4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque...

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1 Le corps C des nombres complexes Table des matières 1 Définitions algébrique et géométrique de C Définition de C Structure algébrique de C Le plan complexe Conjugué d un nombre complexe Module d un nombre complexe Forme trigonométrique des nombres complexes 6.1 Argument et forme trigonométrique d un nombre complexe Notation exponentielle d un nombre complexe de module Formule l Euler et linéarisation Formule de Moivre et application L exponentielle complexe Équations du second degré à coefficients complexes Racines carrées d un nombre complexe Définition et expression sous forme exponentielle Recherche des racines carrées d un nombre complexe sous forme algébrique Détermination des racines d un trinôme du second degré Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque Corrigé des tests 16 1 Définitions algébrique et géométrique de C 1.1 Définition de C Définition 1 L ensemble C des nombres complexes est l ensemble des nombres qui s écrivent de manière unique sous la forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels, muni des opérations d addition et de multiplication définies par addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), En particulier, on a Définition multiplication : (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). i = 1. Si z = a + ib, les nombres réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z. On les note a = Re(z) et b = Im(z). L écriture z = a + ib d un nombre complexe avec a et b réels est appelée la forme algébrique de z. Remarque. La partie imaginaire d un nombre complexe est un nombre réel : Im(3 + 5i) = 5 le i a disparu. L ensemble des nombres complexes de la forme a + 0i est naturellement identifié à R. Un nombre réel est donc aussi un nombre complexe. Définition 3 Les nombres complexes de la forme ib sont appelés imaginaires purs. 1

2 Les calculs dans C s effectuent exactement comme dans R en remplaçant chaque occurrence de i par 1. Mais attention, il est impossible d établir un ordre sur C qui prolonge l ordre sur R et qui obéisse aux mêmes règles. Il ne faut donc JAMAIS écrire une inégalité entre nombres complexes (sauf si ce sont des nombres réels). Exercice 1. Calculer (1 + i) 3. (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i 3 = 1 + 3i 3 i = + i Proposition 4 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont même partie réelle et même partie imagi- naire. 1. Structure algébrique de C On constate que : La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe. On dit que l addition sur C est interne. L addition sur C est associative : (Toutes les opérations ne sont pas internes ; pensez au produit scalaire.) (z, z, z ) C 3, (z + z ) + z = z + (z + z ). (Toutes les opérations ne sont pas associatives ; pensez aux puissances : (3 3 ) 3 3 (33).) Le nombre complexe 0 est un élément neutre pour l addition : z C, z + 0 = 0 + z = z. Tout nombre complexe z = a + ib admet un opposé dans C, noté z, qui est égal à a + i( b). L addition sur C est commutative : (L opposé d un nombre z est par définition un nombre z tel que z + z = z + z = 0.) (z, z ) C, z + z = z + z. (Toutes les opérations ne sont pas commutatives ; pensez à la soustraction des nombres réels.) La multiplication dans C est associative et commutative : (z, z, z ) C 3, (zz )z = z(z z ) (z, z ) C, zz = z z. Le nombre complexe 1 est l élément neutre pour la multiplication : z C, z 1 = 1 z = z. Tout nombre complexe non nul admet un inverse (pour la multiplication) : Si z = a + ib est un nombre complexe non nul, alors z a = a + b i b a + b vérifie zz = z z = 1. La multiplication dans C est distributive par rapport à l addition : Théorème 5 L ensemble (C, +, ) est un corps commutatif. (z, z, z ), z(z + z ) = zz + zz. (Autrement dit... on peut développer!) Remarque. (R, +, ) est aussi un corps commutatif. (Z, +, ) n est pas un corps commutatif car, par exemple, n a pas d inverse.

