Pour démarrer calcul mental, calculer une expression algébrique. 1) Règles de suppression de parenthèses. 2 1 x. 2) Réduction d expression littérale

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1 CALCUL LITTERAL, EQUATIONS Compétences traitées : 4.N40 Calculer une expression littérale pour des valeurs numériques données. 4.N41 Réduire une expression littérale du premier ou second degré à une ou plusieurs inconnues. 4.N4 Développer une expression de la forme (a+b)(c+d). 3.N31 [-] Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent. 3.N3 [S] Connaître les identités remarquables. 3.N33 [-] Développer en utilisant une identité remarquable (valeurs numériques ou littérales simples). 3.N34 [-] Factoriser en utilisant une identité remarquable (valeurs numériques ou littérales simples). 3.N40 [-] Mettre en équation un problème. 3.N45 [-] Résoudre une équation produit de deux expressions du premier degré de la même variable. 1) Règles de suppression de parenthèses Pour démarrer calcul mental, calculer une expression algébrique Si les parenthèses sont précédées du signe opératoire +, il suffit de supprimer les parenthèses Exemple C1 : A=a + ( b + c ) = B=3 + (x + 5) = Si les parenthèses sont précédées d un signe opératoire, il suffit de développer : Ex C : C= - 5 (x + 5) = = = = Ex C3 : D= (x+4) 5 = 5(x+4) = Ex C4 : F= ( 1)= 1 x 3 rem : 5 x =x 5= 5x Si les parenthèses sont précédées du signe -, il s agit d une multiplication par (-1) donc il suffit de développer. (-1) 10=-10 ; (-1) x=-x ; (-1) (1+a)=-(1+a) Ex C5 : G = a - ( b + c ) = Ex C6 : H=a - ( b - c ) = Ex C7 : I = a - (- b + c ) = Ex C8 : J=4x - (5x-) = Règle utile Lorsque l on a un signe - devant une parenthèse on le supprime ainsi que les parenthèses et on remplace les termes à l intérieur de la parenthèse par leurs opposés. Pour s en souvenir «si je m oppose à un groupe je m oppose à chacun» ) Réduction d expression littérale Définition : Simplifier une expression c est la modifier pour la rendre plus simple : on peut effectuer les multiplications quand elles sont possibles et mettre le résultat sous forme d une somme. 3 Calcul littéral et équations Page 1 sur 9

2 Exemple : - 5 (x + 5) =-10x-5 10 = (!) 5 Ex : x 0,5 x = 0,5 x x = 1 x²=x² a Simplification de produits Les «mécanismes de simplifications» apparaissent clairement quand on les présente comme une table «TABLE DE MULTIPLICATION» 10 4 x x 3x3 1, x 10x 5x 3 Pièges à éviter avec les carrés : ( 3x ) =... 3 x =... 3x =... ( 3x ) =... ( 3x ) =... Exercice C9 simplifier ces produits : a. a 5 = b. 6 5a = c. 4a (-a) = d. (-a) (-7a) = e. 6a 7a = f. 3a² a = g. (-a) 5a² = h. (-a²) a = i. a 3 (-3a) = j. 5a 3a 4 = Exercice C10 Simplifier ces produits ou carrés : a. x 4 1 x= b. = 3 5 x 5 3 x x d. x = 3 7 c. ( ) = b Exemples simples de réduction : Définition : Réduire l'écriture de l'expression, c'est en diminuer le nombre de termes (la réduction est une simplification ). 1. x 10x 5x 3 + TABLE D ADDITION 10 4 x x 3x3 3 Calcul littéral et équations Page sur 9

