Combiner anticipations et optimisation : le modèle Black-Litterman

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1 Combiner anticipations et optimisation : le modèle Black-Litterman Université Paris 1, Panthéon-Sorbonne, IAE (Sorbonne Graduate Business School)

2 PLAN Les raisons du modèle 1 Les raisons du modèle 2

3 1. Raisons du modèle

4 Objectifs Les raisons du modèle 1 Dépasser les limites du modèle Markowitz qui est pratiquement inapplicable (portefeuilles trop concentrés ou sans logique apparente) 2 A contrario, le modèle Black-Litterman a des propriétés simples et intuitives 1 Le portefeuille de référence est le portefeuille de marché auquel on combine un portefeuille (représenté par un vecteur de poids) qui prend en compte les anticipations de l investisseur 2 Le poids mis sur le portefeuille exprimant les anticipations de l investisseur sera positif si les anticipations de l investisseur sont plus haussières que celles révélées par le portefeuille de marché 3 Ce poids est une variable d ajustement en raison de la confiance que l investisseur a dans ses anticipations ou en raison de l intensité de son anticipation haussière.

5 PB avec l approche Markowitz Les gestionnaires d actif se concentrent la plupart du temps sur des sous-segments de l univers accessible qu ils connaissent bien et où ils pensent pouvoir identifier : Des actifs sous évalués Un effet momentum qui leur serait favorable Des actifs à fort potentiel de croissance (gestion value ) PB! Le modèle de markowitz impose qu on ait des anticipations pour tous les actifs de l univers d investissement! Par ailleurs les gérants ont plutôt en tête un raisonnement en termes de poids que d équilibre rentabilité / contribution au risque du portefeuille : or l approche Markowitz génère souvent des portefeuilles extrêmes très concentrés et peu intuitifs pour les gérants sans ancrage business Enfin, user de l approche Markowitz leur parait souvent peu récompensé par des niveaux de performance satisfaisants.

6 Ce dont on a besoin Les raisons du modèle 1 Un univers d investissement de référence et identifier la capitalisation relative de chaque classe d actifs. Ca peut être délicat... 2 Des données historiques relativement longues sur cet univers (ainsi que sur le taux sans risque) pour estimer une matrice de covariances 3 Des opinions (views) dans la terminologie de BL pour calculer de nouvelles espérances de rentabilité qui en tiennent compte.

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8 2.

9 Références Les raisons du modèle L exemple développé ici est celui proposé par He et Litterman (1999). Pour ceux qui souhaiteraient retrouver cet exemple détaillé avec les éléments formels du modèle : 1 He G., Litterman R., 1999, The Intuition Behind Black-Litterman Model Portfolios, Investment Management Research Goldman Sachs Quantitative Resources Group 2 Walters J., 2009, The Black-Litterman Model In Detail, unpublished working paper

10 PB liés à l optimisation : un exemple (1) L investisseur peut choisir des actifs action sur les marchés Allemand, Canadien, Français, Autrichien, Japonnais, USA et GB Les données sont présentées dans les tableaux ci-dessous ainsi que dans la feuille de calcul BL_OB.ods sur mon site web.

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12 3.1

13 PB liés à l optimisation : un exemple (1) L investisseur n a ici qu une anticipation sur laquelle il fonde quelques espoirs : le compartiment actions Allemand va sur-performer les autres compartiments action européens de 5% dans l année qui vient. L investisseur n ayant pas d idée très précise sur ce que pourrait faire les autre compartiments action, il commence par fixer de façon arbitraire le niveau d anticipation de rentabilité à 7% pour tous les marchés et abaisse les anticipations pour la France et GB de 2.5% et augmente celui de l Allemagne de +2.5%

14 PB liés à l optimisation : un exemple (2) Il se livre ensuite à une optimisation à la Markowitz PB ici! Utiliser les mêmes anticipations de rentabilité par pays ne compense pas pour le risque de chaque compartiment et entraîne la création de portefeuilles vraiment extrêmes! Par exemple, s il utilise des anticipations de rentabilité identiques pour tous les compartiments il obtient un portefeuille -22.3% Allemagne et 47.5% en Australie. S il applique son ajustement +2.5% Allemagne et -2.5% GB et FR, il obtient alors des portefeuilles radicalement différents avec un poids pour la France de près -30% ( non-sens!)

