Séquence 1. Matrices - Applications

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1 Séquence 1 Matrices - Applications Sommaire 1. Pré-requis 2. Notion de matrice Addition-Multiplication par un réel 3. Multiplication de matrices 4. Applications 5. Synthèse de la séquence 6. Exercices de synthèse Objectifs Introduire l écriture matricielle pour modéliser des situations concrètes. Faire des opérations sur les matrices. Résoudre des systèmes d équations linéaires par un calcul matriciel en utilisant une calculatrice. Dans cette séquence les calculs matriciels se font essentiellement sur la calculatrice TI-82 Stats.fr. La Casio Graph 25+ ne permet pas de faire de calculs sur les matrices. Certains calculs sont présentés sur une Casio Graph 35+ Séquence 1 MA04 1

2 1 Pré-requis A Vecteurs 1. Coordonnées d un vecteur dans un repère Soit u un vecteur du plan muni d un repère d origine O. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées de l unique point M tel que OM = u. x Si M( x; y) on note ( x ; y ) ou y les coordonnées de u = OM. On peut écrire : ux ( ; y) en ligne ; x u y en colonne. Si Ax ( A ; ya ) et B( x B ; y B ) alors AB x B x A y B y x x ( ; A ) ou AB B A yb ya. 2. Somme de deux vecteurs Si ua ( ; b) et vc ( ; d), alors u + v( a+ c ; b+ d). On peut aussi écrire : si u a b et v c d, alors u + v a+ c b+ d. 3. Produit d un vecteur par un nombre réel Si k est un réel et si ua ( ; b), alors ku ( ka ; kb ). On peut aussi écrire : si k est un réel et si u a b, alors ku ka kb. Exercice Promenade sur un quadrillage Pour se rendre d un point X à un point Y on doit : se déplacer d abord une fois horizontalement ; se déplacer ensuite, éventuellement, une fois verticalement. Les trajets vers la droite ou vers le haut sont notés positivement, les trajets vers la gauche ou vers le bas sont notés négativement. 1 Ainsi le trajet D A sera noté ( 1 2 ) en ligne, ou en colonne. 2 2 Séquence 1 MA04

3 Un trajet " par étapes" tel que D A' C' F impose de passer par A' puis par C ' avant d arriver en F. C Le quadrillage ci-contre est formé de 100 petits carrés de même taille. A D S B Recopier et compléter le tableau (" Ligne" et " Colonne"). On pose DA = u et DB = v. Compléter la ligne " Notation vectorielle" en exprimant les trajets en fonction de u et de v. A C F Trajet D A D B D A C D A ' D A' C' D A S D A' C' F Ligne étapes ( 1 2) ( 1 2) + ( 1 2) direct ( 1 2) ( 2 4) C o l o n n e étapes direct Notation DA vectorielle = u DB = v DA + AC = 2 u Solution On complète d abord la ligne " étapes" en respectant les règles de déplacement. Pour obtenir la ligne " direct" il suffit de compter les carrés horizontalement puis verticalement. Cela permet de comprendre comment additionner deux ou trois trajets. Les écritures en colonne se déduisent immédiatement des résultas obtenus pour les écritures en ligne. Séquence 1 MA04 3

4 Trajet D A D B D A C D A ' D A' C' D A S D A' C' F Ligne étapes ( 1 2) (2 0) ( 1 2) + ( 1 2) (1 2) (1 2) + (1 2) ( 1 2) + (2 0) (1 2) + (1 2) + (4 0) direct ( 1 2) (2 0) ( 2 4) (1 2) (2 4) (1 2) (6 4) C o l o n n e étapes direct Notation vectorielle DA = u DB = v DA + AC = 2 u DA' = u DA ' + A ' C ' = 2 u DA + AS = u + v DA ' + A ' C ' + C ' F = 2u + 2 v En posant DA = u et DB = v on complète la ligne " notation vectorielle". On a DC = 2 DA, DA ' = DA, DC ' = 2 DA, DS = DA + AS = DA + DB, DF = DC ' + C ' F = 2DA + 2 DB. B Systèmes d équations linéaires Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la ax + by = c forme. ax ' + by ' = c' Résoudre ce système c est chercher le(s) couple(s) ( x ; y ) vérifiant en même temps les deux équations. Un système de deux équations linéaires à deux aucune solution ; inconnues peut avoir une seule solution ; une infinité de solutions. On utilise essentiellement deux méthodes de résolution. La méthode par substitution qui consiste à exprimer l une des variables en fonction de l autre dans l une des deux équations et à substituer cette expression dans l autre équation. On se ramène alors à la résolution d une équation à une seule inconnue. La méthode par combinaison linéaire consiste à multiplier chaque équation par un coefficient bien choisi pour qu en additionnant (ou en soustrayant) les deux nouvelles équations obtenues l une des deux inconnues" s élimine". On se ramène alors à la résolution d une équation à une seule inconnue. 4 Séquence 1 MA04

5 Exercice Solution Les soldes Deux copains, Yann et Erwan achètent des chemises et des pantalons en solde. Un magasin fait une remise de 20 % sur les chemises et une remise de 40 % sur les pantalons (prix en euros). Yann a acheté deux chemises et un pantalon pour 128 euros. Erwan lui a acheté une chemise et trois pantalons pour 184 euros. Déterminer les prix, avant les soldes, d une chemise et d un pantalon. Appelons x le prix d une chemise en solde et y le prix d un pantalon en solde. L achat de Yann nous donne l équation 2x + y = 128. L achat d Erwan nous donne l équation x + 3y = 184. Résolvons le système ( S 2x + y = 128 [] 1 ) x + 3y = 184 [] 2. Méthode par substitution Dans [2] on obtient x = 3y On reporte cette expression dans [1] ce qui nous donne 2( 3y + 184) + y = 128. On résout alors l équation 2( 3y + 184) + y = 128 qui est bien une équation à une seule inconnue. On obtient 240 = 5y, d où y = 48. On calcule alors x = = 40. Appelons c le prix d une chemise non soldée et p le prix d un pantalon non soldé On sait que x = 080, cet y = 06, p. D où c = = 50 et p = = , 06, Méthode par combinaison linéaire 2x + y = ( S ) x + 3y = x y = 128 La première combinaison donne. 2X + 6y = 368 En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient 5y = x + 3y = 384 La seconde combinaison donne. x 3y = 184 En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient 5x = 200. On retrouve x = 40 et y = 48. On en déduit de mêmec = 50 et p = 80. Donnons les résultats dans un tableau. En solde Avant les soldes Prix d une chemise Prix d un pantalon Séquence 1 MA04 5

