Fonction Filtrage FILTRER. Un signal périodique quelconque a(t) peut être décomposé en une somme :

Transcription

1 Fonction Filtrage Dans le cas du traitement des signaux analogiques, la fonction filtrage permet de privilégier ou d éliminer certaines fréquences indésirables d un signal d entrée au moyen de montages appelés filtres. Exemple d application : a fréquence de 50Hz présente sur le secteur constitue très souvent un signal parasite vis à vis du fonctionnement de l électronique d un système technique ; il convient alors, par l intermédiaire de filtres, de supprimer ou d atténuer ce signal. es filtres se présentent sous différentes formes. orsqu il n y a pas d amplification du signal d entrée par un élément actif (transistor, I), il est dit «passif» ; dans le cas contraire, il est «actif». Signal d entrée Signal d entrée + fréquences FITE filtré («nettoyé» des indésirables fréquences parasites). NOTION DE SPETE D UN SIGN Un signal périodique quelconque a(t) peut être décomposé en une somme : - d une grandeur constante égale à la valeur moyenne du signal d origine. - de signaux sinusoïdaux d amplitude et de fréquence liées au signal a(t). On distingue : le signal fondamental (de fréquence identique au signal initial). les harmoniques (de fréquences supérieures au signal initial). Un signal sinusoïdal u(t) d amplitude U et de fréquence f a pour expression : u(t) = U 2 sin (2πf t + ϕ) déphasage amplitude max. fréquence (pulsation : ω = 2πF) On peut alors représenter le spectre de ce signal dans un repère. On représente les amplitudes des sinusoïdes sur l axe des ordonnées et les fréquences sur l axe des abscisses. mplitudes Â1 moy 0 f1 f2 f3 f4 f5 Fréquences e signal dont le spectre est décrit ci-dessus aurait alors pour expression : a(t) = moy + Â1 sin (2πf1 t + ϕ1) + Â2 sin (2πf2 t + ϕ2) +. + Ân sin (2πfn t + ϕn) Voir exemple : Electrotechnique et électronique industrielle, Tome2, page 66. Fonction filtrage ours Page 1 sur 9

2 . UTIISTION DES NOMES OMPEXES EN EETONIQUE 1. eprésentation des nombres complexes toute tension sinusoïdale u(t)=u 2 cos (ωt + ϕ) on peut associer un nombre complexe noté U :- à U, valeur efficace de la tension u(t). - d argument égal à ϕ, phase initiale de u(t). de module égal Dans le plan complexe, M représente l image de ce nombre complexe U qui peut s écrire : U = [ U, ϕ ] I Différentes expressions d un nombre complexe Z de module ρ et d argument θ M Z = [ ρ, θ ] = ρ e jθ U Z = a + j b ; avec a = ρ cos θ et b = ρ sin θ ϕ ρ = a²+b² et tan θ = b / a P P E S 0 em : j² = -1 ; 1 / j = -j O : axe des parties réelles ; OI : axe des parties imaginaires. 2. Impédances complexes impédance d un circuit est la grandeur qui est pour les signaux alternatifs, l équivalent de la résistance pour les signaux continus. Elle se désigne par Z et s exprime en Ohm comme une résistance mais elle diffère de celle-ci car sa valeur dépend de la fréquence du signal alternatif. impédance complexe définit la valeur de l impédance et le déphasage produit. En notation complexe, la loi d Ohm appliquée à un dipôle passif s écrit : U = Z I ; Z représente l impédance complexe du dipôle I = Y U ; Y représente son admittance : Y = 1 / Z a) Elément résistif Pour un élément résistif, il n y a pas de déphasage du courant par rapport à la tension. nsi : Z = et Z = [Z, 0] O I U b) obine parfaite Un bobine (ou self), de résistance négligeable produit un déphasage de 90 entre le courant et la tension, le courant étant en retard sur la tension. insi : Z = ω et Z = jω = [Z, π/2] alculer l impédance d une bobine d inductance 0,1H soumise à une tension alternative de 20V, 50Hz. alculer l intensité du courant qui la traverse. U π/2 O éponses : I Fonction filtrage ours Page 2 sur 9

