centre de ce chapitre. DÉFINITION 1 Soit X une collection. Une «relation de préordre» sur X est une relation binaire sur X, qu on peut noter x y pour deux éléments quelconques x et y de X, telle que : x X x x (reflexivité) x X y X z X (x y y z) x z (transitivité) Une «relation d ordre» sur X est une relation de préordre sur X qui vérifie de plus : x X y X (x y y x) x = y (antisymétrie) Une relation d ordre ou de préordre est dite «totale» si elle vérifie : x X y X x y y x Par la suite nous appelerons également «ordre»( 1 ) (resp. «préordre») une collection munie d une relation d ordre (resp. de préordre), et nous appliquerons à ces collections les adjectifs s appliquant aux relations. On dira que la relation 1 est «plus petite» que la relation 2 (toutes deux définies sur une même collection X), si x X y Y x 1 y x 2 y Il y a de nombreux exemples de collections ordonnées ou préordonnées. En voici quelques uns. L ensemble N des entiers naturels muni de l ordre naturel (relation d ordre totale). L ensemble N des entiers naturels muni de la relation de divisibilité (x y signifie ici que x divise y). C est un ordre (si x divise y et si y divise x alors x = y) et il n est pas total (par exemple on n a ni 2 3, ni 3 2). L ensemble Z des entiers relatifs, muni de la relation de divisibilité. C est un préordre (par exemple 2 divise 2 et réciproquement, alors que 2 2), et il n est pas total pour la même raison que précédemment. L ensemble des parties d un ensemble, muni de la relation d inclusion est un ordre et il n est pas total sauf dans quelques cas particuliers. L ensemble des parties d un ensemble ayant une certaine propriété, par exemple l ensemble des ouverts d un espace topologique ou l ensemble des idéaux d un anneau, toujours pour la 1. ou «préordre squelettique».

15 1.1 Applications croissantes adjointes. 15 relation d inclusion, est un ordre, et d une manière plus générale tout sous-ensemble d un ensemble préordonné (resp. ordonné) est préordonné (resp. ordonné). La collection des énoncés correctement formés dans un contexte donné est un préordre (non total) pour la relation de prouvabilité. Cet exemple (métamathématique) fondamental pour la logique est décrit en détails plus loin. EXERCICE 1 Soient X et Y deux collections préordonnées. Montrer que X Y muni de la relation définie par : (x, y) (u, v) si et seulement si x u et y v est un préordre. Vérifier que ce préordre n est en général pas total, même quand les préordres sur X et Y le sont, mais que c est un ordre si les relations données sur X et Y sont des ordres. EXERCICE 2 Soit X un préordre et I une collection. On rappelle qu on note X I la collection de toutes les applications de I vers X. Montrer que X I est un préordre quand on le munit de la relation définie par : f g si et seulement si i I f(i) g(i) En quoi cet exercice généralise-t-il l exercice 1? DÉFINITION 2 Soit X une collection préordonnée. On dit que deux éléments x et y de X sont «équivalents», si x y et y x, ce qu on notera x y. Bien entendu, dans une collection ordonnée, deux éléments équivalents sont égaux (par antisymétrie). EXERCICE 3 Pour tout élément a dans un ensemble préordonné X, l ensemble I a = {x X x a} est appelé l «idéal principal» engendré par a. Vérifier que deux éléments a et b sont équivalents si et seulement si I a = I b. DÉFINITION 3 Soient X et Y deux préordres. Une application f : X Y est dite «croissante» si : x X y X x y f(x) f(y) On dit que deux applications croissantes f, g : X Y sont «équivalentes» si pour tout x de X, f(x) et g(x) sont équivalents. Bien entendu, si Y est un ordre et si f, g : X Y sont équivalentes, alors elles sont égales. PROPOSITION 1 Si f : X Y est croissante et si x y alors f(x) f(y). Autrement dit, les applications croissantes respectent l équivalence. Malgré la trivialité de cette proposition, en voici une démonstration. Puisque x y, on a x y et comme f est croissante, on a f(x) f(y). De même, on a f(y) f(x), donc f(x) f(y). EXERCICE 4 Soit X un préordre. Montrer que l application «diagonale» : X X X definie par (x) = (x, x), où X X est muni du préordre produit (exercice 1) est croissante. Même question pour l application «diagonale généralisée» : X X I définie par (x) = (i x), où X I est muni du préordre défini dans l exercice 2.

