La fonction puissance

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1 La fonction puissance Table des matières Fonction puissance. Définition Propriétés Eercices Etude de la fonction puissance. Variation Limite en l infini Tableau de variation et courbe Étude d une fonction Étude d une fonction classique La racine n-ieme 8. Définition Simplification et résolutions Croissance comparée 9 4. En + l infini En moins l infini Application : eo type BAC PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

2 FONCTION PUISSANCE Fonction puissance. Définition Définition : On appelle fonction puissance d un réel a positif, la fonction f a définie sur R par : a > 0 f a () = a avec a = e ln Eemple : = e ln et 5 = e ln 5 Remarque : Il s agit de la généralisation de la fonction puissance avec les entiers relatifs. Cependant cette généralisation se fait au détriment de la puissance d un nombre négatif qui était possible pour les entiers relatifs mais qui à cause de ln a devient impossible pour une puissance réel. ( ) 5 est possible mais ( ) n eiste pas! Conséquence La fonction puissance est strictement positive du fait de sa notation eponenetielle. R a > 0. Propriétés On retrouve les mêmes propriétés de la fonction eponentielle avec la fonction puissance : Propriété : Pour tous réels positifs a et b, on a les égalités suivantes pour et y réels : ln a = ln a a +y = a a y et a y = a a y (a ) y = a y (ab) = a b. Eercices ) Résoudre dans R : = + On revient à la notation eponentielle : e ln (+) ln = e ln = (+) ln (ln ln ) = ln ln = ln ln PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

3 ) Résoudre dans R : ( ) = On revient à la notation eponentielle : ) Résoudre dans R : ( e ln = e ln ln = ln ln ln ln = ln ) On revient à la notation eponentielle : e ln e ln ln ln car ln > 0 S = [ ;[ 4) Résoudre dans R + : On revient à la notation eponentielle : e ln e ln ln ln ln ln e ln S =]0; e ln [ Etude de la fonction puissance. Variation Soit la fonction f a définie sur R par : f a () = a. Comme a = e ln a, elle est continue et dérivable sur R car composition de fonctions continues et dérivables sur R. On a alors : ( f a() = e ln a) = ln a e ln a = ln a a Le signe de la dérivée dépend donc du signe de ln a. On a alors : Si a >, on a alors R f a() > 0 la fonction puissance est croissante. Si 0 < a <, on a alors R f a() < 0 la fonction puissance est décroissante. PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

4 4 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE. Limite en l infini a > ln a = e = Par composition, on a a = De même, on montre que : a = 0 0 < a < ln a = e = 0 Par composition, on a a = 0 De même, on montre que : a =. Tableau de variation et courbe a > 0 < a < 0 0 f a() + f a() f a () 0 a f a () a 0 a a O O.4 Étude d une fonction Soit la fonction f définie sur R par : f() = ) Limite en = = Par produit = PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

5 .4 ÉTUDE D UNE FONCTION 5 ) Limite en. forme indéterminée : 0 On cange la forme : f() = e ln On pose alors : X = ln, on a alors : Si on a : X La fonction devient alors : Xe X ln or on sait que : X XeX = 0, donc on en déduit que : = 0 On en déduit une asymptote orizontale : l ae des abscisses en. ) Variation f () = e ln + ln e ln = (+ ln ) On sait que : R > 0 donc : : signe f () = signe(+ ln ) f () = 0 = ln (, 4) On a donc le tableau de variation suivant : f () f() ln e ln f ( ) = ln ln e ln ln = e ln ( 0, 5) 4) La courbe PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

6 6 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE 5 4 O.5 Étude d une fonction classique Soit la fonction définie sur R + par : { f() = ) Étude de la continuité en 0 f(0) = pour > 0 Pour > 0, on a f() = e ln, on a alors les ites suivantes : ln = e Par composition = = Comme 0 + = f(0), la fonction est continue en 0. ) Étude de la dérivabilité en 0 Il faut étudier le rapport f() f(0) f() f(0) quand tend vers 0. = e ln C est une ite indéterminée du type 0. On cange de variable : 0 H = ln On a alors : Si 0 on a : H 0 f() f(0) Comme on sait que : H 0 + e H H = HeH H ln = ln eh H = et ln =, on a : 0 + f() 0 + = f n est pas dérivable en 0 mais sa courbe possède une tangente verticale en 0. PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

