Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

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1 Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio) par (u ) N Suite covergete La suite umérique (u ) N est covergete s il existe L, apparteat à R ou C tel que : ǫ > 0, N N / N = u L < ǫ Ue suite o covergete est dite divergete Das le cas où (u ) N est ue suite complexe, et L u ombre complexe, u L désige le module de u L et o plus sa valeur absolue O appelle L la limite de la suite et o ote : lim u = L + Limites ifiies (u ) N état ue suite réelle : lim + u = + A > 0, N N / > N = u > A La défiitio est aalogue pour ue limite égale à Remarque Ue suite qui ted vers l ifii est divergete Coverget souseted das R ou das C Iterprétatio graphique : Das le cas d ue suite réelle qui admet ue limite fiie, la coditio sigifie que pour tout réel ǫ strictemet positif, l itervalle ]L ǫ, L+ǫ[ cotiet tous les termes de la suite, sauf (évetuellemet) u ombre fii 9

2 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 0 Das le cas d ue suite complexe, c est le disque de cetre L et de rayo ǫ qui cotiet tous les termes de la suite sauf u ombre fii Das le cas d ue suite réelle qui ted vers+, o remplace l itervalle]l ǫ, L+ǫ[ par l itervalle ]A, + [ et das le cas d ue suite réelle de limite par l itervalle ], A[ Exemple Ue suite peut être défiie explicitemet, par exemple par : u = +, pour tout apparteat à N Exemple 2 O peut aussi défiir ue suite par récurrece : O doe alors u ou plusieurs termes iitiaux et ue relatio de récurrece défiissat u à partir du ou des termes précédets Par exemple : u 0 = et pour tout apparteat à N, u + = si(u ) Plus gééralemet, si f est ue foctio de R das R, o peut défiir ue suite par la doée de u 0 et de la relatio de récurrece u + = f (u ) Das ce cas la valeur de u est doée par le terme précédet uiquemet, o dit qu o a ue récurrece d ordre Autre exemple : u 0 = 0, u = et u = u +u 2, pour tout supérieur ou égal à 2 De maière plus géérale, si f est ue foctio de R 2 das R, o peut défiir ue suite e doat u 0, u et la relatio de récurrece u +2 = f (u +, u ), pour tout apparteat à N Das l exemple précédet la foctio f est liéaire de R 2 das R, o dira doc que la suite est défiie par ue relatio de récurrece liéaire d ordre 2 O peut aussi défiir ue suite par ue relatio de récurrece liéaire d ordre p : α 0,α,,α p état p réels fixés, la suite est défiie par la doée de p réels u 0,,u p et la relatio de récurrece : u +p = α p u +p +α p 2 u +p 2 + +α 0 u, pour tout apparteat à N Exemple 3 Ue suite peut aussi être défiie implicitemet, par exemple : O défiit la foctio f, de R das R, par : f (x) = x x+ Motrer que, pour tout etier aturelsupérieur ou égal à 3, l équatio f (x) = 0 admet ue uique solutio x das l itervalle ]0,[ O défiit aisi ue suite (x ) 3 O peut aussi recotrer des suites défiies de maière plus exotique, par exemple : u est l exposat de 2 das la décompositio de e produit de facteurs premiers

3 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 2 Propriétés 2 Rappel des pricipales propriétés vues e Sup O se cotete de rappeler ici les pricipales propriétés des limites des suites umériques, sas démostratio, il s agit simplemet de vous iviter à relire votre cours de sup La limite d ue suite, si elle existe, est uique Toute suite covergete est borée L esemble des suites umériques peut être mui d ue structure d espace vectoriel et d u produit itere La somme ou le produit de deux suites covergetes est ue suite covergete, qui a pour limite la somme, ou le produit, des limites Si ue suite admet ue limite fiie o ulle, il existe u idice au-delà duquel elle est jamais ulle O peut alors défiir ue suite iverse, qui est covergete et a pour limite l iverse de la limite O peut éocer le même résultat pour u quotiet de suites, et l étedre das certais cas aux limites ulles ou ifiies, les cas das lesquels o e peut rie dire état les célèbres formes idétermiées Toute suite de réels croissate et majorée (ou décroissate et miorée) est covergete 22 Suites extraites Défiitio Soit (u ) N ue suite umérique et φ ue applicatio strictemet croissate de N das N O appelle suite extraite de la suite (u ) N la suite ( u φ() ) N Remarques : Remarque 2 Das ue suite extraite il y a pas de répétitio de termes, aisi la suite u 3, u 3, u 5, u 5, u 7, u 7,, u 2+, u 2+, est pas ue suite extraite de la suite (u ) N Remarque 3 Das ue suite extraite, l ordre des termes est respecté, aisi la suite : u, u 0, u 3, u 2,, u 2+, u 2, est pas ue suite extraite de la suite (u ) N Exemple 4 (u 2 ) N, (u 2+ ) N, (u! ) N, (u 2 ) N sot des suites extraites de la suite (u ) N Propositio Toute suite extraite d ue suite covergete est covergete, vers la même limite Remarque 4 Ce résultat est souvet efficace pour motrer qu ue suite e coverge pas Exemple 5 u = ( ) La suite extraite des termes de rag pair est costate égale à, doc coverge vers, la suite extraite des termes de rag impair est