15 Point de départ du modèle : rentabilités d équilibre (1) On accepte les fondements du CAPM (les prix s ajustent pour que la rentabilité de tous les actifs à l équilibre soit telle que l offre des actifs soit égale à la demande) BL montrent que la meilleure façon de faire consiste à utiliser le portefeuille de marché comme point de départ dans le processus de construction de portefeuille Ce portefeuille permet d extraire les rentabilités implicite d équilibre (méthode de Fisher Black, voir ci-après) Avantage : on peut utiliser ici un portefeuille de marché (indice) cap-weighted qui est (quasi) optimal dans une optique Markowitz et donc pour un investisseur qui utilise la démarche moyenne-variance.

16 Comment déterminer les rentabilités d équilibre? (2) La logique utilisée est celle d une procédure d optimisation inversée. On part de la fonction d utilité classique : U(P) = E(R P ) 1 2 δσ2 P En identifiant chaque terme, on peut réécrire : U(P) = t wπ 1 2 δt wσw Pour maximiser l utilité (fonction concave, un seul optimum), on va chercher la valeur de w permettant de rendre nulle la dérivée première de U : U w = Π δσw Il vient que : Π = λσw mkt (1)

17 Comment intégrer ses opinions dans les E(R)? (2) Il y a plusieurs façon de faire! Dans notre cas une solution possible consisterait à : 1 Augmenter de 5% la rentabilité implicite du compartiment actions allemandes par rapport aux rentabilités implicites d équilibre issues du portefeuille de marché pour la France et le Royaume Uni. 2 La somme des rentabilités pour tous les pays européens doit rester inchangée (sinon c est toute l Europe qui sur-performe et non juste l Allemagne) par rapport à ce qu indique la rentabilité implicite issue de l indice. 3 Le delta que les rentabilités implicite d équilibre suggère entre la France et GB reste également inchangé.

18 Résolution Les raisons du modèle Soient r F, r U, r G et w F, w U, w G les rentabilités implicites et poids respectifs dans le portefeuille de marché. Soient r F, r U, r G les rentabilités ajustées par des anticipations de l analyste. 1 Même écart après injection des vues entre la France et le R.Uni : r U = r F + (r U r F ) 2 Surperformance de l Allemagne : r G = ( (w F r F + w U r U)/(w R + w U ) ) Somme des rentabilités pondérées invariante : w F r F + w U r U + w G r G = w F r F + w U r U + w G r G Par identification et simplification on obtient : r F = 7.59%, r U = 6.00%, r G = 11.47%

19 Résolution Les raisons du modèle

20 Résolution (suite) Les raisons du modèle On peut alors appliquer la procédure d optimisation de Markowitz. Le graphique indique d une part ce qu on obtiendrait avec les seules rentabilités implicites, sans les modifier et ce qu on obtient en utilisant l ajustement BL Ici, le résultat a un sens pour le gestionnaire! Toutefois, l ajustement des poids pour l Autriche, le Canada (négatifs) et pour le Japon et les USA (positifs) sont TRES étranges, si on se souvient que l investisseur n avait AUCUNE anticipation particulière sur ces pays... Cela doit être du aux manipulations sur les E(R) que nous avons fait un peu na ivement. Le modèle de BL va nous permettre de faire mieux!

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22 3.2 Le modèle Black-Litterman par l application

23 Allocation BL : le modèle (1) Plutôt que d imposer au gestionnaire d avoir des anticipations sur tous les actifs (un vecteur d E(R)), le modèle BL va se contenter de lui demander son opinion (ou ses opinions) sur un portefeuille! Dans le modèle Black-Litterman l opinion selon laquelle les actions Allemandes sur-performeront les autres actions européennes se traduit par une espérance de rentabilité positive sur un portefeuille fait d une position longue sur les actions allemandes et une position courte (pondérée par les capitalisations de marché respectives) des autres actions européennes.

