MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ;

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1 MATHÉMATIQUES II Dans ce problème, nous éudions les propriéés de ceraines classes de marices carrées à coefficiens réels e cerains sysèmes linéaires de la forme Ax = b d inconnue x IR n, A éan une marice à coefficiens réels, b un veceur de IR n Cee éude fai l obje des paries I à IV, e les marices A considérées on la paricularié d avoir beaucoup de ermes nuls Au cours de la dernière parie, on monre commen la recherche de soluions approchées d une équaion différenielle peu conduire à de els sysèmes linéaires Dépendance enre les quesions On peu aborder les paries II à V sans avoir raié enièremen la parie I Le préambule de la parie III reprend les résulas de la parie II qui son nécessaires pour la raier Les résulas des premières quesions de la parie III serven dans la parie IV Le débu de la parie V peu êre abordé direcemen Noaions du problème Dans ou le problème n désigne un enier supérieur ou égal à 2 e I n désigne la marice unié d ordre n Si M es une marice (carrée ou non), M désigne la marice ransposée de M On idenifie un veceur x IR n e la marice à n lignes e 1 colonne, x 1 x = x 2 M x n e x désigne alors la marice à 1 ligne e n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ; e k es l élémen de IR n don ous les coefficiens son nuls sauf le k -ième, égal à 1 ; S n ( IR) es l espace vecoriel des marices carrées symériques, à coefficiens réels, d ordre n (c es-à-dire à n lignes e n colonnes) ; O n ( IR) es le groupe des marices orhogonales d ordre n Concours Cenrale-Supélec /8

2 Parie I - Une famille de marices symériques Soien n un enier naurel el que n 2, e α un réel sricemen posiif On considère dans cee parie les marices carrées A n = ( a i, j ) d ordre n, elles que, pour 1 i, j n, a ii, = 1 a i, j = α, si i j = 1 a i, j = 0, dans les aures cas Ainsi, pour n prenan respecivemen les valeurs 2, 3, 4 : 1 α α 0 A = 1 α 2 α 1, A 3 = α 1 α A 4 = α 1 α 0 0 α 1 α 0 α α 1 On noe P n ( X ) le polynôme caracérisique de la marice A n : P n ( X ) = de ( A n XI n ) IA - À propos des élémens propres de A n IA1) Calculer les polynômes P 2 ( X ) e P 3 ( X ) Déerminer les valeurs propres e les sous-espaces propres de A 2 e de A 3 IA2) Monrer que P 4 ( X ) = ( 1 X ) P 3 ( X ) α 2 P 2 ( X ) IA3) De façon plus générale, exprimer P n + 2 ( X ) en foncion de P n + 1 ( X ) e de P n ( X ) pour ou n 2 IA4) Démonrer que 1 es valeur propre de A n si e seulemen si n es impair IB - On suppose que n es un enier supérieur ou égal à 3 e que x IR n es un veceur propre de A n associé à la valeur propre λ IB1) Exprimer x 2 en foncion de x 1 IB2) Exprimer x 3 en foncion de x 1 e x 2 En déduire P 2 ( λ) x 3 = x 1 α 2 Concours Cenrale-Supélec /8

3 IB3) Donner une relaion enre x k 1, x k e x k + 1 lorsque 2 k n 1 Avec la convenion P 1 ( X ) = 1 X, démonrer que, pour ou k el que 1 k n 1, P k ( λ) x k + 1 = x 1 α k IB4) Monrer que les sous-espaces propres Ker( A n λi n ) de la marice A n son des droies vecorielles, puis que A n adme n valeurs propres deux à deux disinces Parie II - Marices définies posiives On di qu une marice symérique A S n ( IR) es définie posiive lorsque pour ou x IR n non nul, x Ax > 0 On noe S n ( IR) l ensemble de ces marices Dans les quesions qui suiven, A = ( a ) i, j, désigne une marice de 1 i, j n S n ( IR) e k es un enier el que 1 k n IIA - En calculan ek Ae k, monrer que a kk, > 0 IIB - Soi λ une valeur propre de A e x un veceur propre associé Calculer x Ax e en déduire que λ > 0 Jusifier que de ( A) > 0 IIC - On suppose que 1 k< n e on écri A sous la forme de blocs A = A B, où A S ( IR ) k B A Préciser la aille des blocs A, A, B, B Soi u un élémen de IR n el que u j = 0 si j > k En calculan u Au en foncion de A e de u = ( u 1,, u k ), monrer que la sous-marice A es elle-même symérique e définie posiive IID - Marices symériques à valeurs propres sricemen posiives IID1) Soien M 1 e M 2 deux marices symériques d ordre n On suppose qu il exise une marice orhogonale Q O n ( IR) elle que M 2 = QM 1 Q Monrer que M 1 es définie posiive si e seulemen si M 2 es elle-même définie posiive IID2) Monrer qu une marice diagonale d ordre n, à coefficiens réels, es définie posiive si e seulemen si ses coefficiens diagonaux son ous sricemen posiifs IID3) Monrer qu une marice M S n ( IR) es définie posiive si e seulemen si oues ses valeurs propres son sricemen posiives Concours Cenrale-Supélec /8

