Conversion alternative alternative à fréquence invariable

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1 DEPARTEMENT ELECTRICITE Laboratoire d Electronique Industrielle + - ; , 4) -, - ) 7 5) - Conversion alternative alternative à fréquence invariable 1 Introduction Nous rappelons que l exercice proposé consiste dans l étude de l alimentation d une lampe, à partir d une source de tension alternative monophasée. Il s agit donc d assurer un échange d énergie entre une source de tension alternative, et une source de courant également alternative, ainsi que défini Fig.1(a). K H + L A HJEI I A K H K E ) + ) + K 4 E Fig.1(a) Principe Fig.1(b) Source de courant Fig. 1 Convertisseur AC/AC Il semble a priori peu usuel de considérer une lampe comme une source de courant. Une analyse rapide démontre le contraire : toute ampoule présente un terme résistif, lié la puissance active nécessaire pour que l ampoule éclaire. La preuve en est l élévation de la température de l ampoule dès son allumage. à cause de son filament, et des câbles de connexion entre l ampoule et le convertisseur statique (1µ.m 1 ), un terme inductif existe également. De fait l ampoule peut être modélisée comme un dipôle comprenant une résistance et une inductance en série, comme présenté Fig.1(b). Parce que l inductance est une inertie en courant, elle est considérée comme une source de courant. L ampoule est donc une source de courant, alternative dans notre application. 1

2 Dispositif commandable à la fermeture.1 Structure Nous rappelons que la source de tension est alternative, et que la source de courant (l ampoule) est également alternative. Nous voulons définir un dispositif commandable uniquement à la fermeture. Les blocages seront donc spontanés. Le seul composant répondant directement à cette propriété est le thyristor, dont nous rappelons la caractéristique statique Fig.. 1 = ) 1 = / 7 =? 7 =? + Fig. Caractéristique statique du thyristor Le thyristor est un interrupteur à trois segments, bidirectionnel en tension, et unidirectionnel en courant. Son amorçage est commandable lorsque la tension à ses bornes est positive. Le blocage est spontané lorsque le courant qui le traverse s annule. Pour assurer un blocage effectif, il faut en outre appliquer une tension négative aux bornes du composant, sans quoi celui ci pourrait se ré enclencher. Compte tenu des source définies pour cet exercice, un seul thyristor ne peut suffire : source de tension : est alternative, et le thyristor est bidirectionnel en tension. Cela correspond bien. source de courant (l ampoule) : est alternative, alors que le thyristor est unidirectionnel en courant. Cela ne correspond pas, et l on doit combiner plusieurs composants pour avoir la bidirectionnalité en courant. L idée est donc d associer deux thyristors en anti parallèle, ainsi que représenté Fig D 1 JD 7 JD 7 JD JD 6 D Fig. 3 Synthèse de caractéristique statique à 4 segments

3 Lorsque la tension globale U est positive, alors le thyristor t h1 peut être amorcé. Le courant qui le traverse devant être positif, le courant global I devra donc être positif. Lorsque la tension globale U est négative, alors le thyristor t h peut être amorcé. Le courant qui le traverse devant être positif, le courant global I devra donc être négatif. A partir de cet interrupteur, nous pouvons donc définir la structure du convertisseur recherché, rappelée Fig.4. K JD J D E JD E K H J D K JD E JD K 4 Fig. 4 Convertisseur AC/AC à thyristors. Analyse du fonctionnement Fonctionnement : Nous rappelons Fig.5 les formes d ondes caractéristiques du fonctionnement de ce convertisseur. 4 u r (V) et i (A) i u r t (s) u (V) t (s) Fig. 5 Formes d onde On suppose à l instant initial tous les thyristors bloqués. Lorsque la tension réseau u r devient positive, la tension u th1 devient également positive. Le thyristor t h1 est donc en position d être amorcé. Il le sera après un délai, défini par l angle de retard à l amorçage. Lorsque t h1 est amorcé, alors la tension appliquée aux bornes de l ampoule est définie par la relation u = u r. Un courant i circule donc dans cette dernière. En négligeant le 3

