Petit dictionnaire physique-chimie/maths des équations différentielles. Tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC

Transcription

1 Pei dicionnaire physique-chimie/mahs des équaions différenielles On compare les différenes manières de présener la résoluion d une équaion différenielle dans les différenes disciplines. Le bu de cee fiche es d une par de donner un sens e une jusificaion mahémaiques aux noaions e méhodes uilisées en physique-chimie (e en biologie) e d aure par de vous convaincre que l on fai esseniellemen la même chose dans les rois disciplines! On ne considère ici que des équaions différenielles linéaires à coefficiens consans (en mahs, on n en a pas encore vu d aures), mais l idée es la même pour des équaions différenielles plus compliquées, e les différences de rédacion son similaires. Tension aux bornes du condensaeur dans un circui RC En physique Résolvons l équaion différenielle suivane : du d + 1 RC u = E RC. La soluion de es la somme d une soluion générale de l équaion sans second membre (u libre ) e d une soluion pariculière de l équaion avec second membre (u forcé ). On parle de la soluion car rès souven en physique, une condiion iniiale es associée à l équaion différenielle : il y aura bien une unique soluion. En mahs On écri pluô cee équaion différenielle ainsi : u () + 1 RC u() = E RC. On commence par résoudre l équaion homogène (H) associée à, puis on recherche une soluion pariculière de. L ensemble des soluions sera l ensemble des foncions qui s écriven comme somme d une soluion de (H) e de la soluion pariculière rouvée. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh e Romain Paulino

2 Équaion sans second membre. La soluion générale de l équaion sans second membre es : avec K R. u libre = Ke RC, Le erme la soluion générale es rès souven employé. Cependan, il ne fau pas oublier que c es un erme abusif : il y a une infinié de soluions. La consane K ne sera fixée que lorsqu on aura précisé une condiion iniiale. Équaion avec second membre. La soluion pariculière u forcé es prise du même ype que le second membre : consane. On prend u forcé = B R. Cherchons B. u forcé = E. 1 RC B = E RC B = E Conclusion. D où u = Ke RC + E, avec K R. En physique, on se perme de confondre u e u(). Si vous faies ça en mahs, vous risquez la défenesraion... Bien sûr, on peu aussi écrire u() en physique! Résolvons d abord l équaion ho- Équaion homogène. mogène associée à : u () + 1 RC u() = E RC. L ensemble des soluions de (H) es R R Ke RC K R. (H) Recherche d une soluion pariculière. Le second membre éan consan, on cherche une soluion pariculière consane. Soi B R. La foncion consane R R es soluion B de si e seulemen si 1 RC B = E RC, c es-à-dire si e seulemen si B = E. Ainsi, la foncion consane R R es soluion de. E Conclusion. L ensemble des soluions de es R R Ke RC + E K R. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh e Romain Paulino

3 Condiion iniiale : u() =. u() = K = E u = E 1 e RC. Condiion iniiale : u() =. Soi u une soluion de. Alors il exise K R el que pour ou R, Alors u() = Ke RC + E. u() = K = E, l unique soluion de vérifian la condiion iniiale u() = es u : R R E 1 e RC. On remarquera que la différence majeure enre les deux approches es le fai qu en physique, la foncion u es définie à l avance c es la ension aux bornes du condensaeur don on parle andis qu en mahs, on ne suppose pas que u es une foncion qui saisfai l équaion, on rouve oues les foncions qui saisfon l équaion. (C es pour cela qu il y a un peu plus de quanificaeurs du côé droi...) Auremen di, en physique, on fai la parie analyse d une analyse-synhèse (l exisence éan donnée au dépar). Concenraion d une espèce en soluion En chimie Résolvons l équaion différenielle suivane : dc d = kc. En mahs Écrivons pluô l équaion différenielle ainsi : C () = kc(). Supposons que C soi soluion de. On fai la parie analyse du raisonnemen par analyse-synhèse. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh e Romain Paulino

4 En chimie (e en biologie), pour résoudre cee équaion différenielle, on uilise la méhode de séparaion des variables. En mahémaiques, on uilise cee méhode surou pour résoudre des équaions différenielles non linéaires. Cee méhode consise à faire passer ou ce qui dépend de la foncion C (l inconnue) d un côé e ou ce qui ne dépend que de la variable de l aure, pour pouvoir ensuie inégrer des deux côés. En chimie dc d = kc dc C = kd Le sens précis de cee opéraion, ainsi que des objes dc e d n es pas clair (c es pour cela qu on fai une raducion mahémaique en parallèle). Inuiivemen, dc représene une rès peie différence de concenraion e d représene une rès peie différence de emps. dc C = kd C C(=) dc C = ( k)d [ln(c)] C C(=) = [ k] ( ) C ln = k. C( = ) Mahémaiquemen, ces opéraions n on absolumen aucun sens! En effe, on inègre d un côé par rappor à C, qui es une foncion, e de l aure par rappor à! De plus, la variable d inégraion (qui es muee) a le même nom que la borne! Touefois,... En mahs On suppose que la foncion C ne s annule pas. Alors, pour ou R, on a : On a : C () = kc() C () C() = k. s R, C (s) C(s) = k. Soi R. On inègre enre e des deux côés : on obien que C (s) C(s) ds = ( k)ds d où ln [C(s)] = [ ks] ln ( ) C() = k. C() Lycée Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Kaïchouh e Romain Paulino

5 ...c es imporan de garder à l espri que les opéraions que l on fai du côé chimie son une manière ceres mauvaise mais peu-êre plus inuiive d écrire le raisonnemen mahémaique ci-dessus e qu elles on en fai une jusificaion précise. Vous devez comprendre e mairiser les deux approches. Fin de la résoluion. On a ( ) C ln = k, C( = ) en passan à l exponenielle, on obien que C = C( = )e k. Si la condiion iniiale C( = ) = C nous es donnée, on peu conclure que C = C e k. Fin de la résoluion. On a, pour ou R, ( ) C() ln = k, C() en passan à l exponenielle, on obien que R, C() = C()e k. Si la condiion iniiale C() = C nous es donnée, on peu conclure que pour ou R, C() = C e k. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 5 Adriane Kaïchouh e Romain Paulino