4 IIE - Soi A n la marice symérique définie dans la parie I Nous allons monrer que, sous ceraines condiions, A n S n ( IR) Supposons que x soi un veceur propre de A n associé à la valeur propre λ e désignons par i 0 un indice pour lequel sup x i = x i0 1 i n IIE1) Monrer que si i 0 = 1 ou i 0 = n alors 1 λ α (indicaion : écrire la ligne 1 ou la ligne n du sysème A n x = λx ) IIE2) Monrer que si 2 i 0 n 1, alors 1 λ 2α IIE3) En déduire que si α < 1 2, la marice A n es définie posiive Parie III - Décomposiion des marices définies posiives Préambule : On cherche à démonrer dans cee parie la propriéé P : Pour oue marice M S n ( IR), il exise une unique marice carrée L d ordre n, riangulaire inférieure e à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que M = L L On pourra uiliser ici les résulas de la parie II, en pariculier le fai que, si M S n ( IR), ses ermes diagonaux son sricemen posiifs ; son déerminan es sricemen posiif ; les sous-marices formées des ermes d indices i, j, els que 1 i, j k, où k n, son elles-mêmes symériques e définies posiives IIIA - Monrer la propriéé P pour n = 2 En noan M = ab e L = r 0, bd s donner les expressions de r, s, en foncion de a, b, d IIIB - On suppose la propriéé P vraie au rang n 1 (avec n 3 ), e on considère une marice M S n ( IR), que l on écrira en 4 blocs : M M 1 x =, x m où M 1 es une marice carrée d ordre n 1, m un réel e x un veceur de IR n 1, x désignan la ligne ransposée de x, à savoir : x = [ x 1 x 2 x n 1 ] IIIB1) Monrer que es inversible M 1 Concours Cenrale-Supélec /8

5 IIIB2) Soien µ > 0, w IR n 1 e L une marice riangulaire inférieure, d ordre n 1, à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que M 1 = L L Monrer que la marice carrée d ordre n L 0 L =, où 0 désigne le veceur nul de IR n 1, w µ vérifie M = L L si e seulemen si : L w = x (1) µ 2 m 1 = xm 1 x IIIB3) En admean que m 1 xm 1 x > 0, (2) monrer que la propriéé P es vraie au rang n IIIC - Preuve de (2) e fin de la démonsraion IIIC1) x x I Soi A n 1 x 2 = = M M, d ordre 0 M n 3 y m x n 1 y 1 y 2 y n 1 m Calculer de ( A) en foncion de m, des x i e des y i IIIC2) Soi M S n ( IR) une marice symérique définie posiive que l on écri par blocs : M M 1 x = x m a) Calculer le produi de deux marices : I n 1 x 1 xm 1 m M b) Monrer, par un calcul de déerminans, que M vérifie la relaion (2) IIID - Décrire un algorihme de calcul de la marice L Concours Cenrale-Supélec /8