3 1.3 Le plan complexe On considère le plan euclidien orienté rapporté au repère orthonormé direct (O; e 1, e ). Définition 6 On associe au nombre z = x + iy le point M de coordonnées (x, y). On dit que : z est l affixe du point M, M est l image de z et l on note M(z). L axe (Ox) est l axe des réels, l axe (Oy) est l axe des imaginaires purs. Le nombre z est également l affixe du vecteur OM, et l on note OM(z), le vecteur OM est un vecteur image de z. On appelle plan complexe cette représentation du plan euclidien par les nombres complexes. Remarque. On a e 1 (1) et e (i). Interprétation géométrique de la somme de deux nombres complexes : Soit M et M deux points du plan d affixes respectifs z = x + iy et z = x + iy. On note P le point du plan tel que OP = OM + OM. Les coordonnées de P sont (x+x, y+y ) donc le point P et le vecteur OP ont pour affixe z P = z + z. Interprétation géométrique de la multiplication d un nombre complexe z par un réel k Le point M (kz) est l image de M(z) par l homothétie de centre O et de rapport k, autrement dit M est l unique point tel que OM = k OM. Affixe d un vecteur AB Si A et B sont deux points d affixes respectives z et z, alors le vecteur AB a pour affixe z z. 3

4 1.4 Conjugué d un nombre complexe Définition 7 Le conjugué d un nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe z = a ib. Interprétation géométrique : Dans le plan, l image M de z est le symétrique par rapport à l axe réel de l image M de z. Proposition 8 Pour tout nombre complexe z, on a : Re(z) = z + z Proposition 9 Pour tous nombres complexes z et z, on a : (i) z = z. (ii) Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z). (iii) z = z. (iv) z + z = z + z. (v) zz = z z. (vi) 1 z = 1 ( z ) z et z = z z. et Im(z) = z z i (vi) Pour tout n Z, z n = z n. Proposition 10 Soit z un nombre complexe. z est un nombre réel si et seulement si z = z. z est un nombre imaginaire pur si et seulement si z = z. Exercice. Déterminer les nombres complexes z tels que Z = z 4 soit réel. z i Notons que z i. Z est réel ssi Z = Z, c est à dire z 4 z i = z 4 z + i (z 4)( z + i) = ( z 4)(z i) z z + iz 4 z 4i = z z i z 4z + 4i i(z + z) + 4(z z) = 8i i4re(z) + 8i Im(z) = 8i 4Re(z) + 8 Im(z) = 8 Re(z) = Im(z) Donc z = ( a) + ai avec a R. Comme z = i n est pas dans les solutions, on doit avoir a 1. Proposition 11 Soit z = a + ib un nombre complexe avec (a, b) R. On a zz = a + b. Technique. algébrique : Exercice 3. Le conjugué permet d exprimer l inverse d un nombre complexe non nul z = a + ib sous sa forme 1 z = z zz = a ib a + b = Écrire le nombre complexe z = 1 i + 3i a a + b i b a + b. sous forme algébrique. 4

5 1 i (1 i)( 3i) 3i i 3 = = = 1 + 3i i 5 13 Test 1. Écrire le nombre complexe z = + 6i 3 i sous forme algébrique. 1.5 Module d un nombre complexe Soit M un point du plan d affixe z = x + iy. La distance OM est égale à ρ = x + y. Cette distance ρ est appelée le module de z. Définition 1 Le module du nombre complexe z = a + ib (avec (a, b) R ) est le nombre réel positif z, défini par z = zz = a + b. Le module z est la distance entre l origine O et le point M(z) ; c est aussi la norme du vecteur OM. Remarque. Si z = a est un nombre réel, le module z est la valeur absolue du nombre réel a. Proposition 13 Soit (z, z ) C. (i) z = 0 si et seulement si z = 0. (v) (ii) zz = z z et donc, pour tout n 0, z n = z n. (iii) Si z 0, alors 1 = 1 z z et z = z z z. (iv) z = z. z = zz. Attention : le module ne conserve pas les sommes!!! Proposition 14 (Inégalité triangulaire) Pour tous nombres complexes z et z, on a z + z z + z avec égalité si et seulement si z = 0 ou si le quotient z z est un nombre réel positif ou nul. Géométriquement, cela signifie que la norme de la somme de deux vecteurs est inférieure à la somme des normes de ces deux vecteurs, avec égalité si et seulement si les vecteurs sont colinéaires et de même sens. 5