6 Remarques Exercice On pouvait aussi prendre pour inconnues les prix avant soldes. Si x désigne le prix d une chemise non soldée et y le prix d un pantalon non soldé on obtient 2 0, 8x + 0, 6y = 128 le système suivant. 0,8 x+ 3 0,6 y = 184 On peut montrer que x = 50 et y = 80 vérifient le système. Dans la méthode par combinaison linéaire on peut calculer x après avoir fait la première combinaison. Le festival de Matrix La ville de Matrix organise tous les étés un festival de musique, en plein air, sur deux jours. Le prix du billet n est pas le même le vendredi et le samedi ; entre 2011 et 2012 le prix de chaque billet a augmenté de 1 euro. Le tableau suivant nous donne le nombre de festivaliers et les recettes des années 2011 et Année Nombre de festivaliers Recette Vendredi Samedi en euros Calculer le prix, en euros, de chaque billet en 2011 et en Solution Tous les prix sont exprimés en euros. Désignons par x le prix d un billet le vendredi et par y le prix d un billet le samedi, en Le vendredi la recette est égale à d où 4 000x y = En divisant les deux membres par 500 on obtient comme équation 8x + 13y = 561. Le samedi la recette est égale à d où : 4 500( x + 1) ( y + 1) = Cela donne 4 500x y = En divisant les deux membres par 500 on obtient comme équation 9x + 16y = x + 13y = Résolvons le système en utilisant les 9x + 16y = combinaisons indiquées. La première combinaison nous donne 11y = 319 d où y = 29. La seconde combinaison nous donne 11x = 253 d où x = 23. Les prix en 2011 et en 2012 sont indiqués dans le tableau. Prix en euros Vendredi Samedi Séquence 1 MA04

7 2 Notion A de matrice Addition Multiplication par un réel Objectifs du chapitre Résumer une situation à l aide de matrices. Faire des opérations élémentaires sur les matrices. Utiliser une calculatrice pour faire ces opérations élémentaires sur les matrices. B Pour débuter Activité 1 L informatique en promotion Trois magasins spécialisés en informatique vendent, entre autres, des imprimantes, des cartouches d encre et des ordinateurs. Pour chacun des matériels on s intéresse uniquement à un modèle bien précis vendu en promotion durant un mois. À la fin de ce mois de promotion chaque magasin fait le bilan des ventes qui est résumé dans le tableau suivant : Matériel informatique Prix en Cartouches Imprimantes Ordinateurs Achat Vente Magasins M Cartouches M Imprimantes M Ordinateurs Déterminer, pour chacun des trois magasins, quel était le montant total des achats de matériel. Déterminer, pour chacun des trois magasins, la recette totale obtenue durant ce mois de promotion. En déduire, pour chacun des trois magasins, le montant des bénéfices du mois. Calculer, pour l ensemble des trois magasins, les recettes correspondant aux ventes de chacun des trois matériels. Activité 2 Moyennes trimestrielles On connaît les moyennes trimestrielles de trois élèves d une classe de terminale ES dans trois disciplines (Math Philosophie SES). Les moyennes des trois trimestres sont données dans un tableau. Séquence 1 MA04 7

8 Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Math Philo SES Math Philo SES Math Philo SES Alix Briac Carole Calculer le total des trois moyennes trimestrielles, pour chaque élève et dans chacune des matières. Calculer la moyenne annuelle, pour chaque élève et dans chacune des matières. C Cours 1. Notion de matrice Tableau de nombres Considérons le tableau des ventes de l activité 1. Ce tableau peut être présenté en y mettant uniquement les nombres, soit entre deux grandes parenthèses, soit entre deux grands crochets. Matrice 3 3 Matrice 3 3 L1, L2, L3 sont les 3 lignes de la matrice. C1 C2 C3 C1 C2 C3 L C1, C2, C3 sont les 3 L colonnes de la matrice. L L L L Ces deux tableaux sont des matrices 3 3 lignes colonnes Définition 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coefficients (ou termes, ou éléments) de la matrice. Si la matrice comporte n lignes et p colonnes on dit que la matrice est de dimension n p. Les matrices sont le plus souvent désignées par des lettres majuscules A, B, C, etc. 8 Séquence 1 MA04

9 M n.p = C 1 C 2 C j C p L 1 a 11 a 12 a 1j a 1p L 2 a 21 a 22 a 2j a 2p Le coefficient situé à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est a ij a ij L i a i1 a i2 a ij a ip L n a n1 a n2 a nj a np i numéro de ligne j numéro de colonne Dans la pratique on aura le plus souvent 1 n 4et 1 p 4. Exemple 1 Voici quelques exemples de matrices : 2 A = B = C = ( 1 2 ) ; 2 ; 05, ; D = ; E = ; M = ; N = A est une matrice ligne de dimension1 2;on dit aussi" vecteur ligne". B est une matrice colonne de dimension 3 1; on dit aussi" vecteur colonne". C est une matrice de dimension 2 3alors que D est une matrice de dimension 3 2.On dit que D est la transposée de C et on note D = t C. Les lignes de l une des matrices sont les colonnes de l autre. E est une matrice carrée (autant de lignes que de colonnes) de dimension 2 2(on dit aussi d ordre 2). M est une matrice carrée 3 3assez particulière car la somme de ses 3 lignes, de ses 3 colonnes et de ses 2 diagonales est égale à 15 (c est une matrice " magique" de constante 15). N est une matrice de dimension 2 4. Voici quelques matrices particulières : O = = A= I B = O est une matrice nulle I est une matrice unité A est une matrice triangulaire B est une matrice diagonale Séquence 1 MA04 9

