masse dm entrant à t Le fluide étudié est un fréon qui évolue dans un réfrigérateur. Il subit quatre évolutions successives formant un cycle :

Transcription

1 DM31 Réfrigérateurs I Réfrigérateur à fréon 1) Question Préliminaire : On note (Σ) le système ouvert constitué d une «machine»(compresseur, Évaporateur,... ) et du fluide (fréon) qu elle contient. On lui associe le système fermé (Σ ) constitué : - à l instant t, de (Σ) et de la masse dm de fluide, dans l état (1) {P 1, v 1, u 1 }, qui va y entrer et, - à l instant t + dt de (Σ) et de la masse dm de fluide, dans l état (2) {P 2, v 2, u 2 }, qui en est sorti. On appelle W u = dmw u le travail susceptible d être investi par l utilisateur (travail «utile», mécanique ou électrique) et fourni à la masse dm de fluide entrant dans la «machine». De même, on appelle Q = dmq le transfert thermique reçu par la masse dm entrant dans la «machine». Montrer que, en régime stationnaire, sans variation d énergie cinétique macroscopique et à altitude constante, le 1 er principe appliqué au système (Σ ) traversant la «machine» s écrit : P Q sens d'écoulement W u ( S) "machine" 1 P 2 avec u 2 u 1 = P 2 v 2 +P 1 v 1 +w u +q masse dm entrant à t masse dm sortant à t+dt u 1, u 2, v 1 et v 2 les énergies internes massiques et volumes massiques du fluide dans les états (1) et (2). Quelle est l expression de ce 1 er principe en fonction de h 1 2 = h 2 h 1, variation d enthalpie massique du fluide, de w u et de q? Le fluide étudié est un fréon qui évolue dans un réfrigérateur. Il subit quatre évolutions successives formant un cycle : A (Cd) N (Dt) (Cp) B (Ev) M P L A I B C L + V N M V T=303 K T=263 K A B : le fréon, initialement dans l état A, subit une détente de Joule-Kelvin dans le détendeur (Dt) jusqu à l état B ; ce qui fait baisser sa température. B M : dans l évaporateur (Ev), le fréon se vaporise partiellement à pression et à température constantes jusqu à l état M en recevant un transfert thermique massique q F de la source froide dont la température T F = 268 K est supérieure à sa température T B = T M = 263 K. (La source froide est constituée du contenu du réfrigérateur, c est-à-dire des aliments conservés v

2 Réfrigérateurs à la température T F.) M N : le fréon subit une compression MN dans un compresseur (Cp) calorifugé de l état M à N en recevant un travail utile massique w u. N A : enfin, le fréon, dans le condenseur (Cd), se condense de manière isobare et isotherme. Il se condense totalement en fournissant un transfert thermique massique q C à la source chaude dont la température T C = 298 K est inférieure à la température du fréon T A = T N = 303 K. (La source chaude est constituée de l air de la pièce où est placé le réfrigérateur.) 2) Dans le tableau de données ci-contre, que représente la grandeur x? On donne en outre, les enthalpies massiques de vaporisation aux deux températures utiles : A B M N P en bar 7,5 2,2 2,2, 7,5 T en K x 0 0,24 0,98 1 L vap (263) = 159 kj.kg 1 et L vap (303) = 139 kj.kg 1 3) Quels sont les valeurs des transferts thermiques q AB et q MN reçus algébriquement par l unité de masse de fréon lors de son passage dans le détendeur et le compresseur? 4) Quelle est la relation entre les enthalpies massiques h A et h B? 5) En considérant la transformation imaginaire A I B et en se plaçant dans l approximation du fréon liquide «incompressible» de capacité thermique massique c L, établir que : x B = c(t A T B ) L vap (263) = 0,24 On en déduit : c L = 0,96 kj.k 1.kg 1. 6) Procéder de même pour établir : s B s A = c L ln ( TB T A ) L vap (263) +x B = 9,2 J.K 1.kg 1 T B Que vient-on de vérifier quant à la nature de la détente de Joule-Kelvin A B? 7) Établir que : q F = (x M x B )L vap (263) = 118 kj.kg 1. 8) Établir que : q C = L vap (303) = 139 kj.kg 1. 9) Montrer que : w u = +21 kj.kg 1. 10) Donner l expression littérale de l efficacité frigorifique e f de ce réfrigérateur. Application numérique. 11) Quelle est l expression littérale de l efficacité frigorifique de Carnot e C,f correspondant au fonctionnement d un réfrigérateur réversible entre la source froide à T F = 268 K et la source chaude à T C = 298 K? 12) On donne : e C,f = 8,9. Comparer e f et e C,f. Comment explique-t-on l origine de cette différence? 2 Qadri J.-Ph. PTSI

