Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (2ème partie) Exercice 1 ( Ex n 2 Antilles-Guyane juin 2000 adapté) Commun à tous les candidats

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1 Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (ème partie) Exercice 1 ( Ex n Antilles-Guyane juin 000 adapté) Commun à tous les candidats 1 ) Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)=z 3 3 z +3 z+7. a) Calculer P ( 1). b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait : P (z)=(z+1)( z +a z+b). c) Résoudre dans C l équation P (z)=0. ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v). (Unité graphique : cm.) On désigne par A, B, C et G les points du plan d affixes respectives z A = 1, z B =+i, z C = i et z G =3. a) Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G. b) Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. En déduire que les points A, B et C appartiennent au cercle Γ de centre I d'affixe 1 et de rayon r qu'on déterminera. c) Calculer un argument du nombre complexe Z= z A z C z G z C. d) En déduire la nature du triangle GAC, puis montrer que G Γ. 3 ) Deuxième méthode du c ) : On pose z 1 =z A z C et z =z G z C Écrire z 1 et z sous la forme exponentielle, puis en déduire le module et un argument de Z. Exercice (n Métropole - juin 000 adapté) Commun à tous les candidats Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, u ; v), unité graphique 4 cm, on considère les points A d affixe z A =1 et B d affixe z B =. Soit un réel θ appartenant à l intervalle ] 0 ; π [ et M le point d affixe z=1+e i θ. 1 ) Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. a) Exprimer l angle ( AB; AM ) en fonction de θ. b) En déduire l ensemble E des points M quand θ décrit l intervalle ] 0 ; π [. 3 ) Soit f la fonction du plan dans lui-même, qui à tout point M du plan, d'affixe z, fait correspondre le point M ' d'affixe z' tel que z' = e i θ z. Montrer que z =z puis que M appartient à (C). 4 ) Dans toute la suite, on choisit θ = π /3. a) Déterminer A l image de A par f. b) Définir l image (C ) du cercle (C) par f. c) Placer sur une figure A, B, (C), M, (C ) puis le point M image de M par f. d) Montrer que le triangle AMO est équilatéral. e) Montrer que (C) et (C ) se coupent en O et en M. f) Soit P le symétrique du point M par rapport à A. Montrer que M est le milieu du segment [A P]. Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 1/8

2 Corrigé Exercice 1 ( Ex n Antilles-Guyane juin 000 adapté) Commun à tous les candidats 1 a) Calcul de P ( 1). P ( 1)=( 1) 3 3( 1) +3( 1)+7=0 donc P ( 1)=0. b) Déterminer des réels a et b tels que pour tout complexe z, P (z)=(z+1)( z +a z+b). P ( 1)=0 donc 1 est une racine du polynôme P. Donc P se factorise par (z+1). Méthode : Je développe l'expression de P (z) et j'obtiens : P (z)=z 3 3 z +3 z+7=z 3 +(a+1) z +(a+b) z+b. Je procède ensuite par identification des coefficients des monômes de même degré : { a+1= 3 a+b=3 b=7 donc { a= 4 et b=7 Par conséquent P (z)=(z+1)( z 4 z+7). c) Résolution dans C, de l équation P (z)=0. D'après le théorème du produit nul, nous avons : P (z)=0. (ssi) (z+1)( z 4 z+7)=0 (ssi) z+1=0 ou z 4 z+7=0 (ssi) z= 1 ou z 4 z+7=0 Pour la deuxième équation, je calcule le discriminant Δ : Δ=( 4) 4 1 7=16 8= 1. Comme Δ<0, il n'y a pas de solution réelle, mais cette équation admet deux solutions complexes conjuguées : ( 4) 1 ( 4)+i 1 z= ou z= i 4+ Donc z= ou z= Ou encore : z= ou z=+i Conclusion : L'équation P (z)=0 admet trois solutions dans C : z= 1 ; z= et z=+i a) On désigne par A, B, C et G les points du plan d affixes respectives z A = 1, z B =+i, z C = i et z G =3. Réalisation d'une figure (page suivante). ASTUCES! Comment construire «les nombre &» à la règle et au compas? Sur l'axe des abscisses : on utilise cos(π/6)=/. On construit un cercle de rayon et on trace la droite horizontale d'équation y=1 ; elle coupe le cercle au point d'abscisse x=. Sur l'axe des ordonnées : on utilise sin(π/3)=/. On construit un cercle de rayon et on trace la verticale d'équation x=1 ; elle coupe le cercle au point d'ordonnée y=. Même méthode pour le calcul de : on utilise : cos(π/ 4)= /=sin(π/4). Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page /8