10 Il existe aussi une matrice nulle d ordre 2, une matrice unité d ordre 2. Les matrices unités sont parfois appelées matrices identités et notées I2, I3, I4,etc. l indice indiquant l ordre de la matrice. Les matrices unités (ou matrices identités) interviendront dans certains exercices. 2. Égalité de deux matrices Définition 2 Deux matrices A et B sont égales si elles ont la même dimension et si chaque élément de A est égal à l élément correspondant de B. Exemple 2 Soit A et B les matrices suivantes : A = Déterminer les triplets ( x; y; z ) pour que A= B etb = 0 y x z 2 3. Solution 2 3 Si A = B alors x = 1, y = 2et z = 8. D où x = 1 ou x = 1, y = 4 et z = 2. Cela donne deux triplets solutions. On a ( x ; y ; z ) = ( 1; 4; 2 ) ou ( x ; y ; z ) = ( 1; 4; 2 ). 3. Addition de matrices Définition 3 La matrice somme de deux matrices A et B de même dimension est la matrice obtenue en ajoutant à chaque élément de A l élément de B qui lui correspond. Il est possible aussi de faire la somme de trois matrices ou plus (voir exemple 3). Exemple 3 Reprenons les tableaux de l activité 2, mis sous forme de matrices. A= ; B = ; C = d où A+ B+ C = Séquence 1 MA04

11 Propriété 1 Pour toute matrice A on a : A + O = O + A = A où O est la matrice nulle de même dimension que A. Si les matrices A et B sont de même dimension alors A+ B = B+ A. 4. Multiplication d une matrice par un réel Exemple 4 Solution 25 La matrice A définie par A = 40 est une matrice de prix de vente H.T. 32 On suppose que le taux de la TVA est de 20 %. Déterminer la matrice B des prix de vente T.T.C. Le coefficient multiplicateur est égal 1,20. On doit donc multiplier tous les éléments de A par 1, On obtient B = , 4 On peut aussi écrire12, A= B ou encore 12, Définition = , 4. Le produit d une matrice A par un réel k est la matrice ka obtenue en multipliant tous les termes de A par le réel k. Cas particulier : k = 1. La matrice ( 1) A= A est la matrice opposée de A. Propriété 2 Pour toutes matrices A et B de même dimension et pour tout réel k on a k( A+ B) = ka+ kb. 5. Calculatrices et matrices (1/2) La TI-82 Stats.fr possède 10 variables de type matrice : [A] [B] [ I] [J]. La Casio Graph 35+ possède 26 variables de type matrice : A, B,, Z. Séquence 1 MA04 11

12 TI-82 Stats.fr Casio Graph 35+ On choisit de créer la matrice carrée A = matrice On peut aussi faire au lieu de MENU (RUN) EXE F3 ( MAT) 1 EXE 3 entrer 3 entrer (indique la dimension de [A]) 3 EXE 3 EXE EXE entrer 9 entrer 4 entrer entrer 5 entrer 3 entrer entrer 1 entrer 8 entrer 2 EXE 9 EXE... 1 EXE 8 EXE 2nde quitter matrice EXIT EXIT 1 entrer (affiche la matrice [A]) MENU (RUN) EXE OPTN F2 (MAT) F1 (Mat) ALPHA A EXE On choisit de créer la matrice carrée B = matrice 2 EXIT EXIT F3 ( MAT) 12 Séquence 1 MA04

13 3 entrer 3 entrer EXE 3 EXE 3 EXE EXE entrer 1 entrer 1 entrer entrer 1 entrer 2 entrer entrer 3 entrer 4 entrer 2 EXE 1 EXE... 3 EXE 4 EXE Addition de deux matrices On additionne [A] et [B] 2nde quitter matrice 1 + matrice 2 entrer EXIT EXIT MENU (RUN) EXE OPTN F2 ALPHA (MAT) F1 (Mat) A + F1 (Mat) ALPHA B EXE Multiplication par un réel On multiplie [A] par 3 3 matrice 1 entrer 3 F1 (Mat) (le n'est pas obligatoire) ALPHA A EXE Matrices particulières Matrice identité d ordre 3 MENU (RUN) EXE OPTN matrice 5 3 ) entrer } dim (en changeant le 3 en 2 on a I2 ) F2 (MAT) F6 ( ) F1 (Iden) 3 F6 ( ) F1 } dim (Mat) ALPHA I EXE Matrice transposée de A MENU (RUN) EXE OPTN matrice 1 matrice 2 entrer F2 (MAT) F4 (Trn) F1 (MAT) ALPHA EXE A Noter les différences entre MAT ; MAT et Mat ; le 1 er est obtenu à partir de F3, le 2 nd à partir de F2, le 3 e à partir de F1. Séquence 1 MA04 13

14 D Exercices d apprentissage Exercice 1 M est une matrice 3 3 telle que aij = i + j. Écrire la matrice M. N est une matrice 3 3 telle que aij = 2 i j. Écrire la matrice N. Exercice 2 On donne les trois matrices suivantes : , 5 3 A= 4 0 0, 5, B = 3 15, 2, C = 15, Vérifier, sur cet exemple, que : A+ ( B+ C) = ( A+ B) + C. 5 2, , Exercice 3 On donne les trois matrices suivantes : x y A = B S , =, =. 0 2x 1 y 1 7 Déterminer les réels x et y pour que A+ B = S. Exercice 4 On donne A = 0 a a a 0 a a x y z a, X = y z x 0 z x y Calculer x, y et z pour que l on ait A+ X = M , M = Exercice On pose M = 7 5 3, A= 3 0 3, B = La matrice M est une matrice magique Les matrices A et B sont-elles magiques? Vérifier que A+ B = M.. Écrire la matrice t M, transposée de M (échanger les lignes et les colonnes). 1 Vérifier que A= M t M 2 ( ) etb 1 = M + t 2 ( M). 14 Séquence 1 MA04

15 3 Multiplication de matrices A Objectifs du chapitre Apprendre à multiplier une matrice ligne par un vecteur colonne, une matrice par un vecteur colonne. Multiplier deux matrices entre elles (quand cela est possible). Apprendre à inverser une matrice (quand cela est possible). Utiliser une calculatrice pour faire ces diverses opérations sur les matrices. B Activité 3 Pour débuter Réservation d hôtel Un responsable gérant trois hôtels H,H 1 2 et H 3, fixe les prix des pensions complètes selon la catégorie de l hôtel et suivant le confort et la taille des chambres (E : économique ; S : standard ; F : familiale). La matrice A donne les tarifs, en euros, de la pension complète pour une journée. Une agence de tourisme T 1 souhaite retenir dans chaque hôtel, pendant la haute saison, 15 chambres économiques, 20 chambres standard et 10 chambres familiales. Une agence de tourisme T 2 souhaite retenir dans chaque hôtel, pendant la haute saison, 10 chambres économiques, 15 chambres standard et 8 chambres familiales. Les deux vecteurs colonnet 1 ett 2 indiquent le nombre de réservations faites par chacune des deux agences. Pour le gérant la matrice T résume le nombre de réservations faites par les deux agences. E S F A = H1 H2 H3 15 T 1 = E S F 10 T 2 = 15 8 E S T = F E S F Séquence 1 MA04 15