4 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 2 costate égale à -, doc coverge vers -, doc la suite e peut être covergete Suites extraites complémetaires : Défiitio 2 p suites extraites ( ) u φ() N, ( ) u φ2() N,, ( ) u φp() de la suite (u ) N sot dites complémetaires si : {φ (), N} {φ 2 (), N} {φ p (), N} = N Théorème Sipsuites extraites complémetaires d ue suite(u ) N coverget vers la même limite L (réelle, complexe ou ifiie), alors la suite (u ) N coverge vers L Démostratio Nous allos la faire pour ue limite fiie, réelle ou complexe, le cas des limites ifiies est laissé aux bos sois du lecteur Soit ǫ u réel strictemet positif, il existe des etiers N,,N p tels que : > N i uφi() L < ǫ O pose alors N = max(φ (N ),φ 2 (N 2 ),,φ p (N p )) Soit u etier supérieur à N Les suites extraites état complémetaires, il existe deux etiers i et tels que = φ i ( ) φ i ( ) = > N φ i (N i ), doc, φ i état strictemet croissate, > N i, ce qui etraîe uφi( ) L < ǫ, doc > N etraîe u L < ǫ, ce qui doe la covergece de la suite (u ) N vers L Exercice Ecrire le théorème das la cas particulier des suites extraites des termes de rag pair et de rag impair et faire la démostratio das ce cas particulier Théorème 2 (de Bolzao-Wierstrass) De toute suite borée o peut extraire ue suite covergete Démostratio Soit (x ) N ue suite borée de réels O pose A = {x k, k } A est u sous-esemble o vide et majoré de R, doc admet ue bore supérieure O pose a = supa Si p, A est coteu das A p, doc supa supa p, c est-à-dire a a p, la suite (a ) N est doc décroissate Elle est d autre part miorée (puisque la suite (x ) N est borée) doc elle est covergete, vers u réel L O va costruire ue suite extraite de la suite (x ) N, covergete vers L O pose ǫ = N N tel que N L a L + O fixe ue telle valeur de a état la bore supérieure de A, il existe u élémet x k de A tel que : a x k a (o exprime que a est le plus petit des majorats) O e déduit : L x k L+, doc x k L O désige par ue telle valeur de k, x sera le premier terme de la suite extraite O recommece avec ǫ = 2 : N N / N L a L+ 2 N

5 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 3 O choisit ue telle valeur de, e imposat e plus la cotraite > (ce qui est possible parce que la coditio est vérifiée pour tout N) a état la bore supérieure de A, il existe x k apparteat à A tel que : a 2 x k a + 2 O e déduit : L 2 x k L+ 2, ce qui est équivalet à : x k L 2 O pose 2 égal à l u de ces etiers k, x 2 sera le deuxième terme de la suite extraite O suppose costruits les termes x,x 2,,x p tels que : xp L p O pose alors ǫ = p+ N N / N L a L + p+ O choisit ue telle valeur de, e imposat la cotraite supplémetaire > p Il existe u élémet x k de A, (ce qui etraîe k > p ) tel que : a p+ x k a + p+, ce qui etraîe : L p+ x k L+ p+, qui est équivalet à : x k L p+ O pose p+ égal à l u des etiers k O a aisi motré par récurrece l existece d ue suite extraite ( x p )p N telle que xp L Das ces coditios, la suite ( x p coverge vers L O a doc prouvé l existece d ue suite extraite covergete de la suite (x ) N )p N EXERCICES p Exercice 2 Détermier, si elles existet, les limites des suites de termes gééraux : ( ) e i 4! p! p= 5 + Exercice 3 Etudier la suite défiie par : u 0 réel fixé supérieur ou égal à 3 2 et la relatio de récurrece : u + = 2u +3 Exercice 4 Etudier la suite défiie par : u 0 réel strictemet positif fixé et la relatio de récurrece : u + = + u

6 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 4 Exercice 5 Démotrer que la suite défiie à l exemple 3 est covergete et détermier sa limite Exercice 6 La suite (u ) N est défiie par : u est l exposat de 2 das la décompositio de e produit de facteurs premiers La suite est-elle covergete? Détermier l esemble des limites des suites extraites covergetes de la suite (u ) N Exercice 7 Théorèmes de Césaro (u ) N est ue suite réelle, covergete de limite L ) Première forme a) Motrer que la suite : u0+u+ +u + coverge et a pour limite L b) Applicatio : O cosidère la suite (u ) N défiie par u 0 ] 0, 2] π et la relatio de récurrece : u + = si(u ) i) Motrer que la suite (u ) N coverge et détermier sa limite ii) Détermier α réel pour que la suite v = (u +) α α (u ) coverge vers ue limite fiie o ulle, et e déduire u équivalet de u quad ted vers l ifii 2) Deuxième forme : Soit (v ) N ue suite de réels positifs, telle que : v 0 est o ul et la série v diverge a) Motrer que la suite w = u0v0+uv+ +uv v 0+v + +v coverge vers L b) Quelles sot les relatios etre les deux formes du théorème de Césaro? 3) Théorème de Césaro-Toeplitz : Soit u tableau triagulaire de la forme : a 00 a 0 a a 20 a 2 a 22 a p0 a p a pp O suppose que toutes les liges sot de somme, c est-à-dire que pour tout etier aturel p, p k=0 a pk = et que pour tout etier aturel k, a pk ted vers 0 quad p ted vers l ifii a) Motrer que la suite (t ) N défiie par : t = k=0 a ku k coverge vers L b) Cas particulier : a k = précédetes k 2 Vérifer que la suite satisfait aux hypothèses