4 terme inductif devant le terme résistif, alors le courant i est l image de la tension u (u r ) à un rapport R près. Lorsque la tension réseau u r s annule pour changer de signe, alors la tension u s annule également. le courant i s annule de même, ce qui provoque le blocage spontané de t h1. Comme la tension réseau change de signe, la tension appliquée sur t h1 devient ainsi négative : le blocage spontané de t h1 est donc définitivement assuré. La tension réseau u r est à présent négative, la tension u th est ainsi positive. Le thyristor t h est donc en position d être amorcé. Il le sera après un délai, défini par l angle de retard à l amorçage, référencé par rapport au passage par de la tension u r. Lorsque t h est amorcé, alors la tension appliquée aux bornes de l ampoule est définie par la relation u = u r. Un courant i circule donc dans cette dernière. En négligeant le terme inductif devant le terme résistif, alors le courant i est l image de la tension u (u r ) à un rapport R près. Lorsque la tension réseau u r s annule pour changer de signe à nouveau, alors la tension u s annule également. le courant i s annule de même, ce qui provoque le blocage spontané de t h. Comme la tension réseau change de signe, la tension appliquée sur t h devient ainsi négative : le blocage spontané de t h est donc définitivement assuré. Le fonctionnement de ce convertisseur se renouvelle ainsi à chaque période de la tension réseau. On soulignera enfin que la structure Fig.4 ne nécessite pas de voie de roue libre, étant entendu que le courant dans la source de courant est nul lorsque les thyristors se bloquent. Il n est donc pas à craindre de discontinuité de courant dans cette source. Courants l ampoule. Nous donnons Fig.6 les formes d ondes qui définissent le courant i dans i (A) Fondamentales de i (A) φ 1 ip t (s) i t (s) 1 iq Fig. 6 Courant dans l ampoule Par décomposition en série de Fourier, nous savons que nous pouvons décomposer 4

5 ce courant en une onde fondamentale 1 i et ses harmoniques. L onde fondamentale 1 i est également constituée de deux composantes : 1 i p : composante de l onde fondamentale 1 i en phase avec la tension, déterminante pour la puissance active, 1 i q : composante de l onde fondamentale 1 i en opposition de phase avec la tension, déterminante pour la puissance réactive. Le calcul des composantes 1 i p et 1 i q peut être réalisé à partir du tracé donné Fig.7. EM J M J = F = F Fig. 7 Calcul des composantes 1 i p et 1 i q D après ce tracé, on peut écrire : i(ωt) = u r R = Û sin ωt R pour i(ωt) = pour π + < ωt < < ωt < π π < ωt < π + < ωt < (1) Composante 1 Î p : D après Fig.7, il vient : Par conséquent : 1 Î p = 1 π π π i(ωt) sin ωt dωt () 1 Î p = Û [ π sin ωt dωt + sin ωt dωt πr π+ = 1 Î p = Û [ ( ωt 1 ) ( πr sin ωt + ωt 1 ) π π+ sin ωt Après développement, simplification et re formulation, on obtient : (3) 1 Î p = Û ( π + πr ) sin (4) 5

