Les mesures de tendance centrale
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- Eugénie St-Denis
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2 CHAPITRE 7 Les mesures de tedace cetrale Les mesures de tedace cetrale servet à caractériser ue série statistique à l aide d ue valeur ou d ue modalité typique. Il existe trois mesures possibles : le mode, la médiae et la moyee. 1. Le mode 1.1. Itroductio au mode. Débutos par la défiitio du mode d ue distributio. Défiitio 7.1 (Le mode). Le mode d ue série de doées correspod à la valeur ou à la modalité la plus fréquete. O ote le mode par Mo. Cette mesure est valide pour les variables qualitatives et quatitatives et pour tous les types d échelle de mesure. Regardos u exemple. Exemple 7.1. Soit le tableau suivat : Ici, Mo est Carla Brui, Tab. 1. Répartitios, e pourcetage, des votes aux électios muicipales. Cadidat Pourcetage des votes (% ) Joël Allard 13 Carla Brui 45 Jules Vere 4 Richard Zetik 18 Total 100 car c est la modalité qui possède la plus grade fréquece. 1.. Variables regroupées e classes. Lorsque les doées sot regroupées e classe, il est plus difficile de parler du mode. O détermiera alors la classe modale. Celle-ci correspod à la classe possédat la plus grade fréquece. Il faut cepedat s assurer que toutes les classes sot de la même dimesio, sio la classe modale est pas représetative. Das le cas où il y a ue classe ouverte, il y a habituellemet aucu problème, car il s agit de cas margiaux. 7
3 8 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE Exemple 7.. Soit le tableau suivat : Tab.. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, Durée du rège Nombre de moarques Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. Ici, la classe modale est Si l o est vraimet détermié à calculer le mode, o peut predre le milieu de la classe modale, c est-à-dire que Mo = 5 das le derier exemple Variables sas mode. Il faut cepedat faire attetio avec la représetativité du mode. L exemple suivat démotrera ce que ous voulos dire. Exemple 7.3. Soit les résultats suivats : Si l o se fie à la dé- Tab. 3. Répartitios des 135 étudiats du cours de Méthodes quatitatives H08 selo leur jour de aissace. Jours Nombre de moarques Ludi 18 Mardi 0 Mercredi Jeudi 19 Vedredi 0 Samedi 17 Dimache 19 Total 135 Source : La tête du prof!! fiitio du mode, ous avos que Mo = Mercredi. Par cotre, o e peut pas vraimet affirmer que c est la modalité qui reviet le plus
4 . LA MÉDIANE 9 souvet puisqu elle e se distigue pas des autres. O remarque que les fréqueces sot assez uiformémet distribuées. Das le cas où le mode est pas révélateur, o dit que la variable a pas de mode Distributio bimodale. Ue distributio est dite bimodale si sa variable possède deux modalités ou valeurs qui se distiguet des autres e terme de fréqueces. Exemple 7.4. Voici la distributio des étudiats d u cours selo la ote de leur devoir. O remarque que le ombre d étudiats ayat Répartitio des otes d u devoir de 50 étudiats du cours de méthodes quatitatives 15 Fréquece Note Fig. 1. Exemple de distributio bimodale. obteus u 9 est supérieur aux autres. Par cotre, le ombre d étudiats ayat obteus u 4 est sesiblemet le même. Ces deux valeurs se démarquet des autres otes. O a doc deux modes, soit 4 et 9.. La médiae Pour trouver la médiae, ous devos placer les valeurs ou les modalités e ordre croissat. Aisi, cette mesure est pas valide pour des variables à échelle omiale, car il y a pas d ordre das les modalités. La médiae correspod à la modalité ou la valeur qui divise la distributio e deux, c est-à-dire qu il y a la même fréquece à gauche et à droite de la médiae. Regardos commet détermier cette mesure.