3 Réfrigérateurs II Machine à réfrigération [CCP 2005, MP1] L objectif de ce problème est l étude du fonctionnement stationnaire d une machine ditherme de réfrigération. Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1, constitue un modèle de fonctionnement d une machine de refrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les transformations suivantes : A B : compression adiabatique dans le compresseur. B D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur. D E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur. E A : vaporisation isobare dans l évaporateur. Les sources froide Σ F (intérieur de l enceinte à réfrigérer) et chaude Σ C (milieu ambiant) sont assimilées à des thermostats de températures, respectives, T F et T C constantes. Les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle du fluide sont négligeables. Données : m = 1 kg ; T F = 278 K ; T C = 293 K. Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D : h A = 390,2 kj.kg 1 ; h B = 448,6 kj.kg 1 ; h D = 286,4 kj.kg 1. A Performances de l installation 1) Un systeme fermé subit une transformation isobare qui le fait evoluer de l état initial E i à l état final E f. Au cours de cette transformation le système reçoit les quantités d énergie Q i f par transfert thermique et W i f par transfert mécanique (travail). 1.a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation. 1.b Établir la relation entre la variation d enthalpie H i f du système et Q i f. 2) On désigne par Q F et Q C les quantités d énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-dessus. 2.a) Exprimer Q F et Q C en fonction des données. 2.b) Calculer Q F et Q C. 3) On désigne par W l énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d un cycle. 3.a) Exprimer W en fonction des données. 3.b) Calculer W. 4) On désigne par S e,f et S e,c les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle. 4.a) Exprimer S e,f et S e,c en fonction des données. 4.b) Calculer S e,f et S e,c. 4.c) Calculer l entropie S p créée au cours du cycle. Conclusion. 5) Calculer l efficacité µ de cette installation. Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 Réfrigérateurs ) Sachant que la puissance P à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est de 500 W, calculer le débit massique q m que l on doit imposer au fluide frigorigène. B Étude de la compression de la vaveur La vapeur issue de l évaporateur est comprimée de la pression P 1 = 2,008 bar (état A) à la pression P 2 = 16,810 bar (état B). Dans cette partie du problème on admettra que l on peut assimiler la vapeur a un gaz parfait dont le rapport γ des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1, 14 (oui, vous avez bien lu : γ = 1,14 pour ce fluide gazeux) dans le domaine étudié. 1) On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible. 1.a) Établir la relation que vérifieraient les variables température T et pression P. 1.b) Sachant que T A = 263 K, calculer la température T que l on atteindrait en fin de compression. 2) En réalité la compressiona B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n est pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l intérieur du compresseur. De ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment. La transformation polytropique A B est la transformation réversible qui permettrait au fluide d évoluer de l état A à l état B en recevant, par transfert thermique, une quantité d énergie Q f équivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation réelle irréversible A B. Pour établir la loi d évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible caractérisée par les variations d énergie interne du, d entropie ds et de volume dv. La quantité d énergie δq f reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation élémentaire, s écrit δq f = a.du. Dans cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié. 2.a) Exprimer du en fonction de ds et dv. 2.b) Montrer qu au cours de l évolution polytropique A B les variables pression P et de volume V vérifient la relation P.V k = Constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur polytropique. 2.c) Exprimer k en fonction de a et de γ. C Complément : Étude de la détente du liquide 1) L énoncé parle de la transformation D E comme d une «détente adiabatique et isenthalpique» dans le détendeur. Quelle transformation réelle cette transformation modélise-t-elle? Comment, en pratique, la réalise-t-on? 2) On suppose que l on connaît l enthalpie massique h L du point L de la courbe d ébullition à la pression P 1. En déduire une première expression littérale de x V, la fraction massique en phase vapeur dans l état E. 3) Donner la définition, l expression littérale et l unité de L vap (T F ), chaleur latente de vaporisation du fluide à la température T F. 4) On suppose également connue c, la capacité thermique massique de la phase liquide du fluide frigorigène (constante sur le domaine de températures considéré). En déduire une seconde expression littérale de x V en fonction de c, L vap (T F ), T F et T C. 4 Qadri J.-Ph. PTSI

5 Réfrigérateurs D Détermination des conditions de fonctionnement idéales 1) Préciser le nom et la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l efficacité maximale µ max de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle. 2) Sachant quau cours de ce cycle la variation d entropie massique s C du fluide au cours de la transformation qu il subit au contact de la source chaude est de 0,416 kj.kg 1.K 1, calculer les quantités d énergie Q F et Q C reçues, par transfert thermique, par m = 1 kg de fluide frigorigène, au cours d un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude. 3) Exprimer l efficacité µ max en fonction des températures T F et T C et calculer µ max. Solution II Machine à réfrigération [CCP 2005, MP1] A.1.a) Cf Cours H = Q P pour une transformation isobare A.2) Q F = m.(h A h D ) = 103,8 kj ; QC = m.(h D h B ) = 162,2 kj A.3) W = QF QC = m.(hb ha) = +58,4 kj A.4.a-b) S e,f = Q F = 373 J.K 1 ; S e,c = Q C = 554 J.K 1 T F T C A.4.c) S p = S e,f S e,c = +180 J.K 1 donc transformation irréversible. A.5) µ = Q F W = 1,78 A.6) q m = P F puisque Q F correspond à 1 kg ; q m = 4,82 g.s 1 Q F B.1.a) Cf Cours P 1 γ T γ = Cte ( ) γ 1 B.1.b) T P2 = T γ A = 341,4 K P 1 B.2.a) du = T.dS P.dV B.2.b) du = δq F P.dV = a.du P.ddV donne P.dV = (a 1).dU = (a 1).C V.dT = a 1 γ 1.nR.dT. Puis PV = nrt donne nr.dt = P.dV +V.dP et finalement (1 a) dp P +(γ a)dv V = 0 B.2.c) On obtient : PV k = Cte avec k = γ a 1 a C.1) Détente de Joule-Thomson (ou de Joule-Kelvin) C.2) Théorème des moments : x V = LE LA = h E h L h A h L C.3) L vap (T F ) = h A h L C.4) Cycle réversible imaginaire E B L E : s cycle = 0 = s ( ) E B + s B L + s L E TF Soit : 0+c.ln + h ( ) L E c = 0 x V = T C T F L vap (T F ).ln TC car h L E = x V.L vap (T F ) T F D.1) Cf Cours : cycle de Carnot : deux isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles. D.2) Q C = T C. S C = T C.m s C = 121,9 kj ; Q F = T F. S C = +115,6 kj T F D.3) µ max = = 18,5 T C T F Qadri J.-Ph. PTSI 5

6 Réfrigérateurs I Réfrigérateur à fréon 6 Qadri J.-Ph. PTSI

7 Réfrigérateurs Qadri J.-Ph. PTSI 7