ANGLES ET ROTATIONS. Rappel : un cercle de rayon 1, orienté, sur lequel est fixé un point " origine I " est appelé trigonométrique.

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1 ANGLES ET RTATNS Rappel : n cercle de rayon 1, orienté, sr leqel est fixé n point " origine " est appelé trigonométriqe. + À tot point d cercle trigonométriqe, on associe ne famille de nombres réels appelés abscisses crilignes de : Si x est l'ne d'elles, totes les atres sont de la forme x + 2kπ (k ). l existe ne et ne sele abscisse criligne appartenant à l'interalle ] π ; π]. Sa aler absole est égale à la longer d "petit" arc géométriqe d'extrémités et. 1) Angles géométriqes et angles orientés Un angle géométriqe est tojors positif. Un angle orienté pet être négatif ; cela dépend de l'orientation choisie. Exemple : Si l'orientation choisie est le sens trigonométriqe, on a : Angles géométriqes : DAC = CAD = π A π B Angles orientés (angle entre 2 ecters) ( AC, AD ) = π et ( AD, AC ) = π D C (mesres principales) Remarqe : n angle a ne infinité de mesres. Sr la figre ci-desss, on arait p écrire : ( AD, AC ) = 7 π et ( AC, AD ) = 5 π Totes les mesres s'obtiennent en ajotant 2kπ (k ). n note alors : ( AD, AC ) = π (2π) et ( AC, AD ) = π (2π) La sele mesre de l'angle appartenant à l'interalle ] π ; π] est appelée mesre principale. En prenant la aler absole de la mesre principale de l'angle orienté, on obtient l'angle géométriqe. Relation de Chasles aec les angles Por tos ecters non nls,, w, on a la relation siante (dite de Chasles) : (, ) + (, w ) = (, w ) (2π) llstration : (Cette relation est admise à notre niea) w Angles et rotations Page 1 G. CSTANTN

2 Variations : on a les relations siantes : (, ) = (, ) (2π) (, ) = (, ) + π (2π) (k, k ) = (, ) (2π) (por tot k 0) En particlier (k = 1) : (, ) = (, ) (2π) Démonstrations de ces trois relations (à partir de la relation de Chasles) D'après la relations de Chasles, on a : (, ) + (, ) = (, ) (2π) r, (, ) = 0 (2π), d'où : (, ) = (, ) (2π) D'après la relations de Chasles, on a : (, ) + (, ) = (, )(2π) r, (, ) = π (2π), d'où : r, d'après ce qi précède : (, ) = (, ) + π (2π) (, ) = (, ) (2π) (, ) = (, ) + π (2π) Remarqe : comme π = π (2π), on a assi : (, ) = (, ) π (2π) En tilisant dex fois la relation de Chasles : (k, k ) = (k, ) + (, ) + (, k ) (2π) Cas 1 : k > 0. Dans ce cas, les ecters et k sont de même sens, donc (k, ) = 0 (2π) De même, (, k ) = 0 (2π). Cas 2 : k < 0. (k, k ) = (, ) (2π) Dans ce cas, les ecters et k sont de sens opposés, donc (k, ) = π (2π) De même, (, k ) = π (2π). Donc (k, ) + (, k ) = π + π = 0 (2π) (k, k ) = (, ) (2π) Angles et rotations Page 2 G. CSTANTN

3 Application : ABC est n triangle de sens direct. Démontrer qe la somme des mesres de ses angles orientés est égale à π. Notons θ = ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) Comme ( AB ; AC ) = ( BA ; CA ), on pet écrire : θ = ( BC ; BA ) + ( BA ; CA ) + ( CA ; CB ) (2π) Et d'après la relation de Chasles : θ = ( BC ; CB ) (2π) θ = π (2π) B A C Bases et repères orthonormés (o orthonormax) directs et indirects Un repère (, i, j ) (o ne base ( i, j )) est orthonormal(e) direct lorsqe : i = j = 1 et ( i, j ) = π 2 (2π) Un repère (, i, j ) (o ne base ( i, j )) est orthonormal(e) indirect lorsqe : i = j = 1 et ( i, j ) = π 2 (2π) 2) Cosins et sins d'n angle orienté de dex ecters Rappel : cosins et sins sr le cercle trigonométriqe : Définition : Soit n point d cercle trigonométriqe tel qe x soit ne mesre en radian de l'angle orienté (, ). Alors : sin x J cos x est l'abscisse de dans le repère (,, J ) sin x est l'ordonnée de dans ce même repère. cos x Cosins et sins de l'angle (, ) lorsqe et sont des ecters qelconqes ls sont définis comme ceci : soit n point d plan, et C le cercle trigonométriqe de centre. n ramène les ecters et à des ecters nitaires (c'est à dire de norme 1) en posant : = et = Soient le point de C tel qe =, J le point de C tel qe (, J ) = π 2 (2π). Soit, enfin, le point de C tel qe =. J sin ' ' n définit alors : cos cos (, ) comme étant l'abscisse de dans le repère (,, J ) sin (, ) comme étant l'ordonnée de dans ce même repère. Angles et rotations Page G. CSTANTN

4 ) Rotations Définition : Soit n point d plan. La rotation r de centre et d'angle α transforme n point en n point image ' tel qe : ' = et (, ' ) = α (2π) Remarqes : L'image d centre est (on dit qe le point est inariant). ' Les rotations d'angle α = π 2 Les rotations d'angle α = π 2 sont appelées qarts de tor direct. sont appelées qarts de tor indirect. La rotation de centre et d'angle α = π est la symétrie centrale par rapport à. n note parfois r ( ; α) la rotation de centre et d'angle α. Exemple : ABCD est n carré de sens direct de centre. Soit r A la rotation de centre A et d'angle π 2 et r ne rotation de centre et d'angle α. 1. Déterminer r A (A) ; r A (B) ; r A (D) 2. Comment choisir α por aoir r (A) = B? Comment choisir α por aoir r (A) = C? Propriétés de conserations Les rotations conserent : les distances le milie d'n segment les angles orientés l'alignement le parallélisme l'orthogonalité Actions sr les figres Une rotation transforme : ne droite en ne droite n cercle en n cercle de même rayon n triangle en n triangle de même natre n qadrilatère en n qadrilatère de même natre Angles et rotations Page 4 G. CSTANTN

5 Composition de dex rotations Soient r 1 et r 2 dex rotations. La transformation qi à tot point d plan associe le point ' tel qe ' = r 2 (r 1 ()) est appelée rotation composée de r 1 et r 2. n la note r 2 o r 1. Théorème 1 : Lorsqe les dex rotations r 1 et r 2 ont le même centre, r 2 o r 1 est la rotation de centre et d'angle α 1 + α 2 où α 1 et α 2 désignent les angles respectifs des rotations r 1 et r 2. Théorème 2 : Dex rotations de même centre commtent. (fax lorsqe les centres sont distincts) Rotation réciproqe Soit r ne rotation de centre et d'angle α. La rotation de centre et d'angle α est appelée rotation réciproqe de r. n la note r 1. Propriété : r o r 1 = r 1 o r = d Angles et rotations Page 5 G. CSTANTN