Catherine Bruneau. Année Produit scalaire, orthogonalité et projection orthogonale. y! hx; yi est linéaire

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1 Cours de mahémaiques appliquées à la nance Produi scalaire, orhogonalié Séparaion des convexes e lemme de Farkas Applicaion: évaluaion par arbirage en déerminise Caherine Bruneau Année Produi scalaire, orhogonalié e projecion orhogonale 1.1 Produi scalaire De niion 1 Un produi scalaire sur un espace vecoriel H es une applicaion i) bilinéaire: x! hx; yi es linéaire e y! hx; yi es linéaire ii) symérique: hx; yi = hy; xi ii) qui véri e: 8x 2 H; hx; xi 0 e fhx; xi = 0g =) fx = 0g Exemple: le produi scalaire euclidien sur R J es dé ni selon: JX 8u 2 R J ; 8v 2 R J, < u; v >= u j v j u = (u 1 ; :::; u J ) 0 e v = (v 1 ; :::; v J ) 0 De niion 2 p hx; xi es appelée norme de x, noée: kxk 1

2 De niion 3 kx ykcaracérise la disance enre x e y au sens de la norme déduie du produi scalaire De niion 4 Un espace de Hilber es un espace vecoriel muni d un produi scalaire e comple, c es-à-dire el que oue suie de Cauchy 1 d élémens de H es convergene. De niion 5 On di que deux élémens x e y de H son orhogonaux, si leur produi scalaire es nul. De niion 6 Ean donné un sous-espace vecoriel C de H, on appelle projecion orhogonale de x sur C, noée P C (x), l élémen de C, lorsqu il exise, el que: 8c 2 C; hx P C (x); ci = 0 De niion 7 La projecion orhogonale de x sur C, P C (x); lorsqu elle exise, perme de réaliser la disance minimale de x à C au sens suivan: 8c 2 C; kx P C (x)k kx ck Proposiion 8 Ean donné un sous-espace convexe fermé 2 C d un espace de Hilber H, ou élémen x de H adme une projecion unique sur C. C es l unique élémen P C (x) de C el que: 8y 2 C, hx P C (x); yi = 0 Proposiion 9 Ean donnés des élemens h 1 ; :::; h k e h de l espace de Hilber H, si l implicaion suivane es véri ée: 8x 2 H; hh 1 ; xi = 0:::; hh k ; xi = 0 =) hh; xi = 0 alors, il exise 1 2 R; :::; K 2 R els que: h = 1 h 1 + ::: + K h k Comme applicaion de cee propriéé, on noera la dérivaion de la relaion mulibêa dans la héorie d évaluaion du risque nancier par arbirage, selon Ross (1977) ( Cf. cours prévision des risques, documen 1bis). 1 Une suie (x n) n2n es une suie de Cauchy si: 8" > 0; 9N=8n > N; 8m > N; kx n x mk < " 2 un sous-ensemble C d un espace vecoriel es di convexe si e seulemen si: 8x 2 C; 8y 2 C; 8 2 [0; 1] ; x + (1 )y 2 C un sous-ensemble C d un espace de Hilber es di fermé, si oue suie convergene d élémens de C converge vers un élémen de C 2

3 2 La séparaion de convexes De niion 10 Deux paries A e B d un espace de Hilber H son séparées par l hyperplan F 3 : F = fh 2 H= hu; hi = g ; u 6= 0 donné si on a la double inégalié: sup hu; ai inf hu; bi a2a b2b La séparaion es srice lorsque les inégaliés son srices. Proposiion 11 Soi C un convexe fermé de H ( espace de Hilber), x un poin de H qui n apparien pas à C. fxg e C peuven êre séparés sricemen. Preuve: Soi P C (x) la projecion orhogonale de x sur C, P C (x) es caracérisé comme éan l élémen de C el que: 8c 2 C; hc P C (x); x P C (x)i = 0 Soi u = x P C (x), l égalié précédene s écri: soi: hc + u x; ui = 0 hc; ui = hx; ui kuk 2 car u 6= 0 ; en e e, x =2 C e P C (x) 2 C: Donc, on a l inégalié srice: sup hc; ui < hx; ui c2c Corollary 12 Deux convexes disjoins, l un fermé, l aure compac peuven êre séparés sricemen. 3 On appelle hyperplan (vecoriel) un sous-espace vecoriel F de H (F 6= H) el qu il exise un veceur b de H véri an: ce que l on noe aussi: 8x 2 H, 9!y 2 F, 9! 2 R= x = y + b, H = F Rb écriure qui signi e que pour ou élémen de H, il exise une unique décomposiion de ou élémen de H comme: h = f + b où f 2 F e 2 R L hyperplan précéden es orhogonal à la direcion dé nie par b. H = b?, H = fh= hh,bi =0g Un hyperplan a ne dédui de l hyperplan vecoriel précéden es obenu par ranslaion selon la direcion b: fh= hh,bi =g où 2 R 3