7 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 5 4) Coséqueces du théorème de Césaro : O suppose que la suite (u ) est à termes strictemet positifs a) Motrer que : lim + u 0 u u = L + b) O désige par(v ) est ue suite de ombres réels strictemet positifs, telle v que : lim + + v = L Motrer que lim v = L + c) Calculer lim +! 2 Séries Numériques 2 Défiitios : O désige par K u esemble égal à R ou C (ou à ue partie de R ou C) Soit (a ) N ue suite d élémets de K O appelle série de terme gééral a le couple de suites ( ) (a ) N,(s ) N, où s = a i i=0 La suite (s ) N est appelée la suite des sommes partielles de la série Série covergete : O dit que la série coverge si la suite(s ) N coverge, das le cas cotraire, o dit que la série diverge Das le cas de covergece, lim s, qui est u élémet de K est appelée la + somme de la série, oté : + a Remarque 5 O parle souvet de la série + a i, sas savoir si la série coverge ou diverge Cet abus de otatio est très dagereux : si vous avez pas démotré que la série coverge, + a i est pas, à priori, u ombre réel, doc écrire qu il est i=0 égal, iférieur ou égal ou supérieur ou égal à u ombre réel aura des coséqueces graves Il est préférable, sauf quad o e peut pas faire autremet, d écrire des iégalités uiquemet etre termes gééraux de séries (e se restreigat aux séries réelles, les iégalités etre ombres complexes ayat aussi des coséqueces fâcheuses) Exemple 6 a =, N O va motrer que la série est divergete, e motrat que la suite des sommes partielles ted vers + Soit u etier aturel o ul La foctio x x est décroissate sur R +, doc pour tout x apparteat à l itervalle [,+], x E itégrat cette iégalité sur [, +], o e déduit : i=0

8 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 6 + dx x e déduit : et e faisat la somme de ces iégalités pour variat de à N, o N = N + ˆ = = ˆ N+ dx x dx x = l(n +) (e appliquat la relatio de Chasles) Cette derière iégalité etraîe que la suite des sommes partielles ted vers l ifii et la série est divergete Exemple 7 a = ( ) s 2 =, s 2+ = 0 La suite des sommes partielles e coverge pas : il y a deux suites extraites covergetes vers des limites différetes, doc la série est divergete Remarquer au passage que la suite des sommes partielles e ted pas vers l ifii (elle est même borée) bie que la série soit divergete Exemple 8 a = ², N Soit u etier aturel strictemet supérieur à La foctio x est décroissate sur R +, doc pour tout x apparteat à l itervalle [,], 2 x E itégrat l iégalité sur [,] et e faisat 2 la somme des iégalités obteues pour variat de 2 à N, o a : N ˆ N ² dx x 2 = N =2 La série état à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissate, état e plus majorée, elle est covergete, doc la série + ² est covergete 22 Somme de deux séries, produit d ue série par u réel Défiitio 3 + a et + b état deux séries umériques, la somme de ces = deux séries est par défiitio la série de terme gééral a +b λ état u ombre réel ou complexe, le produit de la série + est par défiitio la série de terme gééral λa a par le réel λ

9 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 7 Propriétés immédiates Il résulte directemet de la défiitio que la suite des sommes partielles de la somme de deux séries est la somme des suites des sommes partielles de ces séries et que la suite des sommes partielles du produit d ue série par u ombre réel ou complexe λ est le produit par λ de la suite des sommes partielles de la série O déduit alors des résultats sur les suites umériques, appliqués aux suites des sommes partielles, que la somme de deux séries covergetes est ue série covergete (et a pour somme la somme des sommes) et que le produit d ue série covergete par u ombre réel ou complexe λ est covergete (et a pour somme le produit par λ de la somme de la série) L esemble des séries réelles, mui de cette somme itere et ce produit extere, est u espace vectoriel réel et le sous-esemble des séries covergetes e est u sous-espace vectoriel O a les mêmes résultats pour les séries complexes 23 Coditios écessaires de covergece : Comportemet du terme gééral Théorème 3 Si ue série est covergete, alors so terme gééral ted vers 0 Démostratio La série est covergete, doc la suite (S ) N des sommes partielles de la série coverge vers S, somme de la série La suite (S ) N coverge vers la même limite, doc la différece des deux suites, qui est égale au terme gééral de la série, ted vers 0 Remarque 6 La réciproque est fausse : ted vers0quadted vers l ifii, alors que la série de terme gééral est divergete 24 Coditio suffisate de covergece : Covergece absolue Défiitio 4 La série de terme gééral a est dite absolumet covergete si la série de terme gééral a est covergete O lit valeur absolue ou module selo que la série est à termes réels ou complexes Théorème 4 Toute série absolumet covergete est covergete Démostratio Cas d ue série réelle Soit + a ue série absolumet covergete O désige par (a + ) N la suite défiie par a + = a si a est positif ou ul, a + = 0 si a est égatif ou ul O désige par (a ) N la suite défiie par a = a si a est égatif ou ul, a = 0 si a est positif ou ul O a alors : a = a + a, et a = a + +a La série de terme gééral a + +a est covergete, et pour tout etier aturel a a + et a a

