P R O D U I T S C A L A I R E.

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1 ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel noté u v défini par : u v u v u v = lorsque u et v sont de même sens lorsque u et v sont de sens contraire Remarque Lorsque l un des vecteurs u ou v est nul, on a : u v =0 Définition On appelle carré scalaire du vecteur u, le produit scalaire de u par lui-même, c est à dire u u Par définition, on a alors, u u = u Proposition Soit i un vecteur unitaire Si u et v sont deux vecteurs tels que = v x' i où ( ) x; x' IR alors, u v = xx' u = x i et Démonstration Soient ( ) x; x' IR tel que u = x i et = = v x' i On a : u x i = x i = x et v = x' i = x' i = x' ainsi u v = x x' = xx' Corollaire Soient u et v deux vecteurs colinéaires et ( ), i- Si u et v sont de même sens alors u v = xx' ii- Si u et v sont de sens contraire alors u v = xx' x; x' IR Démonstration D après la proposition, u v = xx' i- Si u et v sont de même sens, x et x sont de même signe et donc xx ' est positif, d où xx ' = xx' et par suite u v = xx'

2 ii- Si u et v sont de sens contraire, x et x sont de signe opposé et donc xx ' est négatif, d où On conclut en disant que u v = xx ' Propriétés xx' = xx' et par suite u v = xx' Soit u, v et w trois vecteurs colinéaires i- u v+ w = u v + u w ; le produit scalaire est distributif par rapport à l addition ii- α IR, u α v = α u v Démonstration Soient u, v et w trois vecteurs colinéaires à un vecteur unitaire i ( ) 3 u = x i, = i v y et w = z i x; y; z IR : i- On a u v = xy et u w = xz donc u v+ u w = xy + xz ; par ailleurs, + + = ( + ) v w y z i et u v w = x( y + z ) = xy + xz ii- Soit IR α, u α v = x( αy) = αxy = α( xy) u α v = α u v donc v+ w u = u v + u w et α u v = α( xy) d où ) Cas de deux vecteurs quelconques Définition Soit u et v deux vecteurs et notons ' v le projeté orthogonal de v sur u On pose u v = u v' Définition Soit u et v deux vecteurs non nuls avec u = orthogonal de B sur ( OA ) Le produit scalaire de u et v est défini par Remarque v OA i- u 0 si et seulement si OA et OB ' ont même sens v et v = ii- u 0 si et seulement si OA et OB ' sont de sens contraire Exemple Soit ABC un triangle rectangle en A OB Soit B le projeté u v = OA OB' - -

3 ère S Produit scalaire On a AC = AB AB AB car le projeté orthogonal de C sur ( ) AB = On a BC = 0 AB AB puisque C se projette en B sur ( ) AB est le point B Corollaire Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul Exemple Soit ABCD un carré de côté a et I le milieu du segment [ AD ] On cherche à calculer le produit scalaire IB IC On a IB IC = ( IA + AB) IC = IA IC + AB IC En projetant le point C sur la droite (AD), on a et en projetant le point C sur la droite (AB), on a 3 donc IB IC = a + a = a IA IC = IA ID = IA AB IC = AB AB = a ID = a 3 ) Extension de la notion d orthogonalité Proposition Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Démonstration i- Si u = 0 ou v = 0 alors u v = 0 ii- Réciproquement, soient u et v deux vecteurs non nuls, tel que u = 0 Prenons u = OA v = 0 et v = OB v et notons B le projeté orthogonal de B sur ( OA ) ; alors u équivaut OA OB = 0 équivaut OA OB' = 0 équivaut à OB ' = 0 c est à dire O = B' Le triangle OBA est un triangle rectangle en O et prouve que u et v sont orthogonaux On a alors : u v u v = 0 Exemple Soit ABCD un carré de côté, I et J sont les milieux respectifs des segment [ AB ] et [ ] veut montrer que les droites ( AJ ) et (DI) sont perpendiculaires On a AI = ( AB + AC ) et DI = ( DA + DB ) donc, AJ DI = ( AB + AC) ( DA + DB) = ( AB DA + AB DB + AC DA + AC DB) BC On Comme ABCD est un carré, AB DA = AC DB = 0 et AB DB = BA BD = BA et AC DA = AC AD = AD Par conséquent, AJ DI = BA AD = 0 ce qui prouve que les droites (AJ) et (DI) sont perpendiculaires - 3 -