6 Exercice 4. Montrer que pour tous nombres complexes z et z, on a z z z + z. On a, en utilisant l inégalité triangulaire pour z + z et z : (z + z ) + ( z ) z + z + z, c est à dire z z + z + z, c est à dire z z z + z. De même en inversant les rôles de z etz : z z z + z. Donc z z z + z. Test. Calculer le module des complexes suivants z = + 5i, z = 1 + 3i et z + z Forme trigonométrique des nombres complexes.1 Argument et forme trigonométrique d un nombre complexe On peut repérer un point du plan par ses coordonnées cartésiennes (x, y), mais aussi, par ses coordonnées polaires (ρ, θ). Si le point M est distinct de O, on peut choisir par exemple ρ = OM et θ = ( e 1, OM). Définition 15 Pour tout nombre complexe z non nul, on appelle argument de z toute mesure θ en radians de l angle orienté ( e 1, OM) où M est le point d affixe z dans le plan complexe. Remarque. 1. On ne peut pas attribuer un argument au nombre 0 car il est impossible de définir l angle ( e 1, 0 ).. L argument d un nombre complexe est défini à π près : si θ et θ sont deux arguments de z, alors il existe k Z tel que θ = θ + kπ. On dit que θ et θ sont congrus modulo π et l on note θ θ[π]. Si θ est un argument du nombre complexe non nul z, on notera arg(z) = θ [π]. Forme algébrique des nombres complexes de module 1 On suppose que M(z) est situé sur le cercle unité, c est-à-dire z = 1. 6

7 Les coordonnées de M sont alors (cos θ, sin θ), où θ est un argument de z. On peut donc écrire z = cos θ + i sin θ. Plus généralement, si z est un nombre complexe non nul, alors z est de module 1 et de même argument que z z. En notant θ un argument de z, on a z = cos θ + i sin θ ce qui donne z z = z (cos θ + i sin θ). Théorème 16 Tout nombre complexe non nul z s écrit sous la forme z = ρ (cos θ + i sin θ) avec ρ > 0 et θ R. On a ρ = z et arg(z) = θ [π]. Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z. Un tel réel ρ est unique et θ est unique à π près. Remarque. Le lien entre la forme cartésienne z = a + ib d un nombre complexe non nul et sa forme trigonométrique z = ρ(cos θ + i sin θ) est donné par : ρ = a + b a cos θ = ρ = a + b a + ib = (ρ cos θ) + i(ρ sin θ) a + b, ou si a 0, tan θ = b b sin θ = a signe(a) a + b Exercice Déterminer le module et un argument du nombre complexe z = 1 i.. Écrire z sous la forme algébrique sachant que z = et arg(z) = π/3 [π]. 1. On a z = =, cos θ = et sin θ =, donc un argument est arg(z) = π 4.. z = (cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i 3. Notation exponentielle d un nombre complexe de module 1 Définition 17 Pour tout θ R, on pose e iθ = cos θ + i sin θ. Le nombre e iθ est donc l unique nombre complexe de module 1 et d argument θ. On note U l ensemble des nombres complexes de module 1, qu on peut paramétrer de la façon suivante : {z C z = 1} = U = {e iθ, θ R} ={e iθ, θ [0, π[}. Exemples. 1 = e i0, i = e i π, 1 = e i π, + i = ei π 4. 7

