Cours de mathématiques - Alternance Gea

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1 Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer A =. 4 1 On note A ij l élément situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j. n et m sont les dimensions de la matrice. On s intéresse essentiellement à types de matrices : les matrices carrées (n = m et les vecteurs (m = 1. Certaines matrices sont particulières : Les matrices unité : d d Les matrices diagonales : d nn U 11 U 1 U 1n 0 U Les matrices triangulaires supérieures : U Urn 0 0 U nn 1

2 L L Les matrices triangulaires inférieures : 1 L 0.. L r1 L r.. 0 L rn L nn Les matrices symétriques. Une matrice est dite symétrique si A ij = A ji 1.1 Opération sur les matrices 1. Addition, soustraction L addition et la soustraction se font terme à terme. Les deux matrices doivent avoir les mêmes dimensions : ( ( ( ( = = ( ( Multiplication par un nombre Chaque terme de la matrice est multiplié par le nombre : ( ( = Transposition La transposée A T est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A : A = ( A T = La transposée d un vecteur colonne est un vecteur ligne x 1 x = x xt = ( x 1 x x n x n

3 4. Multiplication d un vecteur-ligne par un vecteur-colonne y 1 ( x1 x x n y n = x i y i i=1 y n 5. Produit de matrice le produit de la matrice A (n m par la matrice B (m p est la matrice C (n p telle que l élément C ij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. ( = ( En effet, en effectuant les produits ligne par colonne, on obtient ( = = 9 0 ( 1 0 ( 4 1 ( = = 7 = = = = 9 On remarque que le produit de matrice n est pas commutatif : 5 1 ( =

4 En effet, en effectuant les produits ligne par colonne, on obtient ( ( 1 ( ( ( ( = = = ( ( 1 ( ( ( ( 0 = 14 = 1 = 4 1 ( ( 1 ( ( ( ( 0 4 = 19 4 = 18 4 = Exercice 1.1 Calculer AB puis BA avec A = ( hspace0.5cm et B = Exercice 1. Calculer AB puis BA avec 1 A = 1 0 et B = Déterminant d une matrice carrée Soit A = (a ij une matrice carré d ordre n. On définit le déterminant de A comme étant n det(a = a ij ( 1 i+j ij i=1 où ij est obtenue en enlevant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A. Exercice 1. Calculer le déterminant de a b c d Exercice 1.4 Calculer le déterminant de a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 4

5 Exercice 1.5 Calculer le déterminant de Exercice 1.6 Calculer le déterminant de Exercice 1.7 Calculer le déterminant de 0 a b a 0 c b c 0 Exercice 1.8 Calculer le déterminant de Système linéaire de n équations et n inconnues Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n.. où les a ij sont les coefficients du système, les x i les inconnues et les b i les termes constants. Ce système peut s écrire sous forme matricielle Ax = b avec A = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n.. a n1 a n a nn, x = x 1 x. x n, et b = b 1 b. b n 5

6 1..1 Système de Cramer Définition 1.1 Un système est dit de Cramer s il admet une solution unique. C est équivalent à dire que det(a 0. Dans ce cas, l unique solution est le n-uplet (x 1, x,, x n défini par x i = det(a i det(a où A i est la matrice obtenue en remplacant la i-ème colonne de A par B. { x + y = 1 Exercice 1.9 Résoudre x + y = 5x 1 + x x = Exercice 1.10 Résoudre x 1 + x x = x 1 x + 7x = 7 Exercice 1.11 Résoudre Exercice 1.1 Résoudre x + y + z = 4 x 4y + z = 15 x + y + z = x + y z = 8 x y + z = x + y + z = 16 Mais si le système est un peu grand ou difficile, le calcul des déterminant peut s avérer rébarbatif, et il vaut alors mieux utiliser d autres méthodes, dont la substitution. Exercice 1.1 Résoudre Cramer puis la substitution. 5x + y + z = 6 x + y + z = 8 x + y + z = 1 en utilisant la méthode de De plus, certains systèmes ne peuvent pas être résolu par la méthode de Cramer : { x + 4y = Exercice 1.14 Résoudre en utilisant la méthode de Cramer puis la substitution. x + 4y = 4 { x + 4y = Exercice 1.15 Résoudre en utilisant la méthode de Cramer puis la x + 4y = 4 substitution. 6

