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1 12 cm ÉRI 1 : ÉORÈM ÉRI ÉORÈM MIIUX 1 À la recherche du bon théorème a. ur les figures suivantes, les droites repassées en gras sont parallèles. Indique, si possible, le numéro du théorème que tu peux appliquer parmi les trois théorèmes suivants : héorème 1 : «i dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.» héorème 2 : «i dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.» héorème 3 : «i dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.» b. olorie en vert le triangle que tu utilises. 3 cm 12 cm fig 1 : th... fig 2 : th... fig 3 : th... fig 4 : th... fig 5 : th... fig 6 : th... fig 7 : th... fig 8 : th... fig 9 : th... fig 10 : th... 2 Montre que est le milieu du segment []. 3 Montre que () et () sont parallèles. () // () onnées :... Propriété : onclusion : RING PRÈ : PIR G2

2 ÉRI 1 : ÉORÈM ÉRI ÉORÈM MIIUX 4 ans la figure a. onstruis un triangle N tel que = 2,3 cm ; N = 3 cm et N = 4 cm. onstruis le point I symétrique du point par rapport à et le point symétrique du point par rapport à N. 5 I est un parallélogramme tel que = 2 cm et I = 1,8 cm. I U O a. Que peux-tu dire des droites (UI) et ()? Justifie. b. Montre que U est le milieu du segment [O]. c. alcule UI. b. Montre que les droites (N) et (I) sont parallèles. c. alcule I. insi I =... 6 M est un trapèze dont les côtés [] et [M] sont parallèles. P a. Montre que () et (P) sont parallèles. b. Montre que (P) et (M) sont parallèles. M PIR G2 : RING PRÈ 91

3 ÉRI 1 : ÉORÈM ÉRI ÉORÈM MIIUX 7 IG est un rectangle tel que I = 5,6 cm et = 3,2 cm. O I 9 n utilisant les carreaux! a. ur le dessin ci-dessous, place le point J milieu du segment [] puis trace la droite parallèle à () passant par J. lle coupe [] en I. G a. onne la valeur arrondie au dixième de I. b. éduis-en la valeur arrondie au dixième de O. 8 ans le triangle, les points I, J, K et sont les milieux respectifs de [], [], [I] et [J]. a. Montre que K = 1 2 IJ. b. Montre que I est le milieu du segment []. c. Utilise la méthode précédente pour construire le milieu du segment [] dans chaque cas. b. Montre que IJ = 1 2. c. éduis-en que K = RING PRÈ : PIR G2

4 ÉRI 2 : RING ÉRI RING PRÈ 1 ans chaque cas, écris les rapports égaux. (es droites en gras sont parallèles.) Figure 4 N Figure 1 R a. ans le triangle R,... donc Figure 2... =... =... R. J b. ans le triangle F,... K F G e. ans le triangle N,... donc. f. ans le triangle N,... 2 es droites () et (R) sont parallèles. es longueurs données sur la figure sont en centimètres. donc. 2,4 3 4 R c. ans le triangle,. 6 donc = = Figure 3 W alcule la longueur des segments [] et [] X V n remplaçant par les données numériques, on a : UV est un parallélogramme. U alcul de : alcul de : d. ans le triangle,. donc. d'où... = soit = onc =.. cm. d'où soit = onc =... cm. PIR G2 : RING PRÈ 93

5 ÉRI 2 : RING ÉRI RING PRÈ 3 On considère la figure ci-dessous dans laquelle les droites () et () sont parallèles. e plus = 3 cm, = 4 cm et = 5,5 cm. a. Place les mesures sur la figure et repasse les droites parallèles en vert b. alcule la longueur. (u arrondiras le résultat au millimètre.) l'arrondi au millimètre de R. 5 n démontrant d'abord 7, F 4 n construisant d'abord a. i-dessous, construis un triangle RU tel que RU = 3 cm, R = 3,6 cm et U = 4 cm. Place le point sur la demi-droite [RU) tel que R = 5 cm. race la parallèle à (U) passant par. lle coupe (R) en. 12 G a. émontre que (F) et (G) sont parallèles. b. alcule, F et FG. b. alcule la valeur exacte de et de R puis 6 ur la figure ci-dessous, les droites (UR) et 94 RING PRÈ : PIR G2

6 ÉRI 2 : RING ÉRI RING PRÈ (NP) sont parallèles. On sait que U = 25 mm, P = 7 cm et R = 9 mm. R N U K a. ans quels triangles peux-tu écrire des rapports égaux? Pourquoi? b. Écris les rapports égaux dans les triangles demandés. ans le triangle PK,... ans le triangle KN,... c. éduis-en des rapports égaux permettant de calculer NK, puis calcule cette longueur. P 7 xtrait du brevet : éclipse de oleil om observe une éclipse de oleil. ette situation est schématisée sur le dessin ci-dessous. U om observe du point ; le point représente le centre du oleil ; le point représente le centre de la une. es points, et sont alignés. e rayon du oleil O mesure environ km ; le rayon de la une U mesure environ km. a distance est égale à 150 millions de km. alcule la distance. (u donneras l'arrondi au kilomètre.)... O PIR G2 : RING PRÈ 95

