Fonctions usuelles. Bestiaire du collège-lycée. I.1 Valeur absolue. Signe. I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 1. 1 si x > 0 x 1 si x < 0

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1 Fonctions usuelles. I Bestiaire du collège-lycée I.1 Valeur absolue. Signe. Définition 1. R R{ La fonction signe est la fontion sg : 1 si x > 0 x 1 si x < 0. Définition 2. R R{ La fonction valeur absolue est la fonction : x si x > 0 x x si x < 0. Proposition 3 : Propriétés immédiates. 1. x R, sg(x) = x x = x x 2. sg dérivable sur R et x R, sg (x) = 0 3. dérivable sur R et x R d, x = sg(x). dx Graphes : I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 4. Pour x tel que cela ait un sens et n Z, on pose : x n = { x x x (n fois) si n 1 1 = ( 1 n x x) si n < 0 n Domaine de dénition de x x n : 1

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3 Limites de x x n : Dérivée de x x n et conséquence : Graphes : 3

4 I.3 Racines n ièmes Proposition-Définition 5. { R+ R Pour n 1, + x x n est une bijection. On appelle fonction racine n ième sa fonction réciproque n : R + R +. Graphes : Proposition 6 : Dérivabilité. La fonction n est dérivable sur... de dérivée... Attention : 4

5 Remarque : si n n { R R est impair, la fonction a un prolongement naturel à R. En eet la fonction x x n est alors une bijection (ce qui n'est pas le cas pour n pair). La partie du graphe sur R s'obtient alors par.... I.4 Fonctions polynomiales Définition 7. On appelle fonction polynomiale une fonction de la forme P : Si a n 0, n s appelle le degré de P (il est bien unique). { R R x a n x n + + a 1 x + a 0. Dans cette sous-section on continue à noter P = x a n x n + + a 1 x + a 0. Proposition 8. P est dérivable sur... de dérivée.... Proposition 9. Les limites de P s obtiennent comme suit : I.5 Fonctions rationnelles Définition 10. On appelle fonction rationnelle une fonction de la forme f = x P (x) Q(x) avec P (x) et Q(x) polynomiales. Dans cette sous-section on notera P = x a n x n + + a 1 x + a 0 et Q = x b m x m + + b 1 x + b 0. Domaine de dénition : Limites : 5

6 Dérivée : Remarque 1 Si P et Q ont une racine commune, de multiplicité supérieure dans P, la fonction admet un prolongement par continuité. Exemple : Étude complète d'un exemple simple : les homographies x ax + b cx + d. 6

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9 II Exponentielle, logarithme et applications II.1 Fonction exponentielle Proposition 11 : Proposition-définition. Il existe une unique application f : R R, dérivable, telle que : 1. f = f sur R ; 2. f(0) = 1. On l appelle fonction exponentielle et on la note exp (pour l instant). Admis (c'est dur). Proposition 12 : Propriétés de l exponentielle. 1. Équation fonctionnelle : (x, y) R 2, exp(x + y) = exp(x) exp(y) ; 1 2. x R, exp(x) 0 et exp(x) = exp( x) ; 3. x R, n Z, exp(nx) = exp(x) n. Commençons par étudier, pour tout réel a, l'application f a : x exp(a x) exp(x). 9

10 Corollaire 13 : Autres propriétés. 1. exp est strictement positive ; 2. exp est strictement croissante. Corollaire 14 : 1. lim + exp = + ; 2. lim exp = 0. Autres propriétés. On tracera le graphe plus tard. II.2 Fonction logarithme népérien Proposition-Définition 15. Il existe une unique application f :]0, + [ R, dérivable, telle que : 1. f = x 1 sur ]0, + [ ; x 2. f(1) = 0. On l appelle fonction logarithme népérien et on la note ln. Remarque : d'après le cours de TS qui fait le lien entre intégrales et primitives, on peut reformuler ainsi cette dénition : x ln(x) = f(t) dt 1 10