16 Calculer le coût de réservation journalier dans chacun des trois hôtels pour l agence T 1. Écrire les résultats sous forme d un vecteur colonne. Calculer le coût de réservation journalier dans chacun des trois hôtels pour l agence T 2. Écrire les résultats sous forme d un vecteur colonne. Pour le gérant des trois hôtels le coût de réservation journalier des deux agences peut s écrire sous forme d une matrice 3 2, notée G. Écrire la matrice G. C Cours 1. Multiplication d une matrice ligne par un vecteur colonne Ecrivons, pour l agence T 1, le coût de réservation journalier dans l hôtel H 1 : = Ce coût est égal au produit d une matrice ligne par un vecteur colonne dont une disposition est la suivante : ( ) (2 750) Explication du calcul : = Multiplication d une matrice par un vecteur colonne Dans la première question de l activité 3 le vecteur colonne obtenu est le produit de la matrice A par le vecteur (ou la matrice) colonnet 1 et se note A T 1 ( ou AT 1 ). Le premier élément de A T 1 est le produit de la première ligne de A par le vecteur colonnet 1. Le deuxième élément de A T 1 est le produit de la deuxième ligne de A par le vecteur colonnet 1. Le troisième élément de A T 1 est le produit de la troisième ligne de A par le vecteur colonnet 1. De même, dans la deuxième question de l activité 3 le vecteur colonne obtenu est le produit de la matrice A par le vecteur (ou la matrice) colonne T 2 et se note A T 2 ( ou AT 2 ). 16 Séquence 1 MA04

17 À l aide de ces deux exemples concrets on peut donner la définition générale à partir d un exemple abstrait. Définition 5 Soit les deux matrices A et X telles que A = x et X = y z La matrice produit A X est la matrice colonne 2x + 5y + 6z 4x + 3y + 8z. Disposition pratique A x y z X 2x + 5y + 6z 4x + 3y + 8z A X Remarque Nombre de colonnes de A = nombre de lignes de X. Exemple 5 Une ville organise, durant un weekend, une séance de cinéma et une pièce de théâtre pour les enfants. Le samedi 520 enfants vont voir le film alors que 450 vont au théâtre. Le dimanche 640 enfants vont au cinéma alors que 560 vont voir la pièce de théâtre. Le prix de la séance de cinéma est de 6,50 et celui de la pièce de théâtre 8,50. Déterminer les recettes du samedi et du dimanche sous forme d un produit d une matrice par une matrice colonne. Solution Écrivons le nombre d enfants assistant aux deux spectacles le samedi et le dimanche sous forme d une matrice 2 2. Soit la matrice A = S et la matric e colonne P = 650, D 850, cinéma théâtre Les recettes seront données par les deux lignes de la matrice A P. A P = , 520 6, ,5 = d où , 640 6, , A P = La recette du samedi est de et celle du dimanche de Séquence 1 MA04 17

18 3. Multiplication de deux matrices Revenons à la troisième question de l activité 3. A T = = Disposition pratique A T A T La première colonne de la matrice A T est obtenue en multipliant successivement chaque ligne de A par la première colonne de T. La deuxième colonne de la matrice A T est obtenue en multipliant successivement chaque ligne de A par la deuxième colonne de T. Définition 6 Soit A et B deux matrices telles que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. La matrice produit A B s obtient en multipliant chaque vecteur ligne de A par chaque vecteur colonne de B. Exemple 6 05, 2 On donne A= B = C 4 2 = 20 12,, = 05, et I Déterminer les matrices A I, B I et C I. Justifier que les produits A B etb A existent. Calculer A B etb A. Comparer les deux produits obtenus ; que peut-on en déduire? Justifier que les produits A A etb B existent. Déterminer le produit A A, noté A 2, et le produit B B, notéb 2. Déterminer le produitb B B = B 3. Calculer les produits ( A B) C et A ( B C). Que peut-on en déduire? 18 Séquence 1 MA04

19 Solution Remarque On montre que A I = A, B I = B etc I = C. Le produit A B existe car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produitb A existe car le nombre de colonnes de B est égal au nombre de lignes de A. 05, 2 On a A B = 4 2 = 0 5 et 05, B A= 4 2 0,5 2 = , D après les résultats obtenus on peut dire que A B B A. Comme A B B A, il faut faire attention à l ordre des matrices. Comme A et B sont des matrices carrées les produits A A etb B existent. 05, 2 On a A A= 05, = 125, 5,, 1,25 10 et B B = = D où A =, 125, 10 et B = Calculons B = B B B = B B. On ab 3 = D oùb = Calculons ( A B) C = A ( B C) = 05, 2 05, = = On obtient les résultats sur deux écrans de calculatrice... On constate, sur cet exemple, que ( A B) C = A ( B C). Séquence 1 MA04 19

20 Propriété 3 On admet les propriétés suivantes où A, B et C désignent trois matrices (on suppose que les sommes et les produits de matrices existent) : En général A B B A. Pour toute matrice carrée A on a A I = I A= A (où I est la matrice unité de même ordre que A). ( A B) C = A ( B C). A ( B+ C) = A B+ A C et ( A+ B) C = A C + B C. Pour tout k réel, A ( kb) = ( ka) B = k( A B). Notation Pour n entier et n 1, A n = A A... A A. n fois 4. Inverse d une matrice Exemple 7 Soit A et B les deux matrices définies par A = Calculer A B et B A. Que constate-t-on? etb = Solution On a A B = et B A= = = = I 2 = I 2. On constate que A B = B A=I 2. On dit que la matrice B est la matrice inverse de A et on noteb = A 1. De même la matrice A est la matrice inverse de B et on note A= B 1. Définition 7 Soit A une matrice carrée. S il existe une matrice B telle que A B = B A=I, cette matrice B est appelée matrice inverse de A et on noteb = A 1. On dit dans ce cas que la matrice A est inversible. Remarque Conséquence de la définition. Exemple 8 On peut montrer que l une des deux conditions A B =I ou B A=I suffit pour montrer que A est inversible. Si B est l inverse de A alors A est l inverse de B. Montrer que la matrice A telle que A = n a pas de matrice inverse. 20 Séquence 1 MA04