7 1.. Décomposition LU Cette méthode exprime la matrice A sous forme du produit d une matrice triangulaire inférieure L à diagonale unité par une matrice triangulaire supérieure U : A = LU. Exemple avec n = 4 : L = L L 1 L 1 0 L 41 L 4 L 4 1 Le système devient : LUx = b soit : puis et U = Ly = b (1 Ux = y ( U 11 U 1 U 1 U 14 0 U U U U U U 44 On résout le système (1 pour trouver le vecteur y, puis le système ( pour trouver le vecteur x. La résolution est facilitée par la forme triangulaire des matrices. La méthode LU permet aussi de calculer le déterminant de A, qui est égal au produit des éléments diagonaux de la matrice U, puisque det(a = det(l det(u et det(l = 1 (Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Exercice 1.16 Sachant que = résoudre le système x y + z w = 14 x + y z + w = 4x 9y z + w = 9 x + 5y + 5z 4w =

8 Exercice 1.17 Résoudre le système suivant en calculant une décomposition LU : x 1 x + x = 14 10x 1 + 6x 19x = 8 8x 1 6x + 1x = Méthode du pivot de Gauss La méthode consiste à appliquer trois types d opérations simples sur les équations du système linéaire : 1. Intervertir deux équations.. Multiplier tous les termes d une équation par un scalaire non-nul.. Ajouter à une équation un multiple d une autre équation. Afin d utiliser les matrices pour résoudre les systèmes d équations linéaires, nous allons nous pencher sur les opérations effectuées sur les lignes d une matrice. Définition 1. On appelle opérations élémentaires sur les lignes les opérations suivantes : 1. Intervertir deux lignes de A.. Multiplier une ligne A par un scalaire.. Ajouter le produit d un scalaire et d une ligne A à une autre ligne A. On va utiliser ces opérations élémentaires sur la matrice A et sur le vecteur b simultanément jusqu à ce que la matrice ait une bonne forme. On définit parfois la matrice augmentée : a 11 a 1 a 14 b 1 a 1 a a 4 b... a 41 a 4 a 44 b n Considérons un système de quatre équations à quatre inconnues : a 11 a 1 a 1 a 14 a 1 a a a 4 a 1 a a a 4 = a 41 a 4 a 4 a 44 8 x 1 x x x 4 b 1 b b b 4

9 On choisit successivement chaque ligne comme ligne pivot ; le pivot étant le 1er élément non nul de la ligne. Ainsi, on divise la ligne 1 du système par a 11 : 1 a 1 a 1 a a 1 a a 14 a 4 a 1 a a a 4 a 41 a 4 a 4 a 44 x 1 x x x 4 = On annule le 1er terme de chacun des autres lignes : à la ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par a 1, à la ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par a 1, à la 4ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par a 41. Le système devient 1 a 1 a 1 a 14 0 a a a 4 0 a a a 4 0 a 4 a 4 a 44 x 1 x x x 4 = La ème ligne est considérée maintenant comme une ligne pivot, et a comme un élément pivot. On répète sur cette ème ligne les opérations précédentes, et on obtient après division de cette ligne par a : 1 a 1 a 1 a a a 4 0 a a a 4 0 a 4 a 4 a 44 x 1 x x x 4 = On annule les autres termes de la seconde colonne ; cest à dire : à la 1ère ligne, on retranche la seconde multipliée par a 1, à la ème ligne, on retranche la ème multipliée par a, à la 4ème ligne, on retranche la ème multipliée par a 4. On obtient 1 0 a 1 a a a a a a 4 a 44 x 1 x x x 4 = b 1 b b b 4 b 1 b b b 4 b 1 b b b 4 b 1 b b b 4 9