10 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 8 Si o désige par S, S + et S les suites des sommes partielles des séries de termes gééraux a, a + et a, o a : S S + et S S ( a ) N, (a + ) N et (a ) N état des suites à termes positifs, les suites des sommes partielles (S ) N, (S + ) N et (S ) N sot croissates, ce qui etraîe, e désigat par S la somme de la série de terme gééral a : S S S + et S S S Les suites (S + ) N et (S ) N sot croissates et majorées, doc elles sot covergetes Il e est alors de même de leur différece, qui est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral a = a + a, qui est doc covergete d après le résultat sur les sommes et produits de séries Remarque 7 La réciproque du théorème précédet est fausse La série de terme gééral u = ( ) coverge, cela se justifie par le théorème spécial des séries alterées que ous verros plus tard Nous allos faire ici ue démostratio basée sur le même pricipe que celle du théorème : o démotre que les suites extraites de rag pair et de rag impair de la suite des sommes partielles sot adjacetes S 2+2 = S = S O e déduit que la suite (S 2 ) N est décroissate, supérieure à la suite (S 2+ ) N et que la différece des deux suites ted vers 0 O motre de même que la suite (S 2+ ) N est croissate Les deux suites sot adjacetes, doc elles coverget, et vers la même limite La suite des sommes partielles de la série admet doc deux suites extraites complémetaires covergetes et vers la même limite, doc elle coverge 25 Reste d ue série covergete Défiitio 5 O appelle reste de la série covergete + a le ombre réel ou complexe R = + k=+ a k Propositio 2 Le reste d ue série covergete ted vers 0 Démostratio Soit + u ue série covergete dot o désige la somme par S Par défiitio, le reste de la série est égal à S S et la suite (S ) N est covergete de somme S, doc la différece S S ted vers 0 quad ted vers l ifii Remarque 8 Le reste d ue série divergete existe pas

11 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 9 3 Etude des séries à termes positifs 3 Techiques de comparaiso de deux séries O désige par (a ) N ue suite de réels positifs La propriété essetielle, qui permet ue étude plus facile de la série de terme gééral a est : La suite des sommes partielles (s ) N est ue suite croissate Théorème 5 Ue série à termes positifs coverge si et seulemet si la suite (s ) N de ses sommes partielles est borée Démostratio Si la série est covergete, la suite des sommes partielles est covergete et toute suite covergete est borée Cette implicatio est doc vraie, même si la série est pas à termes positifs La série état à termes positifs la suite des sommes partielles est croissate, si elle est e plus borée elle est covergete, c est la défiitio de la covergece de la série Remarque 9 O a déjà observé, avec l exemple de la série de terme gééral ( ), que le résultat est faux pour les séries de sige quelcoque : cette série diverge, alors que ses sommes partielles sot borées 3 Pricipe de comparaiso des séries à termes positifs Propositio 3 Soiet (a ) N et (b ) N, deux suites de réels positifs, telles que, pour tout etier aturel, a b Alors : Si la série de terme gééral a diverge, la série de terme gééral b diverge Si la série de terme gééral b coverge, la série de terme gééral a coverge Le même résultat est vrai si l iégalité est vraie qu à partir d u certai rag Démostratio C est ue simple applicatio du théorème précédet et de l iégalité évidete : S () S 2 (), si S () et S 2 () désiget les sommes partielles des séries de termes gééraux a et b Si la série + a diverge, la suite (S ()) N est pas borée, doc la suite (S 2 ()) N est pas borée o plus, et la série + b diverge Si la série + b coverge, la suite de ses sommes partielles (S 2 ()) N est borée, doc la suite des sommes partielles (S ()) N de la série + a est égalemet borée, doc la série + a est covergete

