Exercices sur les suites (révisions de 1 ère et compléments)

Transcription

1 T O cosidère la site Exercices sr les sites (révisios de ère et complémets) défiie sr par cos Étdier le ses de variatio de la site par étde de foctio Idicatio : O commecera par défiir e foctio f défiie sr telle qe por tot etier atrel o ait f ( ) pis o étdiera le ses de variatio de f sr sas faire le tablea de variatio O admettra qe la foctio x cos x est dérivable sr et qe sa dérivée est la foctio x si x O retiet ce résltat sos la forme : cos x ' si x O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece Étdier le ses de variatio de la site par différece oit e site défiie sr à termes positifs o ls * (c est-à-dire dot tos les termes sot positifs o ls) Por tot etier atrel, o pose v Démotrer qe, por tot etier atrel, o a v v Démotrer qe si est croissate, alors v est croissate Démotrer qe si v est croissate, alors est croissate * La site est à termes positifs o ls sigifie qe ( ) Por tot etier atrel, o pose Doer e expressio simplifiée de sos forme factorisée ; e dédire qe la site est majorée oit e site arithmétiqe défiie sr telle qe et ) Calcler so premier terme et sa raiso r ) Exprimer e foctio de ) Calcler la somme 6 oit e site géométriqe mootoe défiie sr telle qe et 6 9 ) Calcler so premier terme et sa raiso q ) Exprimer e foctio de ) Calcler la somme O cosidère la site défiie sr par so premier terme 6 et la relatio de récrrece ) Das le pla mi d repère orthoormé O, i, j, tracer les droites et D d éqatios rédites respectives y x et y x O predra, cm por ité graphiqe Placer alors les poits d abscisses respectives,,,, (sas faire les calcls) O laissera apparetes les costrctios ) Por tot etier atrel, o pose v a) Démotrer qe la site v est géométriqe b) Exprimer alors v pis e foctio de 8 O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece ) Jstifier par raisoemet «de proche e proche», sas faire de calcl, qe por tot etier atrel o a : Remarqe : Ce raisoemet sera mis e forme de maière satisfaisate grâce a raisoemet par récrrece qe l o étdiera pls tard Il e s agit ici qe d e jstificatio ititive par différece ) Étdier le ses de variatio de la site ) Por tot etier atrel, o pose v a) Démotrer qe la site v est arithmétiqe b) Exprimer v pis e foctio de 9 O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece 9 6 por tot etier atrel Por tot etier atrel, o pose v (o admettra qe, por tot etier atrel, o a : ) ) Calcler v ) Exprimer v e foctio de (e factorisat le déomiater) Calcler v v ; e dédire qe la site v est arithmétiqe ) a) Exprimer v e foctio de b) Exprimer e foctio de v ; e dédire e foctio de (sos la forme d sel qotiet)

2 O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Por tot etier atrel, o pose v ) Calcler v ) Démotrer qe la site v est géométriqe ) Exprimer v e foctio de (o admettra qe, por tot etier atrel, o a ) ) Exprimer e foctio de v ; e dédire e foctio de (sos la forme d sel qotiet) oit e site arithmétiqe défiie sr * de premier terme et de raiso r Calcler la somme oit e site arithmétiqe défiie sr de premier terme et de raiso r Calcler la somme 6 oit e site géométriqe défiie sr * de premier terme et de raiso q = ) Exprimer e foctio de ) Calcler la somme Calcler la somme A (O admet qe les termes de la somme sot costrits sivat pricipe logiqe simple) Por tot etier atrel, o pose Dex remarqes : k k k La site est pas défiie e mode explicite O e cherchera pas d expressio explicite de e foctio de (car il e existe pas) * i o désige par la site défiie sr par, est la somme des premiers termes de la site (o des termes d idice à de cette site) Comme la site est i arithmétiqe i géométriqe, il existe pas de formle sommatoire por c est-à-dire q il est pas possible de rédire la somme O e pet pas trover de formle explicite de e foctio de ) Calcler,, «à la mai» ) Calcler et à l aide de la calclatrice ) Étdier le ses de variatio de la site Calcler la somme B,,, 6 Calcler la somme de tos les etiers atrels pairs jsq à mille oit la site défiie sr défiie par Détermier la atre de la site 8 oit la site défiie sr défiie par so premier terme et la relatio de récrrece Détermier la atre de la site 9 Por tot etier atrel, o pose O pet écrire k k k k Détermier e expressio simplifiée de