10 On considère ensuite la ème ligne comme pivot, puis la 4ème ligne ; ce qui donne : x 1 b ( x x = b (4 b ( x 4 b (4 4 soit la solution du système : x 1 = b (4 1 x = b (4 x = b (4 x 4 = b (4 4 On peut également améliorer cette méthode en choisissant plus judicieusement le pivot. Exercice 1.18 Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 1 x x = 6 x 11 Exercice 1.19 Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 5 4 x x = x 10 Exercice 1.0 Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 1 4 x 19 1 y = z 1 10

11 Exercice 1.1 Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 1 1 x 9 1 y = 7 1 z Exercice 1. Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 1 x y = 1 5 z 17 Exercice 1. Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss : 1 x y = 1 5 z Applications Exercice 1.4 Une usine fabrique trois produits P 1, P et P. Ces produits passent dans trois ateliers différents A, B et C, avec les temps de passages suivants : P 1 passe h dans l atelier A, 1h dans l atelier B et 1h dans l atelier C P passe 5h dans l atelier A, h dans l atelier B et h dans l atelier C P passe h dans l atelier A, h dans l atelier B et h dans l atelier C 1. Quels seront les temps d utilisation des différents ateliers lorsqu on fabriquera 8 unités de P 1, 10 unités de P et 5 de P?. Lors d un programme de fabrication, la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P 1, P et P fabriquées? Exercice 1.5 Supposez que l économie d une certaine région dépend de trois industries : service, l électricité et production de pétrole. En surveillant les opérations de ces trois industries pendant une période d un an, on était capable de tirer les observations suivantes : 11

12 1. Pour produire une unité de service, le secteur des services doit consommer 0, unités de sa propre production, 0, unités de l électricité et 0, unités du pétrole pour les besoins de ses opérations.. Pour produire une unité d électricité, l usine génératrice de puissance doit acheter 0,4 unités de service, 0,1 unités de sa propre production, et 0,5 unités du pétrole.. Finalement, la compagnie de production de pétrole consomme 0, unités de service, 0,6 unités de l électricité et de 0, unités de sa propre production pour produire une unité du pétrole. Trouvez le niveau de production de chacune de ces industries afin de satisfaire les demandes externes et internes en supposant que le modèle ci-dessus est fermé ; c est-à-dire, il n y a pas d échange de marchandises avec l extérieur du système. Exercice 1.6 Une entreprise fabrique trois types d appareils : L, C et V. Pour fabriquer un appareil L, il faut 10 kg d acier, kg de peinture et 10 h de travail Pour fabriquer un appareil C, il faut 4 kg d acier, 1kg de peinture et 6 h de travail Pour fabriquer un appareil L, il faut 10 kg d acier, 1kg de peinture et 1 h de travail Soient x, y et z les quantités respectives d appareils L, C et V fabriqués. Soient a, p et t les quantités respectives d acier (en kg, de peinture (en kg et de travail (en heures nécessaires à leur fabrication. 1. Trouver la matrice M telle que MX = Y avec. On pose M = Calculer M M. En déduire X en fonction de Y. x y z et Y =. En déduire les quantités d appareils L, C et V fabriqués en un mois, sachant que 400 kg d acier, 800 kg de peinture et 5000h de travail ont été nécessaires.. a p t. 1

13 Solutions des exercices Solution 1.1 AB = ( et BA = Solution AB = 7 hspace0.5cm et BA = Solution 1. a b c d = ad bc Solution 1.4 a 11 a 1 a 1 a 1 a aa a 1 a a a = a a 11 a a a 1 a 1 a a 1 a + a 1 a 1 a a 1 a = a 11 (a a a a a 1 (a 1 a a a 1 + a 1 (a 1 a a 1 a = a 11 a a a 11 a a a 1 a 1 a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a + a 1 a 1 a Solution Solution Solution Solution ( 1 Solution 1.9 Sa matrice associée est et = 1 = 1 0. Le système est donc de Cramer et la solution est donnée par x = = 5 et y = = 1 1 1

