Euler. Cette égalité est la relation d Euler.

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1 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Rappls L tau d accroissmt d u foctio f tr a t a h st égal à : f ( a h) f ( a) h U foctio st dérivabl a si l tau d accroissmt d ctt foctio admt u uiqu limit fii quad h 0 La rlatio d Eulr Si h st «ptit» alors : f a h f a hf a Rchrch d u ouvll foctio Eulr Ctt égalité st la rlatio d Eulr L but d ctt activité st d rpréstr graphiqumt la foctio f qui vérifi ls du coditios suivats : f f pour tout rél f 0 t La rlatio d Eulr pour u h ptit t positif Ecrir la rlatio Eulr pour a 0 t h 0, Détrmir f 0, Ecrir la rlatio Eulr pour a 0, t h 0, Détrmir f 0, 3 Ecrir la rlatio Eulr pour a 0, t h 0, Détrmir f 0,3 à 0 près 4 Ecrir la rlatio Eulr pour a 0,3 t h 0, Détrmir f 0,4 à 0 près 5 Cotiur l travail Etablir l tablau ds valurs d ctt foctio sur l itrvall 0; La rlatio d Eulr pour u h ptit t égatif Ecrir la rlatio Eulr pour a 0 t h 0, Détrmir f 0, Ecrir la rlatio Eulr pour a 0, t h 0, Détrmir f 0, 3 Ecrir la rlatio Eulr pour a 0, t h 0, Détrmir f 0,3 à 0 près 4 Ecrir la rlatio Eulr pour a 0,3 t h 0, Détrmir f 0,4 à 0 près 5 Cotiur l travail Etablir l tablau ds valurs d ctt foctio sur l itrvall ;0 Utilisatio d u tablur t d u graphur Gogbra prést ls du foctioalités «tablur» t «graphur» Utilisz c logicil pour tracr la rpréstatio graphiqu d la foctio potill à l aid d la méthod d Eulr Activités Pag

2 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm La foctio potill La foctio potill qu l o otra f p st dérivabl t cotiu Sa dérivé p 0 st égal à ll-mêm L imag d 0 par ctt foctio st p p t Ls propriétés d la foctio potill La foctio potill aisi défii s aul pas La foctio potill aisi défii st uiqu p a b p a p b La foctio potill aisi défii vérifi La foctio potill aisi défii st toujours positiv La foctio potill aisi défii vérifi pa pa Cs propriétés importats vot êtr démotrés L potill s aul jamais Cosidéros la foctio h défii par h p p Calculr h Qu déduisz-vous pour la foctio g? Sachat qu p0, détrmir la valur d h pour tout rél p a 0 3 Supposos qu il ist u rél a tl qu Calculr ha Qu déduir? L potill aisi défii st uiqu Supposos qu il ist du foctios f t g qui vérifit : f f t f f g g t g 0 Cosidéros la foctio k défii par k g Démotr qu la foctio k st u foctio costat Détrmiz ctt costat 0 t E déduir qu il ist qu u sul foctio défii comm la foctio potill L potill trasform u somm u produit d du potills Soit du réls a t b Cosidéros la foctio l défii par l pa b p Calculr l Qu déduisz vous pour la foctio l? Calculr l 0 Calculr lb Qu déduisz vous? Activités Pag

3 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm L potill st toujours positiv Cosidéros u rél a E écrivat a a p a p E déduir l sig d p a Sauriz-vous proposr u autr démostratio d ctt propriété? a, motrr qu a L potill trasform u différc u quotit d du potills Soit du réls a t b E écrivat a b a b, motrr qu pa b L potill trasform l opposé l ivrs d l potill Soit u rél a E écrivat a 0 a, motrr qu pa p a Tablau d variatios t iéquatios Drssr l tablau d variatios d la foctio potill Justifir a b p p E lisat c tablau d variatio, détrmir l sig d l prssio p Détrmiatio ds limits l ifii Cosidéros la foctio h défii par p Calculr Détrmir ls variatios d la foctio E déduir l sig d Détrmir alors lim p 3 Procédos au chagmt d variabl X Commt évolu quad X? A l aid d c chagmt motrr qu lim p X lim X p 4 E déduir lim p X X U limit particulièr Calculr p lim 0 Itrprétr graphiqumt Activités Pag 3

4 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Du tagts à la courb L imag d par la foctio potill st oté L ombr st u rél tl qu,78 =,78 C ombr, comm l ombr 3,4 st pas u ombr ratiol Sa parti décimal st ifii Sa valur approché st obtu grâc à la méthod d Eulr Détrmir l équatio d la tagt à la courb rpréstativ d l potill 0 Tracr ctt tagt das l rpèr ci-cotr Détrmir l équatio d la tagt à la courb rpréstativ Tracr ctt tagt das l rpèr ci-cotr Du limits importats lim lim 0 Démostratios Cosidéros sur l itrvall 0; la foctio f défii par f Calculr f puis f Après étud du sig d f, détrmir ls variatios d f sur 0; 3 Après étud du sig d f, détrmir ls variatios d f sur 4 E déduir l sig d f sur 0; puis l iégalité 0; pour tout 0; 5 Par u raisomt précis qu vous précisrz, calculr lim Effctuos l chagmt d variabl X 6 Commt évolu X quad? 7 Motrr qu X E déduir lim X Activités Pag 4