6 Composante 1 Î q : D après Fig.7, il vient : Par conséquent : 1 Î q = 1 π π π i(ωt) cos ωt dωt (5) 1 Î q = Û [ π cos ωt sin ωt dωt + cos ωt sin ωt dωt πr π+ 1 Î q = Û [ π sin ωt dωt + sin ωt dωt πr π+ = 1 Î q = Û [ ( 1 ) ( πr cos ωt + 1 ) π π+ cos ωt Après développement, simplification et re formulation, on obtient : (6) 1 Î q = Û R 1 cos π (7) Puissance active : Pour le calcul de la puissance active, on peut se placer coté ampoule, ou bien coté source de tension alternative. La différence entre les deux valeurs que l on peut ainsi calculer est liée aux pertes dans les thyristors. Nous faisons l hypothèse que le rendement du convertisseur statique est unitaire. De manière générale, l expression de la puissance active P est donnée par la relation : P = n ν U ν I cos ν φ (8) ν=1 La puissance active est la somme des puissance actives mise en jeu par chacune des composantes harmoniques de la tension et du courant considérés. Si l on développe cette expression, on obtient : P = 1 U 1 I cos 1 φ + U I cos φ + + n U n I cos n φ (9) Si l on se place à présent du coté de la source de tension alternative, sachant que le courant fourni par cette source est identique au courant dans l ampoule, on peut écrire : P = Û 1 I cos 1 φ }{{} Onde fondamentale + U I cos φ + + n U n I cos n φ }{{} = Sachant que la source de tension alternative ne comprend pas d harmoniques (source de tension sinusoïdale), tous les termes ν U pour ν = jusqu à ν = n sont nuls. Par conséquent : (1) 6

7 P = Û 1 I cos 1 φ }{{} 1 Î p (11) En prenant en compte l expression de 1 Î p définie par la relation 4, il vient donc : P = Û (π + 1 ) πr sin (1) Puissance réactive : La démonstration effectuée pour la puissance active est également valable pour la puissance réactive. On doit cependant prendre en compte le fait que la puissance réactive pour une charge inductive est fournie par le réseau au consommateur inductif, et qu un signe négatif apparaît par conséquent : 1 Q = Û 1 I sin 1 φ }{{} 1 Î q (13) En prenant en compte l expression de 1 Î q définie par la relation 7, il vient donc : 1 Q = Û πr 1 cos (14) L évolution de P et 1 Q en fonction de sont présentées Fig.8, en valeurs normalisées. La puissance active est maximale pour =, et s annule pour = π. La puissance réactive de l onde fondamentale est nulle pour = et = π. Elle devient maximale pour = π. Application numérique : Pour =, P = 5W. Cela signifie que : P = Û = 5W (15) R Compte tenu de la relation 1, on en déduit que pour obtenir 5W, on doit régler = π. Pour cette valeur de, la valeur de la puissance réactive compte tenu de la relation 14 sera donc : 1 Q = 159V AR. 7

8 1.9.8 RP/U.7 RP/U et RQ/U RQ/U (degrès) Fig. 8 P et Q normalisées en fonction de 3 Dispositif commandable à la fermeture et à l ouverture 3.1 Structure On souhaite adapter le convertisseur statique précédemment défini afin de pouvoir commander les fermetures ainsi que les ouvertures des interrupteurs de puissance. C est à dire que l on souhaite mettre en œuvre des transistors (bipolaires ou MOS) au lieu de thyristors. Sachant que l on souhaite commander les ouvertures des transistors, on est susceptible de créer des discontinuités de courant dans l ampoule (source de courant) si l on n adapte pas la structure déjà définie. On doit ainsi prévoir des phases de roue libre. Cela est représenté Fig.9. E JD K JD K H K JD E JD K E 4 Fig. 9 Prise en compte de la roue libre Lorsque l interrupteur t h1 sera amorcé, l interrupteur t h devra être bloqué afin de ne pas court circuiter la source de tension u r. En revanche, toute ouverture de t h1 peut se faire alors que le courant dans la source de courant n est pas nul. Il faut donc prévoir l amorçage de t h afin d assurer la continuité 8

