Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître

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1 Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Y. Morel Version en ligne et interactive : Table des matières 1 Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle 1 Résolution d équations Puissance d un nombre complexe 6 Détermination d ensembles de points dans le plan complexe 7 5 Exercices complets type Bac 8 1 Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous forme algégbrique les nombres complexes suivants : 1. z i + i Solution:z i + i + i i + i i i. z 1 + i1 i Solution : z 1 + i1 i 1 + i car z z z soit, z z 1 + i Solution : z 1 + i 1 i 1 + i1 i i i 1 i 1

2 . z i i Solution : z 5. z 5 + i i i i i + i i + i 6i i Solution : z 5 + i + i + i i i + i + i i 6. z 6 + i + i Solution : z 6 + i + i i 7. z 7 1 i1 + i Solution : z 7 8. z 8 e iπ + i i + i i 1 8i i i 1 i1 + i i1 + i1 i 1 i1 + i1 + i1 i i i 5 + 6i i Solution : z 8 e iπ cosπ + i sinπ 1 + i 0 9. z 9 e i π π π Solution : z 9 e i π cos + i sin 10. z 10 e i π e i5π 6 + i + i Solution : z 10 e i π e i5π 6 e i π +5π 6 e i 7π 6 7π 7π d où, z 10 e i7π 6 cos + i sin 6 6 i1 i Exercice : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : 1. z i5 i Solution : Pour déterminer les parties réelle et imaginaire d un nombre complexe, on l écrit sous forme algébrique : z 1 5 i + 15i i 5 + 1i i. La partie réelle de z 1 est donc Rez 1 8, et sa partie imaginaire Imz 1 1.

3 . z + i Solution : Pour déterminer les parties réelle et imaginaire d un nombre complexe, on l écrit sous forme algébrique : z + i + i + i i + i La partie réelle de z est donc Rez, et sa partie imaginaire Imz.. z 1 + i + i Solution : Pour déterminer les parties réelle et imaginaire d un nombre complexe, on l écrit sous forme algébrique : 1 + i i i z 1 + i i i La partie réelle de z est donc Rez 1, et sa partie imaginaire Imz 1. Exercice : Ecrire les nombres complexes suivants sous formes trigonométrique et exponetielle 1. z i Solution : On calcule le module et un argument de z 1. z i cosθ 1 1 De plus, si θ 1 arg z 1, alors sin θ 1 1, d où θ 1 π [π]. On a donc, z 1 cos π + i sin π forme trigonométrique. z 1 i e i π forme exponentielle Solution : On calcule le module et un argument de z. z 1 i 1 +. cosθ 1 De plus, si θ arg z, alors sin θ On a donc, z cos π + i sin π 6 6, d où θ π 6 [π]. forme trigonométrique e i π 6 forme exponentielle

4 . z 1 + i 1 i Solution : On peut chercher tout d abord à écrire z sous forme algébrique et procéder comme précédemment. On peut aussi directement calculer le module et un argument de z en utilisant lesrègles de calcul sur les modules et argument d un quotient : z 1 + i 1 i 1 + i 1 i 1 + i De plus, θ arg z arg 1 i arg 1 + i arg 1 i π π 5π 6 1 d après les calculs des deux premières questions. On a donc, z cos 5π 5π + i sin forme trigonométrique forme exponentielle ei 5π Résolution d équations Exercice : Déterminer z C tel que 1 + iz + z i. Solution : C est une équation du premier degré dans C. 1 + iz + z i + iz i i z + i i i z + i i 8i 8i 8 i i Exercice 5 : Déterminer z C tel que 1 + iz + z + i. Solution : On revient à des nombres réels en posant z x + iy, où x et y sont des nombres réels que l on cherche à déterminer.