21 Solution Remarque Supposons que la matrice A possède une matrice inverse, notée B. On a donc A B = B A=I. Posons B = a b c d et calculons le produit A B. On a A B = a c b d 2 3 a b = c d 4a+ 6c 4b+ 6d. Comme A B =I on devrait avoir 2a + 3c = 1 et 4a + 6c = 0. L équation 4a + 6c = 0 peut aussi s écrire 2(2a + 3c) = 0. On obtient donc 2a + 3c = 1 et 2a + 3c = 0 ; on arrive à une contradiction car 1 0. La supposition" la matrice A possède une matrice inverse" est donc fausse. Ainsi la matrice A ne possède pas de matrice inverse. La démonstration que l on vient de faire est une démonstration par l absurde. Toutes les matrices n admettent pas de matrice inverse. Propriété 4 Si une matrice carrée A possède une matrice inverse, notée A 1, alors 1 1 A A = A A= I. La matrice inverse de A 1 1 est la matrice A. D où A 1 A. ( ) = 5. Calculatrices et matrices (2/2) TI-82 Stats.fr Casio Graph 35+ Multiplication de deux matrices On multiplie [A] par [B] MENU (RUN) EXE OPTN matrice 1 matrice 2 entrer F2 (MAT) F1 (Mat) ALPHA A F1 (Mat) ALPHA B EXE On multiplie [B] par [A] matrice 2 matrice 1 entrer F1 (Mat) ALPHA B F1 (Mat) ALPHA A EXE Élever une matrice à une puissance n On calcule [A] 3 matrice 1 ^ 3 entrer (pour n = 2 on peut faire matrice 1 x2 entrer ) F1 (Mat) ALPHA A ^ 3 EXE Séquence 1 MA04 21

22 matrice 2 x 1 entrer Inverse d une matrice (la touche permet de faire défiler l écran) F1 (Mat) ALPHA x 1 EXE Inverse de [B] B SHIFT Puis, éventuellement, F D pour le mode décimal. Inverse de C = matrice 3 x 1 entrer (C n est pas inversible) F1 (Mat) ALPHA C SHIFT x 1 EXE D Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Exercices d apprentissage On donne A = Déterminer les matrices A et A. En déduire la matrice A 1, matrice inverse de A. 2 3 Déterminer la matriceb = A+ A + A. On considère la matrice A = a b d b et la matriceb = c d c a. Calculer A B et en déduire que, si ad bc 0, la matrice A est inversible. Déterminer alors la matrice A 1. On considère les matrices A= B C 0 1 = =, 1 0 et Vérifier que A B = A C. Ceci nous montre que l on peut avoir A B = A C et B C. On donne A = 1 1 et B = Calculer A B. Que peut-on en déduire? Soit A la matrice définie par A = Déterminer, en utilisant une calculatrice, si la matrice inverse de A existe. Calculer A 2 et A 3 puis conjecturer, pour n entier, la matrice A n. 2 Calculer ( 2A I ). En déduire la matrice inverse de la matrice 2A I. 22 Séquence 1 MA04

23 Exercice 11 Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Le 1 er janvier 2010 les clients souscrivent, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir soit A, soit B. L année 2010, la société A détient 90 % du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10 %. On estime que, chaque année, 20 % de la clientèle de A change pour B alors que 30 % de la clientèle de B change pour A. On considère une population de clients de l année Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 clients de la société B. On veut étudier l évolution de cette population les années suivantes. Résumons les évolutions de clientèle dans un tableau. Notons a n le nombre de clients de A l année ( n) et b n le nombre de clients de B l année ( n). De A Vers B A 0,8 0,2 B 0,3 0,7 Désignons par ( an bn) la matrice ligne indiquant le nombre de clients respectifs en ( n). La matrice ligne ( a0 b0) décrit donc l état initial des clients en 2010, d où ( a0 b0) = ( ). Soit C la matrice définie par C = 08, 02,. 03, 07, Déterminer la matrice ligne ( a1 b1) et vérifier que : ( a b ) ( a b ) C. 1 1 = 0 0 n On admet que, pour tout n 0,( an bn) = ( a0 b0) C. Calculer le nombre de clients de chaque société en 2012, en 2015 et en Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire? Séquence 1 MA04 23

24 4 Applications A Objectif du chapitre Résoudre des systèmes d équations linéaires sous forme matricielle en utilisant une calculatrice. B Activité 4 Pour débuter Les trois joueurs Trois amis jouent ensemble trois parties. À chaque partie le perdant double l avoir des deux autres joueurs. Chaque joueur perd une partie et à la fin du jeu chacun possède 240. On note x, y et z les avoirs initiaux respectifs, en euros, de chacun des trois joueurs appelés X, Y et Z. On suppose que X perd la 1 re partie, Y perd la 2 e et Z perd la 3 e. x y z = 60 On considère le système ( S ) x + 3y z = 120 x y + 7z = 240 Montrer que le problème peut se ramener à résoudre le système ( S ). Résoudre le système ( S ) par deux méthodes : 1 re méthode Se ramener, en utilisant des combinaisons, à un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre ce nouveau système 2 2 (soit par substitution, soit par combinaison) et terminer la résolution. 2 e méthode (résolution sous forme matricielle) x 60 Soit A= 1 3 1, V = y etb = 120. z Montrer que le système ( S ) peut se mettre sous la forme matricielle A V = B. Vérifier sur une calculatrice que la matrice inverse de A existe. En déduire que 1 V = A B. Déterminer V à l aide d une calculatrice. En déduire les avoirs initiaux de chacun des trois joueurs. 24 Séquence 1 MA04