4 ) Autres expressions du produit scalaire Théorème Soient u et v deux vecteurs non nuls u v = u v cos u, v Démonstration La relation est vraie lorsque les vecteurs sont colinéaires, soit qu ils aient même sens cos u, v = : u v = u v, soit qu ils aient des sens contraires cos u, v = ce qui donne u v = u v Si les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, posons Lorsque θ est aigu u = OA et Lorsque θ est obtus v = OB u ; et θ v [ π ] u v = OA OB = OA OH u v = OA OB = OA OH cos ( θ ) u v = OA OB = OA OH u v = OA OH cos ( π θ ) u v = OA OB = OA OH cos ( θ ) Autre démonstration Soit i le vecteur unitaire associé au vecteur u, c est à dire i = u u Soit α une mesure de l angle orienté du couple de vecteurs v u; On a i ; v = α [ π ] Le projeté orthogonal de v sur u s écrit OH = v cos α i or, u et OH étant colinéaires, on a u v = u OH = u v cosα Exemple : Exercice [,5 point 5 min] Soit ABCD un carré de côté a, où a est un réel strictement positif On désigne par I le milieu du segment [BC] et par θ l angle IA ˆ C ) Calculer les longueurs AC et AI en fonction de a Exprimer alors le produit scalaire AC cos θ [,5 pt] AI en fonction de a et de ( ) - -

5 ère S Produit scalaire Soit a un réel strictement positif Comme ABCD est un carré de coté a, le triangle ABC est un triangle rectangle en B D après le théorème de Pythagore, = + d où AC AB BC = a Comme I est un point de [BC], on a aussi AC = a a 5 AI = = AB + BI = a + a d où A l aide de la propriété du produit scalaire, on a : AC = AI AC cos( θ ) a 5 AI = AI ce qui donne : 0 AI 3 AI = AB + AC, montrer que AI AC = a [,5 pt] AI = AB + AC d où : Pour tout réel a strictement positif, AC = a cos( θ ) ) En utilisant le fait que ( ) Comme I est le milieu de [BC], on a ( ) AI AC = ( AB + AC) AC = ( AB AC + AC AC) = AB AC + AC Comme AC se projette orthogonalement sur AB, on a alors 3 AI AC = AB AC + = ( a + a ) = a 3 Pour tout réel a strictement positif, AI AC = a 3 ) Déduire des deux expressions de AC valeur approchée, à AI la valeur exacte de ( θ ) cos puis donner une 0 près par défaut, de θ en degrés [,5 pt] * 0 3 Pour tout réel a IR +, AI AC = a cos( θ ) et AI AC = a donc ( ) a cos θ = a cos( θ ) = La valeur exacte de cos ( θ ) est cos ( θ ) = 0 Avec la calculatrice, on obtient θ 8, 3 ) Que peut-on déduire de la valeur de cet angle θ [0,5 pt] Comme la valeur de l angle est indépendante du coté a du carré, on en déduit que Dans n importe quel carré, la valeur de l angle IA ˆ C est indépendante de la longueur du côté a du carré - 5 -