11 Proposition 16 : Premières popriétés. 1. (a, b) ]0, + [ 2, ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; 2. a ]0, + [, ln ( 1 a) = ln(a) ; 3. a ]0, + [, n Z, ln(a n ) = n ln(a). On attend la section suivante pour donner les autres propriétés et tracer le graphe, car un miracle va se produire. II.3 Le miracle Théorème 17 : "Miracle". exp et ln sont réciproques l une de l autre. On déduit donc de nombreuses propriétés de ln à l'aide de propriétés de exp, et le graphe de l'une à l'aide du graphe de l'autre. Graphes : 11

12 Proposition 18 : Autres propriétés. ln est strictement croissante. Proposition 19 : 1. lim + ln = + ; 2. lim 0 + ln =. Proposition 20 : Autres propriétés. Autres propriétés. Il existe un unique réel e > 0 tel que ln(e) = 1. On a e = exp(1) > 1. Des calculs numériques d intégrale donnent e 2, 7. Notation : On notera désormais e x = exp(x). Cette notation est justiée par le fait que e x avait déjà un sens pour x Z, voire même pour x Q, et est bien égal à exp(x) pour ces valeurs, d'après ce qui précède. II.4 Inégalités classiques Proposition 21 : Inégalités à savoir. 1. x R, e x x + 1 ; 2. x ]0, + [, ln(x) x 1 ; 3. x ]0, + [, ln(x) x. 12

13 Corollaire 22 : Croissances comparées (1). ln(x) 1. lim = 0 x + x exp(x) 2. lim = 0 x + x 3. lim x ln(x) = 0 x lim x xex = 0 Slogan : l'exponentielle l'emporte sur l'identité, l'identité l'emporte sur le logarithme. 13

14 Corollaire 23 : Croissances comparées (2). Pour tout entier n 1 et tout polynôme P : ln(x) 1. lim x + n = 0 x exp(x) 2. lim x + x n = 0 3. lim x + exp(x) P (x) = 0 Exercice 1. Le démontrer. Exercice 2. (facultatif) Trouver un bon slogan (de votre point de vue) qui vous permette de le retenir. 14

15 II.5 Autres fonctions associées Définition 24 : Exponentiation. Pour a > 0 et b R, on pose a b = e b ln(a). Remarque : on sait déjà que pour a > 0 et b Z (voire b Q), l'expression a b a un sens et est égale à e b ln(a). La notation précédente permet donc de prolonger naturellement la dénition de l'exponentiation (avec une petite réserve toutefois, il est nécessaire ici que a soit strictement positif, ce qui n'était pas le cas pour dénir a n ). Proposition 25 : Propriétés des puissances. 1. Si a > 0 et (b, c) R 2 alors a b+c = a b a c. 2. Si a > 0 et (b, c) R 2 alors ( a b) c = a bc. 3. Si (a, a ) ]0, + [ 2 et b R alors a b a b = (aa ) b. Exercice 3. Le démontrer. II.5.1 Fonctions puissances réelles Définition 26. On appelle fonction puissance une fonction de la forme f = x x α, où α R. Domaine de dénition :... Proposition 27 : Propriétés. 1. Si α = n Z, l application f est Si α = 1, n N \ {0}, f est... n Proposition 28. f est dérivable sur... de dérivée... Exercice 4. Donner une CNS sur α pour que f soit prolongeable par continuité en 0. Exercice 5. Donner une CNS sur α pour que ce prolongement soit dérivable en 0. Exercice 6. Donner une CNS sur α pour que ce prolongement soit C 1. Graphes : 15

16 II.5.2 Exponentielles de base a Définition 29. Pour a R +, on appelle exponentielle de base a la fonction x a x. Exemple :... Domaine de dénition :... Proposition 30. f est dérivable sur... de dérivée... Graphes : II.5.3 Logarithmes de base a Définition 31. On appelle logarithme de base a la fonction log a = x ln(x) ln(a), a R +. Proposition 32. C est la réciproque que x a x. Exemple :... L'étude est gratuite car le graphe s'obtient par... 16

