Afin de dégager une tendance générale, on élimine les fluctuations les plus grandes en lissant la série.

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1 I MOYEES MOBILES 1 Série chronologique Définition Une série chronologique orte sur des observations réalisées dans le tems, usuellement à intervalles égaux. EXEMPLE : On a relevé les réciitations, en mm/m, dans le Var, endant les douze mois de l'année 1996 : Mois Pluie Afin de dégager une tendance générale, on élimine les fluctuations les lus grandes en lissant la série. Moyenne mobile d'ordre Définition Soit une série chronologique renant les valeurs x 1, x,..., x aux dates d 1, d, d. Lisser la série ar les moyennes mobiles d'ordre revient à remlacer la série (x 1, x,..., x ) ar la série (y, y,.., y 1 ) avec y i = x i 1 + x i + x i+1 our 0 i 1. Remarque : La série lissée comorte deux valeurs en moins. Date d 1 d d 1 d Série initiale x 1 x x 1 x Série lissée y = x 1 + x + x y 1 Un exemle On considère la série chronologique suivante donnant les temératures moyennes mensuelles en un lieu donné. Les mois de janvier à décembre sont notés de 1 à 1. date temérature t Considérons la nouvelle série définie ainsi : T = t l + t + t T = t + t + t 4 T 4 = t + t 4 + t 5. T 11 = t 10 + t 11 + t 1 Ainsi, T est la moyenne des nombres t 1, t, t ; T est la moyenne des nombres t, t, t 4, etc. Cette nouvelle série ainsi définie est aelée série des moyennes mobiles d'ordre. Remarque : Cette série contient 10 valeurs, T, T,..., T 11, et non as 1 comme la série initiale. On eut rerésenter les deux séries dans un même tableau. rang série initiale ti série des moyennes mobiles Ti d'ordre Rerésentation grahique Sur le diagramme ci-dessous sont rerésentées deux séries : la série initiale, en vert contenant 1 valeurs ; la série des moyennes mobiles, en rouge, contenant 10 valeurs. Pour chacune des séries, les oints sont reliés ar une ligne olygonale

2 Moyennes mobiles d'ordre k À artir de la série chronologique récédente (aragrahe 4.1), on définit de même s la série des moyennes mobiles d'ordre 5 : T = t l + t + t + t 4 + t 5 T 4 = t + t + t 4 + t 5 + t 6 5 Cette nouvelle série ne contient que 8 valeurs. Plus généralement, on définit de manière analogue la série des moyennes mobile d'ordre 5.

3 II DIAGRAMMES E BOITE 1 Quartiles a) Définition Soit une série statistique dont les valeurs sont rangées ar ordre croissant. x 1 x x n Les quartiles artagent cette série en quatre arties qui ont toutes sensiblement le même effectif. Le remier quartile Q 1 d une série statistique est la lus etite valeur de la série telle qu au moins 5% des valeurs de celle-ci lui soit inférieures ou égales. Le troisième quartile Q d une série statistique est la lus etite valeur de la série telle qu au moins 75% des valeurs de celle-ci lui soit inférieures ou égales. b) Méthode ratique Si est l'effectif total de la série. Le remier quartile Q 1 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le lus etit entier suérieur ou égal à 4. Le troisième quartile Q est la valeur x i dont l'indice i est le lus etit entier suérieur ou égal à 4 c) Exemle 1 x l x x x 4 x 5 x 6 x 7 x = 8 : 4 = donc Q 1 = x =. 4 = 6 donc Q = x 6 = 10 x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x = 9 : 4 =,5 donc Q 1 = x = 4. 4 = 6,75 donc Q = x 7 = 10. d) Avec des effectifs cumulés x i 10,5 11, 14, 15,1 5, 4,5 9, n i = 9,5 et 11 < 9,5 45 donc Q 1est la valeur de rang 40 c'est à dire 11, = 79 et 57 < 79 8 donc Me est la valeur de rang 79 c'est à dire 15,1 = 118,5 et 8 < 118,5 119 donc Q 4 est la valeur de rang 119 c'est à dire 5,. Ecart interquartile L'intervalle [Q 1 ; Q ] est aelé intervalle interquartile. Le réel Q Q 1 est aelé écart interquartile. Généralement, on a :

