MASTER MATH. Le premier semestre

Transcription

1 MASTER MATH Le master comprend quatre semestres ; durant les trois premiers, les étudiants suivent des cours qu ils doivent valider. Le quatrième est dévolu à un stage en entreprise pour le parcours professionnel, en laboratoire de recherche pour le parcours de mathématiques fondamentales. Le premier semestre Chaque étudiant doit suivre quatre modules, dont au moins trois parmi ceux qui figurent ci-dessous ; le dernier peut être choisi dans le Master d INFO ou le Master MASS. L étudiant doit par ailleurs suivre un stage informatique et un module d anglais. Il sera par exemple conseillé aux futurs agrégatifs de suivre les 4 cours du parcours «fondamental». Notons que la classification des cours dans les rubriques «professionnelle» et «fondamentale» n est qu indicative. La durée totale des cours est de 54 heures ; la répartition entre cours et TD sera précisée pour chacun d eux par l enseignant responsable. 1. Algèbre, arithmétique et applications (A. Beauville, A. Ducros, M. Merle) anneaux, idéaux ; divisibilité, anneaux principaux, anneaux factoriels, anneaux noethériens ; anneaux de polynômes, en particulier du point de vue des propriétés énoncées ci-dessus ; modules de type fini sur un anneau principal, applications à l algèbre linéaire et aux groupes abéliens de type fini, algorithmes matriciels correspondants. 2. Géométrie pour la CAO (A. Galligo, M. Elkadi, L. Rifford) polynômes de Bernstein ; courbes et surfaces de Bézier, régularité des raccords ; formes fondamentales, courbures, maillages, calculs des invariants par discrétisation. 3. Probabilités Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, loi forte des grands nombres, applications à la simulation numérique, Monte Carlo ; convergence en loi ; critères ; théorème de P. Levy, théorème de la limite centrale ; applications à la notion d intervalles de confiance ; vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires ; théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires ; application au test du chi2 d adéquation à une loi ; espérances conditionnelles ; temps d arrêt associés à une filtration ; martingales, surmartingales, inégalités de Doob ; théorème d arrêt, théorèmes de convergence ; applications en théorie des jeux et finance ; chaîne de Markov associée à un noyau de transition markovien sur E dénombrable ; propriété de Markov forte ; récurrence et transience ; applications : marches aléatoires, dynamique de population, files d attentes. 1

2 4. Intégration et Analyse Fonctionnelle espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces de Banach ; espaces l p, L p, C k ; convolution, théorèmes de densité ; transformation de Fourier dans L 1 et L 2 ; applications. 5. Modélisation et résolution numérique des EDP (18h cours, 18h tds, 18h tps) Equation de Laplace et de Poisson ; équation de la chaleur ; équation d advection, équation des cordes vibrantes ou des ondes équation de Burgers ; classification des edps ; résolution analytique par séries de Fourier ; schḿas aux différences finies : stabilité, consistance, convergence ; partie programmation et projet. 6. Algèbre appliquée (18h cours, 18h tds, 18h tps) (A. Galligo, M. Elkadi) Représentation des objets algébriques ; techniques modulaires pour le calcul formel, remontées de Hensel ; algèbre linéaire et polynômiale ; partie programmation et projet. Le deuxième semestre Chaque étudiant doit choisir quatre modules dans la liste suivante. Il y a aussi un mémoire-projet. 1. Algèbre approfondie (A. Beauville, A. Ducros, M. Merle) extensions de corps, théorie de Galois, constructions à la règle et au compas, résolubilité par radicaux ; corps finis, applications à la cryptographie et aux codes correcteurs d erreurs. 2. Groupes et géomètrie (A. Beauville, A. Dimca, Ph. Maisonobe) groupes et actions de groupes ; groupes de transformations en géométrie affine et euclidienne. 3. Analyse Hilbertienne espaces de Hilbert ; 2