3 La site est croissate à partir de l idice oltio détaillée : : site défiie sr par cos Détermios le ses de variatio de Corrigé La site est défiie e mode explicite (o a l expressio d terme gééral e foctio de ) La foctio f associée à la site (telle qe de la site Cosidéros la foctio f défiie sr par f x x cos x O a : f f est dérivable sr car f est la somme de dex foctios dérivables sr x f ' x si x Or Doc x si x d où x f ' x x si x f ) permet d étdier le ses de variatio O e dédit qe f est croissate sr Par coséqet, la site est croissate à partir de l idice NB : La méthode par différece e marche pas ici Il fat absolmet passer par la foctio lige) Pas de tablea de variatio de f à case de la lige d sige de O pet cepedat faire le tablea de variatio de f sas écrire la lige d sige de f ' x (il y arait e ifiité de sr cette f ' x x + Atre méthode : O tilise la méthode par différece, pls compliqée à mettre e œvre ici) cos cos p q p q si si (formle de trigoométrie : cos p cosq si si ) Avec la calclatrice, o obtiet : si,988 (mode radias) si si si Or si si si Doc si si Par site, O e dédit qe la site est croissate à partir de l idice La site est croissate à partir de l idice oltio détaillée : : site défiie sr par so premier terme Détermios le ses de variatio de et la relatio de récrrece La site est défiie e mode récrret Por trover le ses de variatio, o tilise la techiqe selle de différece Variatio de f La foctio f est bie strictemet croissate sr (car sa dérivée s ale e des poits isolés) O tilise la méthode par différece (méthode qe l o tilise le pls sovet ; ici sele méthode possible)

4 Doc soit doc la site est croissate à partir de l idice oltio détaillée : : site défiie sr à termes positifs o ls v Démotros qe, por tot etier atrel, o a v v v Démotros qe si Démotros qe si est croissate, alors v est croissate, alors v v est croissate est croissate La site est à termes positifs o ls sigifie qe ( ) La site est à termes positifs o ls doc Le sige de v v est doc le même qe celi de i est croissate, alors Doc v v O e dédit qe la site v est croissate i v est croissate, alors v v Doc O e dédit qe la site est croissate Remarqe : O a démotré qe : i i est croissate, alors la site est décroissate, alors la site v est croissate v est décroissate > D cop, par «disjoctio de cas», o e dédit l éqivalece logiqe : «est croissate si et selemet si «croissate oltio détaillée : v croissate» Doos e expressio simplifiée de v est croissate» Le terme gééral de la site est défii par e somme Remarqe : À la base, est e somme défiie e extesio (présece des trois petits poits) O porrait assi écrire à l aide d symbole Ce serait pls clair (et pls rigorex) k k k L écritre est pls rigorese q avec les petits poits L objectif de l exercice est d obteir e formle sommatoire (c est-à-dire e formle rédite) de ère méthode : O appliqe e formle sommatoire d cors (permettat la rédctio de la somme) q Por q, o a : q q q q O appliqe cette formle avec q (qi est bie différet de ) O dit qe l o a rédit la somme (rédctio de la somme)