16 16 Chapitre 1. Logique. EXERCICE 5 Soit f : X Y une bijection croissante entre deux préordres. Montrer par un exemple que l application réciproque f 1 peut ne pas être croissante, même quand il s agit d ordres ou quand il s agit de préordres totaux. Montrer par contre que si X est totalement préordonné et Y ordonné, f 1 est croissante. EXERCICE 6 Soient X, Y et I des collections, et f : X Y une application. Montrer que : f = f où est défini dans l exercice 4 (page 15) et où f (ϕ) = f ϕ pour tout ϕ X I. En diagramme : X X I f Y Y I f Majorant, plus grand élément, borne supérieure. Une collection X étant donnée, nous allons manipuler aussi bien des parties de X que des familles d éléments de X. Une famille d éléments de X est juste une application d une collection I vers X, autrement dit un élément de X I. I est la collection des «indices» d une telle famille, qu on appellera aussi une «I-famille». Une partie A de X peut être assimilée à une famille. Il suffit de prendre A comme collection des indices et de prendre pour famille l inclusion canonique A X. Ainsi, nous parlerons le plus souvent de familles, mais il est entendu que toute construction qui peut s appliquer à une famille, s applique aussi à une partie. Par ailleurs, nous confondrons le plus souvent X avec sa partie pleine. On aura besoin du concept de «curryfication». Une fonction f : I J X, où I, J et X sont des collections quelconques a une «curryfiée» g : I X J définie par g(i) = j f(i, j). On peut retrouver f à partir de g en écrivant : f(i, j) = g(i)(j). On appelle alors f la «décurryfiée» de g. DÉFINITION 4 Soit X une collection préordonnée, ϕ X I une famille d éléments de X. Un «majorant» (resp. «minorant») de ϕ est un élément m X tel que i I ϕ(i) m (resp. i I m ϕ(i)). Un élément m de X est un «plus grand élément» (resp. «plus petit élément») de ϕ s il existe i I tel que m = ϕ(i) et j I ϕ(j) m (resp. j I m ϕ(j)). Un élément m de X est une «borne supérieure» (resp. «borne inférieure») de ϕ si m est un plus petit élément (resp. plus grand élément) de la collection des majorants (resp. minorants) de ϕ. Il convient de remarquer qu un plus grand (ou plus petit) élément n est pas nécessairement unique. Il l est quand X est un ordre, mais en général deux plus grands éléments de ϕ sont seulement équivalents (définition 2 (page 15)). La même remarque s applique aux bornes inférieures et supérieures. EXERCICE 7 Soit X une collection préordonnée. Montrer que X (c est-à-dire la partie pleine de X) a un plus grand élément si et seulement si la partie vide de X a une borne inférieure. De même, X a un plus petit élément si et seulement si la partie vide de X a une borne supérieure.