6 Parie IV - Marices ridiagonales IVA - Soi M = ( m i, j ) une marice symérique définie posiive d ordre n On suppose que M es de plus ridiagonale, c es-à-dire qu elle vérifie m i, j = 0 si i j 2 IVA1) On suppose n 3 Soien x IR n 1, el que x i = 0 si 1 i n 2, e L = ( l i, j ), une marice d ordre n 1, riangulaire inférieure don les ermes diagonaux son non nuls Résoudre l équaion L w = x IVA2) L désigne encore la marice riangulaire inférieure à coefficiens diagonaux sricemen posiifs, elle que L L = M Démonrer, en raisonnan par récurrence e en uilisan la quesion IIIB2), que L es ridiagonale IVB - On reprend les noaions de la parie I e on suppose α < 1 2 On noe L n la marice riangulaire inférieure à coefficiens diagonaux sricemen posiifs elle que A n = L n Ln IVB1) Calculer L 2 e L 3 IVB2) On s inéresse au sysème linéaire A n x = b où b IR n a) Monrer qu il possède une unique soluion b) Monrer que la résoluion de ce sysème es équivalene à la résoluion successive des sysèmes L n y = b e Ln x = y c) Dénombrer avec soin les addiions, les sousracions, les muliplicaions e les divisions que nécessie la résoluion successive de ces deux sysèmes Monrer que seules 23n ( 2) de ces opéraions son nécessaires pour obenir x Parie V - Soluions approchées d une équaion différenielle VA - Quesion préliminaire : approximaion d une dérivée seconde On pose I = [ ab, ] Soi φ : I IR une foncion de classe C 4 On rappelle que pour z e θ els que z, z+ θ I, on peu écrire la formule de Taylor avec rese inégral sous la forme : φ( z + θ) = 3 k = 0 φ ( k) z ( ) θ k θ ( θ )3 φ ( 4) ( z+ ) d k! 3! 0 Concours Cenrale-Supélec /8

7 On noe M 4 = sup φ 4) ( x) VA1) Jusifier l exisence de M 4 e donner une majoraion de la valeur absolue du rese inégral en foncion de θ e de M 4 On pourra commencer par le cas où θ > 0 VA2) Monrer que si z θ, z + θ I, φ( z + θ) 2φ( z) + φ( z θ) φ ( z) = R z ( θ), (3) avec R z ( θ) x [ a, b] M 4 θ θ 2 Dans oue la suie du problème, on se donne ω > 0, deux réels a 0 e a 1, une foncion g sur [ 01, ], à valeurs réelles, de classe C 2 On s inéresse au problème suivan : u ω 2 u = g, sur [ 0, 1] u( 0) = a 0 u( 1) = a 1 (4) VB - VB1) H Donner l expression générale des soluions de l équaion différenielle ( ) : u ω 2 u = 0 VB2) On noe u 0 une soluion pariculière de l équaion différenielle ( E) : u ω 2 u = g Donner l expression générale des soluions de l équaion ( E) Monrer que le problème (4) adme une soluion e une seule VB3) Monrer que cee soluion es de classe C 4 VC - On se propose d approcher la soluion du problème (4) On subdivise l inervalle [ 01, ] en considéran les poins k k = , k { 0,, n + 1} n + 1 Concours Cenrale-Supélec /8

8 Pour 1 k n, on remplace l équaion : u ( k ) ω 2 u ( k ) = g ( k ) par l équaion approchée : u ( k + 1 ) 2u( k ) + u ( k 1 ) ω 2 u ( k ) = g ( k ), (5) dans laquelle : 1 θ = n + 1 On noe θ 2 x x 1 = M = x n u ( 1 ) M IR n u ( n ) VC1) Monrer que l on peu choisir un réel α > 0, que l on exprimera en foncion de θ e de ω, qui perme de réécrire le sysème formé des n équaions (5) sous la forme A n x = b où A n es la marice éudiée dans la parie I e b un veceur de IR n que l on précisera VC2) Monrer que le sysème linéaire A n x = b possède une unique soluion VC3) Dans cee quesion on choisi ω = 4, a 0 = 0, a 1 = 1 e n = 3, e on considère la foncion g définie par 4 g () = Donner les valeurs numériques de α, A 3, L 3 e b Donner les expressions approchées de u( 1 4), u( 2 4), u( 3 4) obenues en mean en œuvre la démarche proposée dans les paries IV e V du problème FIN Concours Cenrale-Supélec /8