3 c) ondensateur Un condensateur produit un déphasage de 90 du courant sur la tension, le courant étant en avance sur la tension. insi : Z = 1 / ω et Z = 1 / jω = -j / ω = [Z, - π/2] O - π/2 I alculer l impédance d un condensateur de capacité 100µF soumis à une tension alternative de 20V, 50Hz. alculer l intensité du courant qui le traverse. U éponses : 3. ssociation de dipôles passifs De la même façon que l on calcule une résistance équivalente (de résistances en série ou en dérivation), le calcul d une impédance complexe équivalente vaut : - la somme des impédances complexes lorsque les éléments (, ou ) sont branchés en série, - la somme des admittances complexes lorsque les éléments sont branchés en parallèle. Exercices a) Une résistance de 800Ω, une inductance de 1,1H et une capacité de 2,2µF associées en série sont parcourues par un courant sinusoïdal de pulsation ω = 2πF = 10 3 rd/s et de valeur efficace 100 m. Quelle est l impédance de ce circuit? éponses : b) Donner l impédance complexe des dipôles ci-dessous : éponses : éponses : éponses : Fonction filtrage ours Page 3 sur 9

4 éponses : éponses : éponses : éponses : éponses :. ETUDE DES FITES étude d un filtre consiste à : - définir sa fonction de transfert v = Vs / Ve - étudier l évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquence du signal d entrée - représenter les variations du gain G = 20 og v et du déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée en fonction de la fréquence Diagramme de ode en gain. G(d) Exemple : ωc ω (rd/s) 0 gain constant diminution du gain à partir de ωc Fonction filtrage ours Page 4 sur 9

5 1. Méthode de calcul Très souvent, un filtre passif se résume à un circuit du type : Ze : Z1 Zs : Impédance Ve Z2 Vs Impédance vue du vue de la générateur charge FITE Pour une mise en œuvre optimale de ces circuits, il faut que l impédance du générateur d entrée soit faible et que l impédance de charge du filtre soit très élevée. On peut ainsi appliquer la règle du pont diviseur de tension : Vs = Ve Z2 Z1+Z2 2. eprésentation graphique Pour définir le type du filtre, le diagramme de ode nous informe sur la variation du gain en fonction de la fréquence d entrée. Pour constituer ce diagramme, on s intéressera particulièrement à la construction des asymptotes en effectuant les calculs avec les pulsations : ω = 0 ; ω = + ; ω = ωc (pulsation de coupure à 3d) ; et si nécessaire : 10ωc, 100ωc. représentant les décades ; 2ωc, 3ωc. représentant les octaves. Pour les filtres actifs ou passifs du premier ordre, la variation du gain ne peut excéder 20d par décade. On notera Fc, la fréquence de coupure à laquelle correspond une atténuation du gain maximum de 3d. 3. Quelques formules à connaître mplification en tension : v = Vs / Ve Module de v : v = Vs / Ve rgument de v : rg(v) = rg Vs rg Ve Module d un nombre complexe z = a + jb : ρ = a² + b² rgument d un nombre complexe z = a + jb : ϕ = arc tan (b/a) Gain (d) :G = 20 og v v = 10 (G/20) og 0 = - ; og 1 = 0 ; og = ; og ( x ) = og + og rc tan 0 = 0 ; rc tan = π/2 ; rc tan - = - π/2 j² = -1 ; 1/j = -j Si Z = a + jb alors Z* (conjugué de Z) = a jb ; Y = 1 / Z = 1/(a + jb) Fonction filtrage ours Page 5 sur 9

6 D. ES DIFFEENTS FITES Suivant la bande passante (bande de fréquence pour laquelle l affaiblissement est égal à 3d), les filtres sont classés en 4 catégories : passe-bas, passe-haut, passe-bande et réjecteur de bande (ou coupe-bande). 1. e filtre passe-bas du 1 ordre : PSSIF TIF Ve Vs Fonction de transfert (ou transmittance) : Vs / Ve Diagramme de ode : réponse en gain aractéristiques ande passante : W = Fréquence de coupure fc = tténuation : ande passante : W = Fréquence de coupure fc = tténuation : Fonction du filtre passe-bas Fonction filtrage ours Page 6 sur 9