8 Proposition 18 (i) Pour tout (θ, ϕ) R, on a e i(θ+ϕ) = e iθ e iϕ. (ii) Pour tout θ R, on a 1 e iθ = eiθ = e iθ. (iii) (iv) Pour tout (θ, ϕ) R, on a eiθ e iϕ = ei(θ ϕ). Pour tout n Z, pour tout θ R, e inθ = (e iθ ) n (v) Pour tout k Z, on a e ikπ = 1. (vi) Réciproquement, si e iθ = 1, alors il existe k Z tel que θ = kπ. (c est-à-dire θ = 0 [π]) (vii) Pour tout k Z et tout θ R, on a e i(θ+kπ) = e iθ. (viii) Réciproquement, si e iθ = e iϕ, alors il existe k Z tel que ϕ = θ + kπ. Démonstration. (c est-à-dire ϕ = θ[π]) (i) On calcule : et e i(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ + i cos θ sin ϕ + i sin θ cos ϕ e iθ e iϕ = (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ) = cos θ cos ϕ + i sin θ sin ϕ + i cos θ sin ϕ + i sin θ cos ϕ = e i(θ+ϕ) (ii) On commence par remarque que On en déduit que e iθ = cos θ + i sin θ = cos θ i sin θ = cos θ + i sin θ = e iθ 1 e iθ = e iθ e iθ e e e iθ = = e iθ iθ iθ iθ (iii) vient de (i) et (ii) : eiθ = e iθ e iϕ = e i(θ ϕ). (iv) est une application directe de (i). (v) et (vi) s obtient en e iϕ remarquant que cos kπ = 1 et sin kπ = 0 et que ce sont les seuls angles à vérifier ces égalités. (vii) et (viii) s obtiennent par π périodicité du sinus et du cosinus. Proposition 19 Tout nombre complexe z non nul s écrit sous la forme z = ρ e iθ avec ρ > 0 et θ R. On a ρ = z et arg(z) = θ [π]. Un tel réel ρ est unique et θ est unique à π près. Exercice 6. Calculer (1 + i) 7. On commence par ecrire 1 + i sous forme exponentielle : 1 + i = et arg(1 + i) = π 4, donc 1 + i = e i π 4. Puis on calcule : (1 + i) 7 = ( e i π 4 ) 7 = 7 e i 7π 4 == 8 e i π 4 = 8 i8 = 8 8i 8

9 On peut traduire les propriétés de l exponentielle complexe à l aide de l argument. Corollaire 0 Soient z et z deux nombres complexes non nuls d arguments respectifs θ et θ. On a (i) arg(zz ) = θ + θ [π] (ii) arg (1/z) = θ [π], arg(z) = θ [π] et arg( z) = θ + π [π]. (iii) Pour tout n N, on a arg(z n ) = nθ [π]. (iv) θ = θ [π] si et seulement si il existe λ R + tel que z = λz. Test 3. Donner la forme algébrique des complexes z 1 = 3e i π et z = e i3π. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle des complexes z 3 = 3 + 3i et z 4 = ( 1 + i) 3 e i 3π 4..3 Formule l Euler et linéarisation Proposition 1 (formules d Euler) Pour tout θ R, on a cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i Exercice 7. Soient (α, β) R. Déterminer le module et un argument du nombre z = e iα + e iβ. Methode pour les sommes d exponentielles : z = e iα + e iβ = e i α+β α β +i + e i α+β ( ) α β z = cos e i α+β α β i = e i α+β (e i α β + e α β i Si il existe k Z tel que π α β + kπ π + kπ, c est à dire tel que π + 4kπ α β π + 4kπ, alors le cosinus est positif. Donc l écriture précédente est bien une forme exponentielle : ( ) α β z = cos, arg z = α + β [π] Sinon, alors le cosinus est négatif, ce n est pas un module : ( ) ( ) z = α β cos e i α+β = α β cos e i α+β +iπ ) Donc ( ) z = α β cos, arg z = α + β + π[π]. Les formules d Euler permettent de linéariser des polynômes trigonométriques. Technique. Linéariser une expression trigonométrique, c est transformer un produit de fonctions trigonométriques en une somme de fonctions trigonométriques. Pour cela, on effectue les étapes suivantes. On remplace chaque fonction sinus et cosinus par leur expression en nombres complexes à l aide des formules d Euler (ci-dessus). On développe tous les produits, en particulier à l aide de la formule du binôme. 9