24 Allocation BL : le modèle (2) 1 Sans benchmark ni contraintes, le portefeuille final identifié par le modèle de BL est très intuitif! Il correspond simplement à des écarts de capitalisations anticipés par le gestionnaire par rapport aux capitalisations relatives (poids) du portefeuille de marché (ou de l indice servant de proxy) 2 Le modèle BL va permettre d énoncer de nouveaux poids basés sur l opinion du gestionnaire ET sur son degré de confiance dans cette opinion

25 Comment exprimer les opinions Trois matrices sont nécessaires : Ω 1 P est une matrice à K lignes (autant que d opinions) et N colonnes (autant que d actifs). Sa dimension est donc K N. Chaque valeur dans la matrice est un poids correspondant à la déviation qu on envisage par rapport aux rentabilités d équilibre. La somme des poids par ligne est donc nécessaire égale à 0! Q est une matrice de rentabilité par opinion. Elle est donc de dimensions K 1 Ω est une matrice K K représentant les covariances des opinions. C est une matrice diagonale car ces opinions sont indépendantes les unes les autres (non corrélées). correspond à la confiance de l investisseur dans ses opinions.

26 Dans notre exemple Les raisons du modèle La première opinion consiste à dire que la France et le RU pourraient sous-performer de 5% l Allemagne. La seconde que le Canada devrait sur-performer les USA de 3%. Le cas où seules les opinions Allemagne France UK sont retenues est également traité dans ma page de calcul (mais non détaillé ci-dessous) P = Notez que = 5.2% (5.2%+12.4%) et = 12.4% (5.2%+12.4%)

27 Dans notre exemple (suite) Q = ( ) Le degré de confiance est donné par la diagonale de la matrice Ω ( ) Ω = Celle-ci est simplifiée ainsi ( ) Ω =

28 Distribution des opinions La distribution conditionnelle de la moyenne et de la variance dans l espace des opinions est alors : P(B A) N(Q, Ω) Remarque : Il y a plusieurs façons de calculer Ω, la variance des opinions qui sera d autant plus élevée que les investisseurs seront incertains de ces dernières (seront moins confiants)! On utilise la version proposée par He et Litterman (dite méthode proportionnelle)

29 Comment calculer Ω Les raisons du modèle Ω se calcule en utilisant τ! τ est le degré d incertitude qu on a sur les rentabilités d équilibre issues du CAPM (c est une particularité du modèle BL) Ω = τ t PΣP

30 Estimation du modèle (1) Notations : Il y a N actifs sur le marché Le portefeuille de marché est noté w eq ; c est un vecteur colonne (1 N) Π est un vecteur (1 N) des rentabilités d équilibre implicites Le taux d aversion au risque de l agent représentatif est noté δ (dans notre cas, δ = 2.5) La matrice de covariance des rentabilités historiques : Σ (matrice N N) ; la procédure d estimation de cette matrice peut être sophistiqué (par exemple en favorisant les observations récentes au détriment des plus anciennes. τ est le degré d imprécision attribué aux rentabilités d équilibre P est la matrice K N des K opinion ou vues sur le marché Ω est la mesure d imprécision des opinion ou vues (c est une matrice de covariance K K) Q est un vecteur de dimension K portant les anticipations de rentabilités liées aux opinions

31 Les équations maîtresses Incorporer les opinions dans les rentabilités d équilibre : E(r) post = Π + ((τσ)p ( τ (P ΣP) + Ω ) 1 (Q P Π )) Calculer la nouvelle matrice de covariance : Σ post = Σ + τ(σ (ΣP) ( τp ΣP + Ω ) 1 (τp Σ)) Calculer les nouveaux poids : w post = (δσ post ) 1 E(r) post

32 Solution : E(r) posterior Les raisons du modèle

33 Solution : w posterior Les raisons du modèle

34 Solution : écarts / rentabilités d équilibre On voit que la solution est intuitive par rapport aux anticipations formulées.