9 de ce courant. Les interrupteurs t h1 et t h forment ainsi une cellule de commutation : les états respectifs de ces deux interrupteurs doivent être complémentaires. De plus, la source de tension et la source de courant sont toutes deux alternatives. Les caractéristiques statiques des interrupteurs t h1 et t h doivent donc être à quatre segments, ainsi que présenté Fig ,, 6 7 6, 6, Fig. 1 Caractéristiques statiques La structure du convertisseur sera donc comme représenté Fig.11. E JD,, E 6 6 E JD K H E H K JD K JD 6 6,, K 4 Fig. 11 Structure complète 3. Analyse du fonctionnement Le fonctionnement de ce nouveau convertisseur est résumé Fig.1. On considère comme référence temporelle le moment où la tension u r s annule pour devenir positive. Après un retard défini par l angle, le transistor T 1 est commandé à l amorçage. La diode D 1 s enclenche spontanément, la tension u r étant positive. Après un retard défini par l angle β, le transistor T 1 est bloqué. A cet instant, le courant i dans la source de courant n est pas nul. Pour ne pas créer de discontinuité de courant, on doit donc amorcer le transistor T pour assurer un courant i positif. La diode D va s enclencher spontanément. C est une phase de roue libre, pendant laquelle l ampoule est court circuitée. Le courant de cette source va ainsi s annuler, provoquant le blocage spontané de D. On peut alors, à partir de ce moment, commander le blocage de T. 9

10 4 u r (V) β u t (s) u (V) et i (A) i t (s) Fig. 1 Formes d onde On considère comme nouvelle référence temporelle le moment où la tension u r s annule pour devenir négative. Après un retard défini par l angle, le transistor T 1 est commandé à l amorçage. La diode D 1 s enclenche spontanément, la tension u r étant négative. Après un retard défini par l angle β, le transistor T 1 est bloqué. A cet instant, le courant i dans la source de courant n est pas nul. Pour ne pas créer de discontinuité de courant, on doit donc amorcer le transistor T pour assurer un courant i négatif. La diode D va s enclencher spontanément. C est une phase de roue libre, pendant laquelle l ampoule est court circuitée. Le courant de cette source va ainsi s annuler, provoquant le blocage spontané de D. On peut alors, à partir de ce moment, commander le blocage de T. La succession de mises en conduction décrite ici correspond à un cycle de fonctionnement, et se répète à chaque période. Calcul des composantes active et réactive de la tension u aux bornes de l ampoule : A l aide d un développement en série de Fourrier, on peut exprimer les termes fondamentaux 1 Û s et 1 Û c déterminant l amplitude de l onde fondamentale de tension 1 Û = 1 Û s + 1 Û c. Nous rappelons Fig.13 la forme de la tension u, en fonction des angles et β. L expression de la tension réseau est donnée par la relation : u r = Ûsinωt (16) L expression de la tension u aux bornes de l ampoule est donnée par les relations : 1

11 K M J = > F = > F M J Fig. 13 Formes de la tension u u = pour π ωt π + u = u r pour π + ωt π + β u = pour π + β ωt u = u r pour ωt β u = pour β ωt π (17) Calcul de la composante 1 Û s définissant la composante active de l onde fondamentale de la tension u : 1 Û s = 1 π π π u(ωt) sin ωt dωt 1 Û s = Û [ π+β sin ωt dωt + π π+ β sin ωt dωt 1 Û s = Û [ π+β 1 cos ωt dωt + π π+ β 1 cos ωt dωt (18) = 1 Û s = Û [ [ ωt 1 π+β π sin ωt π+ + [ ωt 1 β sin ωt Après développement, simplification et re formulation, on obtient : 1 Û s = Û [ β sin (β ) cos ( + β) π (19) Calcul de la composante 1 Û c définissant la composante réactive de l onde fondamentale de la tension u : 11