4 Diagramme en boîte On lace sur un axe : le minimum, le maximum, le remier quartile, le troisième quartile et la médiane On construit alors une boîte rectangulaire de largeur arbitraire dont les extrémités sont Q 1 et Q. Un trait dans la boîte rerésente la médiane. Le diagramme en boîte d'une série statistique en est alors la rerésentation suivante : Exemle: Pour la série 1 ; ; 4 ; 5 ; 9; 9 ; 10 ; 15 ; 18, on a : M e = 9, Q 1 = 4 et Q = 10. Remarque : On eut aussi construire cette boîte verticalement. Remarque : les «moustaches» s arrêtent arfois aux déciles D 1 et D 9. Définitions : Le remier décile D 1 d une série statistique est la lus etite valeur de la série telle qu au moins 10% des valeurs de celle-ci lui soit inférieures ou égales. Le neuvième décile D 9 d une série statistique est la lus etite valeur de la série telle qu au moins 90% des valeurs de celle-ci lui soit inférieures ou égales. Ce diagramme, aelé aussi boîte à moustaches ou boite à attes a été inventé ar John W. Tukey ( ). Exemle x i 10,5 11, 14, 15,1 5, 4,5 9, n i = 9,5 donc Q 1est la valeur de rang 40 c'est à dire 11, = 79. Donc Me est la valeur de rang 79 c'est à dire 15,1 = 118,5 Donc Q 4 est la valeur de rang 119 c'est à dire 5,. min Q 1 Me Q Max

5 III MOYEE, VARIACE ET ECART-TYPE 1 La moyenne a) Définition : La moyenne d une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série ar l effectif total. On la note x. On a : x = n 1 x 1 + n x + + n x n 1 + n + + n On note x = n i x i i=1 i=1 n i = n 1 x 1 + n x + + n x Avec les fréquences : x = f 1 x 1 + f x + + f x = f i x i. i=1 avec = n 1 + n + + n (effectif total). Dans le cas d un caractère continu dont les valeurs sont regrouées en classe, on calcule la moyenne en choisissant comme valeurs du caractère les centres des classes. b) Proriétés : Si une série est artagée en deux séries d effectifs et P, et de moyennes x et y alors la moyenne de la série totale est z = x + P y + P Linéarité : - Si on multilie chaque valeur de la série ar un réel a (a 0), alors la moyenne est multiliée ar a. - Si on ajoute à chaque valeur de la série le réel b, alors la moyenne augmente de b. Disersion des valeurs autour de la moyenne a) Variance Sans effectif Soit la série statistique (x 1, x,..., x n ) de moyenne x La variance V de la série est la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et la moyenne. V = (x 1 x) + (x x) + + (x x) Avec effectifs Valeur x 1 x. x Total La variance de cette série est le réel V tel que : effectif n 1 n.. n V = n 1 (x 1 x) + n (x x) + + n (x x) = n i (x i x) Avec fréquences Valeur x 1 x. x Total La variance de cette série est le réel V tel que : effectif f 1 f.. f 1 Autre formule i = 1 V = f 1 (x 1 x) + f (x x) + + f (x x) = f i (x i x) n i x i i = 1 V = x La variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. i = 1

6 Remarque Soit la fonction définie sur IR ar f(x) = (x 1 x) + (x x) + + (x x). La variance est le minimum de cette fonction c'est à dire que our tout réel x, f(x) f( x) et f( x) = V En effet on a : f(x) = 1 (x 1 x 1 x + x + x x x + x + + x x x + x ) = 1 (x 1 + x + + x x (x 1 + x + + x ) + x ) = x 1 + x + + x x x 1 + x + x + x = x 1 + x + + x x x + x = (x x) x + x 1 + x + + x = (x x) + V. Pour tout réel x on a : (x x) 0 donc f(x) V et V = f( x). f( x) = V est donc bien le minimum de la fonction f. b) Ecart tye Afin de mesurer la disersion avec la même unité que les valeurs de la série, on définit l'écart tye de la série ar σ = V. Variance et écart-tye sont des mesures de disersion ar raort à la moyenne. Plus les données sont disersées ar raort à la moyenne, lus la variance et l écart tye sont grands. Exemle x i 10,5 11, 14, 15,1 5, 4,5 9, n i x = 11 10, , , , , + 8 4, , V = 11 10, , , , , + 8 4, , = 87400,66 σ = , ,81 = , ,9 x n x = 77, 1,4 x n 77, En résumé Mesure de osition ou Mesure de disersion mesure de tendance centrale Mode Etendue Très facile à calculer mais eu significatif Moyenne Ecart-tye ( x, σ) : très déendant des valeurs extrêmes. Médiane Ecart interquartiles (Me, Q Q 1 ) Médiane Quartiles Etendue Ecart interquartiles eu déendant des valeurs extrêmes. Diagramme en boîte : très visuel.

