VA CONTINUES - Sujets de concours

Transcription

1 Lycée Dominique Villars ECE Exercices VA CONTINUES - Sujets de concours Exercice - Problème EDHEC On considère deux variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et indépendantes. On suppose que X est une variable à densité et on note F X sa fonction de répartition. On suppose par ailleurs que la loi de Y est donnée par P(Y = ) = P(Y = ) =. L indépendance de X et Y se traduit par les égalités suivantes, valables pour tout réel x : P ([X x] [Y = ]) = P (X x)p (Y = ) et P ([X x] [Y = ]) = P (X x)p (Y = ). On pose Z = XY et on admet que Z est, elle-aussi, une variable aléatoire définie sur (Ω,A,P). On se propose d établir deux résultats utiles pour la suite dans la partie, puis d en déduire la loi de la variable aléatoire Z en fonction de la loi de X dans les parties et 3. Partie : expression de la fonction de répartition de Z en fonction de celle de X.. Rappeler l expression des fonctions de répartition d une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a, b] (avec a < b) et d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > ).. En utilisant le système complet d événements {(Y = ),(Y = )}, montrer que la fonction de répartition F Z de la variable aléatoire Z est donnée par : x R, F Z (x) = (F X(x) F X ( x)+). Partie : étude de deux premiers exemples.. On suppose que la loi de X est la loi normale centrée réduite. Reconnaître la loi de Z.. On suppose que la loi de X est la loi uniforme sur [,]. (a) Déterminer l expression de F X ( x) selon les valeurs prises par x. (b) Déterminer F Z (x) pour tout réel x, puis reconnaître la loi de Z. Partie 3 : étude du cas où la loi de X est la loi exponentielle de paramètre.. (a) Montrer que la fonction de répartition F Z de la variable aléatoire Z est définie par : { F Z (x) = e x si x ex si x < (b) En déduire que Z est une variable aléatoire à densité. (c) Etablir alors qu une densité de Z est la fonction f Z définie pour tout réel x par : f Z (x) = e x. (d) Donner la valeur de l intégrale xe x dx. (e) Montrer que f Z est une fonction paire et en déduire l existence et la valeur de E(Z).. (a) Donner la valeur de l intégrale x e x dx. (b) En déduire l existence et la valeur de E(Z ), puis donner la valeur de la variance de Z. 3. (a) Déterminer E(X)E(Y) et comparer avec E(Z). Quel résultat retrouve-t-on ainsi? (b) Exprimer Z en fonction de X, puis en déduire de nouveau la variance de Z.

2 4. Soit U et V des variables aléatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramètre uniforme sur [, [. et la loi (a) On pose Q = ln( V) et on admet que Q est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de Q et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire Q. (b) On pose R = U et on admet que R est une variable aléatoire. Déterminer R(Ω) et donner la loi suivie par la variable R. (c) Informatique. En tenant compte des résultats des questions 5a) et 5b), écrire en Turbo Pascal une déclaration de fonction dont l entête est function z:real; pour qu elle simule la loi de Z. Exercice - Loi exponentielle : la loi continue sans mémoire - ESSEC On rappelle qu une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre µ(µ > ) si elle admet pour densité la fonction f µ définie par { µe µx si x f µ (x) = si x <. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre µ. (a) Donner l espérance E(X) et la variance V(X). (b) Justifier que pour tout entier naturel n, X n admet une espérance et déterminer une relation de récurrence entre E(X n+ ) et E(X n ) pour tout entier naturel n. (c) En déduire E(X n ) pour tout n >. (d) Retrouver la valeur de V(X) à l aide de la question précédente.. Propriétés caractéristiques. (a) Soient µ > et X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre µ. i. Justifier que pour tout réel x positif ou nul, le nombre P(X > x) est non nul. ii. Montrer que pour tous réels positifs x et y, P [X>x] (X > x+y) = P(X > y) (b) Réciproquement, soit X une variable aléatoire positive admettant une densité f continue et strictement positive sur IR +, et telle que pour tous réels positifs x et y, P [X>x] (X > x+y) = P(X > y) i. Soit R(x) = P(X > x). Justifier que R(x) est non nul pour tout réel positif. ii. On pose µ = f(). Montrer que pour tout x réel positif, on a la relation R (x)+µr(x) =. iii. Calculer la dérivée de x R(x)e µx sur IR + iv. Déduire que X suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. (c) Soient deux réels strictement positifs µ et µ. Soient X et X deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois exponentielles de paramètres µ et µ. i. On pose Y = max(x,x ). Déterminer la fonction de répartition F Y de Y et en déduire la densité de la variable Y. ii. On pose Z = min(x,x ). Déterminer la fonction de répartition F Z de Z et en déduire la loi de Z. Exercice 3 - EML 6. Soit U une variable aléatoire à densité suivant une loi normale d espérance nulle et de variance (a) Rappeler une densité de U (b) En utilisant la définition de la variance de U, montrer que l intégrale π que x e x dx = 4 x e x dx est convergente et