7 2. e filtre passe-haut du 1 ordre : PSSIF TIF Ve Vs Fonction de transfert (ou transmittance) : Vs / Ve Diagramme de ode : réponse en gain aractéristiques ande passante : W = Fréquence de coupure fc = tténuation : ande passante : W = Fréquence de coupure fc = tténuation : Fonction du filtre passe-haut Fonction filtrage ours Page 7 sur 9

8 3. Etude qualitative des filtres passe-bande et coupe-bande : es deux filtres, dont l étude quantitative serait moins évidente que celle effectuée précédemment, permettent : de privilégier une bande de fréquence (comprise entre f b, la fréquence basse et f h, la fréquence haute) dans le cas du filtre passe-bande, d atténuer une bande de fréquence dans le cas du filtre coupe-bande. Filtre passe-bande Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) Diagramme de ode : réponse en gain G(d) ande de fréquence privilégiée G(d) ande de fréquence atténuée F F F b F o F h F b F o F h Fonction des filtres e filtre passe-bande permet de laisser passer (d amplifier ou d atténuer le moins possible) les signaux dont la fréquence est comprise entre F b et F h. F o représente la fréquence propre du filtre. e filtre réjecteur de bande (ou aussi appelé coupebande) permet d atténuer les signaux dont la fréquence est comprise entre F b et F h. On se propose d étudier la structure ci-dessous : ette structure est réalisée à partir de 2 filtres dont les caractéristiques sont : Ve Vs 22 = 1011.I.. est considéré comme idéal. FITE 1 FITE 2 a) Donner la nature des filtres 1 et 2. b) Donner le régime de fonctionnement de l.i.. insi câblé, quelle est sa fonction? c) T1 étant la transmittance du filtre 1, T2 celle du filtre 2, Donner la transmittance Vs/Ve en fonction de T1 et T2. d) Proposer un diagramme asymptotique de gain de l ensemble. e) Donner la nature du filtre ainsi constitué. Fonction filtrage ours Page 8 sur 9

9 4. Etude expérimentale : On utilise la structure ci-dessous afin de réaliser un filtre : Ve /2 2 Vs Structure double T. a fonction de transfert Vs/Ve est : Vs = 1 - ²²ω² _ Ve 1 + jω - ²²ω² POGMME SOUS SPIE a) Entrer le programme ci-contre. b) Identifier chacun des éléments sur le schéma structurel. Préciser les nœuds. c) Observer l analyse fréquentielle puis déterminer le type du filtre. En donner les critères. d) elever la valeur de la fréquence Fc particulière. quoi correspond-elle? e) Modifier les paramètres du filtres : =10kΩ ; =100nF =10kΩ ; =10nF =1kΩ ; =100nF elever Fc pour chaque cas. f) onclusion. * Terminale S T - 09/98 * Filtre passif * en double T * Définition du schéma N N K K N * Définition du signal d'entrée VIN 1 0 PW 0 0 1U 0 2U 1 20U U 0 1 * Définition de l'oscilloscope. DE MEG.TN.2U 40U.PINT VM(3) VP(3) VM(1) VP(1).POT VM(3) VP(3).PINT TN V(3) V(1).POT TN V(3) V(1).END E. QUEQUES PEISIONS POPOS DES FITES ordre du filtre détermine son efficacité. Elle est définie par la pente des asymptotes. Exemple : Filtre du 1 ordre : 20 d/décade Filtre du 2 ordre : 40 d/décade Filtre du 3 ordre : 60 d/décade Il est possible, en associant plusieurs filtres en cascade, d augmenter l ordre d un filtre. insi, deux filtres passe-bas du premier ordre mis en cascade constituent un filtre passe-bas du 2 ordre. Fonction filtrage ours Page 9 sur 9