14 Solution 1.10 Sa matrice associée est = et = 5(7 ( ( 1 = 0 Le système est donc de Cramer et la solution est donnée par x = = 1 = 1, y = 7 7 = 15 = et z = = 6 9 = La solution est ( 1, 5,. Solution 1.11 Sa matrice associée est et = = ( 8 1 ( 6 + (1 + 8 = = 11 0 Le système est donc de Cramer et la solution est donnée par x = = = 1, y = = 11 = et z = = 9 11 = 14

15 La solution est (1,,. Solution 1.1 Sa matrice associée est et = = 1 ( ( (1 1 = 4 0 Le système est donc de Cramer et la solution est donnée par x = = = 5, y = = = et z = = = 7 La solution est ( 5, 4, 7. Solution 1.1 Sa matrice associée est = 14 La solution est donnée par x = = = 1, y = et z = 15 et = = 4 = 4 14 =

16 On peut également résoudre ce problème en utilisant une substitution : de la première équation, on tire x = 6 y z. En utilisant les deux autres équations, on obtient { y = 4 y + z = 6 ce qui donne y = 4, z = 1 puis x = 7. Solution 1.14 Sa matrice associée est ( = 0 et On ne peut donc pas utiliser la méthode de Cramer. De la première équation, on tire x = 4y. Le remplacement dans la deuxième équation donne 6 8y + 8y = 4 ce qui est impossible. Ce système n a pas de solution. ( 1 4 Solution 1.15 Sa matrice associée est et = 0 On ne peut donc pas utiliser la méthode de Cramer. De la première équation, on tire x = 4y. Le remplacement dans la deuxième équation donne 4 8y + 8y = 4 ce qui est toujours vrai. Ce système a une infinité de solutions, il suffit que x = 4y. Solution 1.16 On cherche (a, b, c, d tels que a b 1 0 c = d

17 puis (x, y, z, w tels que x y z w = On trouve (a, b, c, d = (14, 9, 9, 5 puis (x, y, z, w = (1,, 5, 1. a b c d Solution 1.17 On pose A = et On cherche L et U telles que A = LU avec f g h L = a 1 0 U = 0 k l b c m On a LU = f g h af ag + k ah + l bf bg + ck bh + cl + m On en déduit f = g = 1 h = af = 10 a = 5 ag + k = 6 k = 1 ah + l = 19 l = 4 bf = 8 b = 4 bg + ck = 6 c = bh + cl + m = 1 m = 1 17

18 Cela nous donne L = On cherche y = y 1 y y et U = tel que Ly = y 1 = y 1 + y = 8 y = 1 4y 1 y + y = 85 y = x 1 On cherche maintenant x = x tel que Ux = x On trouve (x 1, x, x = (, 1,. x 1 x + x = 14 x 1 = y 1 y y x 4x = 1 x = 1 x = Solution 1.18 La matrice augmentée est =

19 En effectuant des opérations élémentaires, on a 1 0 { L L en effectuant les substitutions : L 1 L L L en effectuant les substitutions : { L 1L { L L en effectuant les substitutions : + 6L L L 1 L en effectuant les substitutions : { L 1L { L1 L en effectuant les substitutions : 1 + L 4 L L L d où la solution x = ( 7, 5, 4. Solution 1.19 La matrice augmentée est En effectuant des opérations élémentaires, on a { L1 L en effectuant les substitutions : 1 L L L L { L L en effectuant les substitutions : L 1 L L L { L1 L en effectuant les substitutions : 1 L L L + L d où la solution (x 1, x, x = (14, 75, 1 19