17 1.1 Applications croissantes adjointes. 17 On se souviendra en particulier que si une collection préordonnée a des bornes inférieures (resp. supérieures) pour toute famille finie alors elle a un plus grand (resp. plus petit) élément, puisque c est la borne inférieure (resp. supérieure) de la famille vide. EXERCICE 8 Soit f : X Y une application entre deux préordres ayant des bornes inférieures pour tout sous-ensemble à deux éléments (on notera inf(x, y) la borne inférieure de {x, y}). Montrer que si f respecte l équivalence et respecte ces bornes inférieures, c est-à-dire si f(inf(x, y)) inf(f(x), f(y)) pour tous x et y dans X, alors f est croissante. Remarquer qu on n a pas besoin de supposer que f respecte l équivalence si X est un ordre. EXERCICE 9 Montrer que si f : X Y est une application croissante entre deux préordres, et si ϕ X I est une famille d éléments de X ayant une borne supérieure m, alors une borne supérieure n de f ϕ, si elle existe, vérifie n f(m). De même, si ϕ a une borne inférieure m, et si f ϕ a une borne inférieure n, on a f(m) n. EXERCICE 10 (a) Soit X un ensemble, P(X) son ensemble de parties ordonné par inclusion, et I un ensemble quelconque. Montrer que toute I-famille d éléments de P(X) a une borne inférieure et une borne supérieure uniques qu on identifiera. (b) Même question en remplaçant P(X) par l ensemble des ouverts d une topologie sur X, ordonné par inclusion. EXERCICE 11 Soit I un ensemble,( 2 ) A un anneau commutatif unitaire, et X l ensemble des idéaux de A,( 3 ) qui est ordonné par inclusion. (a) Montrer que toute I-famille d idéaux de A a une borne supérieure et une borne inférieure uniques. On suppose que A est un anneau principal( 4 ) et on préordonne A par la relation de divisibilité.( 5 ) (b) Montrer que toute I-famille d éléments de A a une borne supérieure (PPCM) et une borne inférieure (PGCD) pas nécessairement uniques. Quels sont les plus grands et plus petits éléments de A? EXERCICE 12 Les bornes supérieures et inférieures sont commutatives et associatives à équivalence près. Précisément : (a) Si I est une collection et X un préordre, et si la famille f X I a une borne supérieure (resp. inférieure) m, alors pour toute bijection ϕ : I I, la famille f ϕ a une borne supérieure (resp. inférieure), et celle-ci est équivalente à m. Autrement-dit, sup(f) sup(f ϕ). (b) Si J est une collection et f (X J ) I une famille de familles d éléments de X, dont la borne supérieure m : j m j a une borne supérieure, alors la décurryfiée g X I J de f a une borne supérieure, et celle-ci est équivalente à sup(m). Réciproquement si la famille g a une borne supérieure m, alors sa curryfiée f a une borne supérieure, dont la borne supérieure est équivalente à m. Autrement-dit, sup(sup(f)) sup(g). En particulier, le PGCD et le PPCM (exercice 11 (page 17)) sont commutatifs et associatifs à équivalence près. 2. Cet ensemble est quelconque, En particulier, il peut être vide ou il peut être infini. 3. On inclus dans X l anneau A lui-même et l idéal nul {0}. 4. C est-à-dire que A est intègre (xy = 0 x = 0 y = 0) et que tout idéal de A est principal (de la forme aa pour au moins un a de A). 5. C est-à-dire que x y si et seulement s il existe z A tel que y = zx.

18 18 Chapitre 1. Logique. EXERCICE 13 (Huntington [20]) Soit X un ensemble ordonné ayant un plus petit élément (noté 0), et dans lequel toute paire d éléments (x, y) a une borne supérieure (notée x y). Il est clair que (X,, 0) est un monoïde commutatif ( 6 ) (voir l exercice 12). De plus, tout élément x est idempotent (i.e. x x = x). Montrer réciproquement que si (M, +, 0) est un monoïde commutatif dans lequel tout élément x est idempotent (x + x = x), il existe une unique relation d ordre sur M telle que 0 soit le plus petit élément, et pour tous x et y dans M, x + y soit la borne supérieure de x et y Applications adjointes. DÉFINITION 5 Soient X et Y deux préordres, f : X Y et g : Y X deux applications (qu on ne suppose pas croissantes ; voir l exercice 16 (page 18)) : X f g Y On dit que «f est adjointe à gauche de g» ou que «g est adjointe à droite de f» (ce qu on notera f g ou f g : X Y ) si : x X y Y f(x) y x g(y) La paire f g (notée de cette façon ou notée f g : X Y ) sera appelée une «adjonction». EXERCICE 14 On note 1 un ensemble à un seul élément. Montrer que pour toute collection ordonnée X, il est équivalent de demander un plus grand élément ou une adjointe à droite de l unique application : X 1. De même, il est équivalent de demander un plus petit élément ou une adjointe à gauche de : X 1. EXERCICE 15 Soit f g : X Y une adjonction. Montrer que pour tout x X et tout y Y, on a : x g(f(x)) f(g(y)) y Ces deux inégalités sont appelées respectivement l «unité» et la «co-unité» de l adjonction f g. EXERCICE 16 Montrer que si f g est une adjonction, alors f et g sont des applications croissantes (utiliser l exercice 15). En particulier, toute application qui a une adjointe à gauche ou à droite respecte l équivalence (proposition 1 (page 15)). EXERCICE 17 Soit f g : X Y une adjonction entre préordres. (a) Montrer que f g f est équivalent à f (et de même que g f g est équivalent à g). (b) On suppose que X et Y sont des ordres. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : f est injective, g est surjective, 6. C est-à-dire que l opération : X X X est associative et commutative et admet 0 pour élément neutre.