3 METHODE : Reduire une expression exemple 1 : K=3x x + 7x+x -7 K= + + on rassemble les termes de même nature entre eux (x +x. K= x + x + on additionne ces termes x +x =x (1+)=3x Conseil : on les présente dans l ordre des puissances :..x.x.14 Exemple : avec plusieurs variables L = 5 + a + b - + 3a - b a + 10a L= L= L =. Pour s entraîner : calcul mental, réduire une expression 3 développement A B 3a) Rappel : Quelles que soient les valeurs de k, a et b, on a l identité : k(a + b) = ka + kb c est la distributivité vue en 5 e!. 3b). Développement de (a + b)(c + d) pour s entrainer : calcul mental Quelles que soient les valeurs de a, b, c et d, l'aire du rectangle ABCD peut se calculer de deux manières A ABCD =( )( ) A ABCD = A A ABCD = ac Donc on a ( )( ) = Exemple : A =(x + 4)(x + 3) A = A = C A 1 =ac A 3 =ad a A =bc A 4 =bd b D c d 3 Calcul littéral et équations Page 3 sur 9

4 Pour s entraîner : TD Ch. N, série 1 ex 1, et 3. 3c). Développement avec les identités remarquables Propriété Pour tous nombres a et b : (a + b) = a + ab + b ; (a b) = a ab + b ; (a + b)(a b) = a b Pour s entraîner : calcul mental (a + b) = a + ab + b ; (a b) = a ab + b ; (a + b)(a b) = a - b² ( racines carrées) activité mentale : développement Exemple : Développe et réduis l'expression (x + 3). On utilise l'identité (a + b) avec a = x et b = 3. (x + 3) = x + x On remplace a par x et b par 3 dans (a + b) = a + ab + b. (x + 3) = x + 6x + 9 On réduit l'expression obtenue. Exemple 1 : Développe et réduis l'expression (x 4). On utilise l'identité (a b) avec a = x et b = 4. (x 4) = x x On remplace a par x et b par 4 dans (a b) = a ab + b. Attention, le double produit n'est pas précédé du même signe que les deux carrés! (x 4) = x 8x + 16 On réduit l'expression obtenue. Exemple : Développe et réduis l'expression (3x 5). On utilise l'expression (a b) avec a = 3x et b = 5. (3x 5) = (3x) 3x On remplace a par 3x et b par 5 dans (a b) = a ab + b. Attention! a = 3x donc a = (3x) = 3 x = 9x. (3x 5) = 9x 30x + 5 On réduit l'expression obtenue. Exemple 3 : Développe et réduis l'expression (7x + )(7x ). On utilise l'expression (a + b)(a b) avec a = 7x et b =. (7x + )(7x - ) = (7x) On remplace a par 7x et b par dans (a + b)(a b) = a b. (7x + )(7x - ) = 49x 4 On réduit l'expression obtenue. 3 Factorisation 3a).Factorisation avec un facteur commun Pour s entraîner : (calcul mental) développer ; TD Ch. N, série 1 ex 4 à 1 puis 13* à 16* Propriété : Pour tous nombres a, b et k : k a + k b = k (a + b). 3 Calcul littéral et équations Page 4 sur 9

5 Exemple 1 : Fais apparaître un facteur commun dans l'expression A = 3y + 1 puis factorise. A = 3 y A = 3(y + 7) Exemple : Factorise l'expression B = x + xy. B = x + x y B = x( + y) Exemple 3 : Factorise l'expression C = (x + 5)(3x + 7) + (x + 5)(6x + 1). C = (x + 5)(3x + 7) + (x + 5)(6x + 1) C = (x + 5)[(3x + 7) + (6x + 1)] C = (x + 5)(9x + 8) On réduit l'expression à l'intérieur des crochets. Exemple 4 : Factorise l'expression D = (9x 4)(5x + 6) (9x 4)(3x + 11). D = (9x 4)(5x + 6) (9x 4)(3x + 11) D = (9x 4)[(5x + 6) (3x + 11)] D = (9x 4)[5x + 6 3x 11] On supprime les parenthèses à l'intérieur des crochets en faisant attention au signe. D = (9x 4)(x 5) On réduit l'expression à l'intérieur des crochets. Exemple 5 : Factorise l'expression E = (5x 7)(9x ) (5x 7). E = (5x 7)(9x ) (5x 7)(5x 7) E = (5x 7)[(9x ) (5x 7)] E = (5x 7)[9x 5x + 7] E = (5x 7)(4x + 5) On supprime les parenthèses à l'intérieur des crochets en faisant attention au signe. On réduit l'expression à l'intérieur des crochets. Pour s entraîner : ( calcul mental ) factoriser, ( à l oral ) ex 1 à 9 p39 ; TD Ch. N, série ex 1 à 1 3b Factorisation avec les identités remarquables On utilise les identités remarquables dans le sens de la factorisation : Pour tous nombres a et b, a +ab +b = (a + b) ; a ab + b = (a b) ; a b = (a + b)(a b). Il est indispensable de reconnaître les identités pour les factoriser : 3 Calcul littéral et équations Page 5 sur 9

