Calcul de rayon de convergence concret

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1 [ édité le 24 septembre 206 Eocés Calcl de rayo de covergece cocret Exercice [ 0097 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : (a) z (b) 0 e 2 z Exercice 2 [ ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de : (a) 0!z (b) ) 0 z ( 2 (c) l 2 z 2 (d) 0! z3 Exercice 3 [ ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : (c) 0 (3)! z (!) 3 (d) ( + ) 0 + z (a) 0 z 2 (b) 0 si()z (c) si() z 2 Exercice 4 [ ] [Correctio] (a) Détermier les rayos de covergece des séries etières ( ) + l x et si(e )x (b) Ue série etière coverge-t-elle ormalemet sr so disqe overt de covergece? Exercice 5 [ ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de la série etière a x où (a ) est la site détermiée par a 0 α, a β et N, a +2 2a + a avec (α, β) R 2. Exercice 6 [ ] [Correctio] Qel est le rayo de covergece de π 2 +2 x 2? Exercice 7 [ 0284 ] [Correctio] O ote a la -ième décimale de 3. Qel est l itervalle de défiitio de + a x? Exercice 8 [ ] [Correctio] Soit α R. Qel est le rayo de covergece de cos(α) x? Exercice 9 [ ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières sivates : d()z et s()z où d() et s() désiget respectivemet le ombre de divisers spériers à de l etier et la somme de cex-ci. Exercice 0 [ ] [Correctio] Soit α réel irratioel fixé. O ote R α le rayo de covergece de la série etière (a) Démotrer qe R α. (b) O cosidère la site ( ) défiie par Démotrer qe por tot etier x si(πα) 2 et, + ( ) + ( + ) E dédire qe la série de terme gééral / coverge. Das la site, o pose α et o admet qe α est irratioel. Diffsio atorisée à titre etièremet gratit iqemet - dd

2 [ édité le 24 septembre 206 Eocés 2 (c) Démotrer q il existe e costate C strictemet positive telle qe, por tot etier : π C (d) Démotrer qe R α 0. k+ (e) Qestio sbsidiaire : démotrer qe α est effectivemet irratioel. Éocé fori par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Diffsio atorisée à titre etièremet gratit iqemet - dd

3 [ édité le 24 septembre 206 Correctios 3 Correctios Exercice : [éocé] (a) (z) z. Por tot z 0, +(z) (z) z doc R 3. (b) (z) z e 2. Por tot z C, 2 (z) 0 doc R +. (c) (z) l z 2. Por tot z 0, +(z) 2 (z) l(+) 2 l z 2 z 2 doc R. (+) 2 (d) (z)! z3. Por tot z 0, +(z) (z) (+) z 3 e z 3 doc R e /3. Exercice 2 : [éocé] (a) (z)!z. Por tot z 0, + (z) (z) ( + ) z + doc R 0. (b) (z) ( 2 ) z. Por tot z 0, doc R /4. + (z) (z) (c) (z) (3)! (!) 3 z. Por tot z 0, (d) doc R /27. or e l + (z) (z) 3 (2 + 2)(2 + ) ( + ) 2 z 4 z (3 + 3)(3 + 2)(3 + ) ( + ) 3 z 27 z ( ) + + e + l(+) e l e l e l(+) + l doc Par site R. l( + ) + l l l( + /) + ( + ) + l +. 2 Exercice 3 : [éocé] (a) Posos si est carré a 0 sio (a ) e ted par vers 0 doc R mais (a ) est boré doc R. Fialemet R. (b) Posos a si. (a ) e ted par vers 0 doc R mais (a ) est boré doc R. Fialemet R. (c) Posos a (si )/ 2. (a ) est borée doc R. Por z >, la site ( si z ) e ted pas vers 0 car la site (si ) e ted pas 2 vers 0. O e dédit R et fialemet R. Exercice 4 : [éocé] (a) O a ( ) + l doc le rayo de covergece de la première série etière vat. Assi si ( e ) e doc le rayo de covergece de la dexième série etière vat e. (b) O sait q e série etière coverge ormalemet sr tot compact icls das so disqe overt de covergece, mais e revache elle e coverge pas ormalemet sr ce disqe. La série etière z est cotre-exemple car R et z z,d(0,) Exercice 5 : [éocé] La site (a ) est e site récrrete liéaire d ordre 2. So terme gééral est doé par Si (α, β) (0, 0) alors R. Si (α, β) (0, 0) alors R +. a α + (β α) Diffsio atorisée à titre etièremet gratit iqemet - dd

4 [ édité le 24 septembre 206 Correctios 4 Exercice 6 : [éocé] Por x 0, posos π 2 +2 x 2. Après calcls doc R / π. + πx 2 + Exercice 7 : [éocé] La site (a ) est borée mais e ted par vers 0 (car 3 est pas ombre décimal). Par coséqet, por tot x <, la série mériqe a x coverge car so terme est domié par le terme sommable x. E revache a diverge car (a ) e ted par 0. O pet coclre qe le rayo de covergece de la série etière vat. O viet de voir qe la série diverge grossièremet por x, il e est de même por x. O coclt qe l itervalle cherché est ] ; [ Exercice 8 : [éocé] Série etière et série etière dérivée ot même rayo de covergece. Étdios alors le rayo de covergece de cos(( + )α)x. (cos(( + )α)) est borée doc R et e ted pas vers 0 doc R et fialemet R. (a) Pisqe si(πα) la série etière x si(πα) diverge grossièremet e et doc R α. (b) Par e récrrece facile, o motre + por tot N. O a alors (c) O a k ( + ) k+ et pisqe la site ( ) est croissate avec O e dédit k+ + + π K + k k+ k k+ (k + ) k + (k + ) k Kπ + Kπ (d) Cosidéros m N. Qad +, o a por x > 0 (k + ) k K + Exercice 9 : [éocé] d() 0 doc R d d() et le rayo de covergece de z état égal à o a assi R d. O pet coclre R d. De même, e exploitat s() 0 et o a R s. s() ( + ) 2 Exercice 0 : [éocé] Soligos qe les termes sommés por défiir la série etière ot ses car l irratioalité de α doe N, si(πα) 0 E effet Or et doc d où k mα k x m si(mπα) + k k+ k + k+ + 2N k 2 si(mπα) si π k+ k Diffsio atorisée à titre etièremet gratit iqemet - dd

5 [ édité le 24 septembre 206 Correctios 5 pis 0 si(mπα) C x m si(mπα) C (x ) + O e dédit qe x si(πα) diverge por tot x > 0 et doc R α 0. (e) Par l absrde, spposos α Q. Il existe alors etier q N tel qe qα N. Por tot N, o a alors q α N or q α q + q k k+ k avec comme v ci-desss O e dédit Or C est absrde. k q 0 < q k+ k+ N N < qk + 0 Diffsio atorisée à titre etièremet gratit iqemet - dd