19 1.1 Applications croissantes adjointes. 19 g f = 1 X. Si une adjointe à gauche ou a droite de f existe, elle est unique à équivalence près : EXERCICE 18 Montrer que si f g : X Y et f h : X Y sont des adjonctions, alors g et h sont équivalentes (donc égales dans le cas où X est un ordre). De même, si f h et g h sont des adjonctions, alors f et g sont équivalentes. Montrer réciproquement que si f g et si g est équivalente à h alors f h. EXERCICE 19 Soient X, Y et Z des collections préordonnées. Soient f g : X Y et h k : Y Z des adjonctions. Alors h f g k : X Z est une adjonction. X f g Y h k Z EXERCICE 20 Soient X, Y, U et V des collections préordonnées. Soient f g : X Y et h k : U V deux adjonctions. Montrer que : (f h) (g k) : X U Y V où les produits de préordres sont munis du préordre défini dans l exercice 1 (page 15).( 7 ) EXERCICE 21 Montrer que toute bijection croissante dont la bijection réciproque est croissante a cette réciproque comme adjointe à gauche et à droite. Cas particulier : Montrer que pour toute collection préordonnée X, et toutes collections I et J, la décurryfication ϕ 1 : (X J ) I X I J est adjointe à gauche et à droite de la curryfication ϕ : X I J (X J ) I.( 8 ) EXERCICE 22 Montrer que pour a R, a > 0, l application linéaire x ax de R vers R, ordonné de la manière usuelle, a une adjointe à gauche et une adjointe à droite. Que se passe-t-il si a < 0 ou a = 0? EXERCICE 23 Z et R étant ordonnés de la manière usuelle, montrer que l inclusion i : Z R a une adjointe à gauche et une adjointe à droite qu on identifiera. Qu en est-il de l inclusion de Q dans R?( 9 ) EXERCICE 24 Soit f : X Y une application entre deux ensembles. On rappelle que les applications «image réciproque» f 1 : P(Y ) P(X) et «image directe» f : P(X) P(Y ) (habituellement notée f) associées à f sont définies par : f 1 (B) = {x X f(x) B} f (A) = {y Y x X y = f(x) x A} pour toute partie B de Y et toute partie A de X. Montrer que : f f 1 : P(X) P(Y ) où bien entendu, P(X) et P(Y ) sont ordonnés par inclusion. Montrer qu il existe une application f : P(X) P(Y ), telle que : f 1 f : P(Y ) P(X) 7. On rappelle que f g est définie par (f g)(x, y) = (f(x), g(y)). 8. On rappelle que (ϕ(f))(x)(y) = f(x, y) et (ϕ 1 (g))(x, y) = g(x)(y). 9. Je remercie Jérôme Jean-Charles pour m avoir donné l idée de cet exercice.