5 30 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE.1. Médiae pour ue variable qualitative ordiale. Pour détermier la valeur de la médiae, il faut tout d abord placer les résultats e ordre croissat. Par la suite, o trouve la positio de la médiae. Celle-ci est +1 si est pair et si est impair ( état le ombre de doées). Exemple 7.5. O a demadé à 5 persoes la qualité de la ourriture servie à la cafétéria. Les ges utilisaiet ue échelle de 1 à 5, 5 état Excellete et 1 Médiocre. Voici la série de résultats :, 4, 3, 4,, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 3,,3, 4,5, 3,5, 4,3 Puisque = 5, la positio de la médiae se trouve à la positio 5+1 = 13 des doées placées e ordre croissat.,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 ßÞÐ 13e Aisi, la médiae, otée Me, est Me = 4., 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Exemple 7.6. Trouvos la médiae des doées suivates : Puisque Tab. 4. Répartitio des répodats, selo le iveau d aptitude à la lecture. Niveau Nombre de répodats Cumulatif des répodats Total 50 = 50 est u ombre pair, la positio de la médiae est doc 50/ = 15. La doée à la positio 15 se trouve das la quatrième classe d où Me = 4... Médiae pour ue variable quatitative. Le calcul de la positio de la valeur de la médiae est légèremet différet que celui pour des variables qualitatives ordiales. Voici la règle : Si est impair: la positio de la valeur médiae est + 1. Si est pair: la valeur de la médiae correspod à la moitié de la somme des valeurs aux positios et + 1. Regardos quelques exemples. Exemple 7.7. Soit la série de 7 doées suivate : 1,, 4, 6, 7, 13, 18
6 . LA MÉDIANE 31 Trouvos la médiae. Puisque est impair, la positio de la médiae est + 1 = 4. La valeur à la 4 e positio est 6, d où Me = 6. Ajoutos ue doée à cette série et trouvos la médiae. Exemple 7.8. Soit la série de 8 doées suivate : 1,, 4, 6, 7, 9, 13, 18 Puisque est pair, la médiae correspod à la moitié de la somme des valeurs aux positios / et / + 1. Preos doc les valeurs aux positios 4 et 5, c est-a-dire 6 et 7. D où, Me = = Médiae pour des variables regroupées e classes. La techique pour détermier la médiae lorsque les doées sot regroupées e classes écessite u peu de réflexio. Étudios la méthode à l aide d u exemple. Exemple 7.9. Trouvos la médiae des doées suivates : Tab. 5. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, Durée du rège Nombre de moarques Fréqueces cumulées Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. La première étape est de calculer la fréquece cumulée afi de détermier la classe médiae, c est-à-dire la classe qui cotiet la médiae. Ici, il y a 61 doées. Aisi, la médiae se trouve à la positio +1 = 31. Cette positio se trouve das la classe 10 0 que l o omme classe médiae. Il reste à détermier la médiae qui se trouve etre 10 et 0. Pour se faire, il faut utiliser les proportios. O sait que la positio de la valeur 10 est plus petite que. De même, celle de la valeur de 0 est iférieur 38. O cherche la valeur de la doée de la positio
7 3 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE 31. O cherche à garder le même rapport de valeurs etre les positios pour toute la classe. Aisi, 0 10 Me 10 = E isolat Me, o obtiet Me = La moyee La moyee est la mesure de tedace cetrale la plus coue. O la ote x ou µ selo si les doées correspodet à u échatillo ou ue populatio. Regardos la défiitio géérale de la moyee. Défiitio 7. (Moyee). Soit ue série de doées x 1, x, x 3,..., x. La moyee de cette distributio est doée par la formule x = x 1 + x + x x. O écrit souvet la moyee sous ue forme abrégée x = 1 Exemple Trouver la moyee de la série de 5 doées suivate : k=1 x k., 4, 3, 4,, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 5,4, 3,, 3,4, 5,3, 5,4, 3. x = x 1 + x + x x = x 1 + x + x x 5 5 = 1 5 ( ) = 95 5 =3.76
8 3. LA MOYENNE Moyee de doées regroupées par valeurs. Lorsque les doées sot groupées par valeurs, o calcule la moyee à l aide de la formule suivate : où x = 1 k i=1 v i f i = v 1f 1 + v f v k f k, v i est la i-ème valeur f i est la fréquece de la i-ème valeur k est le ombre de valeurs possibles est le ombre de doées Exemple Trouvos la moyee des résultats présetés das le tableau suivat : Note obteue à u mii-test Fréqueces Total 5 x = v 1f 1 + v f v k f k = = Moyee de doées regroupées par classes. Lorsque les doées sot regroupées e classes, o e coaît pas la valeur de la variable pour chaque fréquece. O pred alors le milieu de la classe. La moyee est obteue avec la formule suivate : où x = 1 k i=1 m i f i = m 1f 1 + m f m k f k, m i est le milieu de la i-ème classe f i est la fréquece de la i-ème classe k est le ombre de classes est le ombre de doées Exemple 7.1. Trouvos le temps moye de rège des moarques de l Agleterre. O cherche µ, car c est ue populatio.
9 34 7. LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE Tab. 6. Répartitios des moarques d Agleterre (roi ou reie) selo la durée de leur rège, Durée du rège Nombre de moarques Total 61 Source : R. Porkess, Dictioary of Statistics, Lodres, Collis, 1988, p.70. µ = m 1f 1 + m f m 7 f 7 N = 61 = = 18.8 as
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