10 On regroupe les termes par paires de la forme e iθ ± e iθ, Θ R. On réutilise les formules d Euler pour revenir aux sinus et cosinus. Exemple. Linéariser cos 3 (x), c est à dire exprimer cos 3 (x) à l aide de cos(kx) et sin(kx). (cos x) 3 = ( e ix + e ix ) 3 = ei3x + e 3ix + 3e ix e ix + 3e ix e ix 8 = 1 4 cos 3x cos x Notons que les formules suivantes sont des cas particuliers de linéarisation : cos x cos y = 1 [cos(x y) + cos(x + y)], sin x sin y = 1 [cos(x y) cos(x + y)] sin x cos y = 1 [sin(x y) + sin(x + y)]. Application : La technique de linéarisation sert entre autre à calculer des primitives de fonctions trigonométriques. Exemple. Trouver une primitive F de la fonction f(x) = cos 3 (x). D après ce qui précède, x R, f(x) = 1 4 cos 3x cos x, donc une primitive de f est F (x) = 1 sin 3x sin x. Exercice 8. Linéariser sin x et cos 4 x. sin x = 1 cos x, cos 4 x = 1 8 cos 4x + 1 cos x Exercice 9. Calculer une primitive de x cos (x) sin (x). On linéarise pour tout x R : ( e cos (x) sin ix + e ix ) ( e ix e ix ) ( e ix + + e ix ) ( e ix + e ix ) (x) = = i 4 4 = ei4x e ix e ix 4 + e ix + 1 e ix + e i4x 16 sin 4x Donc une primitive est x 3 + x 8. cos 4x = Test 4. Linéariser sin(x) cos 3 (x) 10

11 .4 Formule de Moivre et application Proposition (formule de De Moivre) Pour tout entier n et tout réel θ, on a (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). C est la traduction immédiate de la formule (e iθ ) n = e inθ. La formule de De Moivre permet de transformer des polynômes trigonométriques. Technique. A l inverse de précédemment, nous voulons exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos x et sin x pour tout entier n. On écrit la formule de Moivre cos(nx) + i sin(nx) = (cos x + i sin x) n et on développe le terme de droite par la formule du binôme. On identifie la partie réelle et la partie imaginaire du résultat, ce qui sera égal à cos(nx) et sin(nx) respectivement. On simplifie les résultats, en utilisant la relation cos + sin = 1. Exemple. Exprimer cos(3x) et sin(3x) comme polynômes en cos x et sin x. cos(3x) + i sin(3x) = (cos x + i sin x) 3 = cos 3 x + 3i cos x sin x 3 cos x sin x i sin 3 x Donc et cos(3x) = cos 3 x 3 cos x sin = cos 3 x 3 cos x(1 cos x) = 3 cos x cos 3 x sin(3x) = sin 3 x + 3 cos x sin x = sin 3 x + 3(1 sin x) sin x = 4 sin 3 x + 3 sin x Cette transformation permet de déterminer le sinus et le cosinus de certains angles..5 L exponentielle complexe Définition 3 Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique. On appelle exponentielle de z le nombre complexe e z = e x e iy. La fonction exp : C C prolonge la fonction exponentielle définie sur R et s accorde avec la notation e ix z e z introduite précédemment. Proposition 4 Soient z, z deux nombres complexes. On a (i) e z 0. (ii) e z+z = e z e z. En particulier, e z est l inverse de e z. (iii) e z = e Re(z) et arg(e z ) = Im(z) [π]. (iv) Tout nombre complexe non nul a est l image par l exponentielle complexe d au moins un nombre complexe z 0. Ses antécédents sont alors les nombres complexes z 0 + ikπ avec k Z. Démonstration. On écrit z et z sous forme algébrique : z = x + iy et z = x + iy avec (x, y, x, y ) R 4. 11