6 II- LES PROPRIETES DU PRODUIT SCALAIRE ) Symétrie du produit scalaire Théorème Soient u et v deux vecteurs : u v = v u (Symétrie du produit scalaire) Démonstration D après le théorème précédent, lorsque u et v sont non nuls, on a v u = v u v, u cos mais ( u ; v) cos( v; u ) cos = d où l égalité u v = u v cos u, v et ) Opérations sur le produit scalaire Théorème Pour tous vecteurs, u, v et w et pour tout réel α, on a : i- u ( v + w) = u v + u w, ii- u ( v) = α( u v) α Démonstration i- Soient OA, OB et OC trois représentants des vecteurs u, v et w et prenons OD comme représentant du vecteur v + w u ( v + w) = OA OD = OA OH et u v = OA OB = OA OH puis u w = OA OD = OA OH ainsi u v + u w = OA ( OH + OH ) mais OH = HH car OB se projette en OH et CD se projette en H H donc u v + u w = OA ( OH + HH ) = OA OH d où l égalité ii- Soit α un réel non nul et u, v deux vecteurs quelconques Montrons que u α v = α u v Montrons que si u, v sont orthogonaux alors u α v = α u v = 0 Si u est orthogonal à v, alors u v = 0 De plus, α v est un vecteur colinéaire à v donc u et α v sont orthogonaux donc ( v) = 0 u α v = α u v u α ce qui établit la relation ( ) ( ) - 6 -

7 ère S Produit scalaire Supposons à présent u, v non orthogonaux Soit O, A, B et C quatre points distincts du plan tels que u = OA, v = OB et α v = OC On note H le projeté orthogonal de A sur (OC) Montrer que α u v u α v = 0 Supposons u et v non orthogonaux Soient OA, OB et OC trois représentants des vecteurs u, v et α v et notons H le projeté orthogonal de A sur (OC) On a u v = OA OB = OH OB donc, pour tout réel α non nul : α ( u v) = α( OH OB) par ailleurs, u ( α v) = OA OC = OH OC par soustraction, u v u α v = α OH OB et comme v et α ( ) OH OC = OH ( αob OC) α v sont colinéaires, on a prouve que α u v = u α v 3 ) En déduire la propriété voulue Pour tout réel α non nul et, pour tout vecteurs u et v, on a OC = αob d où α u v u α v = 0 ce qui u α v = α u v Exercice Soit ABC un triangle quelconque Soit H le point d intersection des hauteurs issues de A et de B ) Justifier que AH BC = BH AC = 0 Montrer par le calcul que CH AB = 0 Quelle propriété connue vient-on de démontrer? ) (AH) est perpendiculaire à (BC) donc AH BC = 0 et (BH) est perpendiculaire à (AC) donc BH AC = 0 ) CH AB = ( CA + AH ) AB = CA AB + AH AB = CA ( AH + HB) + AH AB = CA AH + CA HB + AH AB = AH CA AH AB ( CA AB) = AH + = AH CB =0 3 ) (CH) est donc la troisième hauteur du triangle ce qui prouve que les hauteurs d un triangle sont concourantes - 7 -

8 3 ) Applications Corollaire Le produit scalaire de deux vecteurs reste inchangé si on ajoute à l un d eux un vecteur orthogonal à l autre Preuve D après la relation u ( v + w) = u v + u w u ( v + w) = u v et la relation demeure Si u w, on a u w = 0 et donc ) Normes et produit scalaire Théorème Pour tous vecteurs u et v, on a : i- u + v = u + v + u v, ii- u v = u iii- ( u + v) ( u v) + = v u u v, v Démonstration évidente i- on a u + v = u + v u + v = u + v + u v Cette égalité fournit une autre expression du produit scalaire, u v = u + v u v Dans un quadrilatère ABCD où l on pose u = AB, v = AC et u + v = AD, on a AB AC = ( AD AB AC ) III- PRODUIT SCALAIRE ET CONFIGURATIONS ) Caractérisation du cercle de diamètre [AB] Théorème Soit A et B deux points distincts du plan Le cercle de diamètre [ AB ] est l ensemble des points M du plan tel que MA MB = 0 Démonstration Si M est confondu avec l un des points A ou B alors l un des deux vecteurs est le vecteur nul et la relation est satisfaite Supposons M distinct des points A et B AB, alors d après le théorème de l angle i- Si M est un point du cercle de diamètre [ ] droit, les droites ( MA ) et ( ) MB sont orthogonaux d où MA MB = 0 ii- Réciproquement, supposons MB = 0 MB sont perpendiculaires et donc les vecteurs MA et MA, alors les droites ( MA ) et ( ) perpendiculaires, et donc M est un point du cercle de diamètre [ AB ] MB sont - 8 -