6 Exemple 1 : Factorise l'expression A = x + 6x + 9. A = x + 6x + 9 On observe trois termes précédés du signe + A = x + x On met en évidence l'identité remarquable a + ab + b = (a + b) avec a = x et b = 3. A = (x + 3) On remplace a par x et b par 3 dans (a + b). Exemple : Factorise l'expression B = 5x 0x + 4. B = 5x - 0x + 4 On observe trois termes et des signes différents. B = (5x) 5x + On met en évidence l'identité remarquable a ab + b = (a b) avec a = 5x et b =. B = (5x ) On remplace a par 5x et b par dans (a b). Exemple 3 : Factorise l'expression C = 64x 49. C = 64x 49 On observe la différence de deux carrés. C = (8x) 7 On met en évidence l'identité remarquable a b = (a + b)(a b) avec a = 8x et b = 7. C = (8x + 7)(8x 7) On remplace a par 8x et b par 7 dans (a + b) (a b). Pour s entraîner : ( à l oral ) ex 10 à 18 p39 ; (calcul mental ) factoriser avec les identités ; (activité mentale) factorisation : TD Ch. N, série 3 ex 1 à 15 4 Equation 4A) DEFINITION D UNE EQUATION ET REGLES POUR LES TRANSFORMER Définition : On appelle EQUATION une égalité de deux expressions (les MEMBRES de l équation) dans laquelle apparaissent des lettres qui représentent des nombres indéterminés. Ces lettres sont appelées les INCONNUES de l équation. Si on remplace ces inconnues par n importe quelle valeur prise au hasard, l égalité sera presque toujours fausse. Dans les cas où l égalité est vérifiée, on dit que la valeur est une SOLUTION de l équation. Exemple : 3t + = 18 - t est une EQUATION. t est l.. (3t + ) et (18 - t) sont les de cette équation. Exercice C 1: Traduire chaque phrase par une équation, puis trouver le nombre x : a. «Le double de x vaut 6». b. «Le triple de x vaut 33». c. «9 retranché de x vaut 4». d. «Le double de x ajouté à 6 vaut 0». IL EST TOUJOURS POSSIBLE DE TRANSFORMER UNE EQUATION AVEC LES REGLES SUIVANTES : REGLE D'ADDITION On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une égalité. Si x + a = b, alors x + a - a =b - a, d'où x = b - a. si x - = 1 alors x = 3 Calcul littéral et équations Page 6 sur 9

7 Si x - a = b, alors x - a + a = b + a, d'où x = b + a. si x + = 1 alors x = REGLE DE MULTIPLICATION On peut multiplier les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul. 1 1 Si ax = b, alors ax a = a b, d'où : x b 3 = si x = 15 alors x = a x x x Si = b, alors a = a b, d'où x = ab. si = 5 alors x = a a 0,5 4B) METHODE DE RESOLUTION D UNE EQUATION Soit à résoudre l'équation : 33-17x = 6x On rassemble les termes variables en «x» d un côté et les termes constants de l autre côté x = 6x Pour cela, on peut ajouter la même expression 17x + 13 aux deux membres. L'équation devient donc : On réduit les écritures dans chacun des membres. L'équation devient : 33-17x + 17x + 13 = 6x x = 3x que l'on peut écrire : 3x = 46 On divise les deux membres par 3, et on x = obtient : On encadre et on conclue x = La solution de l'équation est h. 3 Pour s entraîner : (calcul mental ) vérifier des équations simples puis résoudre TD Ch. N, série 4 ex 1,, 3 g. 5x - 5 = 0 4B) RESOLUTION D UNE EQUATION PRODUIT Règle : Certaines équations sont sous forme de produit or Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul. Exemple : Résous l'équation (x + 3)(x 7) = 0. Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul. 3 Calcul littéral et équations Page 7 sur 9