25 Activité 5 Tableau entrées-sorties Considérons une région virtuelle où l économie (très) simplifiée se décompose en deux branches : l agriculture et l industrie. Toutes les productions et toutes les consommations seront données en unité monétaire (UM). Agriculture : Une production de 200 UM est répartie entre consommations intermédiaires et consommation finale. Industrie : Une production de 800 UM est répartie entre consommations intermédiaires et consommation finale. Écrire le vecteur colonne X des productions. Écrire le vecteur colonne C des consommations intermédiaires et le vecteur colonne F des consommations finales. Recopier et compléter le tableau d échanges suivant : Consommations intermédiaires De l agriculture De l industrie Consommation finale Production Agriculture c 11 = 20 c 12 = 80 x = Industrie c 21 = 60 c 22 = 320 y = Ce tableau est aussi appelé" tableau entrées-sorties" (en abrégé : TES). On définit la matrice des coefficients techniques A par : A = a a a a = c y = 21 c 22 01, y c x c x a. Déterminer la matrice A. b. Calculer A X et vérifier que l on obtient le vecteur colonne C des consommations intermédiaires. c. Exprimer par une égalité matricielle le fait que la production soit égale à la somme des consommations intermédiaires et de la consommation finale. En déduire quef = ( I A) X, où I est la matrice identité d ordre 2. Montrer que les données de l énoncé vérifient cette égalité. d. Exprimer la matrice X en fonction des matrices I, A et F. Séquence 1 MA04 25

26 On admet dans la suite de l activité que la matrice A reste stable. On suppose que la production agricole augmente de 5 %. Calculer les nouvelles consommations finales (les calculs matriciels seront faits à la calculatrice). a. On souhaite augmenter chaque consommation finale de 10 %. Déterminer les productions agricoles et industrielles qui vont permettre de satisfaire cette demande. b. On souhaite augmenter la consommation en produit agricole de 10 % et celle de la consommation industrielle de 5 %. Déterminer les productions agricoles et industrielles qui vont permettre de satisfaire cette demande (arrondir les résultats à 0,001 près). C Cours 1. Écriture matricielle d un système Système linéaire Écriture matricielle Résolution a11x + a12y = α a21x + a22y = β a11x + a12y + a13z = α a21x + a22y + a23z = β a31x + a32y + a33z = γ a A = a B = α β a a 21 22, X AX = B a a a A = a a a a a a x X = y z = x y ,B = AX = B α β γ, Si A est inversible 1 1 A A X = A B I I X = A 1 B X X = A 1 B 1 1 A A X = A B I I X = A 1 B X X = A 1 B n n... AX = B X = A 1 B 26 Séquence 1 MA04

27 Exemple 9 Solution On considère le système ( S ) de 2 équations linéaires à 2 inconnues suivant 4x 3y = 3. 7x + y = 4 Mettre ce système sous forme matricielle. Utiliser une calculatrice pour résoudre le système ( S ). 4 3 x Considérons les matrices A= X = B = y, et L écriture matricielle du système est A X = B. Pour résoudre le système ( S ) il faut trouver X. Cherchons si A est inversible. D après la copie d écran 1 on peut dire que A est inversible. Écran 1 Écran On peut écrire A A X = A B d où I X = A 1 B, ce qui donne 1 X = A B. I X La copie d écran 2 nous donne x = 0,6 et y = 0,2. Sous forme fractionnaire on obtient x = 3 5 et y = 1 5. Le couple 3 1 ; 5 5 est l unique solution du système. En appelant E l ensemble des solutions du système ( S ) on obtient 3 1 E = ;. 5 5 Exemple 10 On considère le système ( S ) de 3 équations linéaires à 3 inconnues suivant 2x y + 3z = 13 x + y z = 4. 3x + 2y + z = 2 Mettre ce système sous forme matricielle. Utiliser une calculatrice pour résoudre le système ( S ). Solution x 13 Considérons les matrices A= 1 1 1, X = y etb = 4 z L écriture matricielle du système est A X = B.. Séquence 1 MA04 27

28 Pour résoudre le système ( S ) il faut trouver X. Cherchons si A est inversible. D après la copie d écran 1, on peut dire que A est inversible. Écran 1 Écran 2 1 On sait que X = A B d où x = 1, y = 2, z = 3. Le système admet une solution unique, le triplet (1 ; 2 ; 3). E étant l ensemble des solutions du système on a E = {( 1; 2; 3 )}. 2. Matrice de Léontief (Wassily Léontief ) Le modèle de Léontief est un modèle linéaire de production assez particulier : considérons un pays virtuel, sans échange extérieur, où l économie très simplifiée se compose de n secteurs (on prendra en général n 4). Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande). Un tel modèle est dit fermé car, sans échange extérieur, il satisfait à ses propres besoins. Un tel modèle n est cependant pas très fréquent. Donnons un tableau entrées-sorties pour 2 secteurs (le principe est le même pour 3 ou 4 secteurs). S 1 Consommations intermédiaires S 2 Total Consommation finale (ou demande) Production S 1 c 11 c 12 c 11 + c 12 d1 = x (c 11 +c 12 ) x S 2 c 21 c 22 c 21 + c 22 d 2 = y (c 21 +c 22 ) y Posons A = a a a a = c c x x c c y y d = 1 = x, D et X. d y 2 28 Séquence 1 MA04

29 Cette matrice A est appelée matrice technologique ou matrice des coefficients techniques (ou matrice des coefficients d échanges). La relation" production = consommations intermédiaires + consommation finale" se traduit par la relation matricielle suivante : X = AX + D qui s écrit aussi X AX = D, d où ( I AX ) = D (où I = I 2, matrice unité d ordre 2). 1 Si ( I A ) est inversible, la matrice production X est telle que X = ( I A) D. Exemple 11 Solution Une économie comporte deux secteurs de production : l acier et l électricité. La production d un euro d acier nécessite : 0,3 euro d acier et 0,2 euro d électricité. La production d un euro d électricité nécessite : 0,5 euro d acier et 0,1 euro d électricité. Les demandes des consommateurs correspondent à euros d acier et euros d électricité. Soit x la quantité d acier et y la quantité d électricité à produire, exprimées en milliers d euros. 0, 3x + 0, 5y = x 1) Montrer que x et y vérifient le système :. 0, 2x + 0, 1y = y x 2) a. Écrire la matrice technologique A et vérifier que A X+ C= X où X = y et C = b. Exprimer C en fonction de A et X puis X en fonction de A et C. 3) À la calculatrice déterminer x et y. Donner les quantités d acier et d électricité à produire, exprimées en euros. 1) On sait que" production = consommations intermédiaires + demande des consommateurs". Les quantités sont exprimées en milliers d euros. Pour l acier on obtient x = 03, x + 05, y Production Consommations Demande dacier ' intermédiaires Pour l électricité on obtient y = 02, x + 01, y Production Consommations Demande d'électricité intermédiaires Les inconnues x et y vérifient donc le système 0, 3x + 0, 5y = x. 0, 2x + 0, 1y = y 2) a. La matrice technologique A est telle que A = 03, 05,. 02, 01, SoitC = 200 x 500 et X = y. Séquence 1 MA04 29