9 ère S Produit scalaire ) Projection orthogonale Proposition Soit u un vecteur unitaire d un axe Le projeté orthogonal du vecteur v sur u est le vecteur v ' = ( u v)u Démonstration u et v ' sont colinéaires, donc il existe un réel tel que v ' = u Or u v = u v' = u u = u, mais comme u est un vecteur unitaire, on a u = u = et donc u v = En reportant dans la relation v ' = u, on a v ' = ( u v)u Corollaire Dans une base orthonormale ( j ) i;, lorsque u = xi + y j alors x = u i et y = u j 3 ) Transformations de MA MB, MA + MB, MA MB Théorème de la médiane Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [ ] M du plan, on a : i- MA MB = MI AB, ii- MA + MB = MI + AB, iii- MA MB = IM AB AB ; alors pour tout point Démonstration Remarquons d abord que comme I est le milieu de [ AB ], on a IA + IB = 0 et que IA = IB = AB i- MA MB = ( MI + IA) ( MI + IB) = MI + MI ( IA + IB) + IA IB = ( ) ( MI + MI 0 + AB AB) = MI AB ii et iii MA = MA = ( MI + IA) = ( IA IM ) = IA IA IM + IM = AB IA IM IM + MB = MB ( ) ( ) = MI + IB = IB IM = IB IB IM + IM = AB IB IM IM + Par addition, on a AB MA + MB = IM ( IA + IB) + IM = MI + AB Par soustraction, MA MB = IM ( IB IA) = IM AB Remarque Ces relations sont à connaître par cœur ainsi que leur démonstration - 9 -

10 IV- ANALYTICITE DU PRODUIT SCALAIRE ) Expression analytique du produit scalaire Théorème Dans une base orthonormale ( j ) et ( x' ; y' ) v est u v = xx' + yy' Démonstration i; une base orthonormale On a : Soit ( j ) ( xi + y j ) ( x' i + y' j ) = xx' i + ( xy' + x' y) i j yy' j i; le produit scalaire de deux vecteurs u ( x; y) u v = + mais i j = 0 et i = j = par choix de la base d où u v = xx' + yy' Remarques On retrouve les résultats suivants i- ( u v) u v = 0 xx + yy = 0 ii- Si ( x y) u ;, u + = x y iii- Lorsque A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ), on a AB ( x ) ( ) B xa + yb ya = ) Vecteur normal à une droite Définition Etant donnée une droite D du plan, tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite D est appelé vecteur normal à D Remarques Soit D une droite d équation ax by = c 3 + avec ( a; b; c) IR et ( ; b) ( 0;0) D admet pour vecteur normal, le vecteur n ( a; b) En effet, si ud ( b; a) vecteur directeur de D, on a ud n = ( b) a + a b = ab + ab = 0 a est un, ce qui prouve que les vecteurs u D et n sont orthogonaux Soit D une droite non parallèle à l axe des ordonnées, d équation réduite y = mx + p Le vecteur ud ( ;m) est un vecteur directeur de la droite D et n ( m; ) est un vecteur normal à D 3 ) Equation d une droite définie par un vecteur normal Théorème Soit ( a b) n ; un vecteur non nul Une droite D admettant n comme vecteur 3 normal, a une équation cartésienne de la forme ax + by = c avec ( a; b; c) IR et ( a ; b) ( 0;0) La réciproque est vraie - 0 -