5 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Croissac comparé d l idtité, du carré t d l potill Rapplr lim Rapplr lim 3 Rapplr lim y = p y = carré y = idtité 4 Rapplr lim 5 Rapplr lim 6 Cojcturr lim Du limits importats lim pour tout tir aturl lim 0 pour tout tir aturl Foctios composés à l aid d l potill Calculs d limits Si t si lim alors lim limu b a v c b v u c a E pliquat votr raisomt, calculr ls limits suivats : lim lim lim lim lim lim Calculs d dérivés v u u v u Calculr la dérivé ds foctios suivats : f g 3 h Activités Pag 5

6 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Quatr foctios d référc Défiitio Carré Cub Raci carré Parti tièr La foctio f réalis u bijctio d I sur J lorsqu tout élémt d J admt u uiqu atécédt das I Cotr mpls Détrmir l(s) atécédt(s) d 4 par la foctio carré La foctio carré put-t-ll réalisr u bijctio? Epliqur Détrmir l(s) atécédt(s) d,5 par la foctio parti tièr La foctio parti tièr put-t-ll réalisr u bijctio? Epliqur Empls Qu psz-vous ds foctios cub t raci? Réalist-lls u bijctio? Détrmir ls coditios écssairs pour qu u foctio réalis u bijctio La foctio logarithm épéri O a établi qu la foctio potill réalis u bijctio d l itrvall ; sur l itrvall 0; Cci sigifi qu qulqu soit l rél strictmt positif m, a l équatio m admt u uiqu solutio Défiitio O appll logarithm épéri du rél strictmt positif m a l uiqu solutio d l équatio m O ot l m ctt solutio qui s lit «logarithm épéri d m» O dit qu la foctio logarithm épéri st la foctio réciproqu d la foctio potill Applicatios dircts m =,78 a Détrmir l logarithm épéri d puis du ombr Qul st l smbl d défiitio d la l? Si foctio logarithm épéri? Si st u rél qulcoqu, qu pouvz-vous dir d st u rél strictmt positif, qu pouvz-vous dir d l? Activités Pag 6

7 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm La dérivé d la foctio logarithm épéri Soit a 0 O s propos d étudir la limit du quotit l l a a lorsqu a O appll t l l a Commt évolu X lorsqu a? a O pos ls chagmts d variabl X l, A l a Qu rprést la quatité t? Motrr qu l quotit X A t put s écrir X A 3 Qu rprést l quotit X A X A? Qull st sa limit lorsqu X A? 4 E déduir lim a t Qul st l ombr dérivé d la foctio logarithm a? 5 La foctio logarithm st-ll dérivabl? Qull st sa dérivé? Propriété fodamtal Soit a t b du réls strictmt positifs Qu pouvz-vous dir d l a b? Qu pouvz-vous dir d l a l b? 3 Qu put-o déduir pour ls quatités l ab t l a l b? 4 Et pour ls quatités l a b t l a l b Corollairs Soit a t b du réls strictmt positifs? Si st u tir aturl o ul, qu dir d l Qu dir d l a? Epliqur 3 Qu dir d l b 4 Qu dir d l a b? Epliqur? Epliqur a? Epliqur Activités Pag 7

8 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Tracé d la courb rpréstativ Comportmt asymptotiqu O a rprésté ci-cotr la rpréstatio graphiqu d la foctio potill dot o fourit u tablau d valurs 0 a b Rmplir l tablau d valurs : b l Qu put-o dir ds poits d la courb rpréstativ d la foctio logarithm par rapport à cu d la courb d l potill? 3 Détrmir l équatio d la tagt à la courb rpréstativ du logarithm 4 Détrmir l équatio d la tagt à la courb rpréstativ du logarithm 5 Tracr la courb rpréstativ du logarithm t ls du tagts 6 Cojcturr lim l 0 t lim l Qull st la coséquc graphiqu? Rappls sur la foctio potill lim lim 0 Du limits importats l O chrch ici à détrmir lim S agit-il d u cas d idétrmiatio? Lqul? O pos l chagmt d variabl X l Eprimr l foctio d X Commt évolu X lorsqu 3 E déduir lim l O chrch ici à détrmir 0 lim l S agit-il d u cas d idétrmiatio? Lqul? O pos l chagmt d variabl X l Eprimr l foctio d X Commt évolu X lorsqu 0? 3 E déduir lim l 0 Activités Pag 8