7 .5 ÉTUDE D UNE FONCTION CLASSIQUE 7 ) Limite en l infini On montre facilement par produit et composition que : = 4) Variation est dérivable sur R + car composition de fonctions dérivables sur cet intervalle. On a alors : f () = (ln + ) e ln = (ln +) Comme est positive sur R +, on a : signe f () = signe(ln +) De plus, on a : f () = 0 ln = = e ( 0, 7) Comme la fonction ln est croissante sur R + la fonction f est négative puis positive. On a alors le tableau de variation suivant : f () 0 e 0 + f() e e f ( ) = e e ln e = e e ( 0, 69) e PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

8 8 LA RACINE N-IEME 5) La courbe e e 0.5 O e La racine n-ieme. Définition Définition : On appelle racine n e d un nombre réel positif, le nombre noté n tel que : n et n = n Remarque : Pour = 0, on peut définir : n 0 = 0. Eemple : = 5 7 = 7 5 Conséquence Pour et y postifs, si n = y alors = n y. Simplification et résolutions ) Simplifier les epressions suivantes : 4 6 et = ( 6) 4 = = + = = 9 4 = 4 = + 4 = 5 ) Résoudre l inéquation suivante dans R + : PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

9 9 ) Résoudre l équation dans R + suivante : 6 = 0 en multipliant l équation par, on obtient : ( ) 6 = 0 On pose alors X =, avec X > 0. L équation devient : X X 6 = 0 X = est racine évidente. De P = 6, on en déduit X = Comme X < 0, cette solution n est pas retenue. On obtient alors : X = = = 7 4 Croissance comparée 4. En + l infini Téorème : Pour tout entier n, on a les ites suivantes : ln e = 0 et n n = Remarque : La première ite a été vue dans le capitre sur la fonction logaritme. L idée consiste à faire un cangement de variable X = n Démonstration : De la deuième ite. On utilise la notation eponentielle pour n. On a alors : e n = e e n ln = e n ln = e ( n ln ) Or on sait que ln nln = e = = 0 donc on a : par composition e n = 4. En moins l infini Téorème : Pour tout entier n, on a les ites suivantes : 0 n ln = 0 et + n e = 0 PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

10 0 4 CROISSANCE COMPARÉE Démonstration : Pour la première ite, on pose comme cangement de variable X =, on revient alors à une ite en Pour la seconde ite, le cangement de variable est X =, on revient alors à une ite en. Remarque : Je laisse au lecteur le soin de faire ces deu démonstrations 4. Application : eo type BAC f est une fonction définie sur [0;[ par : f() = e pour > 0 f(0) = 0 ) Démontrer que la fonction f est dérivable en 0. ) Étudier les variations de f et sa ite en. ) On note T la tangente à la courbe C représentative de f au point d abscisse 0. a) Écrire une équation de la tangente T en 0 à C. b) Déterminer 0 pour que T passe par l origine du repère ortonormal coisi. 4) Pour la valeur 0 trouvée, tracer T puis C (unité grapique 6 cm) ) Pour montrer que f est dérivable en 0, il faut montrer que la quantité suivante admet une ite finie en 0 + f() f(0) On pose : H =, on a alors : La quantité devient alors : = e 0 = e Si 0 + alors H e = e H ( ) = H e H H Or on sait que H H e H = 0, donc on a : f() f(0) 0 + Conclusion : f est dérivable (donc continue) en 0 et sa courbe admet une tangente orizontale en 0. = 0 PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

11 4. APPLICATION : EXO TYPE BAC ) Variation : La fonction f est continue et dérivable sur ]0;[. On a alors : f () = e + e = 4 e ( +) On sait que : On en déduit que : ]0;[, on a 4 e > 0 signe de f () = signe de ( +) f () = 0 + = 0 = Limite en. On pose X =, donc : On a : e = X e X Si alors X 0 Or on sait que : X 0 X e X = 0 par produit des ites. Conclusion : f() = 0 Tableau de variation f () f() e 0 f ( ) = e = 4 0, 54 4 e ) a) Tangente T en 0 y = f ( 0 )( 0 )+ f( 0 ) = e ( 0 + )( 0 )+ 0 e 0 PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S

12 4 CROISSANCE COMPARÉE b) Si T passe par l origine, si l on fait = 0 dans l équation de T, on trouve y = 0. On a alors : e ( 0 + ) e 0 0 e 0 = 0 ( ) = 0 Comme e 0 0 ne s annule par, on a : 0 = 0 On a alors l équation de T : 4) Courbe et tangente : on a f 0 = y = 4 e ( + ) y = 7 e ( ) 0, 44.0 T 4 e 0.5 ( ) f O PAUL MILAN mai 0 TERMINALE S