5 L équation s écrit alors : 1 + i x iy + x + iy + i x + y + + ix y x + i y + 1 x + y + + i x 1 0 { x + y + 0 x 1 0 { + y + 0 x 1 { y x 1 Ainsi, z 1 i est la solution de cette équation. Exercice 6 : Résoudre dans C l équation du second degré : 1. z Solution : L équation est équivalente à z 5, d où z 5i ou z 5i. Inutile de calculer ici.... z Solution : L équation est équivalente à z 8, d où z i 8 i ou z i. Inutile de calculer ici.... z z Solution : Le discriminant de cette équation est : < 0. L équation admet donc deux solutions complexes conjuguées : z 1 1 i 1 i et z 1 + i. 1. z 5z + 0 Solution : Le discriminant de cette équation est : > 0. L équation admet donc deux solutions réelles : z et z z z Solution : Le discriminant de cette équation est :

6 L équation admet donc une unique solution réelle : z z + z Solution : Le discriminant de cette équation est : 5 1 < 0. L équation admet donc deux solutions complexes conjuguées : z 1 i 1 et z + i 1. Puissance d un nombre complexe Exercice 7 : 1. Calculer la forme algébrique de i, i, i, i 1, i 01. Solution : Par définition même du nombre i, i 1, puis, i i i i, et i i i i i i 1. On a donc, pour tout entier n, i n i n 1 n 1. Ainsi, comme , i 01 i 50+1 i 50 i 1 i 50 i 1 50 i i. Ecrire sous forme algébrique la somme : S 1 + i + i + i + + i 01. Solution : S est la somme des premiers termes d une suite géométrique de raison i : S i 0 + i 1 + i + i + + i 01 1 i01 1 i 1 i 1 i 1 Exercice 8 : On pose j 1 + i. Déterminer la forme algébrique de j9. Solution : La forme la plus adaptée pour calculer la puissance d un nombre complexe est la forme exponentielle, car on peut alors utiliser simplement les règles de calcul de l exponentielle, en particulier e a b e ab. On calcule donc le module et un argument du nombre complexe j : j

7 argj θ tel que 1 cosθ 1 1 d où, θ π [π] sin θ 1 On a donc, j e i π, et donc, j 9 e i π 9 e i π 9 e iπ 1 e 6iπ e 0i, car 6π 1 π 0 [π]. Ainsi, j 9 e 0 1. Détermination d ensembles de points dans le plan complexe Exercice 9 : Déterminer l ensemble des points M d affixe z vérifiant z i z + 1. Solution : Géométriquement, un module est une distance : AB z B z A. Ici, si on définit les points A et B du plan complexe d affixes z A i et z B 1, alors z i z + 1 z z A z z B AM BM. L ensemble des points M est donc la médiatrice du segment [AB]. Exercice 10 : Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que z 1 + i + i. Solution : On a + i + 5. Soit de plus le point A d affixe z A 1 i, alors on cherche l ensemble des points M tels que z 1 + i + i z z A 5 AM 5 L ensemble recherché est donc le cercle de centre A et de rayon 5. Exercice 11 : Dans le plan complexe, déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que Z z + z soit réel. Solution : On pose z x + iy, avec x et y des nombres réels. Alors, Z z +z x+iy +x iy x +x y +ixy y x +x y +iyx 1. Ainsi, Z est réel si et seulement si ImZ 0 yx 1 0 y 0 ou x y 0 ou x 1

8 Ainsi, l ensemble E est la réunion des droites d équation y 0 axe des abscisses, ou axe des réels et x 1. Exercice 1 : Dans le plan complexe, déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que Z 1 + zi + z soit réel. Solution : On pose Z x + iy, avec x et y des nombres réels. Alors, Z 1 + zi + z 1 + x + iyi + x iy soit, Z x1+x y1+y +i xy +1+x1 y 1 + x + iy x1+x y1+y x + i1 y +i 1+x y Ainsi, Z est réel si et seulement si ImZ x y 0 y x + 1. L ensemble E des points est donc la droite d équation y x Exercices complets type Bac. Exercice 1 : Le plan complexe est muni d un repère O; u, v. On considère la suite de points M n et la suite des affixes z n définies par : z 0 8 et, pour tout entier n, z n i z n 1. Calculer le module et un argument du nombre complexe 1 + i. L écrire sous forme trigonométrique. 1 + i Solution : 1 + i i Soit θ arg, cos θ alors, Ainsi, sin θ 1 + i d où θ π [π]. π π cos + i sin.. Calculer z 1, z et z et vérifier que z est réel. Solution : z i z i i 8