30 Le système obtenu peut s écrire sous forme matricielle : 03, 05, x , 01, + y 500 = x. y A X C X D où AX+ C= X. b. L égalité précédente peut s écrire X A X = C d où ( I A) X = C. La matrice colonne X s exprime en fonction de I et de A par la relation 1 X = ( I A) C. 3) Voici ce que l on obtient sur l écran d une calculatrice (ce qui prouve l existence de ( I A) 1 ) : Ainsi x = 811,321 et y = 735,849 (arrondis au millième). Pour satisfaire les consommations intermédiaires et les demandes des consommateurs il faut produire : euros d acier et euros d électricité. D Exercices d apprentissage Exercice 12 Exercice 13 7 Dans le plan muni d un repère on considère les points E 1; 15 etf 5 ; 1 3. L équation réduite de la droite ( EF ) s écrit sous la forme y = a x + b. Écrire un système où les deux inconnues sont a et b. Résoudre ce système par substitution ou par combinaison linéaire et donner l équation réduite de la droite ( EF ). Résoudre ce système, mis sous forme matricielle, à l aide d une calculatrice. 2y + z = 7 On considère le système suivant 6x + 6y + 2z = x + 6y + z = 15 Donner une écriture matricielle de ce système. Résoudre ce système en utilisant une calculatrice. c Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 ; + [ parf( x)= ax + b+ et ( C ) sa courbe représentative dans un repère du plan. x + 2 La courbe ( C ) passe par les trois points A 0; 7 B et D 2, 1; 7 4 ; Calculer les constantes a, b et c. En déduire l expression def( x) en fonction de x. 30 Séquence 1 MA04

31 Exercice 14 Exercice 15 Exercice 16 On considère le système suivant x + 2y + 3z+ 4t = 5 2x y + z t = 1. 3x + y 2z + 3t = 14 4x + 3 y z+ t = 13 Donner une écriture matricielle de ce système. Résoudre ce système en utilisant une calculatrice. Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35 h et payés 550 par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20 h et payés 220 par semaine. Le chef d entreprise dispose de 370 h de travail et d un budget de par semaine. On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes embauchées sous contrat B. Traduire les informations précédentes par un système de deux équations à deux inconnues. Écrire ce système sous forme matricielle et le résoudre. Donner le nombre de commerciaux embauchés : sous contrat A, sous contrat B. L économie simplifiée d un pays virtuel se décompose en trois secteurs : l agriculture, l industrie et les services. Pour produire 1 UM (unité monétaire) de produits agricoles il faut : 0,2 UM de produits agricoles, 0,4 UM de produits industriels. Pour produire 1 UM (unité monétaire) de produits industriels il faut : 0,2 UM de produits agricoles, 0,6 UM de produits industriels et 0,2 UM de services. Pour produire 1 UM (unité monétaire) de services il faut : 0,2 UM de produits industriels et 0,2 UM de services. La demande finale est de 100 UM de produits agricoles, 300 UM de produits industriels et 200 UM de services. On désigne par x, y, z les productions, en UM, du secteur agricole, du secteur industriel et du secteur des services. Les inconnues x, y, z vérifient un système (S) de trois équations linéaires à trois inconnues. Écrire le système (S). Donner la matrice technologique et en déduire une écriture matricielle du système (S). Calculer le niveau de production de chaque secteur permettant de satisfaire les consommations intermédiaires et les demandes finales. La demande finale en produits industriels baisse de 5 % alors que la demande finale dans le secteur des services augmente de 10 %. Calculer le niveau de production de chaque secteur permettant de satisfaire ces demandes. Séquence 1 MA04 31

32 5 Synthèse de la séquence Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres de dimension n p. Si n = p on dit que la matrice est une matrice carrée d ordre n. Une matrice unité (ou matrice identité) est une matrice carrée dont la diagonale principale est constituée de 1, les autres termes étant tous nuls Les matrices I2 = I , =, etc. sont des matrices unités Addition de matrices de même dimension : on additionne les éléments correspondants. Si les matrices A et B sont de même dimension alors A+ B = B+ A. Multiplication d une matrice A par un réel k : on multiplie tous les termes de A par k. La matrice A est la matrice opposée de A. Si A et B sont de même dimension alors k( A+ B) = ka+ kb. La matrice transposée de A, notée t A( ou A T ), s obtient en échangeant les lignes et les colonnes de A. x ( ) y = 2x + 3y + 5z. z nombre réel x x 6y 5z y = 7x + 2y + 4z z 8x + 9y + 3z A X A X Disposition pratique. x y z X x + 6y + 5z x + 2y + 4z x + 9y + 3z A A X 32 Séquence 1 MA04

33 = A B A B Expliquons le calcul donnant a 23 =12. On multiplie la 2 e ligne de A par la 3 e colonne de B. ( 2) ( 3) = = 12. Disposition pratique A B A B A B A B Dimension n p p m n m Le produit A B n existe pas toujours. En général A B B A. Pour toute matrice carrée A on a A I = I A= A (où I est la matrice unité de même ordre que A). ( A B) C = A ( B C). A ( B+ C) = A B+ A C et ( A+ B) C = A C + B C. Pour tout k réel, A ( kb) = ( ka) B = k( A B). Pour n entier et n 1, A n = A A... A A. n facteurs Si une matrice carrée A possède une matrice inverse, notée A 1, alors A A = A A= I. On a A 1 A. ( ) = Certaines matrices carrées n admettent pas de matrice inverse. Résolution d un système d équations linéaires (à l aide de la calculatrice). Tout système de n équations linéaires à n inconnues peut s écrire sous forme matricielle : AX = B. La matrice A est d ordre n alors que les matrices X et B sont des matrices colonnes de dimension n 1. Si la matrice A est inversible un tel système possède une solution unique et on obtient : X = A 1 B. Séquence 1 MA04 33