5 e méthode : O appliqe la formle sommatoire por la somme des termes coséctifs d e site géométriqe oit la site géométriqe de premier terme et de raiso q soit q Qelqes commetaires : Por démotrer qe la site est majorée, os avos pas parlé de limite (à priori, la otio de majorat est pas directemet reliée à la otio de limite) O e parle pas de maximm E effet, os avos démotré qe tos les termes de la site sot strictemet ifériers à Par coséqet, le ombre Ac terme de la site est égal à est jamais atteit O effecte e réécritre de la somme (à l aide de la site) : Tos les ombres spériers o égax à sot assi des majorats de la site ombre de termes q q (Por calcler le ombre de termes de la somme, o effecte le calcl : selo la formle (derier idice) (premier idice) + ) O a doc Dédisos-e qe la site est majorée O se réfère à la défiitio : Il s agit de démotrer qe tos les termes de la site sot ifériers o égax à ombre M (fixe, qi e déped pas de ) O e pet pas le démotrer à partir de l expressio de base Por la majoratio, o pred l expressio simplifiée Cepedat, est le pls petit des majorats Nos verros pls tard qe c est égalemet la limite de la site O a démotré qe tos les termes de la site sot strictemet ifériers à Or das la défiitio d majorat, l iégalité est large Ca est pas gêat : os savos q e iégalité stricte etraîe e iégalité large (la réciproqe est fasse) O arait pas p démotrer qe la site est majorée e partat de l égalité de défiitio de comme somme O était obligé d tiliser la forme rédite de la somme ) et r ) ) ; 8 oltio détaillée : termes : site arithmétiqe défiie sr telle qe et ) Calclos so premier terme et sa raiso r Comme p r est e site arithmétiqe, (, p) E particlier, r doc r soit r d où r = Doc r 9 ) Exprimos e foctio de p doc O e dédit qe Doc la site est majorée par d où doc Il y a dex méthodes possibles r r O pet assi dire qe est majorat de la site

6 ) Calclos la somme termes O a : Or = = et = = 68 Doc : ) q (tiliser oltio détaillée : est mootoe doc q ) ; 8 ) : site géométriqe mootoe défiie sr telle qe et 6 9 ) Calclos le premier terme et la raiso q de la site ) 88 ) Calclos la somme q q Il s agit d e site arithmético-géométriqe c est-à-dire admettat e relatio de récrrece d type a b Il s agit de l étde gidée d e site homographiqe : passage d mode récrret a mode explicite a moye d e site axiliaire 6 O a 6 q p (formle p q ) doc 9 q soit q 9 d où q o q Or est mootoe doc q (e effet, e site géométriqe dot le premier terme est pas l est mootoe si et selemet si sa raiso est positive o lle) d où q Rappel de défiitio : O dit q e site est mootoe por exprimer q elle est soit croissate soit décroissate La défiitio s adapte a cas d e site strictemet mootoe O otera q e site costate est e site mootoe O otera qe la défiitio d e site mootoe est la même qe celle d e foctio mootoe sr les itervalles ) Représetatio graphiqe Ne pas mettre les valers de,, sr l axe des abscisses O trace les droites : y x et D : y x (droite qi représete la foctio f : x x associée à la site) O e dédit qe E particlier, por, o obtiet ) Exprimos e foctio de q d où soit 8 8

7 D v v O e dédit qe la site v est e site géométriqe de raiso Le premier terme est égal à v q j O i O pet écrire les éqatios rédites de et D sr le graphiqe (a mois celle de qi est importate) O pet faire apparaître la costrctio sr l écra de la calclatrice Par calcl, o obtiet :,,, 9 8 O a dex valers de (ce sot les mêmes) eles les valers sr l axe des abscisses sot itéressates ) La site est arithmético-géométriqe L éocé va os gider por trover l expressio explicite de Por cela, o tilise e site axiliaire v a) Démotros qe la site v est géométriqe Méthode : O exprime v e foctio de v O travaille e littéral v Mavaise démarche : v 6 doc v v O calcle v La site v est doc géométriqe de raiso q O pet assi faire v e foctio de v ( pe mois logiqe) b) Exprimos v pis e foctio de v v q v parethèses obligatoires v O pet vérifier qe cette formle marche por le calcl des premiers termes,,, L e des difficltés de la qestio ) b) est d arriver à mettre «e coexio» totes les formles