12 iii) On a e z = e x e iy = e x = e Re(z). En particulier, e z = e x e iy = e z e iy donc arg(e z ) = y = Im m(z). i) On a e z = 0 si et seulement si e z = 0. Or e z = e x 0. ii) On a e z+z = e x+x e i(y+y ) = e x e x e iy e iy = e x e iy e x e iy = e z e z. iv) Soit a C. On a e z = a { e z = a k Z, arg(z) = arg(a) + kπ { e x = a k Z, y = arg(a) + kπ { x = ln( a ) k Z, y = arg(a) + kπ Le nombre complexe z 0 = ln a + i arg(a) (qui est bien défini car a 0) est donc bien un antécédent de a par z e z. Les autres antécédents de a par z e z sont les nombres complexes de la forme z k = z 0 + ikπ, avec k Z. Test 5. Soit le complexe z = +i 7π 3. Ecrire le complexe z = e z sous forme exponentielle, trigonométrique et algébrique. 3 Équations du second degré à coefficients complexes 3.1 Racines carrées d un nombre complexe Définition et expression sous forme exponentielle Définition 5 Soit un nombre complexe fixé. On appelle racine carrée de tout nombre complexe δ tel que δ =. Exemple. Une racine carré de 4 est, une racine carré de -1 est i, une racine carré de i est + i. Proposition 6 Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées distinctes dans C et ces deux racines carrées sont opposées l une de l autre. Démonstration. Soit un nombre complexe non nul fixé. On note r =, réel strictement positif, et θ un argument de, alors = re iθ. On cherche alors δ = ρe iα complexe tel que δ = (ρe iα ) = ρ e iα c est à dire re iθ = ρ e iα. On en déduit que r = ρ et θ = α[π]. Donc ρ = r et α = θ [pi]. On obtient donc deux solutions possibles δ = re iθ/ et δ = re iθ/+π = re iθ/. On vérifie facilement que δ = re iθ =, et donc que δ = δ vérifie aussi l équation. Donc admet exactement deux racine carré dans C, opposées l une à l autre. 1

13 3.1. Recherche des racines carrées d un nombre complexe sous forme algébrique Il n est pas toujours possible de reconnaître un argument d un nombre complexe. D autre part, on peut désirer déterminer directement les racines carrées d un nombre complexe sous forme algébrique : Soit un nombre complexe non nul fixé. On cherche δ = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique ((a, b) R ) tel que δ =. On a δ = { δ = δ = { (a b ) + ab i = a + b = a b = Re( ) (1) ab = Im( ) () a + b = (3) En additionnant les équations (1) et (3), on obtient a et donc deux valeurs opposées pour a. Pour chacune de ces valeurs, on détermine b avec l équation (). On trouve alors les deux racines carrées de sous forme algébrique. Exercice 10. Déterminer les racines carrées de = 3 4i. Soit δ = a + ib tel que δ = 3 4i, c est à dire a b = 3 et ab = 4. De plus δ = = 5 donc a + b = 5. On obtient donc a = donc a = 1 ou a = 1. On en déduit b = ou b =. Finalement, les racines carrées de 3 4i sont 1 i et 1 + i. Test 6. Déterminer les racines complexes de 5 + 1i. 3. Détermination des racines d un trinôme du second degré Théorème 7 Considérons une équation du second degré az + bz + c = 0 d inconnue complexe z, les coefficients a, b, c étant des nombres complexes et a étant non nul. On note = b 4ac le discriminant de cette équation. Si est nul, alors cette équation admet pour unique solution (dite solution double ) z 0 = b a. Si n est pas nul, cette équation admet exactement deux solutions, qui sont : où δ est une racine carrée de. z 1 = b + δ a et z = b δ a, Proposition 8 Lorsque les coefficients a, b et c sont des nombres réels, si le nombre complexe z 0 est solution de l équation az + bz + c = 0, alors son conjugué z 0 l est également. Ainsi, si l on connaît l une des deux racines du trinôme et si celle-ci n est pas réelle, alors l autre racine est obtenue par conjugaison. Démonstration. a, b, c étant réels, alors = b 4ac est aussi un nombre réel. Si 0, alors δ = est réel, donc une solution z = b+δ a est réelle aussi. Et z = z est donc solution. Si < 0, alors δ = i est imaginaire pur, donc δ = δ, donc une solution z = b+δ a a pour conjugué z = b δ a, qui est aussi solution. Proposition 9 (relations coefficients-racines) Considérons une équation du second degré az + bz + c = 0 d inconnue complexe z, les coefficients a, b, c étant complexes avec a non nul. Si z 1 et z sont les deux solutions de cette équation (si la racine est double, on la prend en compte deux fois), on a z 1 + z = b a et z 1 z = c a 13