34 Matrices de Léontief Le modèle fermé de Léontief est un modèle linéaire de production, sans échange extérieur, qui satisfait à ses propres besoins. Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande). Donnons un tableau entrées-sorties pour 3 secteurs. Consommations intermédiaires S 1 S 2 S Total 3 Consommation finale (ou demande) Production S 1 c 11 c 12 c 13 c 11 +c 12 + c 13 d 1 = x (c 11 +c 12 +c 13 ) x S 2 c 21 c 22 c 23 c 21 +c 22 +c 23 d 2 = y (c 21 +c 22 +c 23 ) y S 3 c 31 c 32 c 33 c 31 +c 32 +c 33 d 3 = z (c 31 +c 32 +c 33 ) z Posons a a a A = a a a a a a = c c c x c y c z x c y c z x c y c z d 1 x =, D d2 et X = y. d z 3 A est la matrice des coefficients techniques (ou matrice des coefficients d échanges, ou matrice technologique). La relation matricielle X = AX + D s écrit aussi X AX = D, d où ( I AX ) = D (où I = I 3, matrice unité d ordre 3). Si ( I A ) est inversible, la matrice production X est telle que 1 X = ( I A) D. 34 Séquence 1 MA04

35 6 Exercices de synthèse Exercice I Exercice II Dans le plan muni d un repère on considère les points A( 2; 2, 5), B( 1; 5) et C( 3; 3). 2 Soit la parabole d équation y = ax + bx + c passant par ces trois points. Écrire un système de trois équations à trois inconnues qui sont a, b et c. Mettre ce système sous forme matricielle puis déterminer les valeurs de a, b et c. En déduire l équation de la parabole. Calculer les coordonnées du sommet K de la parabole. En janvier 2012 les clients d une banque se répartissent en deux catégories distinctes. I : les clients Internet. En janvier 2012, 92 % des clients de la banque sont des clients d agence et 8 % des clients sont des clients Internet. On admet que, chaque mois, 5 % des clients d agence deviennent clients Internet et inversement 1 % des clients Internet deviennent clients d agence. On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu un client ne peut faire partie des deux catégories. Notons a 1 le nombre de clients d agence en janvier 2012 et i 1 le nombre de clients Internet en janvier Le mois de janvier 2012 est de rang 1, le mois de février 2012 de rang 2, le mois de mars 2012 de rang 3, etc. Notons a n le nombre de clients d agence le mois de rang n et i n le nombre de clients Internet le mois de rang n. Désignons par ( an in ) la matrice ligne indiquant le nombre de clients respectifs le mois de rang n. La matrice ligne ( a1 i1 ) décrit donc l état initial des clients en janvier 2012, d où ( a1 i1) = ( ). Soit C la matrice définie parc = 095, 005,. 001, 099, Déterminer la matrice ligne ( a2 i2 ) et vérifier que : ( a2 i2) = ( a1 i1) C. Séquence 1 MA04 35

36 Exercice III Exercice IV n 1 On admet que, pour tout n 1, ( an in) = ( a1 i1) C. Calculer le nombre de clients d agence et le nombre de clients Internet en décembre 2012, en décembre 2015, en décembre 2022 et en décembre Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire? On considère la matrice magique G définie parg = 12 colonnec = et la matrice Déterminer la matrice G 1, inverse de la matrice G, et montrer que G 1 est une matrice magique. Comparer les constantes de G et de G 1. x Déterminer, à la calculatrice, la matrice colonne X = y telle quegx = C. z Le carré magique d Albrecht Dürer ( ) est un carré magique de constante 34, situé dans le coin supérieur droit d une gravure sur cuivre intitulée " Melancolia I" réalisée en La date se trouve dans les deux cases colorées du carré magique. Carré magique de Dürer Matrice D D = On considère la matrice D correspondant à ce carré magique. Que peut-on dire, d après la calculatrice, de l inverse de la matrice D? 16x + 3y + 2z+ 13t = 624 5x + 10y + 11z + 8t = 634 On veut résoudre le système (S) défini par 9x + 6y + 7z + 12t =634 4x + 15y + 14z+ t = 624 L1 L2 L3 L4 36 Séquence 1 MA04

37 Supposons que le système (S) possède une solution ( x ; y ; z ; t ). a. Montrer, en effectuant la soustractionl3 L2, que x + t = y + z. b. Écrire l équation obtenue en additionnantl 1 etl 2. En déduire que x + t = y + z = 37. c. Montrer, en utilisant par exemplel 4, que 3x + y = 69. En déduire que y, z et t peuvent s exprimer uniquement en fonction de x. d. On choisit x = 17. Déterminer alors les valeurs de y, z et t. e. Pour quelle valeur de x a-t-on x = z? f. Combien le système (S) admet-il de solutions? Exercice V À l accueil d un musée on peut lire les tarifs suivants : Adultes (12 ) ; Enfants (6 ) ; Étudiants (8 ). Voici les renseignements concernant les visites d une journée : nombre d étudiants ; " plein tarif", pour non présentation de leur carte d étudiant ; Déterminer le nombre d adultes, d enfants et d étudiants qui ont visité le musée ce jour-là. Exercice VI On suppose que l économie d un pays se décompose en trois secteurs : l acier, l électricité, la fabrication automobile. Toutes les productions et toutes les consommations sont données en unité monétaire (UM). Le tableau d échanges inter-industriels (ou TES) est le suivant : Production Consommations intermédiaires Consommations Acier Électricité Fabrication Total finales automobile Production Acier Électricité Fabrication automobile Séquence 1 MA04 37

38 Recopier et compléter le tableau entrées-sorties. a. Déterminer la matrice technologique, notée A, ainsi que le vecteur colonne F des consommations finales. b. Soit X le vecteur colonne des productions et C le vecteur colonne des consommations intermédiaires. Vérifier que AX = C et en déduire que AX + F = X. Vérifier que la matrice ( I A ) est inversible et exprimer X en fonction de A et de F. Les résultats seront arrondis à 0,01 près. Calculer les productions nécessaires pour satisfaire les nouvelles demandes dans les deux cas suivants : a. Les demandes dans les trois secteurs augmentent de 100 UM. b. La demande d acier augmente de 10 % alors que les deux autres demandes augmentent de 5 %. 38 Séquence 1 MA04