12 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 20 Si l iégalité est vraie qu à partir du rag N, il suffit d observer que les séries + a et + a sot de même ature : o e chage pas la ature d ue suite =N (et doc d ue série) e modifiat u ombre fii de termes Applicatio : Démostratio de : covergece absolue etraîe covergece pour ue série complexe Soit + z ue série complexe absolumet covergete z Re(z ), z Im(z ), doc d après le pricipe de comparaiso les séries de termes gééraux Re(z ) et Im(z ), qui sot majorés par z sot covergetes E appliquat le résultat vu pour les séries réelles, o e déduit que les séries + Re(z ) et + Im(z ) sot covergetes, ce qui est équivalet à la covergece de la série + z 32 Séries de termes gééraux équivalets Défiitio 6 Soiet (a ) N et (b ) N deux suites à termes positifs O dit que les suites sot équivaletes quad ted vers +, s il existe ue suite réelle (ǫ ) N telle que : a = ǫ b, et lim ǫ = + Si b est jamais ul, au mois à partir d u certai rag, la propriété est équivalete à : a lim = + b Théorème 6 Si les suites de réels positifs (a ) N et (b ) N sot équivaletes, les séries + a et + b sot de même ature Démostratio lim ǫ =, doc il existe N N tel que N etraîe + ǫ < 2, c est-à-dire : 2 < ǫ < 3 2 O e déduit (parce que les séries sot à termes positifs) que : 2 b a 3 2 b, pour tout N Il suffit alors d appliquer le théorème précédet : + + b diverge etraîe que 2 b diverge doc + a diverge + b coverge etraîe que b coverge doc + a coverge Remarque 0 Le fait que le terme gééral soit positif est pas importat, ce qui compte, c est qu il soit de sige costat O a doc des résultats idetiques

13 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 2 pour des séries de termes gééraux égatifs, il suffit pour les démotrer de cosidérer les séries de termes gééraux opposés Le résultat est faux pour des séries dot le terme gééral est pas de sige costat Exemple 9 u = e ( ) Les termes de la série sot alterativemet positifs ou égatifs, o e peut doc pas appliquer le théorème précédet u est équivalet à ( ), qui est le terme gééral d ue série covergete O le démotre facilemet avec u théorème que ous verros plus loi, o peut aussi le démotrer avec la techique que ous avos utilisée pour démotrer la covergece de + = ( ) Si o fait u développemet limité u peu plus poussé de l expoetielle, o obtiet : u = ( ) + ( ) 2 + ( ) + La première série coverge, la deuxième diverge, il reste à voir que les deux derières coverget, ce que ous feros bietôt La série est doc divergete, bie que so terme gééral soit équivalet à celui d ue série covergete Remarque Si les termes gééraux de deux séries à termes positifs sot équivalets, les séries sot de même atures mais les sommes e sot pas égales Il suffit par exemple de cosidérer les deux séries + et + 2 = = termes gééraux sot équivalets, mais la différece des sommes est + est maifestemet u ombre réel strictemet positif 33 Utilisatio des et O Théorème 7 Soiet + u et + v deux séries à termes positifs Les = 3 qui O suppose que la série + u est covergete, et que v = (u ) ou v = O(u ) Alors la série + v est covergete Démostratio v = (u ) est équivalet à v = ǫ u où (ǫ ) N est ue suite qui ted vers 0 quad ted vers l ifii v = O(u ) est équivalet à v = ǫ u où (ǫ ) N est ue suite borée Toute suite covergete état borée, il suffit de faire la démostratio avec v = O(u ) (ǫ ) N est borée, doc il existe u réel M tel que : ǫ M, N

14 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 22 O e déduit que : v Mu, N La série de terme gééral Mu coverge, doc, par majoratio, la série de terme gééral v coverge 32 Comparaiso d ue série et d ue itégrale Défiitio 7 Soit f ue foctio cotiue sur [a,+ [, à valeurs das R O dit que l itégrale + f(x)dx covergete si et seulemet si la foctio x a x f(t)dt admet ue limite quad x ted vers l ifii Das le cas cotraire, o a dit que l itégrale est divergete Théorème 8 Soit f ue foctio positive et décroissate sur [0,+ [ + Alors f(x)dx et + f() sot de même ature 0 Démostratio Supposos que + f (+) + 0 f(x)dx soit covergete f(x)dx f() E faisat la somme de ces iégalités et e appliquat la relatio de Chasles aux itégrales, o obtiet : ˆ f(0)+f()+ +f() f(0)+ f(x)dx f(0)+ 0 ˆ + 0 ˆ f(x)dx f(0)+ + 0 f(x)dx Les sommes partielles de la série de terme gééral f() sot borées, doc la série est covergete x Réciproquemet, il faut motrer que lim f(t)dt existe, ce qui reviet à motrer que x + 0 x + 0 f(t)dt est borée par u réel idépedat de x, puisque la foctio 0 x f(t)dt est croissate (ue foctio croissate et majorée admet ue limite) x f(t)dt 0 Ń 0 f(t)dt, pour tout N etier aturel tel que N x, par exemple N = x +, x désigat la partie etière de x Ń f(t)dt = N + f(t)dt N f() qui est majoré par la somme de la série, 0 puisque celle-ci a été supposée covergete Doc l itégrale coverge Remarque 2 O peut utiliser la techique précédete pour obteir ue majoratio du reste d ue série : R N = + a, la série état supposée covergete bie sûr =N+