3 Figure Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. On sait que : AB= z B z A donc : AB= z B z A = +i ( 1) = 3+i = 1= ; BC= z C z B = (+i ) = i = et AC= z C z A = ( 1) = 3 = 1= ; Nous avons AB = BC = AC. Donc, le triangle ABC est équilatéral. Dire que A appartient au cercle Γ de centre I et de rayon r, signifie que IA = r, ou encore que : z A z I =r. Or z A z I = 1 1 =, donc r=. D'autre part : z B z I = +i 1 = 1+i = 4= donc IB =. Donc B Γ. De même : z C z I = 1 = 1 = 4= donc IC =. Donc C Γ. c) Calculer un argument du nombre complexe Z= z A z C z G z C Z= z A z C 1 ( ) = z G z C 3 ( ) donc Z= 3+i )(1 ) =( 3+i 1+i (1+i )(1 ) 3+3 i +i +3 4i Par suite Z= =, puis on simplifie par 4. Par conséquent : 4 4 Z=i. D'autre part, comme Z est un imaginaire pur de coefficient positif, on a : Z = et arg (Z )= π [ π] CA Comme Z = donc 1 et par suite le triangle GAC n'est ni isocèle, ni CG équilatéral. Et comme arg (Z )= π [ π], on a ( CG ; CA)= +π. Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 3/8

4 Conclusion : Le triangle GAC est rectangle en C. De plus IG= z G z I = 3 1 = donc G Γ. 3 ) Deuxième méthode du c) : On pose z 1 =z A z C et z =z G z C Écrire z 1 et z sous la forme exponentielle, puis en déduire le module et un argument de Z. z 1 =z A z C = 1 ( )= 3+i Le module de z 1 : z 1 = ( 3) +() = 1= Un argument de z 1 : je calcule le cosinus et le sinus : x {cos θ1= z 1 = 3 Je consulte mon cercle trigonométrique et j'obtiens : = θ 1 = 5π [ π]. Donc sin θ 1 = y 6 z 1 = =1 z 1 = e i 5 π 6 De même, on a : z =z G z C =3 ( )=1+i Le module de z : z = 1 +() = 4= Un argument de z : je calcule le cosinus et le sinus : x {cos θ= z =1 sin θ = y = 3 z = 3 Je consulte mon cercle trigonométrique et j'obtiens : θ = π [ π]. Donc 3 z =e i π 3 On pose maintenant Z= z 1 = e i 5π 6 z e i π 3 Donc : Z = et arg (Z )= π [ π]. CQFD = e i 5 π 6 (i π 3 ) = e i π Exercice (n Métropole - juin 000 adapté) Commun à tous les candidats A : z A =1, B : z B =. Soit θ ]0, π[ et M le point d affixe z=1+e i θ. 1 ) Montrons que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. Pour démontrer que M (C) il faut et il suffit de démontrer que : AM = 1. Or AM = z M z A = 1+e i θ 1 = e i θ =1, car pour tout α R : e i α =1. Conclusion. On a bien : M (C) Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 4/8

5 a) Exprimons l angle ( AB; AM ) en fonction de θ. D'après la relation de Chasles, on a : ( AB ; AM )=( AB ; u)+( u ; AM ). Donc ( AB ; AM )= ( u ; AB)+( u ; AM )=( u ; AM ) ( u ; AB) [π]. Or, ( u ; AM )=arg (z M z A ) [π] et ( u ; AB)=arg (z B z A ) [π], donc : ( AB; AM )=arg (z M z A ) arg( z B z A )=arg( z z ) M A [π]. Or, on sait que : z B z A z M z A = 1+ei θ θ 1 ei = z B z A 1 1 =ei θ. Donc, un argument de e i θ est θ [ π]. Conclusion : ( AB ; AM )=θ [π] b) En déduire l ensemble E des points M quand θ décrit l intervalle ] 0 ; π [. On sait que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. A est le centre du cercle (C) et ( AB; AM )=θ [π]. Or, lorsque θ décrit l intervalle ] 0 ; π [, θ décrit l intervalle ] 0 ; π [. On remarque que les deux extrémités de l'intervalle sont exclues. Ce qui correspond au point B. Par conséquent, Tous les points du cercle (C), à l'exception du point B, appartiennent à l'ensemble E. Conclusion : E est le cercle (C) privé du point B. 3 ) Soit f la fonction du plan dans lui-même, qui à tout point M du plan, d'affixe z, fait correspondre le point M ' d'affixe z' tel que z' = e i θ z. Montrer que a) z =z puis que b) M appartient à (C). a) Je calcule z' = e i θ z = e i θ ( 1 + e i θ ) Je développe z' = e i θ + e i θ + i θ = e i θ + 1 Or, pour tout α R : e i α =e α donc z' = e i θ +1=z Conclusion : On a bien z =z. b) Pour démontrer que M ' (C ) il faut et il suffit de démontrer que : AM ' = 1. Or AM = z M ' z A = 1+e i θ 1 = e i θ =1, car pour tout α R : e i α =1. Conclusion. On a bien : M ' (C ). Remarque : (C) est un cercle de centre A, point sur l'axe des abscisses. Comme M ' a pour affixe z =z donc M ' est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses et la symétrie conserve les longueurs, on pourrait affirmer que : AM ' = AM = 1 Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 5/8