20 20 Chapitre 1. Logique. EXERCICE 25 Soit f : X Y une application. On a les deux applications (f ) et (f 1 ) 1 toutes deux de P(P(X)) vers P(P(Y )). (a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : f est injective, f 1 f = 1 P(X), l unité de l adjonction f f 1 (exercice 15 (page 18)) est une égalité (pour tout x X), pour tout x X, on a f 1 (f ({x})) = {x}, pour tout F P(P(X)), on a (f ) (F ) (f 1 ) 1 (F ). (b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : f est surjective, f f 1 = 1 P(Y ), la co-unité de l adjonction f f 1 (exercice 15 (page 18)) est une égalité (pour tout y Y ) pour tout y Y, on a f (f 1 ({y})) = {y}, pour tout F P(P(X)), on a (f 1 ) 1 (F ) (f ) (F ). Il en résulte évidement que f est bijective si et seulement si (f ) = (f 1 ) 1. EXERCICE 26 On considère deux applications entre ensembles f : A C et g : B C, et on pose X = {(a, b) A B f(a) = g(b)}. On a alors le carré commutatif suivant : X π1 A π 2 B g C f où π 1 et π 2 sont les restrictions des projections canoniques du produit A B.( 10 ) Montrer que les carrés suivants, faisant intervenir les applications définies à l exercice 24 (page 19), sont commutatifs :( 11 ) P(X) π 1 1 P(A) P(X) π 1 1 P(A) π 2 P(B) g 1 f P(C) π 2 P(B) g 1 f P(C) Note : On peut simplifier la démonstration en déduisant la commutativité du second carré de celle du premier carré (ou l inverse!). EXERCICE 27 Soient X, A et B des ensembles, et U une partie de (X A) B. On pose V = {((x, f), a) (X B A ) A ((x, a), f(a)) U}. Montrer que : π 1 (π 1 (U)) = π 1 (π 1 (V )) où et sont définis dans l exercice 24 (page 19), et où les différents π 1 sont non ambigus parce que le produit n est pas strictement associatif. (Utiliser l axiome du choix.) 10. Ce carré est en réalité plus que commutatif. Il est «cartésien». On verra au chapitre 2 une définition générale de cette notion. 11. Il s agit d un cas particulier de la «condition de Beck-Chevalley» qui sera vue en toute généralité au chapitre 4.

21 1.1 Applications croissantes adjointes. 21 EXERCICE 28 Soit X un espace topologique, P(X) son ensemble de parties, et O(X) l ensemble de ses parties ouvertes. P(X) et O(X) sont ordonnés par inclusion. Montrer que l inclusion canonique u : O(X) P(X) a une adjointe à droite (qu on identifiera). Même question avec l ensemble F(X) des fermés de X en permutant gauche et droite. Toute adjointe à gauche préserve les bornes supérieures (resp. toute adjointe à droite préserve les bornes inférieures) à équivalence près : PROPOSITION 2 Si f g : X Y est une adjonction, I une collection, et ϕ X I (resp. ψ Y I ), une famille ayant une borne supérieure M (resp. une borne inférieure m), alors f(m) est une borne supérieure de la famille f ϕ (resp. g(m) est une borne inférieure de la famille g ψ). Il s agit de montrer que f(m) est un plus petit majorant de la famille f ϕ. Comme M majore ϕ, on a ϕ(i) M pour tout i I, et comme f est croissante (exercice 16 (page 18)), on a (f ϕ)(i) f(m) pour tout i I. f(m) est donc un majorant de f ϕ. Soit K un autre majorant de f ϕ. On doit montrer que f(m) K. Pour tout i I, on a f(ϕ(i)) K, donc ϕ(i) g(k). g(k) majore donc ϕ, et on a M g(k), d où on déduit f(m) K. Le cas de l adjointe à droite se traite de même. DÉFINITION 6 Soit X une collection préordonnée. Si l application diagonale : X X I (exercice 4 (page 15)) a une adjointe à gauche celle-ci est notée sup et appelée «fonction sup». De même, si elle a une adjointe à droite, celle-ci est notée inf et appelée «fonction inf». Les fonctions sup et inf, si elles existent, sont bien sûr uniques à équivalence près (exercice 18 (page 19)). L