11 ère S Produit scalaire Démonstration i- Soit D une droite admettant le vecteur non nul ( a b) passant par le point A ( x A ; y A ) Soit ( x y) Le point ( x y) seulement si ( x x ) + b( y y ) = 0 ii- n ; comme vecteur normal et M ; un point du plan M ; appartient à la droite D si et seulement si n AM = 0 si et a A A si et seulement si ax + by = ax A + bya En posant c = ax A + by, on a que M D ax + by = c ce qui prouve que la droite A D a bien une équation de la forme voulue avec ( ; b) ( 0;0) a puisque n est un vecteur non nul La réciproque est déjà traitée : c est la remarque de la définition précédente Exemple Soit A ( ;), B ( 3;) et ( ;) C ) En notant I le milieu du segment [AB], donner une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] ) Donner une équation cartésienne de la hauteur issue de A ) Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées I ( ; 3 ) Or la médiatrice du segment [AB] M ; appartient à la médiatrice IM si et seulement si 8 x y = 5 admet le vecteur AB ( ; ) comme vecteur normal Ainsi, ( x y) du segment [AB] si et seulement si AB = 0 ) Le vecteur BC ( ;3) étant un vecteur normal à la hauteur issue de A, les vecteur BC et AM ( x + ; y ) sont orthogonaux si et seulement si BC AM = 0 si et seulement si x + 3 y = 7 ) Equation cartésienne d un cercle a- Cercle défini par son centre Ω et son rayon r Définition Soit Ω et M deux points distincts du plan et r un nombre réel positif On appelle cercle de centre Ω et de rayon r l ensemble des points M du plan tels que Ω M = r Lorsque Ω et M sont confondus, donc lorsque r = 0, on appelle ce cercle, le cercle point Ω Théorème Dans un repère orthonormal ( O i; j ) centre ( ) α; β Ω et de rayon IR+ Démonstration ; l équation cartésienne d un cercle de x α + y β = r r est : ( ) ( ) D après la définition, un point M ( x; y) appartient au cercle C ( Ω ;r ) avec ( α; β ) si et seulement si ΩM = r ΩM = r ( ) ( ) Exemple L équation du cercle ( O;) x α + y β = r C est x + y = Ω et r IR+ - -

12 b- Reconnaître l équation d un cercle Si on développe l équation obtenue précédemment, il vient : x + y αx βy = r α β La question de la réciproque se pose alors Toute équation de la forme x + y + ax + by = c 3 où ( a; b; c) IR est-elle l équation d un cercle dont on pourrait connaître les coordonnées du centre ainsi que le rayon? Utilisons la forme canonique du trinôme du second degré On a : x y ax by c x ax y by c x ax a a = = + y by b b = a b a b x + + y + = + + c On voit alors que sous cette forme, une condition nécessaire et suffisante pour que x + y + ax + by = c soit l équation d un cercle est que a + b + c 0 On pose alors r = a + b a b + c On obtient ainsi l équation d un cercle de centre Ω ; et de rayon r = a + b + c ( ) ( ) c Théorème Dans un repère orthonormal ( O i; j ) ; l équation x + y + ax + by = c où a est : a b i- celle d un cercle de centre Ω ; et de rayon r = a + b + c si a + b + c > 0, a b ii- celle d un cercle point Ω ; si a + b + c = 0, iii- l ensemble vide si a + b + c < 0 3 ( ; b; c) IR c- Cercle défini par son diamètre Théorème Soit A et B deux points distincts du plan L ensemble des points M du plan tels que MB = 0 AB MA est le cercle de diamètre [ ] Démonstration Les points A et B vérifient la relation car le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur Si M est un point du plan distinct des points A et B tel que MA MB = 0 Ceci revient à dire que les vecteurs MA et MB sont orthogonaux et donc que les droites ( MA ) et ( ) l angle droit, le point M appartient au cercle de diamètre [ AB ] MB sont perpendiculaires en M D après le théorème de - -