6 4. a) Dans tou te la suite, on choisit θ = π /3. Déterminer A l image de A par f. On appelle z A' l'affixe du point A', image de A par la fonction f. Par définition, on a : z A' =e π π 3 z A =e 1=cos( 3 π ) 3 +i sin ( π ) 3 = 1 Par conséquent, le point A' a pour coordonnées : A'( 1 ; ). b) Définir l image (C ) du cercle (C) par f. Soit N un point quelconque du plan et N ' son image par la fonction f. Alors : π On sait que : A ' = f (A) donc z A' =e 3 z A et N ' = f (N) donc z N ' =e π 3 z N En soustrayant membre à membre, puis en factorisant par e π 3 z N ' z A' =e π 3 (z N z A ) on obtient : Il s'en suit que : A' N '= z N ' z A' = e π 3 ( z N z A ) = e π 3 z N z A =AN. Or, si N (C ), alors AN = 1, donc A'N ' = 1. Ce qui signifie que N ' appartient au cercle de centre A' et de rayon 1. Conclusion : (C') est le cercle de centre A' et de rayon 1. c) Placer sur une figure A, B, (C), M, (C ) puis le point M image de M par f. Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 6/8

7 On sait que : z A = 1, donc A' (1 ;0) ; z B =, donc B( ;0) et A'( 1 ; ). De plus : z M =e i π3 =cos ( π 3 ) +i sin ( π 3) = 1 +i De même, z M ' =z M = 1. Donc : M ' ( 1 ; ). Voir figure ci-dessus.. Donc : M ( 1 ; ) d) Montrer que le triangle AMO est équilatéral. Nous avons déjà vu que AM = 1 et On sait que OA = 1. De plus, le point M a pour affixe z M = 1 +i Donc OM = z M 0 = z M = 1. Conclusion : AM = OA = OM = 1. Donc le triangle AMO est équilatéral. e) Montrer que ( C) et ( C ) se coupent en O et en M. On sait que OA' = OA = 1. Donc le point O appartient à la fois au cercle (C) de centre A et de rayon 1 et au cercle (C' ) de centre A' et de rayon 1. De même, nous avons déjà vu que AM = AM ' = 1. De plus : π A' M '= z M ' z A' = e 3 (z M z A ) = π e 3 z M z A =AM =1. Donc : AM ' = A'M ' = 1. Ce qui montre que le point M' appartient à la fois au cercle (C) et au cercle (C' ). Conclusion : Les deux cercles (C) et (C' ) se coupent en deux points O et M'. f) Soit P le symétrique du point M par rapport à A. Montrer que M est le milieu du segment [ A P]. On Cherche d'abord l'affixe z P du point P. Par définition, on a les équivalences suivantes : P est le symétrique du point M par rapport à A (ssi) A est le milieu de [MP] z (ssi) M + z P =z A (ssi) z M +z P = z A (ssi) z P = z A z M (ssi) z P = 1 1 i (ssi) z P = 3 (ssi) P( 3 ; ). Cherchons maintenant l'affixe du milieu du segment [A'P]. z A' +z P = 1 ( ) =1 (1 )= 1 =z M ' z Par conséquent : A' +z P =z M '. Conclusion : M est bien le milieu du segment [A P]. CQFD. Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 7/8

8 Remarque : Pour déterminer les coordonnées de P et démontrer que M est bien le milieu du segment [A P], on pourrait utiliser le calcul vectoriel avec les coordonnées. En effet, P est le symétrique de M par rapport à A (ssi) A est le milieu de [MP] (ssi) MA= AP (ssi) z P z A =z A z M (ssi) z P = z A z M (ssi) z P = 1 1 i (ssi) z P = 3 (ssi) P( 3 ; ). D'autre part : Montrons maintenant que M est bien le milieu du segment [A P]. On calcule les affixes des deux vecteurs : A' M ' et M ' P. On a alors : et z =z z = ( 1 A' M ' M ' A' ) ( 1 ) = i =1 z =z z = ( 3 M ' P P M ' ) ( 1 ) = 3 1 +i =1 Par conséquent : A ' M '= M ' P Ce qui signifie que M est bien le milieu du segment [A P]. CQFD. OUF! Term.S FicheBac n 9a. Nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 8/8