exercice suivant justifie les appellations sup et inf. EXERCICE 29 Montrer que si la fonction sup : X I X existe, alors pour toute I-famille ϕ X I, sup(ϕ) est une borne supérieure de ϕ. De même, si inf : X I X existe, alors inf(ϕ) est une borne inférieure de ϕ. Dans la définition 6 (page 21), on insiste sur le mot «fonction» dans l appellation «fonction sup», car se donner une telle fonction de X I vers X est plus fort que supposer seulement que toute I-famille d éléments de X a une borne supérieure. En effet, obtenir une telle fonction à partir de l existence d une borne supérieure pour chaque I-famille suppose qu on choisisse une telle borne supérieure pour chaque famille. Le fait de choisir n est pas bénin, et souvent non effectif. Toutefois, dans le cas où X est un ordre et non seulement un préordre, la borne supérieure, si elle existe, est unique, et aucun choix n est nécessaire. Bien entendu, si on admet qu on peut faire librement des choix, il est équivalent d avoir une fonction sup : X I X ou une borne supérieure pour chaque I-famille. EXERCICE 30 Soit f : X Y une application entre deux ensembles. On note f : P(X) P(Y ) l application «image directe», et f 1 : P(Y ) P(X) l application «image réciproque». On considérera aussi l application f : P(X) P(Y ) définie dans l exercice 24 (page 19). Montrer que les inclusions et égalités bien connues suivantes (où A, B et A i sont soit des parties de X soit des parties

22 22 Chapitre 1. Logique. de Y ) : f ( ) = f 1 ( ) = f (X) Y f 1 (Y ) = X f (A B) f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f (A B) = f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f ( A i ) f (A i ) f 1 ( A i ) = f 1 (A i ) i I i I i I i I f ( i I A i ) = i I f (A i ) f 1 ( i I A i ) = i I f 1 (A i ) sont toutes des conséquences immédiates de l exercice 9 (page 17) (pour les inclusions) et de la proposition 2 (page 21) (pour les égalités), de même que les inclusions et égalités : f ( ) Y = f (X) f (A B) = f (A) f (B) f (A) f (B) f (A B) f ( A i ) = f (A i ) i I i I f (A i ) f ( A i ) i I i I Bien sûr, f (X) Y et f ( ) sont triviales pour une autre raison. EXERCICE 31 Montrer que f : P(X) P(Y ) (resp. f : P(X) P(Y )) définie dans l exercice 24 (page 19), n a en général pas d adjointe à gauche (resp. à droite) Existence d une adjointe. On a vu qu une adjointe à droite est croissante et préserve les bornes inférieures à équivalence près (proposition 2 (page 21)). Il y a une réciproque dans le cas où suffisamment de bornes inférieures existent dans l ensemble de départ d une telle application. PROPOSITION 3 Soient X et Y des préordres et g : Y X une application croissante. On suppose que inf(b) existe pour toute partie B de Y, et que g préserve les bornes inférieures à équivalence près. Alors g a une adjointe à gauche. De même, si sup(b) existe pour toute partie B de Y, et si g préserve les bornes supérieures à équivalence près, alors g a une adjointe à droite.( 12 ) En effet, posons pour tout x X, Y x = {y Y x g(y)} et choisissons pour f(x) l un des inf(y x ), ce qui a un sens puisque toute partie de Y a une borne inférieure. Il suffit de montrer que f(x) z est équivalent à x g(z) pour tout x X et tout z Y. Supposons d abord x g(z). Alors z Y x, donc f(x) = inf(y x ) z. Réciproquement, supposons f(x) z. Comme g est croissante, on a g(f(x)) g(z). Il suffit donc de montrer que x g(f(x)). Or, g(f(x)) = g(inf(y x )) inf(g(y x )), où g(y x ) est l image directe de Y x 12. Cette proposition et l exercice 32 (page 23) sont des cas particuliers du théorème du foncteur adjoint de Freyd qui sera établi au chapitre 2.