3 bases orthonormées, opérateurs auto-adjoints, exemples ; applications : Sturm-Liouville, analyse convexe, traitement du signal. 4. Distributions et EDP distributions ; EDP classiques : laplacien, ondes, chaleur à coefficients constants ; analyse de Fourier et espaces de Schwartz, introduction aux espaces de Sobolev, problème de Dirichlet dans un ouvert borné. 5. Géométrie différentielle (L. Rifford, A. Dimca, F. Robert) sous-variété de R n, immersions, submersions vecteurs tangents ; vecteurs tangents, cotangents, fibré tangent cotangent ; dérivations, champ de vecteurs, formes différentielles ; théorie de Morse, classification des surfaces. 6. Systèmes dynamiques Cauchy-Lipschitz, flot, redressement ; systèmes linéaires ; linéarisation, stabilité, méthode de Lyapunov ; Poincaré-Bendixon, orbites périodiques, Floquet Géométrie algébrique effective (A. Dimca, A. Galligo, M. Elkadi) Bases de Gröbner et applications ; géométrie algébrique affine (le dictionnaire). 8. Lois de conservation et volumes finis Exemples d équations de transport et de systèmes hyperboliques ; Méthodes des caractéristiques, solutions faibles, ondes de choc et raréfaction, entropies, flux non-convexe et problème de Riemann, méthode de viscosité pour les lois de conservation scalaires ; Méthode des volumes finis et décentrement, notion de consistence et stabilité numérique, étude de convergence (maillage régulier et irrégulier), estimations d erreur, schémas d ordre deux et reconstructions non-linéaires ; Etude expérimentale des principaux flux numériques pour les lois de conservation scalaires non-linéaires (méthode centrée, Lax-Friedrichs, Enquist- Osher, Godunov, Murman-Roe,...) Extensions aux équations d advection-diffusion-réaction (avec termes source), comparaison avec les équations paraboliques à faible viscosité, problème des conditions aux limites pour la méthode des volumes finis ; application aux systèmes 2x2 symétriques ; problèmes de maillage pour l extension en deux dimensions d espace ( splitting dimensionel sur des maillages cartésiens et intégration d un building block unidimensionel dans un code bidimensionel). 9. Statistiques a remplir Optimisation et Contrôle (mutualisé avec MASS) optimisation convexe ; théorie du contrôle linéaire, Kalman, théorie LQR ; 3

4 contrôle non-lináire, commandabilité, stabilisation. Les étudiants peuvent aussi valider un des modules suivants : Calcul Stochastique/ Mathématiques Financières (MASS), Calculabilité et Complexité (M1 Informatique). Le troisième semestre (12 semaines) L étudiant doit choisir cinq modules en parcours maths fondamentales ou pro. Les modules sont étalés sur six semaines (24 heures au total) ou douze semaines (48 heures au total). topologie algébrique (6 semaines ) (C. Berger, F.X. Dehon) ; topologie des singularités (6 semaines) (A. Dimca, M. Merle) ; géométrie riemannienne (6 semaines) (L. Rifford, F. Robert) ; méthodes mathématiques de l informatique (6 semaines) (A. Hirschowitz) ; géométrie algébrique : courbes projectives et théorie des codes (12 semaines) (A. Beauville, A. Ducros, C. Walter) ; analyse, modélisation et simulation (12 semaines). 1. Eléments finis (16h cours, 16h tds, 16h tps) A remplir. 2. Assimilation de données (16h cours, 16h tds, 16h tps) A remplir. 3. Algorithmique de factorisation multivariable (16h cours, 16h tds, 16h tps) (A. Dimca, A. Galligo, M. Elkadi) Stratégies pour la factorisation rationnelle (spécialisation, remontée et recombinaison) ; stratégies pour la factorisation absolue (méthodes transcendantes par monodromie, matrice de Ruppert-Gao et lien avec la cohomologie). 4. Algorithmique des courbes et surfaces (16h cours, 16h tds, 16h tps) calcul sur les nombres algébriques, approximation et certification des calculs, résolutions approchées des systèmes polynômiaux et application aux calculs d intersection, d auto-intersection et singularités, 4

5 certification de la topologie de courbes et surfaces réelles. 5