Brevet - Session 2007 Corrigé

Transcription

1 revet - Session 2007 Corrigé CTIVITS NUMRIQUS (12 points) xercice 1 : (5 points) Réponses. 1. 9x x (x + 1)(x 2) % de filles. xplications. 1. (3x + 5) 2 = (3x) (3x) = 9x x Quand x = 4, x(x + 1) = 4(4 + 1) = 4 5 = 20, (x + 1)(x 2) = (4 + 1)(4 2) = 5 2 = 10, (x + 1) 2 = (4 + 1) 2 = 5 2 = 25. La bonne réponse est donc (x + 1)(x 2) = = = 4 3 = = La bonne réponse est donc Les équations suivantes ont les mêmes solutions 2x (8 + 3x) = 2 2x 8 3x = 2 2x 3x = x = 10 x = 10 L équation 2x (8 + 3x) = 2 a donc une et une seule solution, le nombre = 12. Il y a donc 12 filles en 3ème = 12. Il y a donc 12 filles en 3ème. 100 Dans les deux classes réunies, il y a 50 élèves dont 24 filles. Or et il y a donc 48% de filles dans les deux classes réunies = 48, 50 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 1 http ://

2 xercice 2 : (7 points) 1. ( 2) + 4 = 2 puis 2 ( 2) = 4 et enfin ( 4) + 4 = 0. Si l on fait fonctionner le programme avec le nombre 2, on obtient = 9 puis 9 5 = 45 et enfin = 49. Si l on fait fonctionner le programme avec le nombre 5, on obtient a) Faisons fonctionner le programme avec le nombre = 4 puis 4 0 = 0 et enfin = 4 = 2 2. Si l on fait fonctionner ce programme avec le nombre 0, on obtient 2 2. Faisons fonctionner le programme avec le nombre = 5 puis 5 1 = 5 et enfin = 9 = 3 2. Si l on fait fonctionner ce programme avec le nombre 1, on obtient 3 2. b) Soit x un nombre entier (relatif). On ajoute 4 à x et on obtient x + 4. On multiplie le résultat obtenu par x et on obtient x(x + 4) ou encore x 2 + 4x. On ajoute 4 au résultat obtenu et on obtient x 2 + 4x + 4. Mais, x 2 + 4x + 4 = x x = (x + 2) 2. Le résultat obtenu est donc le carré du nombre entier x + 2. Finalement, en faisant fonctionner le programme avec un nombre entier, on obtient toujours le carré d un nombre entier. 4. (x + 2) 2 = 1 équivaut à x + 2 = 1 ou x + 2 = 1 ou encore à x = 3 ou x = 1. Pour obtenir 1, on peut choisir de faire fonctionner le programme avec le nombre 3 ou le nombre 1. c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 2 http ://

3 CTIVITS GOMTRIQUS (12 points) xercice 1 : (7 points) 1. a) Le plus long des trois côtés du triangle C est [C]. C 2 = 15 2 = 225 et 2 + C 2 = = = 225. insi, C 2 = 2 + C 2. D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle C est rectangle en. Le triangle C est rectangle en. b) F C 2. a) Voir ci-dessus. b) On applique la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle C. Le point appartient au segment [] et le point F appartient au segment [C]. = 3 9 = 1 F et 3 C = 5 15 = 1. Donc 3 = F C. D après la réciproque du théorème de Thalès, la droite (F) est parallèle à la droite (C). La droite (F) est parallèle à la droite (C). 3. Notons l aire du triangle C exprimée en cm 2. La droite (F) est parallèle à la droite (C) et la droite (C) est perpendiculaire à la droite (). Donc la droite (F) est perpendiculaire à la droite () ou encore le triangle F est rectangle en. Nous savons déjà que = 1 3. De plus, puisque la droite (F) est parallèle à la droite (C), le théorème de Thalès nous permet d affirmer que F C = = 1 3 et donc que F = 1 3 C. c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 3 http ://

4 Finalement, = 1 2 F = C = 1 18 C = = = 6. L aire du triangle F est 6 cm 2. xercice 2 : (5 points) O D C 1. Le point est sur le cercle de diamètre [D] et n est ni, ni D. Donc, le triangle D est rectangle en. Le triangle D est rectangle en. 2. Le triangle C est équilatéral. Donc, la demi-droite [D) est la bissectrice de l angle ÂC. On en déduit que D = 1 2Ĉ = = 30. La somme des angles d un triangle est égale à 180. Or, dans le triangle D, on a D = 30 et D = 90. Donc, ÂD = 180 D D = = 60. ÂD = Puisque le point est l image du point D par la translation de vecteur OC, le quadrilatère ODC est un parallélogramme. De plus, les points D et C sont sur un même cercle de centre O et donc OD = OC. insi, le parallélogramme ODC a deux côtés consécutifs de même longueur et donc ce quadrilatère est un losange. On en déduit que les diagonales [O] et [DC] sont perpendiculaires. Les droites (DC) et (O) sont perpendiculaires. c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 4 http ://

5 PROLM (12 points) PRTI I H 5 I 2 1. Le quadrilatère I a au moins trois angles droits. Ce quadrilatère est donc un rectangle. On en déduit que I = = 2. Par suite, HI = H I = 5 2 = 3. HI = On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HI rectangle en I. H 2 = HI 2 + I 2 = = 9 + 5, 0625 = 14, 0625, et donc H = 14, 0625 = 3, 75. H = 3, Le triangle HI est rectangle en I. Donc La machine fournit alors ÎH = 37 arrondi au degré. HI cosîh = H = 3 = 0, 8. 3, 75 ÎH = 37 arrondi au degré. PRTI II H 45 5 I 1. ĤI = 180 ÎH ĤI = = 45. On en déduit que ÎH = ĤI. Donc, le triangle HI est isocèle en I. Le triangle HI est isocèle et rectangle en I. c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 5 http ://

6 2. Puisque le triangle HI est isocèle en I, on a HI = I =. Puisque le quadrilatère I est un rectangle, on a alors = I = H HI = 5 = 2, 75. HI = et = 2, 75. PRTI III H 5 I 60 F 1. Le triangle HI est rectangle en I. Donc tan 2. = I = H HI = 5 I ÎH =. On en déduit que HI I HI = = = 1, 30 m arrondi au cm. tan ÎH tan60 HI = 1, 3 m arrondi au cm. = 3, 7 m arrondi au cm. tan 60 = 3, 7 m arrondi au cm. PRTI IV Sur le graphique de la page suivante, on voit que pour un angle compris entre approximativement 48 et 57, la longueur est comprise entre 3 m et 3, 5 m. Donc, une mesure possible de l angle ÎH est 50. Pour un angle ÎH égal à 50, la longueur est comprise entre 3 m et 3, 5 m. c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 6 http ://

7 4,5 4 3,5 Longueur en m 3 2, , ngle IH en dégré c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés. 7 http ://