12 1 Û c = 1 π π π u(ωt) cos ωt dωt 1 Û c = Û [ π+β sinωtcosωt dωt + π π+ 1 Û s = Û [ π+β sin ωt dωt + π π+ β β sinωtcosωt dωt sin ωt dωt () = 1 Û c = Û [ [ π+β cos ωt 4π + [ cos ωt β π+ Après développement, simplification et re formulation, on obtient : 1 Û c = Û π sin (β ) sin ( + β) (1) Calcul des puissances actives et réactive : En se plaçant du coté réseau, et en considérant unitaire le rendement du convertisseur statique, on peut écrire : P = Q = n ν U ν r I r cos ν φ ν=1 n ν U ν r I r sin ν φ ν=1 La tension coté réseau est supposée parfaite, et ne comporte pas d harmoniques : () ν U r = pour ν n (3) De plus, en considérant le terme inductif négligeable devant le terme résistif de l ampoule, on peut écrire (Fig.11) i r = i. On peut ainsi décomposer le courant réseau en deux composantes : Il vient ainsi : D où, d après les relations 19 et 1 : 1 Î r cosφ = 1 Î r sinφ = 1 Û s R 1 Û c R P = Û 1 Û s R (4) (5) Q = Û 1 Û c R 1

13 P = Û [ β sin (β ) cos ( + β) πr Q = Û sin (β ) sin ( + β) πr (6) Puissance réactive : Dans le cas d un symétrie de la commande par rapport au quart de la période, on a la relation : β = π (7) En reportant cette définition dans l expression de la puissance réactive donnée par la relation 6, on obtient : Q = Û sin (π ) sin ( + π ) πr }{{} (8) = Q = L intérêt de ce type de symétrie dans la commande est l annulation de la puissance réactive prélevée sur le réseau, indépendamment de la valeur de l angle. Il reste donc un degrés de réglage pour fixer la valeur de P. Puissance active : Dans le cadre d une commande symétrique, et en posant : Il vient par conséquent : β = π δ = β = δ = π P = Û [ δ sin δ cos ( + δ) πr = P = Û πr [ δ + sin δ (9) (3) Application numérique : Pour la topologie précédemment étudiée (convertisseur à thyristors), nous avions établi que : = π = P = Û = 5W (31) 4R Si l on souhaite obtenir à présent obtenir la même valeur de puissance, on devra vérifier la relation : Û [ Û δ + sin δ = πr 4R (3) 13

14 Après simplification, on obtient une relation portant sur δ, qui est une condition pour avoir P = 5W : δ + sin δ π = (33) Pour déterminer la valeur numérique de δ qui vérifie cette relation, on peut utiliser la méthode de Newton Raphson. On pose : y(δ) = δ + sin δ π (34) On choisi comme condition initiale pour δ : δ = π Itération 1 : δ = π y(δ ) = π + sin π π = 1 y (δ ) = dy(δ ) dδ = 1 + cos δ = 1 (35) Itération : = δ 1 = δ y(δ ) y (δ ) =.57rad δ 1 =.57rad y(δ 1 ) =.57 + sin.57 π =.46 y (δ 1 ) = dy(δ 1) dδ = 1 + cos δ 1 = 1.84 (36) Itération 3 : = δ = δ 1 y(δ 1) y (δ 1 ) =.8rad δ =.8rad y(δ ) =.8 + sin.8 π =. y (δ ) = dy(δ ) dδ = 1 + cos δ = 1.68 (37) = δ 3 = δ y(δ ) y (δ ) =.83rad 14

15 Itération 4 : δ 3 =.83rad y(δ 3 ) =.83 + sin.83 π = 1.58.e 3 y (δ 3 ) = dy(δ 3) dδ = 1 + cos δ 3 = 1.67 (38) = δ 4 = δ 3 y(δ 3) y (δ 3 ) =.831rad Pour δ =.831rad = 47.6 o, la puissance active absorbée sera donc 5W, alors que la puissance réactive sera nulle. Représentation de P = f(δ) : Sachant que Û R P = f(δ) pour δ compris entre et 18 degrés. = 5W, nous donnons le tracé de P (W) δ (degrés) Fig. 14 Puissance en fonction de δ Représentation de la caractéristique de commande 1 Û s = f(δ) : De même, à partir de la relation 19, nous donnons le tracé de 1 Û s = f(δ) pour δ compris entre et 18 degrés, et Û =.3V. 15

16 Us (V) δ (degrés) Fig. 15 Tension 1 Û s en fonction de δ 16

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