FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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1 Lycée Thiers FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EDL - 1 Soit n N. Résoudre sur ], + [ l équation différentielle 2t + = t n. Résoudre sur R l équation différentielle ch (t) + sh (t) = t 2. Soit I un intervalle, tel que I ], + [. Trouver toutes les applications I R dérivables telles que, pour tout t I, la tangente au point d abscisse t du graphe coupe l ae Oy au point d ordonnée t. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner une base et la dimension de l espace des solutions sur R : t + = (E 1 ) t = (E 1 ) t 2 = (E 2 ) L équation t (t + 1) = t 3 t 2 possède une solution polynomiale : la trouver. Déterminer alors toutes les solutions sur R. E 7 Résoudre l équation différentielle linéaire : (t + 1) + = (t + 1) sin (t) sur chacun des intervalles ], 1[ et ] 1, + [. Etudier l eistence de solutions sur R. On s intéresse à l équation différentielle : t (t 1) + ( t ) = e t t ) Trouver trois réels a, b, c tels que t R {, 1}, t (t 1) = a + b t + c t 1. 2) En déduire les solutions sur ]1, + [ de l équation homogène (H), associée à. 3) Trouver une solution particulière sur ]1, + [ de, puis donner la forme générale des solutions de sur cet intervalle. 4) Prouver qu il eiste une solution de sur ]1, + [, et une seule, possédant en 1 une limite finie.

2 FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2 Fournée 2 Résoudre l équation différentielle linéaire : puis étudier les raccordements de solutions. t (t + 1) + = arctan (t) Décrire l espace des solutions sur ], π[ de l équation différentielle : sin (t) 2 cos (t) = Même question en remplaçant ], π[ par R. Faire le lien avec l e 4 de la première fournée. Trouver toutes les applications dérivables f : R R telles que : On considère l équation différentielle : t R, f (t) = f (t) + t f () y y = ( 1) 2 et l on s intéresse à ses solutions sur l intervalle ], + [. 1) Montrer que les solutions de sont de la forme y λ () = ϕ () + λψ () où λ R est arbitraire et ϕ, ψ des fonctions à déterminer. 2) Préciser lim y λ (). Même question pour lim y + + λ (). 3) Eistence et calcul de I (λ) = lim y ε + λ () d. ε 4) On note Γ l ensemble des points M d abscisse strictement positive, par lesquels passe une courbe intégrale de dont la tangente en M est de pente nulle. Déterminer puis dessiner Γ. 5) Démontrer que, pour chaque réel λ, l équation y λ () = admet une solution unique dans ], + [. Etant donné a ], + [, on considère l équation différentielle : y = a y. 1) Montrer que si f est une solution sur R et si f s annule, alors f est la fonction nulle. 2) Déterminer toutes les solutions sur R. Montrer que l on peut choisir f : R R continue de telle sorte que l équation différentielle y + y = f () n admette aucune solution sur R.

3 FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3 EDL - 2 Fournée 1 E 7 Résoudre sur R chacune des équations différentielles : Résoudre le système différentiel : avec les conditions initiales () = y () = 1. y 4y + 3y = e 2 ; y 6y + 9y = 3 y + y + y = 3 ; y + y 2y = 8 sin (2) { = 3 y y = 2 + 2y Déterminer toutes les applications dérivables f : R R vérifiant : R, f () = f (π ). On considère l equation différentielle ( t 3 t ) + ( 3t 2 1 ) + t =. Montrer que si f est solution sur ], 1[, alors g : t f ( 1 t 2) aussi. Résoudre y + 4y + ( ) y = en posant y () = z () e 2. Trouver les solutions deu fois dérivables de Equations d Euler homogènes { y 2 y 2 = 1 y () = 1 Montrer que l on peut résoudre sur ], + [ l équation linéaire 2 y + ay + by = au moyen du changement de variable = e t. Application : déterminer toutes les applications dérivables f : ], + [ R telles que ( 1 ], + [, f () = f ) E 8 Résoudre sur R chacune des équations différentielles : y + 2y 3y = 2 e ; y + 2y 3y = e 3 y + 2y 3y = sin (3) ; y + 2y 3y = sin ()

4 FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 4 Fournée 2 E 7 Trouver les f : [, 1] R de classe C 1 telles que [, 1], f () + f () + Déterminer les fonctions f continues de R dans R vérifiant la condition : R, f () + ( t) f (t) dt = 1 On commencera par prouver qu une telle fonction est nécessairement de classe C 2. f (t) dt =. Chercher les solutions périodiques de l équation différentielle : y + 2y + 2y = sin (). Résoudre sur ], 1[ l équation différentielle : (1 ) y + ( ) y 1 4 y = au moyen du changement de fonction z = y. Faire de même sur ]1, + [. Résoudre sur R l équation différentielle ( ) 2 y +2 ( ) y +4y = en posant t = arctan (). Résoudre l équation différentielle : y y y 2 = 1. On admet qu il eiste une application f : R R et une seule, deu fois dérivable et qui soit solution du problème de Cauchy : y + y + y = y () = y () = 1 1) Montrer que, pour tout n N {, 1} : R, f (n) () + f (n 1) () + (n 1) f (n 2) () =. 2) Calculer f (n) (), pour tout n N. En déduire le D.L. suivant, au voisinage de : n ( 2) k k! f () = (2k + 1)! 2k+1 + o ( 2n+2) k=

5 FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 5 Deu mini-problèmes On considère l équation : On note (H) l équation homogène associée. y + (1 2) y + ( 1) y = ) L équation (H) possède une solution ϕ définie sur R, qui ne s annule pas et telle que ϕ () = 1. Cette solution est évidente : la trouver. 2) Transformer (H) au moyen du changement de fonction inconnue : y () = ϕ () z (). On notera (H ) l équation transformée. 3) Résoudre (H ) sur ], + [ et sur ], [. En déduire les solutions de (H) sur chacun de ces intervalles. Quelles sont toutes les solutions sur R de (H)? 4) Trouver une solution polynomiale de, de degré 2. On la notera p. 5) Déterminer l unique solution f sur ], + [ de vérifiant f (1) = e 2 et f (1) = 3 e 2. 6) On pose pour tout ], 1] : L () = l application F définie par : admet en une limite finie. ], 1] F () = ln (t) dt. Montrer que L () 1. En déduire que f (t) dt Soit f : R R continue. On considère l équation différentielle : y y = f () 1) Montrer que l application g : R R, sh () f (t) ch (t) dt ch () f (t) sh (t) dt est une solution sur R de. En déduire toutes les solutions sur R de. 2) On suppose f paire. Montrer que admet une solution impaire sur R si, et seulement si, f =. 3) On suppose f périodique de période T >. 3.a) Montrer que : R, g ( + T) g () = g (T) ch () + g (T) sh () 3.b) Montrer que possède une unique solution périodique de période T.