7 IV TABLEAU A DOUBLE ETREE 1 Etude fréquentielle Pour étudier la réartition des 00 élèves de remière d'un lycée selon leur série (ES ou L ou S) et leur régime (demiensionnaire (DP) ou externe (E)), on donne le tableau à double entrée : Série ES L S Total Régime DP E Total élèves sont en série L et sont externes. La ligne «Total» et la colonne «Total» sont les marges du tableau. 80 élèves sont en S 10 élèves sont demi-ensionnaires. Le tableau des fréquences s'obtient en divisant chaque effectif ar l'effectif total. Série ES L S Total 0,15 est la fréquence des élèves qui sont en ES et qui sont externes. Régime DP 0,0 0,10 0,0 0,60 Autrement dit, 15 % de la totalité des élèves sont des externes de la série ES. E 0,15 0,15 0,10 0,40 La ligne «Total» et la colonne «Total» donnent les fréquences Total 0,5 0,5 0,40 1 marginales. 0,5 est la fréquence des élèves qui sont en L. 5 % des élèves sont en série L. Fréquence conditionnelle On s'intéresse aux 50 élèves de la série L de l'exemle ci-dessus. Parmi ces élèves, 0 sont externes : 0 soit 0,6 est la fréquence conditionnelle des externes armi les élèves de L ; on l'aelle aussi fréquence de E 50 sachant L et on la note f L (E). Remarque : f L (E) = 0,6 alors que f E (L) = 0 80 = 0,75. Pour calculer f E (L) on s'intéresse aux 80 élèves externes. armi ces élèves 0 sont des élèves de la série L. Arbre Les fréquences de réartition des élèves de remière euvent se donner aussi à l'aide d'un arbre. f DP(ES) = = 1 f E (L) = 0 80 = f 8 S (E) = 0 80 = 8 f L(DP) = / ES 4/7 DP 0,6 DP 1/6 L ES 0,5 /7 E 1/ S 0,4 /8 ES E /8 L 1/4 S On envisage la réartition des séries ES, L, S armi les élèves demi-ensionnaires et les élèves externes 0,5 L /5 DP /5 E 0,40 /4 DP S 1/4 ES On envisage la réartition des élèves demi-ensionnaires et des élèves externes armi les séries ES, L, S

8 4 Exemle On effectue une enquête aurès de 100 ersonnes, hommes (H) et femmes (F), our connaître leurs références entre les deux activités suivantes : regarder à la télévision des émissions musicales regarder à la télévision des émissions sortives (S). L'arbre ci-contre indique les résultats de cette enquête : Rerésenter les résultats : 1 à l'aide d'un tableau à double entrée ; à l'aide d'un arbre dont les deux remières branches sont calculer les fréquences marginales 10 M H 40 0 S M F 0 S M S V SERIES DE DOEES ET LEURS REPRESETATIOS 1 ature des données Une étude statistique traite de données de différents tyes : effectifs, ourcentages, indices,... Le caractère quantitatif étudié eut être discret quand il ne rend que des valeurs isolées (nombre d'enfants : 1 ou ) ou continu quand il rend ses valeurs dans des intervalles aelés classes (taille en centimètres d'individus dans les classes [165 ; 170[, [170 ; 175[ ). Définition 1 Pour un caractère renant ses valeurs dans des classes, on construit des rectangles dont les aires sont roortionnelles aux effectifs. La rerésentation ainsi obtenue s'aelle un histogramme. Remarque Si tous les intervalles ont la même amlitude, la hauteur des rectangles est roortionnelle à l'effectif. EXEMPLE : On donne la réartition des notes de0 élèves ote [0; 5[ [5 ; 10[ [10;15[ [15 ; 0[ Effectif