14 Démonstration. Il suffit de calculer (avec éventuellement δ = 0 dans le cas d une racine double) : z 1 + z = b + δ a + b δ a = b a et z 1 z = b + δ a b δ a = b δ 4a = b 4a = b b + 4ac 4a = c a Proposition 30 (Résolution des systèmes somme/produit) Soient S et P deux nombres complexes. Les nombres complexes z 1 et z vérifient le système d équations { z1 + z = S, z 1 z = P, si et seulement si ce sont les solutions de l équation du second degré z Sz + P = 0. Démonstration. On remplace z 1 = S z dans la deuxième équation (S z )z = P : Sz z = P z Sz + P = 0 c est à dire que z est solution de z Sz + P = 0. On peut échanger les rôles de z 1 et z donc z 1 est aussi solution de cette équation. 4 Racines n-ièmes d un nombre complexe 4.1 Racines n-ièmes de l unité Définition 31 Soit n un entier strictement positif. Les racines n-ièmes de l unité sont les solutions complexes de l équation z n = 1. L ensemble de ces solutions est noté U n. Le problème revient à chercher les nombres complexes z = r e iθ qui vérifient (r e iθ ) n = 1, r n e inθ = 1e i0. r = 1 { r n = 1 k Z, nθ = kπ k Z, θ = kπ n. Les racines n-ièmes de l unité sont donc les complexes z = 1 e i kπ n avec k Z. On choisit k = 0, k = 1,..., k = n 1 et on obtient ainsi n valeurs différents (modulo π). En effet, à partir de k = n, on retrouve les solutions déjà déterminées. Les racines n-ièmes de l unité sont donc ω 0 = 1, ω 1 = exp iπ n,... On peut résumer ces résultats dans le théorème suivant. ω k = exp ikπ n,... ω n 1 = exp i(n 1)π n Théorème 3 Soit n 1 un nombre entier. Alors U n = {e ikπ/n ; k Z} = {e ikπ/n ; 0 k n 1}. En particulier : (i) Pour tout k Z, le nombre e ikπ/n est une racine n-ième de l unité. (ii) Si z U n, alors il existe un entier k {0,..., n 1} tel que z = e ikπ/n. (iii) Il existe exactement n racines n-ièmes de l unité distinctes. 14

15 Remarque. Les racines n-ièmes de l unité sont de module 1. L ensemble U n est donc un sous-ensemble de U. Interprétation géométrique : Les images des nombres complexes de l ensemble U n dessinent dans le plan complexe un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle unité et dont l un des sommets est le point d affixe 1. Images des racines cinquièmes de l unité. Exercice 11. complexe. Écrire les racines carrées, cubiques et quatrièmes de l unité et les représenter dans le plan Les racines carrées de l unité sont 1 et 1. Les racines cubique de l unité sont 1, e iπ/3 et e iπ/3 (forment un triangle équilatéral) Les racines cubique de l unité sont 1, i et 1 et i (forment un carré). Exercice 1. Soit n. Calculer n 1 e ikπ/n k=0 et n 1 k=0 e ikπ/n. Comme n, on sait que π/n 0[π], donc n 1 n 1 e ikπ/n = (e iπ/n) k 1 (e iπ/n ) n = 1 e iπ/n = e iπ/n = 0 k=0 k=0 On a n 1 k=0 { e ikπ/n = e iπ n ( n 1 k=0 k) = e iπ n ( (n 1)n ) = e iπ(n 1) 1, n impair = 1, n pair 4. Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque Définition 33 Soit n un entier strictement positif et a un nombre complexe Les racines n-ièmes de a sont les solutions complexes de l équation z n = a. 15