9 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Croissacs comparés ds foctios Ls foctios l, t ot touts pour limit quad Pourtat lur «vitss d accroissmt» st pas idtiqu t o put aisémt comparr lurs croissacs potill puissacs Aisi, u foctio puissac, qull qu ll soit, td vrs l ifii «mois vit» qu l potill t «plus vit» qu l logarithm O déduit du limits importats : 5 logarithm Du limits à rtir l lim 0 lim Logarithm composé Savoir dérivr O appll logarithm composé tout foctio s écrivat sous la form l u Rapplr la formul gééral prmttat d dérivr la composé d du foctios E déduir l prssio d la dérivé du logarithm composé l u l 3 Calculr la dérivé d f Calculr la dérivé d g l U calcul d limit Etudir ls variatios t l sig d f l défii sur 0; Etudir ls variatios t l sig d g l défii sur 3 E déduir qu pour tout 0; o a l 0; 4 E pliquat clairmt votr raisomt déduir l lim 0 Activités Pag 9

10 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Logarithm composé Savoir quad il ist Domai d défiitio Quad f l 4 ist-t-il? E déduir l domai d défiitio d f Quad g l 4 3 ist-t-il? E déduir l domai d défiitio g 3 Quad h l ist-t-il? E déduir l domai d défiitio d h k 4 Quad l ist-t-il? E déduir l domai d défiitio d k Logarithm composé Savoir détrmir ls variatios t étudir ls limits k O cosidèr la foctio l Rapplr l domai d défiitio d k Calculr k t étudir so sig E déduir ls variatios d k 3 Détrmir lim k Détrmir lim k Résolutio approché d u équatio O cosidèr la foctio u défii sur 0; par u l 3 Etudir ls variatios d la foctio u Motrr qu l équatio u 0 admt u raci uiqu oté Dor u cadrmt d à 0,00 près Etudir l sig d u Réivstissmt pour l étud d u foctio O cosidèr la foctio f défii sur l 0; par f Détrmir ls limits d f quad td vrs 0 puis quad td vrs Calculr f E déduir ls variatios d f sur l itrvall 0; 3 Motrr qu f E déduir l sig d f sur l itrvall 0; Activités Pag 0

11 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm L logarithm décimal L logarithm décimal st la foctio oté log défii sur 0; par log l l 0 Propriétés Calculr log Calculr log 0 Après étud d la foctio, drssr l tablau d variatio complt 3 Démotrr qu, pour tout a t b strictmt positifs, a log b 4 Motrr qu log a b log a log b 5 Démotrr qu 0 a 0 E chimi, log a log a st équivalt à équivaut à b 0 a, log a log a log a E chimi, la otatio ph sigifi «pottil hydrogè» L ph prmt d primr l caractèr acid ou basiqu d u solutio C ombr st u décimal compris tr t 4 tl qu : si ph<7 alors la solutio st dit acid, si ph>7 alors la solutio st dit basiqu, si ph=7, alors la solutio st dit utr Si H désig la coctratio ios hydrogès HO 3, primé mols par litr, alors la rlatio ph log H do l ph d la solutio L sag possèd u coctratio ios HO 8 3 égal à H 3,98 0 mols par litr Motrr qu l sag st légèrmt basiqu Qull st la coctratio ios HO 3 d u solutio utr? Si o augmt la coctratio d ios HO 3 das u solutio, dimiu-t-o ou augmt-t-o so ph? Justifir E physiqu U vibratio soor s msur par sa fréquc t doc so itsité I primé W/m² t l décibl st quat à lui utilisé pour primr l rapport d du itsités acoustiqus O défiit l ombr d décibls (db), qu l o ot N, gdré par u vibratio soor d itsité I par : N 0 log I, où I 0 st la plus faibl itsité prcptibl par l orill humai, 0 - W/m² I0 Calculr N pour I I0 Calculr N pour I 00I0 L chuchotmt discrt d du élèvs class st voisi d 0 db Qu st-il d l itsité soor émis par rapport à I 0? Mêm qustio pour u covrsatio tr du prsos émttat 50 db Mêm qustio pour l suil d la doulur stimé à viro 0 db Activités Pag

12 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Calcul forml Soit f la foctio défii par l f O rport ci-cotr ls ligs d u logicil d calcul forml Aalysr chacu ds ligs puis drssr l tablau complt ds variatios d la foctio f Calcul forml O propos ci-cotr plusiurs ligs d u logicil d calcul forml Comm cla a été proposé précédmmt, ffctur u brf commtair décrivat ls actios mathématiqus més à chaqu lig Dor l prssio d la foctio étudié t drssr l tablau complt ds variatios d ctt foctio Calcul forml O propos ci-cotr plusiurs ligs d u logicil d calcul forml Dor l prssio d la foctio étudié t drssr l tablau complt ds variatios d ctt foctio Activités Pag

13 Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Activités Pag 3