4 3 Le lemme de Farkas Lemma 13 Ean donnés J veceurs u j, 1 j J, e un veceur h dans R N, muni du produi scalaire euclidien < :; : >, si l implicaion suivane es véri ée: 8v 2 R N ; v; 1 j J, < v; u j > 0 )< v; h > 0 Alors, 9 1 0; :::; 9 J 0= h = P J ju j Preuve: On considère K le cône convexe dé ni par: 8 9 < m K = : k; k = X = j h j où j 0; 8j; 1 j m ; K es un fermé 4 (Admis). Raisonnemen par l absurde. Supposons que h =2 H;alors,on peu séparer sricemen K, puisqu il es convexe e fermé e fhg : Par conséquen, 9z 2 H= < h; z >< inf < X m j h j ; z > f j0:1jmg Le erme de gauche ne peu êre ni que si < h j ; z > 0;pour ou j e il es alors égal à 0. On a donc: 8j; 1 j m; < h j ; z > 0 e < h; z >< 0 Ce qui conredi l implicaion. Dans la secion suivane, on applique le lemme de Farkas pour évaluer le "juse" prix de ires nanciers lorsqu on exclu oue possibilié d arbirage. 4 Les zéro-coupons e l acualisaion On se place sur un marché d obligaions c es-à-dire un marché de ires à revenus xes sur les daes 1; 2; :::; T : un el ire référencé k es caracérisé par des ux non-aléoires, connus dès la dae 0: a (k) 1 ; :::; a(k) T. On suppose qu il exise K ires échangés sur le marché. On inrodui la marice de marché associée M de dimension T xk: 2 a (1) 1 : : a (K) 3 1 M = 6 : : 7 4 : : 5 a (1) T : : a (K) T 4 Toue suie convergene d élémens de K converge vers un élémen de K. 4

5 On inrodui égalemen le veceur des prix de dae 0 des di érens ires: 0 P (1) 1 : P = P (K) L hypohèse d A.O.A. (Absence d Opporunié d Arbirage) es alors énoncée de la manière suivane: A.O.A.: C A 1) 8 2 R K ; M 0 ) P 0 0 2) 8 2 R K ; M 0 e 9 0 = (M) 0 > 0 ) P 0 > 0 M 0 signi e que oues les composanes du veceur M son posiives ou nulles: 8; = 1; :::; T; j a (j) 0. (M) 0 désigne la composane 0 du veceur M : (M) 0 = j a (j) 0 > 0 On radui ainsi la proposiion suivane: un porefeuille don la composiion es caracérisée par le veceur = ( 1 ; :::; K ) 0 (où k désigne le nombre de pars du iren k dans le porefeuille) e qui rappore des ux fuurs posiifs (M 0, 8; P o K ja (j) 0 ) a un prix posiif: P 0 = j P (j) 0 De plus, si un ux à une dae 0 es sricemen posiif, ( 9 0 = (M) 0 > 0); le prix du porefeuille es sricemen posiif (P 0 > 0). On peu alors appliquer le lemme de Farkas, pour caracériser les prix de dae 0. On applique ce lemme dans l espace R K avec J = T, h = P e u = (a (1) ; :::; a (K) ) 0 (lransposée du veceur ligne n de la marice de marché). L implicaion suivane es véri ée, d après l hypohèse d A.O.A 8 2 R K ; 8 = 1; :::; T; j a (j) 0 ) j P (j) 0 soi: 8 2 R K ; 8 = 1; :::; T; h; u i 0 ) h; P i 0 5