15 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 23 a = f(), f vérifiat les hypothèses du théorème a = f() ń f(x)dx, d où R N + f(x)dx N Applicatio : Les séries de Riema Ue série de Riema est ue série réelle dot le terme gééral est de la forme : u = + α est de même ature que + dx α x Supposos α différet de α = ý ( ) dx x = α α y qui admet ue limite fiie quad y ted vers + si et α seulemet si α est strictemet positif, c est-à-dire α > Pour α =, ue primitive est l x, doc l itégrale est divergete, puisque x dt t = lx, qui ted vers + quad x ted vers + E coclusio, la série de Riema de terme gééral u = est covergete α si et seulemet si α > Comparaiso d ue série avec ue série de Riema : le critère α u Soit + u ue série à termes positifs O suppose qu il existe α tel que lim + α u = L, réel o ul Si α est strictemet supérieur à, la série coverge, si α est iférieur ou égal à, la série diverge Démostratio lim + α u = L avec L o ul etraîe que u est équivalet à L, qui est de même ature que α, d où le résultat α Remarque 3 E pratique, o e trouve e gééral pas α tel que la limite soit fiie o ulle, mais plutôt des valeurs de α pour lesquelles elle est soit ulle, soit ifiie Il est ecore possible de coclure, au mois das certais cas Supposos que lim + α u = 0 Il existe N tel que pour > N, α u <, doc à partir du rag N, u est majorée par le terme gééral de la série de Riema Si α est strictemet supérieur à, la série est covergete, si α est iférieur α ou égal à, o e peut pas coclure, o chage de valeur de α, ou de méthode Supposos que lim + α u = + Il existe N tel que pour > N, α u soit supérieur à, doc à partir du rag N, u est miorée par le terme gééral de la série de Riema Si α est iférieur ou égal à, la série est divergete, si α α est strictemet supérieur à, o e peut pas coclure, o chage de valeur de α, ou de méthode Exemples de séries à termes positifs : les séries de Bertrad Ue série de Bertrad est ue série dot le terme gééral est de la forme : u = α (l) β, 2, (α,β) R2

16 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 24 Supposos α < 0, le terme gééral ted vers l ifii (croissaces comparées des logarithmes et des polyômes, das le cas où β est positif), doc la série diverge Supposos α > O pose α = + 2h, h état u réel strictemet positif u = +2h (l) β +h u = h (l) β, doc ted vers 0 quad ted vers l ifii, e utilisat à ouveau les croissaces comparées das le cas où β est égatif Pour α >, la série est doc covergete, quel que soit β Supposos α = 0 Si β 0, la divergece est immédiate Si β est positif, 2u = 2, qui ted vers l ifii quad ted vers l ifii, (l) β avec les iévitables croissaces comparées Il existe doc u etier N tel que : N 2u, doc u à partir du rag N, ce qui etraîe la 2 divergece de la série Supposos 0 < α < α = 2h, avec h strictemet positif h u = qui ted vers l ifii quad ted vers l ifii h (l) β Il existe doc u etier N tel que N h u, doc à partir du rag N, o a : u, qui est le terme gééral d ue série divergete h La série est doc divergete, quel que soit β Supposos efi que α = u = (l) β Cosidéros la foctio f : x f (x) = (lx) β x 2 ( + β lx ), qui est maifestemet égatif, doc la foctio est x(lx) β décroissate, et à valeurs positives, puisqu o se restreit à l itervalle [2, + [ La série est doc de même ature que + dx Supposos d abord β différet x(lx) β 2 de ý ý ( dx d(l x) = = x(lx) β (lx) β β (ly) β (l2) β) qui admet ue limite fiie 2 2 quad y ted vers l ifii si et seulemet si β est supérieur à Das le casα =, ue primitive de xlx estl(lx), et l itégrale est à ouveau divergete E résumé, si α =, la série de Bertrad coverge si et seulemet si β > L étude de ces séries se trouve das u article ititulé Règles sur la covergece des séries publié par Joseph Bertrad, élève igéieur des mies, das le joural de mathématiques pures et appliquées e Règle de D Alembert 33 Série géométrique Défiitio 8 O désige par r u ombre réel O appelle série géométrique ue série dot le terme gééral est ue suite géométrique, c est-à-dire de la forme u = u 0 r, le ombre réel r état appelé la raiso de la suite géométrique

17 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 25 Théorème 9 La série géométrique + u 0 r coverge si et seulemet si r < et das ce cas sa somme est égale à u 0 r Démostratio La somme des N + premiers termes de la suite géométrique (u 0 r r ) N est égale à : u N+ 0 r, et c est la somme partielle d ordre N de la série Si r <, r N+ ted vers 0 quad N ted vers l ifii, doc das ce cas la série est covergete de somme u 0 r Si r, le terme gééral de la série e ted pas vers 0, doc la série est divergete Remarque 4 O peut remarquer égalemet que le reste d ordre N de la série + géométrique est u 0 r qui est égal à u 0 r N+ + r = u0rn+ r =N+ 332 Comparaiso d ue série à termes positifs et d ue série géométrique Théorème 0 Soiet (a ) N et (b ) N deux suites de réels strictemet positifs O suppose que : a+ a certai rag) et que + Alors + a coverge b coverge Si + a diverge, alors + b diverge b+ b, pour tout das N (ou à partir d u Démostratio a a 0 b b 0, a2 a b2 b,, a+ a b+ b E faisat le produit de ces iégalités, o obtiet : a + a0 b 0 b +, et le pricipe de comparaiso permet de coclure immédiatemet Corollaire Soit (a ) N ue série à termes positifs et k u élémet de [0,[ O suppose que pour tout N, a+ a k Alors la série de terme gééral a est covergete Démostratio Il suffit d appliquer le théorème précédet avec b = k, qui est ue série géométrique de raiso strictemet iférieure à, doc covergete 333 Règle de D Alembert Théorème Soit (u ) N ue suite de ombres réels strictemet positifs O suppose que : u + u = L lim + Si L <, la série est covergete Si L >, la série est divergete