9 z 1 + i z i 1 + i 1 + i + i 1 + i z 1 + i z 1 + i 1 + i 1 et on a donc bien, z IR.. Pour tout nombre entier naturel n : a. calculer le rapport z n+1 z n z n+1 ; Solution : z n+1 z n z n i z n z n 1 + i z n + i + i 1 i 1 + i 1 i 1 + i z n i z n 1 + i + i 1 + i i i + i 1 + i b. en déduire que le triangle OM n M n+1 est rectangle et que z n+1 z n z n+1. Solution : On a OM n+1 ; zn+1 z n M n M n+1 arg, soit, d après le calcul précédent, z n+1 0 OM n+1 ; M n M n+1 arg i π [π] car i est un nombre imaginaire pur. Ainsi, le triangle OM n M n+1 est rectangle en M n+1. De plus, z n i z n z n 1 + i z n+1, et donc, z n+1 z n z n i z n+1 z n i z n i z + i n i z n+1 + i 1 + i + z n z n+1 z n+1 z n+1 9

10 Exercice 1 : Le plan complexe est muni d un repère O; u, v. On note f la fonction qui, à tout point M d affixe z 1, associe le point M d affixe z telle que : z fz iz. z + 1 On se propose de rechercher, de deux manières différentes, l ensemble E des points M tels que M appartient à l axe des abscisses, privé de O. A - Méthode analytique x et y désignent deux nombres réels tous les deux non nuls. 1. Développer l expression x y 1. Solution : x y 1 x + x + y y On pose z x + iy. Exprimer Imz en fonction de x et y. Solution : z iz ix + iy y ix z + 1 x + iy + 1 x iy. Pour déterminer Imz, on exprime z sous forme algébrique : z [y ix] [x + 1 iy] y x + 1 xy i xx yy [x iy][x + 1 iy] x y Ainsi, Imz xx yy x y. En déduire l ensemble E des points M lorsque M appartient à l axe des abscisses, privé de O. Solution : L ensemble E est l ensemble des points M tels que M est sur l axe des abscisses, privé de O, c est-à-dire tels que Imz 0. D après la question précédente, on a donc, Imz xx yy 0 0 xx yy 0 x y Or, d après la question 1., et ainsi, xx+1+yy 0 x + 1 +y 1 x +x+y y+ 5 xx+1+yy +5, x + 1 +y x + 1 +y 1 5

11 L ensemble E est donc le cercle de centre Ω ; 1 et de rayon R. B - Méthode géométrique 1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z 1, Solution : z iz i z + z + 1 i z + 1 or, i i i i i 1 i, d où, z z iω, où ω z i z + 1. i z i z + 1 i z i z + 1 iω.. A et B sont les points d affixes respectives i et 1. Donner une interprétation géométrique d un argument de ω, lorsque z i. Solution : Soit A et B les points d affixes respectives z A i et z B 1, alors, ω z z A z za, et donc, argω arg AM, BM. z z B z z B Un argument de ω est donc une mesure de l angle AM, BM.. Exprimer arg z en fonction de argω. Solution : argz arg iω arg i + argω π + argω. Déduire de ce qui précède l ensemble E. Solution : L ensemble E est l ensemble des points M tels que M abscisses, privé de O, c est-à-dire tels que argz π [π] c est-à-dire argz 0 [π] ou argz π [π]. est sur l axe des Ainsi, on doit avoir argz π + argω π [π], soit encore, argω AM, BM π [π], c est-à-dire que le triangle ABM est rectangle en M. On en déduit que l ensemble E des points M est le cercle de diamètre [AB]. Remarque : le centre de ce cercle est le milieu du diamètre [AB], qui a donc pour affixe z A + z B i i. 11

12 Le rayon du cercle de diamètre [AB] est R AB z B z A 1 i 5. On retrouve ainsi le centre Ω et le rayon R du cercle déterminé dans la partie A. 1