23 1.2 La logique naturelle. 23 par g. Pour tout y Y x, on a x g(y), donc x est plus petit que tous les éléments de g(y x ) et donc x inf(g(y x )) et enfin x g(f(x)). Le cas de l adjointe à droite se traite de même. L exercice suivant est une variante de la proposition 3 (page 22), moins exigente sur l existence des bornes inférieures. EXERCICE 32 Soient X et Y deux préordres et g : Y X une application croissante. On suppose qu à tout x X, on a associé une famille (ˆx i ) i Ix d éléments de Y telle que : pour tout i I x on a x g(ˆx i ), pour tout y Y tel que x g(y), on a i Ix ˆx i y, α x = inf((ˆx i ) i Ix ) existe et g(α x ) inf((g(ˆx i )) i Ix ). Alors x α x est adjointe à gauche de g. EXERCICE 33 La suite de Fibonacci est la fonction F : N N définie par : F (0) = 0, F (1) = 1, F (n + 2) = F (n + 1) + F (n). On munit N de l ordre de la divisibilité, et on notera p q pour «p divise q», et non pas p q, pour éviter toute confusion. (a) Montrer que F n a pas d adjointe à droite. (b) Montrer que si on avait posé F (0) = 1, F ne pouvait pas avoir d adjointe à gauche. (c) Montrer que F est croissante, et que pour toute famille (n i ) i I d entiers, et pour tout entier p, si p F (n i ) pour tout i, alors p F (PGCD i I (n i )). (d) En déduire, ainsi que de l exercice 32 (page 23), que F a une adjointe à gauche (unique) : I : N N, et donc que F préserve le PGCD. (e) Calculer I(n) pour n = 0, 1,..., 7, et montrer que I(420) = 120 sans beaucoup plus d efforts. Montrer que I n a pas d adjointe à gauche et ne prend la valeur 0 qu en 0. Montrer que I a une sous-suite qui tend vers l infini (pour l ordre usuel). 1.2 La logique naturelle. Ce qu on entend ici par «logique» est en première approximation l ensemble des règles de manipulation des «connecteurs logiques», qui sont («vrai»), («faux»), («et»), («ou»), («implique»), («non»), («pour tout») et («il existe»). L apparition de ces règles, au moins sous une forme inconsciente, est sans aucun doute très ancienne. Bien entendu, leur formalisation mathématique telle qu on la connaît aujourd hui est très récente. Par exemple, on attribue à Giuseppe Peano ( ) l introduction du quantificateur existentiel. La faculté primitive de raisonnement a pris très probablement la forme d un système de déduction et non pas une forme algébrique comme celle qui résulterait par exemple des propriétés des tables de vérité booléennes ou d axiomes. Nos ancètres très lointains, bien avant que quiconque

24 24 Chapitre 1. Logique. ne se mette à «faire de la logique», avaient nécessairement enregistré expérimentalement un certain nombre de «causalités» : tel évènement a pour cause tel autre évènement. La transitivité de la causalité a certainement été une des premières règles (inconscientes) de démonstration. Il y a donc une logique «naturelle», et cette logique ne peut être qu un ensemble de méthodes de raisonnement, c est-à-dire en définitive un ensemble de règles de démonstration Introduction. Qui n a pas été frappé par le caractère quelque peu arbitraire des catalogues d axiomes qu on trouve dans les chapitres préliminaires de divers ouvrages de mathématiques, quand les auteurs ont le souci de faire une présentation de la logique? Par exemple, on peut trouver un catalogue d axiomes comme celui-ci : (A A) A A (A B) (A B) (B A) (A B) ((A C) (B C))... accompagné de quelques règles d inférences comme : Si A B est vrai et si A est vrai, alors B est vrai. À partir de là on peut démontrer divers principes «dérivés», et certains d entre eux disent des choses tellement intuitivement évidentes qu on peut se demander s ils n auraient pas dû être euxmêmes les principes de base. Par exemple, dans l ouvrage( 13 ) duquel j ai tiré le catalogue ci-dessus, l auteur démontre la transitivité de l implication de même que le fait que A A est vrai, et ce n est pas toujours très facile. On peut donc se demander si ces principes sont la base naturelle de notre façon de raisonner. D ailleurs, une confirmation du caractère arbitraire de ces principes est le fait que d un livre à l autre on trouvera des catalogue différents, bien qu équivalents. De plus, ces principes formalisent complètement les connecteurs du calcul propositionnel, c est-à-dire,, et, mais sont souvent beaucoup plus flous sur les quantificateurs et. Même si de tels principes permettent théoriquement de démontrer, on peut constater assez facilement qu on emploie de façon instinctive dans les démonstrations des méthodes qui ne sont pas ces principes eux-mêmes, même si on peut éventuellement les établir comme des conséquences de ces principes. En effet, un peu d analyse des mécanismes de la démonstration montre qu on utilise de manière naturelle des règles comme : pour démontrer A B, supposer A puis démontrer B (méthode dite de l «hypothèse auxiliaire»), pour utiliser l hypothèse A B, faire un raisonnement par disjonction des cas, pour démontrer x X A, déclarer x X, puis démontrer A,... c est-à-dire que la manière naturelle de démontrer ne consiste pas à utiliser des axiomes, mais à appliquer des méthodes de raisonnement. On ne peut pas de toute façon se passer de méthodes de raisonnement, même en présence d axiomes, car il faut bien avoir un moyen d utiliser ces axiomes. 13. au demeurant excellent et célèbre, que je ne citerai pas.