13 ère S Produit scalaire Si M est un point du cercle de diamètre [ AB ], toujours d après le théorème de l angle droit, les droites ( MA ) et ( ) MA MB = 0 MB sont perpendiculaires en M et donc Théorème Soit C un cercle de centre Ω et A un point de C Un point M du plan appartient à la tangente à C en A si et seulement si AM AΩ = 0 Exemple Dans un repère orthonormal, on considère le cercle C ( Ω;5) avec Ω ( ; ) ) Déterminer une équation cartésienne du cercle C ) Montrer que le point A ( 5; ) appartient au cercle C 3 ) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point A - 3 -

14 V- LIGNES DE NIVEAU ET FONCTION SCALAIRE DE LEIBNIZ ) Nature du problème Il s agit de déterminer des lieux géométriques, c est à dire des ensembles de points f : P IR M f M et un réel donné On cherche Γ = M P f M = ; IR f M prend les formes suivantes : vérifiant une certaine relation Soit ( ) l ensemble { / ( ) }, où ( ) f ( M ) = u OM, f ( M ) = MA MB, f ( M ) = MA + MB, f ( M ) MA λ MB f ( M ) = α MA + βmb et f ( M ) = MA MB Ces ensembles de points sont appelés lignes de niveau de l application f =, Définition Soit f une application définie sur une partie U du plan à valeurs dans IR Soit un nombre réel On appelle ligne de niveau de, l ensemble des points U du plan tels que f ( M ) = ) Etude de f ( M ) u OM = Soit u un vecteur fixé non nul, O un point donné du plan et un nombre réel On cherche l ensemble Γ défini par Γ = { M P / u OM = ; IR} Si =0 alors Γ0 = M P / u OM = 0 Ainsi, M appartient à Γ 0 si et seulement si les vecteurs u et OM sont orthogonaux donc si et seulement si M est sur la droite passant par O et de vecteur normal u Si 0 Considérons la droite D de vecteur directeur u passant par le point O et soit M un point du plan non situé sur la droite D Appelons H le projeté orthogonal de M sur D Par définition du produit scalaire, u OM = u OH donc u OM = u OH = Comme OH est le projeté orthogonal de OM sur le vecteur u, le vecteurs OH et u sont colinéaires donc il existe un réel α tel que ( ) OM = u OH u OH = u OH = α u d où u α mais u OH = donc α u = α = u - -

15 ère S Produit scalaire On en déduit que u OM = équivaut à OH = u L ensemble Γ cherché est la droite orthogonale à l axe ( u ) l abscisse sur cet axe est u Théorème u O; passant par le point H dont Soit u un vecteur non nul et O un point du plan Pour tout réel fixé, l ensemble des points M du plan tels que f ( M ) u OM = est une droite orthogonale à u Autre méthode (analytique) Considérons le plan muni d un repère orthonormé coordonnées ( a; b) où ( ; b) IR a avec ( a ; b) ( 0;0) Soit ( ) O ; i, j et soit u un vecteur non nul de M x; y un point du plan D après l expression analytique du produit scalaire, on a alors, u OM = ax + by Donc, pour tout réel, u OM = ( ax + by = ) Avec cette dernière écriture, on reconnaît que les lignes de niveau de f sont les droites de a b vecteur normal u ( a; b) passant par le point H ; a + b a + b f M = MA MB ) Etude de ( ) Soit A et B deux points fixés du plan et notons O le milieu du segment [AB] On cherche l ensemble Γ = { M P / MA MB = ; IR} Soit M un point du plan tel que f ( M ) = MA MB D après le théorème de la médiane, ( M ) ( MA MB) ( MA MB) f = + = AB OM D où, pour IR, ( M ) f = AB OM = Les points A et B étant fixés, on peut poser u = AB et on est ramené au problème précédent avec u OM = Les lignes de niveau de f sont les droites perpendiculaires à (AB) Remarque Lorsque décrit IR, toute droite orthogonale à (AB) est une ligne de niveau de f f M = MA + MB 3 ) Etude de ( ) Soit A et B deux points fixés du plan et notons O le milieu du segment [AB] On cherche Γ = M P / MA + MB = ; IR l ensemble { } - 5 -