3 { Soit F la fonction définie sur R par : x, F (x) = x >, F (x) = e x. Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition de variable aléatoire dont on déterminera une densité f. 3. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. π (a) Montrer que X admet une espérance E(X) et que E(X) =. (b) Déterminer, pour tout réel y, la probabilité P ( X y ). On distinguera les cas y et y >. (c) Montrer que la variable aléatoire X suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que X admet une variance V (X) et calculer V (X) Exercice 4 - Etude de la loi de Y = [X] - EDHEC Pour tout réel x, on note [x] la partie entière de x, c est-à-dire l unique nombre entier vérifiant : [x] x < [x]+. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ (λ > ). On pose Y = [X], Y est donc la partie entière de X et on a ainsi :. (a) Montrer que Y prend des valeurs dans N. (b) Pour tout k de N, calculer È(Y = k ). k Z, (Y = k) (k X < k +). (c) En déduire que la variable aléatoire Y + suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre. (d) Donner l espérance et la variance de Y +. En déduire l espérance et la variance de Y.. On pose Z = X Y. (a) Déterminer Z(Ω). (b) En utilisant le système complet d évènements (Y = k) k N, montrer que : (c) En déduire une densité f de Z. x [;[, P(Z x) = eλx e λ. (d) Déterminer l espérance (Z) de Z. Ce résultat était-il prévisible? Exercice 5 - Médiane et mode d une loi de probabilité - EDHEC Soit f la fonction définie par : f(x) = si x <. Vérifier que f est une densité de probabilité. f(x) = xe x si x La durée de vie d un certain composant électronique est une variable aléatoire X dont une densité est f.. (a) Déterminer la fonction de répartition F de X. (b) Calculer la médiane de la loi de X c est-à-dire le réel µ tel que È(X µ) =. 3. On appelle mode de la variable X tout réel x en lequel f atteint son maximum. Montrer que X a un seul mode, noté M o, et le déterminer. 4. (a) En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que X a une espérance et montrer que π (X) = (b) Calculer, à l aide d une intégration par parties, la variance de X.

4 Exercice 6 - EDHEC 8. Montrer que l intégrale est convergente et donner sa valeur. On considère la fonction f définie par : x R, f (x) = (a) Montrer que f est paire. (+x) dx (+ x ). (b) Montrer que f peut être considérée comme une fonction densité de probabilité. Dans la suite, on considère unevariable aléatoire X, définiesurunespace probabilisé (Ω,A,P) admettant f comme densité. On note F la fonction de répartition de X. 3. On pose Y = ln(+ X ) et on admet que Y est unevariable aléatoire à densité, elle aussi définie surl espace probabilisé (Ω, A, P) (a) Déterminer Y (Ω) (b) Exprimer la fonction de répartition G de Y à l aide de F. (c) En déduire que Y admet pour densité la fonction g définie par : { e g(x) = x f (e x ) si x si x < (d) Montrer enfin que Y suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre. Exercice 7 - EML Soita R +.. Montrer que, pour tout entier n tel que n, l intégrale I n = x n e x a dx est convergente.. (a) Rappeler une densité d une variable aléatoire. qui suit la loi normale d espérance nulle et de variance a. π En déduire : I = a. (b) Calculer la dérivée de l application ϕ : R R définie, pour tout x R, par : ϕ(x) = e x a En déduire : I = a. 3. (a) Montrer, pour tout entier n. tel que n et pour tout t [;+ [ : t x n e x a dx = a t n e t a +(n )a t (b) En déduire, pour tout entier n tel que n : I n = (n )a I n. (c) Calculer I et I 3. On considère l application g a : R R définie, pour tout x R, par : 4. Montrer que g a est une densité. g a (x) = { x a e si x x a si x > On considère une variable aléatoire X admettant g a comme densité. 5. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X. x n e x a dx

