Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites

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1 I- Les trois lois de Kepler : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement autour du Soleil que pour un satellite autour d'un astre. Première loi de Kepler : la loi des orbites : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de gravité d'une planète est une ellipse dont le centre de gravité du Soleil est l'un des foyers. 1- Réécrire la 1ère loi dans pour le système Terre-Lune. 2- Schématiser la situation. Remarque : Dans la plupart les situations étudiées en TS, les deux foyers de l'ellipse sont très proches et la trajectoire sera considérée comme circulaire. Deuxième loi de Kepler : loi des aires : Le segment reliant le centre de gravité du Soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. 3- Donner une manifestation dans la vie quotidienne de la loi des aires. 4- Indiquer sur le schéma de la question 2 à quel moment la vitesse de la Lune est maximale, à quel moment elle est minimale. Troisième loi de Kepler : loi des orbites : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la longueur a du demi-grand axe est égal à une même T 2 constante : a =constante 3 II- Application : Etude de quatre satellites terrestre artificiels : Données : Masse de la Terre : M T =5, kg Rayon de la Terre : R T =6378km Masse du satellite étudié : notée ms Altitude du satellite étudié : notée h Constante de gravitation universelle : G=6, SI 1- La premier satellite artificiel : Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée dès 1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques. 1.a- Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma. 1.b- Quel est le référentiel le plus adapté pour étudier le mouvement du satellite par rapport à la Terre? On considérera ce référentiel comme galiléen pour toute la suite du problème. 1.c- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.

2 2- Les satellites artificiels à orbites circulaires : Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique : Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes et astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100 minutes. 2.a- Quel repère est le plus adapté à l'étude de ce mouvement? Rappeler l'expression du vecteur accélération dans ce repère. 2.b- En reprenant les résultats de la partie 1 et de la question précédente, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme. Pouvait-on retrouver ce résultat en utilisant la deuxième loi de Kepler? 2.c- Exprimer littéralement (= donner la formule avec les lettres) sa vitesse en fonction des grandeurs M T, R T, h et G. Faire le calcul. 2.d- Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire. Faire le calcul de la période, le résultat est-il cohérent avec les données de l'exercice? Cas d'un satellite géostationnaire : Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires. 2.e- Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire? On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre : 2.f- Montrer que l'une de ces trajectoire est incompatible avec les lois de la mécaniques. 2.g- Quelle est la seule trajectoire que peut correspondre au satellite géostationnaire? Justifier. 2.h- Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire? 2.i- Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire en utilisant le résultat de la question 2.d. 3- Les satellites artificiels à orbites elliptiques : Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36000km et 500km. 3.a- Sous souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur le schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36000km et 500km données dans le texte. 3.b- En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'hipparcos sur son orbite n'est pas constante. 3.c- Préciser en quel(s) point(s) de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.

3 Correction : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites I- Les trois lois de Kepler : Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement autour du Soleil que pour un satellite autour d'un astre. Première loi de Kepler : la loi des orbites : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de gravité d'une planète est une ellipse dont le centre de gravité du Soleil est l'un des foyers. 1- Réécrire la 1ère loi dans pour le système Terre-Lune. La trajectoire du centre de gravité de la Lune est un ellipse dont le centre de gravité de la Terre est l'un des foyers. 2- Schématiser la situation. Remarque : Dans la plupart les situations étudiées en TS, les deux foyers de l'ellipse sont très proches et Deuxième loi de Kepler : loi des aires : Le segment reliant le centre de gravité du Soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. la trajectoire sera considérée comme circulaire. 3- Donner une manifestation dans la vie quotidienne de la loi des aires. Le patineur, quand on est sur une chaise qui tourne. 4- Indiquer sur le schéma de la question 2 à quel moment la vitesse de la Lune est maximale, à quel moment elle est minimale. Troisième loi de Kepler : loi des orbites : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la longueur a du demi-grand axe est égal à une même T 2 constante : a =constante 3 II- Application : Etude de quatre satellites terrestre artificiels : Données : Masse de la Terre : M T =5, kg Rayon de la Terre : R T =6378km Masse du satellite étudié : notée ms Altitude du satellite étudié : notée h Constante de gravitation universelle : G=6, SI 1- La premier satellite artificiel : Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée dès 1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques. 1.a- Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma.