18 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 26 Démostratio > N etraîe u lim + + u = L, doc pour tout ǫ > 0, il existe N tel que : L ǫ < u + u < L+ǫ Si L est strictemet iférieur à, o choisit ǫ tel que L + ǫ soit strictemet iférieur à, et o coclue par comparaiso avec la série géométrique de raiso L+ǫ Si L est supérieur à, o choisit ǫ tel que L ǫ soit strictemet supérieur à La suite (u ) N est alors strictemet croissate, doc elle e peut pas tedre vers 0, et la série diverge qui ted vers 0, doc la série est cover- Applicatio u =! u+ gete u = + Remarque 5 Le théorème e parle pas du cas L = C est u cas douteux, c est-à-dire qu il y a pas de règle géérale : cosidéros les séries de termes gééraux et La première est covergete et la deuxième divergete, alors 2 que les quotiets u+ u, égaux à + et 2 ot tous deux pour limite quad (+) 2 ted vers l ifii 4 Séries alterées Défiitio 9 O appelle série alterée ue série réelle dot le terme gééral a est de la forme ( ) α, α état positif pour toute valeur de Théorème 2 (spécial des séries alterées) Soit (a ) N ue suite réelle telle que a = ( ) α, α état positif pour tout etier aturel Si la suite (α ) N ted vers 0 e décroissat, la série + a coverge De plus le reste R est du sige de so premier terme a +, et R a + k=2p+ Démostratio O étudie les suites extraites de la suite des sommes partielles (S 2 ) N et (S 2+ ) N S 2+2 = S 2 α 2+ +α 2+2, et l hypothèse faite sur la décroissace de la suite (α ) N etraîe S 2+2 S 2 La suite (S 2 ) N est doc décroissate De même, S 2+ S 2 = α 2 α 2+, doc la suite (S 2+ ) N est croissate Efi S 2 S 2 = α 2, qui ted vers 0 quad ted vers l ifii, et qui est positif, doc : S 2 S 2 Les suites (S 2 ) N et (S 2+ ) N sot doc adjacetes, doc covergetes vers ue limite commue S qui est la somme de la série R 2p = + a k = S S 2p qui est égatif, puisque la suite (S 2 ) N est décroissate R 2p est doc du sige de a 2p+, qui est bie le premier terme égligé e approchat S par S 2p R 2p = S S 2p = S 2p S S 2p S 2p+ = a 2p+ = a 2p+ La démostratio est la même pour R 2p+

19 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 27 Remarque 6 La majoratio du reste est pas vraie pour toute série alterée, même covergete, mais pour les séries alterées qui vérifiet les hypothèses du théorème spécial, qui est ue coditio suffisate mais o écessaire de covergece Exemples ) + ( ) est ue série covergete d après le théorème des séries alterées La majoratio du reste doe : ( ) N = + 2) U exemple de série alterée covergete qui e vérifie pas les hypothèses du théorème spécial : + ( ) +( ) =2 Il est visible que la série est alterée, le déomiateur état maifestemet positif Par cotre la suite +( ) est pas décroissate, il faudrait pour cela que la suite +( ) soit croissate, alors que pour = 2p, o obtiet 2p+ et pour = 2p+ o obtiet 2p Pour voir que la série coverge o peut ruser, e multipliat umérateur et déomiateur par "l expressio cojuguée" du déomiateur, ( ) u = ( ) 2 = ( ) 2 2, la première série est covergete par le théorème des séries alterées, il suffit de vérifier, e calculat la dérivée, que la foctio x f(x)) telle que f(x) = x x 2 est décroissate, la deuxième coverge par la règle de Riema Autre méthode : o fait u développemet limité (o e peut pas utiliser d équivalet puisque la série est pas de sige costat) +( ) = ( ) = ( ) = ( ) et les trois séries sot covergetes + ( ) ( =N + ( )+ + ǫ 2 ( ) ǫ 2, )

20 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 28 5 Produit de deux séries umériques 5 Défiitio (a ) N et (b ) N état deux suites réelles ou complexes, o appelle produit de covolutio de ces suites la suite (c ) N, telle que : c = a k b k k=0 La série de terme gééral c est appelée série produit des séries de termes gééraux a et b 52 Séries à termes positifs Théorème 3 Si les suites (a ) N et (b ) N sot réelles positives et les séries + a et + b sot covergetes, la série produit est covergete et a pour somme le produit des sommes Démostratio Posos A = + a et B = + b, pour tout N etier aturel, A N = N a, B N = N b et c = a k b k k=0 Motros d abord la covergece de la série de terme gééral c c 0 +c + +c N = (a 0 b 0 )+(a 0 b +a b 0 )+ +(a 0 b N +a b N + +a N b 0 ) = a 0 (b 0 +b + +b N )+a (b 0 +b + +b N )+ +a N b 0 O va majorer chaque somme de b i par la somme de la série : c 0 +c + +c N a 0 B +a B +a N B = (a 0 +a + +a N )B AB Les sommes partielles de la série de terme gééral c (positif) sot majorées, doc la série est covergete O pose à préset C N = c 0 +c + +c N A N B N C N =(a 0 +a + +a N )(b 0 +b + +b N ) (a 0 b 0 ) (a 0 b +a b 0 ) (a 0 b N +a b N + +a N b 0 ) =a b N +a 2 (b N +b N )+ +a N (b N +b N + +b ) Soit ǫ u réel strictemet positif, il existe u réel strictemet positif N 0 tel que supérieur à N 0 etraîe : + =N 0 a < ǫ et + =N 0 b < ǫ