25 1.2 La logique naturelle. 25 C est pour cela qu on trouve quand même des règles d inférence dans les présentations de la logique, même quand celles-ci sont «hilbertisées», c est-à-dire quand elles préfèrent réduire les règles de démonstration, quitte à augmenter le nombre d axiomes. Comme on le voit facilement, l hilbertisation de la logique la rend anti-naturelle, et cache les véritables mécanismes. Elle n est de toute façon d aucune utilité pour démontrer. De plus, une telle présentation noie dans une masse d axiomes artificiels, les quelques axiomes qui sont quant à eux de véritables axiomes, ne participant pas à la définition des démonstrations et des connecteurs logiques.( 14 ) Il s agit essentiellement du tiers exclu et de l axiome du choix, dont nous reparlerons plus loin, et qui ont donc un statut tout à fait à part. On va voir ci-dessous que toutes ces règles naturelles ne sont que l expression d adjonctions entre applications croissantes. Chaque connecteur (sauf qui est une «abréviation»( 15 )) est défini comme l adjointe, à gauche ou à droite, d une application strictement structurelle (diagonale ou changement de contexte). Cette présentation donne une unité remarquable à la description de la logique, évite le caractère arbitraire des catalogues d axiomes, et nous assure que les connecteurs sont définis sans ambiguïté par unicité des adjointes (exercice 18 (page 19)). De plus, elle traduit très exactement notre manière naturelle de démontrer. Elle résulte des travaux de nombreux mathématiciens de Luitzen Egbertus Jan Brouwer à William Lawvere, en passant par Arend Heyting, Andreï Kolmogorov, Gerhard Gentzen et Kurt Gödel entre autres L interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov. Quand en 1931 Kurt Gödel dévoile son théorème d incomplétude, il jette un véritable pavé dans la mare des mathématiques. Il révèle que dans une théorie mathématique raisonnable, c est-à-dire non contradictoire et dans laquelle on peut parler d ensembles infinis, il existe des énoncés fermés( 16 ) indécidables, c est-à-dire ni démontrables ni réfutables.( 17 ) Il avait été précédé sur cette voie par Brouwer, qui s étonnait dès le début du XX ième siècle du fait qu il pouvait démontrer sans difficulté E E quand E est l énoncé du grand théorème de Fermat, mais qu il se trouvait incapable de démontrer E ni de démontrer E. Même si le théorème de Fermat a été récemment démontré, et n est donc pas indécidable, Brouwer a été l un des premiers à soupçonner que «démontrable» et «vrai» ne sont pas deux notion équivalentes. Brouwer est resté a un niveau assez philosophique, et c est Heyting qui formalise son travail vers 1930, presque en parallèle avec Kolmogorov. L idée fondamentale de ce qu on appelle aujourd hui l «interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov» est une définition du sens des connecteurs logiques en termes de démonstrabilité plutôt qu en termes de vérité. De plus, cette interprétation constitue non seulement l une des premières définitions de la notion de démonstration, mais est aussi une prémonition de ce qui deviendra célèbre cinquante ans plus tard sous le nom de «correspondance de Curry-Howard». En effet, elle définit les preuves comme des méthodes, autrement dit comme des procédés mécaniques, autrement dit comme des programmes. Même si ce n était peut-être pas la motivation principale de ces mathématiciens, cette approche peut aussi être considérée comme une approche pragmatique. En effet, les mathématiciens modernes ont une éthique qui consiste essentiellement à ne tenir pour vrai que ce qui est démontré. On voit donc que la vérité n est accessible qu à travers les démonstrations, et donc que ces dernières doivent être notre préoccupation principale. Bien entendu, dans un système mathématique viable, 14. Plus précisément, ces axiomes ne se déduisent pas des adjonctions qui définissent le sens des connecteurs logiques. 15. E est une abréviation pour E, où veut dire «faux». 16. C est-à-dire indépendants de toute déclaration ou hypothèse préalable. 17. Un énoncé est réfutable si sa négation est démontrable.

Montrer encore