5 π 6. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance E(X) et que E(X) = a 7. Montrer que la variable aléatoire X admet une variance V (X) et calculer V (X). 8. (a) On considère une variable aléatoire U suivant la loi uniforme sur l intervalle, ]; ]. Montrer que la variable aléatoire Z = a ln(u) suit la même loi que la variable aléatoire X (b) En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire X, le réel a strictement positif étant entré par l utilisateur. Soit un entier n tel que n. Ondit. queles. variablesaléatoires àdensitéx,x,x n sontindépendantessi,pourtout, n-uplet(x,x,,x n ) de réels, les événements (X x ), (X x ), (X n x n ) sont mutuellement indépendants. On admet que si n variables aléatoires à densité X, X,X n admettent une espérance, alors la variable aléatoire X + +X n admet une espérance qui est égale à la somme des espérances. On admet que si n variables aléatoires à densité X, X,X n sont indépendantes et admettent variance alors la variable aléatoire X + +X n admet une variance qui est égale à la. somme des variances. On considère n variables aléatoires indépendantes X, X,X n suivant toutes la même loi que la variable aléatoire X. 9. On considère la variable aléatoire A n = n π (X +X + +X n ). (a) ** Montrer que la variable aléatoire A n, est un estimateur sans biais de a. (b) ** Déterminer le risque quadratique de l estimateur A n. On définit la variable aléatoire M n = min(x,x,x n ). Ainsi, t R, (M n > t) = (X > t) (X > t) (X n > t).. (a) Montrer, pour tout t[,+ [ : P(M n > t) = e nt a. (b) En déduire la fonction de répartition de M n. (c) Montrer que M n est une variable aléatoire à densité, admettant g b comme densité avec b = a n. (d) Montrez- que la variable aléatoire M n, admet une espérance E(M n ) et une variance V (M n ) Calculer E(M n ) et V (M n ).. (a) En déduire un estimateur B n, sans biais de a, de la forme λ n M n avec λ n R. (b) Déterminer le risque quadratique de l estimateur B n. Exercice 8 - Couple de VAR - EDHEC 7 On admet que si Z et Z sont deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par : Cov(Z,Z ) = (Z Z ) (Z ) (Z ) On admet également que si Z et Z sont indépendantes alors leur covariance est nulle. On considère deux variables aléatoires réelles X et U définies sur le même espace probabilisé(ω, A, P), indépendantes, X suivant la loi normale N (,) et U suivant la loi discrète uniforme sur {,}. On pose Y = UX et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l espace probabilisé (Ω,A,P).. (a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : (b) En déduire que Y suit la même loi que X. P(Y x) = P([U = ] [X x])+p([u = ] [X x]). (a) Calculer l espérance de U puis montrer que E(XY) = (b) En déduire que Cov(X,Y) =.

6 3. (a) Rappeler la valeur de E ( X ) et en déduire que x e x = π (b) Montrer, grace à une intégrationpar parties que A R + : A A x 4 e x dx = A 3 e A +3 x e x dx (c) En déduire que l intégrale x 4 e x dx converge et vaut 3 π. (d) Etablir finalement que X possède un moment d ordre 4 et que E ( X 4) = 3 4. (a) Vérifier que E ( X Y ) = 3 (b) Déterminer Cov ( X,Y ) (c) En déduire que X et Y ne sont pas indépendantes. Montrer alors que X et Y ne le sont pas non plus. (d) Cet exercice a permis de montrer qu un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variabales à densité. Lequel? Exercice 9 - EDHEC 9 Dans tout l exercice λ désigne un réel strictement positif.. On considère la fonction h définie sur R par: λ xe λx si x h(x) = si x < (a) En se référant éventuellement à une loi exponentielle, montrer la convergence de l intégrale puis donner sa valeur. (b) Montrer que h peut être considérée comme la densité d une variable aléatoire X. (c) Montrer la convergence de l intégrale une espérance et la déterminer. h(x)dx xh(x)dx puis donner sa valeur. En déduire que X possède. Dans cette question, on considère une variable aléatoire Y de densité f, nulle sur ] ;[, continue sur [;+ [ et strictement positive sur [;+ [. On note alors F la fonction de répartition de Y. Justifier que, pour tout réel x, on a: F(x) >. On définit alors la fonction g par: f(x)ln( F(x)) si x g(x) = si x < 3. (a) Montrer que g est positive sur R. (b) Montrer que g est continue sur ] ;[ et sur [;+ [. (c) en remarquant que, si l on pose u (x) = f(x), on peut choisir u(x) = F(x), montrer grâce à une intégration par parties que g(x)dx est une intégrale convergente et que g(x)dx =. (d) Etablir que g peut être considérée comme la densité d une variable aléatoire Z. (e) Etude d un cas particulier. Vérifier que la variable aléatoire Y suivant la loi exponetielle de paramètre λ (avec λ > ) vérifie les conditions imposées dans la deuxième question. Montrer alors que Z suit la même loi que X.