16 Soit M un point du plan tel que ( ) ( M ) f = MO + AB D où, pour IR MO = AB f M = MA + MB D après le théorème de la médiane,, ( M ) f = MO + AB = i- Si AB, Γ est le cercle de centre O de rayon r = AB, ii- Si < AB, Γ = Remarques i- Si ii- iii- Si = AB = AB,, Γ est le cercle point O r = AB, Γ est le cercle de diamètre [AB] Lorsque décrit l intervalle AB ; +, le réel AB cercle de centre O est une ligne de niveau de l application f décrit IR + ; ainsi tout f M = MA λ MB ) Etude de ( ) où IR + { } λ Soit A et B deux points fixés du plan On cherche l ensemble : Γ = M P / MA λ MB = ; IR { } On a f ( M ) = MA λ MB = ( MA λmb) ( MA + λmb) système {( A ; ), ( B;λ )} et J celui de {( A ; ), ( B; λ )}, on a : f ( M ) = [( + λ ) MI ] [( λ ) MJ ] = ( λ ) MI MJ donc ( M ) puisque λ IR { } + ; en notant I le barycentre du f = MI MJ = λ On pose K = Soit G le milieu du segment [IJ] D après le théorème de la médiane, λ MI MJ = K MG IJ = K MG = K + IJ i- Si K IJ, Γ est le cercle de centre G milieu de [IJ] et de rayon r = K + IJ, ii- Si K < IJ, Γ = f M = α MA + βmb Si + β = 0 5 ) Etude de ( ) α avec ( ; β ) ( 0;0) ( MA MB ) α + β = α, déjà vu au ) MA MB Si + β 0 α, on a β = α et donc α, considérons le barycentre G du système {( A ; α ), ( B; β )} alors, ( ) ( ) f M = α + β MG + αga + βgb On a - 6 -

17 ère S Produit scalaire αga βgb Ainsi, ( f ( M ) = ) MG = α + β Si α = β =, c est le théorème de la médiane, G = O déjà vu c est le cas 3 ) Si α = et β = λ, c est le cas ) Dans les autres cas, on a αga βgb K = α + β - Si K 0, Γ est le cercle de centre G et de rayon K - Si K < 0, Γ = αga βgb MG = on pose α + β 6 ) Etude de ( M ) f = MA MB, avec M distinct de B Soit A et B deux points fixés du plan On cherche l ensemble : Γ = { MA M P / = ; IR + } MB Soit M un point du plan, et IR+, = MA MB = 0 MB MA Si =, MA MB MB MA = = et Si, c est un cas particulier de ) AB, Γ est la médiatrice du segment [ ] Exercices sur les équations de droites 3 Soit la droite d équation cartésienne ax + by + c = 0 avec ( a; b; c ) IR et ( a ; b ) ( 0;0) et A ( x y A; A ) un point du plan On note H ( x y H; H ) le projeté orthogonal du point A sur la droite ) Donner les coordonnées d un vecteur normal n à la droite ) Calculer de deux manières différentes le produit scalaire n AH axa + bya + c 3 ) En déduire que la distance du point A à la droite est donnée par : AH = a + b ) Application numérique ; calculer la distance des points A ( 6;3) et B ( 5;) à la droite d équation x + 3y = 5 ) Soit deux droites parallèles D et D d équations cartésiennes respectives ax + by + c = avec ( a; b; c ) IR et ( a ; b ) ( 0;0) et a ' x + b' y + c' = 0 avec ( a; b; c ) IR et ( a '; b' ) ( 0;0) a- Soit A un point appartenant à D et A le projeté orthogonal de A sur D La distance AA est la distance des droites D et D Démontrer en utilisant 3 ) que c c' AA' = a + b b- Calculer la distance des droites D d équation x + y = 0 et D d équation x + y + = 0-7 -

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19 ère S Produit scalaire - 9 -