4 1.b- Quel est le référentiel le plus adapté pour étudier le mouvement du satellite par rapport à la Terre? On considérera ce référentiel comme galiléen pour toute la suite du problème. référentiel géocentrique. 1.c- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite. 2- Les satellites artificiels à orbites circulaires : Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique : Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes et astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100 minutes. 2.a- Quel repère est le plus adapté à l'étude de ce mouvement? Rappeler l'expression du vecteur accélération dans ce repère. On choisit comme repère t et n (normal, tangent). Dans ce repère : a= dv dt t + v2 (R T +h) n 2.b- En reprenant les résultats de la partie 1 et de la question précédente, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme. Pouvait-on retrouver ce résultat en utilisant la deuxième loi de Kepler? D'après la 2 nd loi de Newton, l'accélération n'a pas de composante tangentielle, par conséquent dv/dt=0, le mouvement est circulaire uniforme. D'après la 2ème loi de Kepler : Si la trajectoire est circulaire, alors pour des durées égales, le segment TS balaie des aires égales uniquement si la vitesse est constante. 2.c- Exprimer littéralement (= donner la formule avec les lettres) sa vitesse en fonction des grandeurs M T, R T, h et G. Faire le calcul. Par identification à partir de la question 1.c- et 2.a-, on a : v 2 (R T +h) = G.M T (R T +h) 2

5 soit : v= G.M T (R T +h) (à savoir faire absolument!) 2.d- Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire. Faire le calcul de la période, le résultat est-il cohérent avec les données de l'exercice? T = distance parcourue/vitesse T = 2 π( R T+h) G.M =2 π ( R T +h) 3 G.M T T (R T +h) pour retrouver la 3ème loi de Kepler, on élève au carré ( R T 2 =4π 2 T +h) 3 T 2 G.M T (R T +h) = 4 π2 on retrouve bien la 3ème loi car on a bien une constante 3 G.M T Application numérique pour déterminer la période : T =2π ( R T +h) 3 =2 3,14 ( ) 3 G.M T 6, =5800s soit 96min, on retrouve bien les 100min 5, de l'énoncé Cas d'un satellite géostationnaire : Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires. 2.e- Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire? Satellite fixe de le référentiel terrestre. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre : 2.f- Montrer que l'une de ces trajectoire est incompatible avec les lois de la mécaniques. La situation 2 n'est pas bonne, car pour un mouvement circulaire l'accélération est centripète. Or d'après la 2eme loi de Newton, l'accélération a même sens et même direction que la résultante des forces, ici l'attraction de la terre. Dans cette situation, accélération et force n'ont pas la même direction, elle est donc impossible. 2.g- Quelle est la seule trajectoire que peut correspondre au satellite géostationnaire? Justifier. Le satellite doit être fixe par rapport à la Terre, donc il doit toujours avoir la même vue sur la Terre, la figure 3 ne correspond pas à un satellite géostationnaire. La figure 2 est la bonne, le satellite est toujours au dessus du même point de l'équateur,selon la même verticale, il suit le mouvement de la Terre. (c'est la seule configuration possible pour un satellite

6 géostationnaire). 2.h- Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire? La période de révolution d'un satellite est égal à la période de rotation de la Terre. 2.i- Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire en utilisant le résultat de la question 2.d. On repart de cette expression : T 2 =4π 2 ( R T +h) 3 G.M T ( R T +h) 3 = T 2 G M T ( R 4 π 2 T +h)=[ T 2 1 /3 G M T ] 4 π 2 h=[ T 2 1/3 G M T ] R 4 π 2 T Application numérique : h=[ , , ,14 2 ] 1/ =3, m=35800km 3- Les satellites artificiels à orbites elliptiques : Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36000km et 500km. 3.a- Sous souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur le schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36000km et 500km données dans le texte. 3.b- En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'hipparcos sur son orbite n'est pas constante. Durant le même laps de temps, l'aire balayé par TS doit être la même. Donc si la planète est plus loin, la vitesse est plus faible. à faire sur le schéma 3.c- Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale. La vitesse est maximale au point le plus proche de la Terre 500km et minimale au point le plus éloigné 36000km Exercices intéressants pour ce chapitre :

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