7 ÉRI 3 : GRNIMN ÉRI GRNIMN, RÉUION 1 Voici la gravure que donne l'encyclopédie Wikipedia pour illustrer le mathématicien grec halès de Milet. Indique sous chaque image si elle correspond à une réduction, à un agrandissement ou à une déformation de cette gravure. 3 On reprend les figures de l'exercice 2. omplète chaque phrase en précisant si c'est un agrandissement ou une réduction, et le rapport. a. a figure 2 par rapport à la figure 4 est.. b. a figure 4 par rapport à la figure 3 est.. Écris deux autres phases similaires de ton choix. c. d. Photo 1... Photo omplète le tableau. istance sur la figure de départ Rapport 3 cm 3 istance sur la figure d'arrivée 15 m 0,8 Photo 3... Photo Pour chacune des figures 2, 3 et 4, précise si c'est un agrandissement ou une réduction de la figure 1 et indique le rapport. 7,5 225 mm 2 5 1,24 cm 2,5 cm 10 cm 2 dm 2,4 dm 9,3 m 6,2 m Fig. 1 Fig. 2 5 On considère la figure suivante. P I O Fig. 3 Fig. 4 1 u.a. Fig. 2 :... Fig. 3 :... Fig. 4 :... R U a. POUR est un agrandissement de PI de rapport... b. PI est une réduction de POUR de rapport... c. Quelle est l'aire en unités d'aire (u. a.) de POUR?... de PI?... d. Quel est le rapport entre ces deux aires? 96 RING PRÈ : PIR G2

8 ÉRI 3 : GRNIMN ÉRI GRNIMN, RÉUION 6 On a représenté ci-dessous un triangle I'J'K' qui est un agrandissement du triangle IJK. K K' 6 cm 9 oit le triangle tel que = 70 ; = 53 et = 14 m. onstruis-en une réduction de rapport cm I 43 2 cm a. étermine le rapport k d'agrandissement sous forme fractionnaire puis sous forme décimale. b. alcule la longueur I'J'. c. alcule la longueur KJ. J 4,5 cm I' J' d. alcule la mesure de l'angle I' J'K '. 7 e triangle FG est une réduction du triangle, complète les mesures de longueurs et d'angles manquantes. 10 vec le théorème de halès 3 (F) // () 4,5 2 F 3 a. alcule F et, en justifiant ta réponse. 7,2 1, G 4 75 F 8 oit le triangle IJK tel que IJK = 80 ; IJ = 2 cm et JK = 4 cm. onstruis-en un agrandissement de rapport 1,25. b. e triangle F est-il une réduction du triangle? i oui, donne le rapport de réduction. PIR G2 : RING PRÈ 97

9 YNÈ 1 On a tracé un demi-cercle de centre O et de diamètre [] et on a placé un point M sur le demi-cercle et un point sur [O]. M d. émontre que le triangle F est rectangle. a. O onstruis le point symétrique du point par rapport au point O. race les droites parallèles à (OM) passant par et. lles coupent le demi-cercle respectivement en et F. oit P et les points d'intersection respectifs de (OM) avec (F) et (F). On veut montrer que le triangle F est rectangle. b. émontre que P est le milieu de [F] et celui de [F]. c. émontre que (O) est la médiatrice de [F]. 2 ur la figure ci-contre, les droites tracées en gras sont parallèles et = 6 cm. a. émontre que est le milieu de [F]. b. émontre que F est le milieu de []. c. éduis-en les mesures de [], [F] et [F]. G F 98 RING PRÈ : PIR G2

10 YNÈ 3 es cercles M O ( 1 ) ( 2 ) I On a tracé deux cercles ( 1) et ( 2) de diamètres respectifs [O] et [I]. O = 3,5 cm ; I = 5,6 cm. 4 a. race un cercle ( ) de centre O et diamètre 7,2 cm. Place un point sur le cercle. Place un point M 1 sur le cercle. Marque en vert le milieu I 1 de [M 1 ]. Recommence avec un point M 2 sur le cercle et le milieu I 2 de [M 2 ], puis un point M 3 sur le cercle etc... a. émontre que OM et I sont rectangles. b. Pourquoi le triangle I est-il un agrandissement du triangle OM? Quel est le coefficient d'agrandissement? c. achant que OM = 2,1 cm, calcule M. éduis-en les longueurs I et. b. Où semblent se trouver les points I 1, I 2, I 3,...? c. Justifie cette conjecture. Pour cela, appelle O' le milieu du segment [O]. race le triangle OM 1 et calcule la longueur O'I 1. d. i tu fais le même raisonnement dans le triangle OM 2, à quelle conclusion aboutis-tu? e. émontre que les points I 1, I 2, I 3,... sont sur un cercle dont tu préciseras le centre et le rayon. PIR G2 : RING PRÈ 99

11 YNÈ 5 On considère le trapèze ci-dessous dans lequel () est parallèle à (). 6 grandissement et aires I K a. Place les points R, et milieux respectifs de [], [] et []. On veut démontrer que R, et sont alignés. b. émontre que (R) est parallèle à (). c. émontre que () est parallèle à (). d. émontre que les points R, et sont alignés. a. Quelle est la valeur numérique de I?... b. Montre que les droites () et (I) sont parallèles. c. alcule K en fonction de. Justifie. d. alcule I en fonction de. Justifie. e. Montre que l'aire du triangle I est 25 fois plus grande celle du triangle. 100 RING PRÈ : PIR G2

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