6 Par conséquen, la propriéé suivane es nécessairemen véri ée: 9 1 0; :::; 9 T 0=P = u =1 soi: 9 1 0; :::; 9 T 0=8j; j = 1; :::; K; P (j) = =1 a (j) On peu ainsi caracériser les prix de marché, P (j) ; j = 1; :::; K à parir de la marice de marché M. Plus généralemen, le prix, à la dae 0, d un porefeuille caracérisé par la composiion es donné par:! P = =1 K X k=1 k a (k) PK Il es lié, comme pour les ires j, aux ux fuurs associés k=1 ka (k) ; = 1; :::; T. Inoduisons la noion de zéro-coupon pour préciser la signi caion des coef- ciens. De niion 14 On appelle zéro-coupon d échéance T un ire qui donne droi à 1 euro à la dae T. B(0; T ) désigne son prix à la dae d aujourd hui, noée 0. Remarque 1: un zéro-coupon es a priori un ire cif. Remarque 2: e T son des daes. T n es pas une maurié car une maurié es une durée. Sous la condiion que le marché es comple, les coe ciens son les faceurs d acualisaion, liés aux prix des zéro-coupons: = B(0; ) En e e, le marché es di comple si ou échéancier de ux déerminises enre les daes 1 e T peu êre obenu comme l échéancier des ux versés par un porefeuille consiué de ires échangés sur le marché. On peu alors considérer les ux associés à un zéro-coupon comme les ux d un porefeuille pariculier e rouver son prix à la dae 0 en veru de la formule précédene, soi: B(0; ) = x1 + 0 puisque le zéro-coupon génère des ux nuls à oues les daes sauf à la dae où le ux es égal à 1. 6

7 Donc, sous les hypohèses d A.O.A. e de compléude du marché, les prix des ires (à la dae 0) son dé nis sans ambiguié (c es-à-dire de manière unique) par: 8j; j = 1; :::; K, P (j) = =1 B(0; )a (j) ((1)) B(0; ) joue clairemen le rôle de faceur d acualisaion (enre les daes 0 e ). La valeur d un invesissemen es la somme acualisée des gains fuurs qu il rappore. On peu le voir plus expliciemen en inroduisan les aux d inérê : 8j; j = 1; :::; K, P (j) = =1 a (j) (1 + r(0; )) Rappel: on peu dé nir rois ypes de aux qui permeen une acualisaion de ux fuurs. En appelan B(; T ) le prix à la dae d un zéro-coupon de maurié T, on a la dé niion suivane. De niion 15 1) le aux acuariel r(; T ) à la dae, pour la dae T es le aux el que: 1 B(; T ) = (1 + r(; T )) T 2) le aux in ne r i (; T ) à la dae, pour la dae T le aux dé ni par: B(; T ) = (T )r i (; T ) 3) le aux précompé, r p (; T ) à la dae, pour la dae T le aux el que: B(; T ) = 1 (T )r p (; T ) Dans la secion suivane, on revien sur la quesion de l unicié de la décomposiion des prix, en inroduisa la noion de compléude du marché 5 Unicié de la décomposiion e compléude du marché De niion 16 Un marché es di comple si on peu répliquer ou pro l de richesse (W ) 1T par le pro l de richesse d un porefeuille consiué des K ires échangés sur le marché: 9 k ; 1 k K = 8; 1 T; W = k=1 k a (k) 7

8 Di auremen, l applicaion: R K! R T = ( 1 ; ::; K ) 0! ( k a (k) 1 ; :::; X k a (k) T )0 = A k=1 associée à la marice de marché M inroduie précédemmen, es surjecive, c es-à-dire que l image de A, Im(A) es R T 5 : A es donc de rang égal à T. Par suie puisque rang(a 0 ) = rang(a); on a aussi rang(a 0 ) = T. Supposons mainenan qu il exise deux décomposiions du prix d un même ire j k=1 P (j) = e P (j) = =1 =1 a (j) a (j) on peu alors écrire: A 0 ( ) = 0, ( ) 0 A = 0 avec ( ) 6= 0 e A n es pas de plein rang ligne 6, puisqu on peu rouver T coe ciens non ous nuls, ( ) els que: ( )L (A) = 0 =1 où L (A) désigne la ligne n de la marice A: Par conséquen, A 0 n es pas de plein rang colonne, ce qui conredi le fai que rang(a 0 ) = T: La compléude du marché assure donc l unicié de la décomposiion (1) précédene. 5 Le rang de A es la dimension de Im(A) où l image Im(A) es dé nie par: n o Im(A) = y 2 R T =9x 2 R K =y = Ax 6 On di qu une marice es de plein rang ligne (resp. colonne) si ses lignes ( resp. colonnes) son linéairemen indépendanes. 8