8 On en déduit que : x + 3 = 0 ou x 7 = 0 c'est-à-dire : x = 3 ou x = 7 On teste les valeurs trouvées. ( ici on ne calcul que le premier membre car le deuxième membre est nul! ) Pour x = 3 : (x + 3)(x 7) = ( 3 + 3)( 3 7) = 0 ( 10) = 0. Pour x = 7 : (x + 3)(x 7) = (7 + 3)(7 7) = 10 0 = 0. (Conclusion : ) Les solutions de l'équation produit (x + 3)(x 7) = 0 sont 3 et 7 Attention ne citer qu une des deux solutions ne suffit pas ils faut les citer toutes : dans une équation produit il y en a en général deux parfois une seule Un exemple important : l équation x²=a, ou est un nombre relatif, x reste l inconnue! Trois cas se présentent : si a est strictement négatif, x²= a n a pas de solution. Ex. x²=-4 Si a= 0 alors x² = 0 a une seule solution c est 0. Si a est positif alors a existe! et l équation x²= a admet deux solutions : a et - a APPLICATION : mettre un problème en équation et le résoudre! Pour s entraîner : calcul mental, équation produit ; TD Ch. N, série 4 ex 4 à 8 E Exemple : Sur le schéma, ABCD est un carré et ABE est un triangle rectangle en A tel que AE = 3 cm. Tous les points sont distincts. 3 A B Quelle doit être la longueur du côté du carré ABCD pour que son aire soit égale à l'aire du triangle rectangle ABE? D C Étape n 1 : Choisir l'inconnue Soit x la mesure en cm du côté du carré ABCD. On repère la grandeur inconnue parmi celles Comme les points sont distincts alors x 0. exprimées dans l'énoncé. On la note x. Donc AB = BC = CD = DA = x. Étape n : Mettre en équation A ABCD = AB AD A ABCD = x x = x A ABE = AB AE A ABE = x 3 = 1,5x On exprime les informations données dans l'énoncé en fonction de x. On veut que : Aire du carré ABCD = Aire du triangle rectangle ABE. Le nombre cherché vérifie donc l'équation : x = 1,5x. Étape n 3 : Résoudre l'équation Pour résoudre l'équation, on se ramène à une équation produit. x 1,5x = 1,5x 1,5x x 1,5x = 0 x x 1,5 x = 0 x(x 1,5) = 0 La phrase de l'énoncé se traduit donc par l'égalité ci-contre. k On élimine les termes en x dans le membre de droite. On factorise pour se ramener à une équation produit. 3 Calcul littéral et équations Page 8 sur 9

9 Étape n 1 : Choisir l'inconnue Si un produit est nul alors l'un de ses facteurs au moins est nul On teste les valeurs trouvées. Pour x = 0 : x = 0 et 1,5x = 0. x = 0 ou x 1,5 = 0 x = 0 ou x = 1,5 On résout l'équation produit. Étape n 4 : Vérifier que les valeurs trouvées sont solutions du problème Pour x = 1,5 : x = 1,5 =,5 et 1,5x = 1,5 1,5 =,5. Comme x est un nombre strictement positif, la solution 0 ne convient pas à ce problème. Étape n 5 : Conclure On vérifie que les valeurs trouvées répondent à la question. La solution du problème est donc 1,5 cm. On conclut. Pour s entraîner : TD Ch. N, série 4 «synthèse» ex 1 à 9. 3 Calcul littéral et équations Page 9 sur 9