21 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 29 Choisissos N supérieur ou égal à 2N A N B N C N a ǫ+a 2 ǫ+ +a N0 ǫ+b(a N0+ + +a N ) (A+B)ǫ Doc A N B N C N ted vers 0 quad N ted vers l ifii, ce qui motre le résultat cherché 53 Séries de sige quelcoque (et séries complexes) Théorème 4 Si + a et + b sot deux séries absolumet covergetes, la série de terme gééral c, avec c = a k b k est absolumet covergete, et ( o a : + + ) )( b = a + c Démostratio c a k b k qui est covergete d après le théorème k=0 k=0 précédet, puisque + a et + b coverget La covergece absolue etraîe la covergece, doc la série + c coverge Il reste à motrer que le produit des sommes est égal à la somme de la série produit O pose : N N N A N = a p, B N = b p, C N = c p, p=0 p=0 a = α, b = β, A N = p=0 p=0 N N α p, B N = β p A N B N C N = a b N +a 2 (b N +b N )+ +a N (b N + +b ) Doc A N B N C N α β N +α 2 (β N +β N )+ +α N (β N + +β ) qui ted vers0quadted vers l ifii, puisque les séries + α p et + β p coverget, doc leur série produit coverge vers le produit des sommes, toujours d après le théorème précédet Remarque 7 Le produit de deux séries de siges quelcoques peut être diverget, bie que les deux séries soiet covergetes Exemple 0 u = ( ) (+) 4 p=0 p=0 p=0 est ue série covergete d après le théorème spécial des séries alterées ; o e fait le produit avec elle-même

22 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 30 Le terme gééral de la série produit est c = k=0 Pour k variat de 0 à, (k+) 4 ( ) k ( ) k (k +) 4 ( k +) 4 = ( ) (k +) 4 ( k +) 4 k=0 et ( k+) 4 O a doc ue somme de + termes miorés par (+) 2 sot supérieur ou égaux à (+) 4, doc : c + = (+) 2, qui e ted pas vers 0 quad ted vers l ifii, (+) 2 doc la série est divergete Applicatio : Expoetielle complexe Soit z u ombre complexe, o pose e z = + z! La série est absolumet covergete (par applicatio de la règle de D Alembert par exemple), doc covergete e z e z est le produit des sommes des séries + z! et + Toutes les séries sot absolumet covergetes, doc e z e z est égal à la somme de la série produit, qui est doc : + k=0 z k k! z k + ( k)! = (z +z )! z! O a démotré, pour la foctio expoetielle complexe, la formule : e z e z = e z+z O peut défiircosx = Re ( e ix),six = Im ( e ix), de même que ch(z) = ez +e z et sh(x) = ez e z 2 EXERCICES Exercice 8 Nature des séries de termes gééraux : u = ( 2 ) 2 u = α e u = e 2 e 2+ 4 u = arcsi u = ( si ( α )) 6 u = 2 e 2

23 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES 3 7 u = a l, a état u réel strictemet positif 8 u = ( ) 3l 2 9 u = + 0 u = (+2) 2 u = + ( ( 2) l 2 u = ( + +2) 2 e 2 3 u = + α 4 u = l ( cos ( )) 2 (+)+ ( ) 5 u = α ) 6 u = ( si ) α, v = ( si ) 2 e 6 ( ) +( ) 7 u = ( ) si 8 u = ll ( ( ) + ) l u = cosπ 2 3+cosπ 20 u = (+v où v ) est l exposat de 2 das la décompositio de e produit de facteurs premiers Exercice 9 (u ) N est ue suite réelle et f ue foctio de classe C 2 de R das R, telle que f(0) = 0 O suppose que les séries de termes gééraux u et (u ) 2 sot covergetes Motrer que la série de terme gééral f (u ) est covergete Exercice 0 O suppose que (u ) N est ue suite réelle et (v ) N ue suite réelle jamais ulle ( ) 2 O suppose que les séries de termes gééraux u v et u v sot covergetes u Motrer que la série de terme gééral u +v est covergete Exercice (u ) N est ue suite de réels strictemet positifs telle qu il existe ue suite v et u réel λ vérifiat : N u +, = λ u +v O suppose que la série de terme gééral v est absolumet covergete Motrer que la suite u est équivalete à A, A R + λ Exercice 2 La série de terme gééral positif u est covergete Motrer que la série de terme gééral (u ) est covergete