16 Technique. Si on sait mettre a sous forme exponentielle, alors on cherche z = re iθ sous forme exponentielle aussi. { z n = a (re iθ ) n = a e i arg(a) r n e inθ = a e i arg(a) r n = a nθ = arg(a) + kπ { r = n a θ = arg(a) n + kπ z = n ( ) a e i arg(a) n + kπ n, k Z n Les valeurs de k = 0, 1,,..., n 1 donnent alors les n racines n-ièmes de a. Géométriquement, les images des racines n-ièmes d un nombre complexe a dessinent dans le plan complexe un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle de centre O et de rayon n a et dont l un des sommets fait un angle arg(a) n avec l axe des abscisses. Remarquons qu on peut décomposer les racines n-ièmes de a : z = n ( ) a e i arg(a) n }{{} e i kπ n }{{}, k = 0, 1,,..., n 1 une racine particulière racines n-ième de l unité On en déduit la méthode suivante, qui est utile si on ne peut pas mettre a explicitement sous forme exponentielle. Technique. On cherche les racines n-ièmes de a, ce sont les solutions complexes de l équation z n = a On trouve une solution particulière de cette équation z p (c est à dire un nombre complexe z p tel que z n p = a). On calcule les racines n-ièmes de l unité : ω 0, ω 1,..., ω n 1. Les racines n-ièmes de a sont alors z 0 = z p ω 0, z 1 = z p ω 1,... z n 1 = z p ω n 1 Exercice 13. Déterminer les racines cubiques de (1 + i) 3. Une racine cubique de Z = (1 + i) 3 est (1 + i). Les trois racines cubiques de l unité sont 1, e iπ/3 et e iπ/3, donc les trois racines cubiques de Z sont z 1 = (1 + i), z = (1 + i)e iπ/3 = ( 1 i)( i ) = ( ) 3 + i 1 et (1 + i)e iπ/3 = ( 1 i)( 1 3 i ) = 1 ( 3 + i 1 + ) 3 5 Corrigé des tests Corrigé 1. z = + 6i 3 i = ( + 6i)( 3 + i) ( 3 i)( 3 + i) = 6 i 18i = 0i 10 = i Corrigé. z = + 5i = + 5 = = 9, z = 1 + 3i = ( 1) + 3 = = 10. z + z = + 5i 1 + 3i = 1 + 8i = = 65 Corrigé 3. z 1 = 3e i π = 3(cos( π ) + i sin( π )) = 3(0 i) = 3i, z = e i3π = cos(3π) + i sin(3π) = 1. Le module de z 3 = 3 + 3i est z 3 = = 9 = 3. On a z 3 = 3 + 3i = 3 ( ) i = 3 ( ) + i = 3 ( cos π 4 + i sin π ) = 3 e i π 4 4 Le module de 1 + i est ( 1) + 1 =, donc 1 + i = ( 1 + i 1 ) = (cos(3π/4) + i sin(3π/4)) = e i 3π 4 16

17 on reporte dans z 4 : z 4 = ( e i 3π 4 ) 3 e i 3π 4 = e i 9π 4 e i 3π 4 = e i 9π 4 +i 3π 4 = e i3π = e iπ = (cos π + i sin π) Corrigé 4. ( e sin(x) cos 3 ix e ix ) ( e ix + e ix ) 3 ( e ix e ix ) ( e i3x + 3e ix + 3e ix + e 3ix ) (x) = = i i 8 = 1 ( e i4x e ix + 3e ix e ix + e ix e 4ix) = 1 ( e i4x e 4ix + eix e ix ) sin 4x + sin x = 16i 8 i i 8 Corrigé 5. On remarque que 7π 3 = π 3 + π. On a ( ( z = e +i 7π 3 = e e i π 3 +iπ = e e i π 3 = e cos π 3 + i sin π ) ) = e i = e 3e + i Corrigé 6. On cherche δ = a + ib tel que δ = 5 + 1i, ce qui implique aussi δ = 5 + 1i. C est à dire a b + iab = 5 + 1i et a + b = = 169 = 13. On a donc les trois équations suivantes : a b = 5, ab = 1 et a + b = 13. En additionnant la première et la troisième, on obtient a = 8, donc a = 4, puis a = ou a =. Avec la deuxième équation : si a =, on a b = 3 donc δ = + 3i est une racine carré de 5 + 1i. Si a =, on a b = 3, donc δ = 3i est l autre racine carré de 5 + 1i. 17