20 Solution 1.0 La matrice augmentée est En effectuant des opérations élémentaires, on a { 1 6 L1 L en effectuant les substitutions : 1 L L L L en effectuant les substitutions : { L 1 L 1 L d où la solution x =, y = 1 et z =. Solution 1.1 La matrice augmentée est En effectuant des opérations élémentaires, on a { L L en effectuant les substitutions : L 1 L L L en effectuant les substitutions : { L L L d où la solution x = 1, y = et z =. Solution 1. La matrice augmentée est

21 En effectuant des opérations élémentaires, on a 1 16 { L L en effectuant les substitutions : L 1 L L 4L en effectuant les substitutions : { L L L Ce système admet une infinité de solutions de la forme x = 9 z et y = z. z est indéterminée. 14 Solution 1. La matrice augmentée est En effectuant des opérations élémentaires, on a 1 16 { L L en effectuant les substitutions : L 1 L L 4L en effectuant les substitutions : { L L L Ce système n admet pas de solution (la dernière ligne est impossible : 0x + 0y + 0z 16. Solution 1.4 Soient Q 1, Q et Q les quantités de produits P 1, P et P fabriquées. 1. L atelier A sera utilisé Q 1 +5Q +Q = = 81heures, l atelier B sera utilisé 1Q 1 +Q +Q = = 48heures et l atelier C sera utilisé 1Q 1 + Q + Q = = 8heures.. On cherche à résoudre le système Q 1 + 5Q + Q = 104 Q 1 + Q + Q = 64 Q 1 + Q + Q = 55 1

22 Ce système est de la forme MX = B où 5 Q 1 M = 1 et X = Q et B = 1 Q Calculons le déterminant de M : 5 1 = = ( (5 + (5 = 1 Le système est donc de Cramer. On en déduit Q 1 = = 7 det(m Q = = 9 det(m Q = = 15 det(m On aura fabriqué 7 P 1, 9 P et 15 P. Solution 1.5 Considérer les variables suivantes : 1. p 1 = niveau de production pour le secteur des services. p = niveau de production pour l usine génératrice de puissance (électricité. p = niveau de production pour la compagnie pétrolière. Comme le modèle est fermé, la consommation totale de chaque secteur est égale à sa production totale. Ceci donne le système linéaire suivant : 0, p 1 + 0, p + 0, p = p 1 0, 4p 1 + 0, 1p + 0, 5p = p 0, p 1 + 0, 6p + 0, p = p

23 Cela nous donne le système suivant : 0, 7p 1 + 0, p + 0, p = 0 0, 4p 1 0, 9p + 0, 5p = 0 0, p 1 + 0, 6p 0, 8p = 0 Ce système est donc de la forme MP = 0 avec 0, 7 0, 0, M = 0, 4 0, 9 0, 5 et P = 0, 0, 6 0, 8 On constate que le déterminant de M est nul, donc on ne peut pas utiliser la méthode de Cramer. Essayons avec la substitution : p 1 p p 0, 7p 1 + 0, p + 0, p = 0 (1a 0, 4p 1 0, 9p + 0, 5p = 0 (a 0, p 1 + 0, 6p 0, 8p = 0 (a 0, 7p 1 + 0, p + 0, p = 0 (1b = (1a 1, 7p 1 + 1, 4p = 0 (b = (a + (1a 1, 7p 1 1, 4p = 0 (b = (a - (1a { p = 0,7p 1 0,p = 0,47 0, p 1 = 0,51 p 0, 9p 1,4 1,7 p 0, 8p On trouve que p 1 = 0, 8p et p = 0, 9p. Solution On a a = 10x + 4y + 10z p = x + y + z t = 10x + 6y + 1z On en déduit M =

24 . On a M = et M = d où M M = = De MX = Y on déduit M MX = M Y et comme M M = 1, on a X = M Y.. On en déduit que x y = 1 1 z = = On a fabriqué 00 appareils L, 00 appareils C et 100 appareils V. 4