17 Proposition 33 : Croissances comparées (3). log 1. lim a (x) x + x α = a x 2. lim x + x α = II.5.4 Fonctions de la forme x u(x) v(x). Domaine de dénition :... Dérivée : Exemple : étudions x x x. 17

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19 III III.1 Fonctions usuelles trigonométriques Fonctions trigonométriques Dans ce paragraphe, on se concentre sur les fonctions : cos : R R sin : R R tan : D tan R où D tan =... Remarque 2 On pourrait n'étudier que sin et tan, la formule sin ( x + π 2 ) = cos(x) permettrait de retrouver toutes les propriétés voulues sur cos à partir des propriétés analogues sur sin. Rappel : sin(x) lim = 1 x 0 x Corollaire lim x 0 cos(x) 1 x 2 = 1 2 ; cos(x) 1 2. lim = 0. x 0 x Théorème 35. cos et sin sont dérivables sur R et cos = sin, sin = + cos 19

20 Slogan : "Dériver, c'est tourner dans le sens horaire." Corollaire 36. tan est dérivable sur D tan et tan = 1 + tan 2 = 1 cos 2. Graphes : 20

21 III.2 Fonctions trigonométriques réciproques Définition 37 : Rappel. Les définitions des fonctions trigonométriques réciproques se reformulent comme suit : 1. arccos est la fonction réciproque de arcsin est la fonction réciproque de arctan est la fonction réciproque de... Graphes : arccos et arcsin ne sont pas dérivables en ±1. Lemme 38. Soit x [ 1, 1]. Pas évidente mais "ça se voit". 1. sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) =... 21

22 Théorème arccos est dérivable sur ] 1, 1[ et on a x ] 1, 1[, arccos (x) = 1 1 x arcsin est dérivable sur ] 1, 1[ et on a x ] 1, 1[, arcsin (x) = 3. arctan est dérivable sur R et on a x R, arctan (x) = x x 2. Application : on retrouve les expressions de arcsin(x) + arccos(x) et arctan(x) + arctan ( 1 x) à l'aide du théorème sur le signe de la dérivée. Exercice 7. L'écrire proprement. 22

23 III.3 Fonctions trigonométriques hyperboliques Rappel : Toute fonction f : R R peut s'écrire de façon unique sous la forme d'une somme d'une fonction paire f p et f(x) + f( x) f(x) f( x) d'une fonction impaire f i. On a montré qu'on avait toujours f p = x et f i = x. 2 2 Terminologie : f p s'appelle la partie paire de f et f i sa partie impaire. Définition 40. On appelle cosinus hyperbolique et on note ch la partie paire de exp. On appelle sinus hyperbolique et on note sh la partie impaire de exp. Reformulation : pour tout réel x on a déni On remarquera l'analogie avec les formules d'euler. ch(x) = ex + e x 2 sh(x) = ex e x 2 Exercice 8. Expliquer d'où vient {( le nom )"hyperbolique". } ch(t) Indication : caractériser H =, t R sh(t) en utilisant les propriétés qui suivent. Définition 41. On appelle tangente hyperbolique l application th = sh ch. Remarque : toutes ces fonctions ont pour domaine de dénition.... Proposition 42 : Propriétés immédiates. 1. x R, ch(x) + sh(x) = x R, ch(x) sh(x) = x R, ch 2 (x) sh 2 (x) =... Théorème 43. Les trois fonctions trigonométriques hyperboliques sont dérivables sur R et : 1. ch = sh ; 2. sh = ch. 3. th = 1 ch 2 = 1 th2. 23

24 Graphes : Théorème 44 : Croissances comparées (4). Pour tout réel α : ch(x) 1. lim x + x α = + sh(x) 2. lim x + x α = + Exercice 9. Les applications ch, sh, th ainsi dénies sont-elles bijectives? Fin Je n'ose y croire 24