8 ) Détermios le ses de variatio de la site Il est à oter q logiciel de calcl formel tel qe XCas pet permettre d obteir directemet le terme gééral d e site arithmético-géométriqe 8 La site est défiie par récrrece (porqoi?) Il s agit de l étde gidée d e site homographiqe : passage d mode récrret a mode explicite a moye d e site axiliaire ) Jstifios par raisoemet «de proche e proche» qe por tot etier atrel o a : Il s agit de démotrer qe la site est à termes strictemet positifs Por cela, o va démotrer qe la propriété est vraie por et q elle est héréditaire o trasmissible doc (sas faire de calcl) doc O motre aisémet qe la propriété passe d rag a sivat k i por etier atrel k, o a : k, alors comme k, o a : k Doc si la propriété est vraie a rag k, alors elle vraie a rag k + O a doc démotré qe la propriété de positivité est héréditaire o trasmissible Le «passage d fii à l ifii» (selo la formle célèbre d mathématicie Poicaré) sera jstifié pls tard avec ovea type de raisoemet appelé «raisoemet par récrrece» O retiedra qe le raisoemet s orgaise e dex grades parties (otre l itrodctio et la coclsio) k O tilise la méthode par différece O aalyse le sige d qotiet obte Or (Il fat absolmet abotir à cette forme simplifiée por povoir coclre) car o a démotré das la qestio précédete qe por tot doc D où O e dédit qe la site est strictemet décroissate à partir de l idice Qelqes commetaires : Por étdier le ses de variatio de la site o e pet pas selemet étdier le sige de la différece E effet, ce serait «local», comme me l a dit Baptiste ala le mercredi 8-9-, jor où os avos corrigé les exercices e classe Ça arait rie de gééral O porrait assi tiliser la méthode par qotiet car o a démotré qe tos les termes de la site sot strictemet positifs Ue présetatio possible a broillo por aalyser le sige est la sivate : O évitera cepedat d adopter cette présetatio das e versio rédigée a propre ) v a) Démotros qe la site v est arithmétiqe

9 v (o remarqera la répercssio d chagemet d idice sr à v : c est la otio de variable mette) v O e dédit qe v est e site arithmétiqe de premier terme v et de raiso r = b) Exprimos v pis e foctio de O a : v v r soit v O a : 9 doc v v 9 6 (o admet qe ) Il s agit de l étde gidée d e site homographiqe (passage d mode récrret a mode explicite) ) Calclos v v ) Exprimos v e foctio de v Calclos v v v 6 v 6 Dédisos-e qe la site v est arithmétiqe O a démotré qe v v (la différece est ombre fixe qi e déped pas de ) doc la site v est arithmétiqe de raiso r ) Poit-méthode : O retiedra le poit sivat por démotrer q e site est arithmétiqe O tilise e méthode de différece a) Exprimos v e foctio de v (formle doat le terme explicite d e site arithmétiqe : v v r )

10 b) Exprimos e foctio de O a v doc d où v v 9 v O doit savoir refaire l exercice das la versio sivate où les qestios sot mois détaillées O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece 9 6 por tot etier atrel Por tot etier atrel, o pose v ) Calcler v ) Démotrer qe la site v est arithmétiqe (o admettra qe, por tot etier atrel, o a : ) ) Exprimer v e foctio de ; e dédire e foctio de (sos la forme d sel qotiet) ) Démotros qe la site v est géométriqe Por cela, exprimos v e foctio de v 6 v v La site v est doc géométriqe de raiso q ) Exprimos v e foctio de v (o pet assi écrire ) Exprimos e foctio de v ) v doc v v d où v v Doc v v soit v v Atre forme possible : ( tel résltat est tot à fait acceptable) v v Das cette versio, il fadra peser das la qestio ) à employer la méthode de la différece v ) Calclos v (o admet qe ) Das les exercices,,, o appliqe les formles sommatoires d cors Tirer les traits de fractio à la règle 9 : site arithmétiqe défiie sr * de premier terme et de raiso r oltio détaillée : Calclos la somme v

11 9 * * O pet assi calcler à part 9 = Attetio à la sytaxe : oltio détaillée : Attetio errer de sytaxe s il y a pas les parethèses : site arithmétiqe défiie sr de premier terme et de raiso r Calclos la somme 6 oltio détaillée : : site géométriqe défiie sr * de premier terme et de raiso q = ) Exprimos e foctio de * q p (o pet, si o le désire, se référer à la formle q ) * ) Calclos la somme O appliqe la formle sommatoire por les termes coséctifs d e site géométriqe (o e va pas calcler tos les termes) terme er q q O pet écrire : q q ombre de termes k k k p 6 O pet assi écrire : r k k k r O itrodit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso O cherche tel qe O trove = O pet doc écrire : A 6 oltio détaillée : Calclos la somme A = O itrodit la site arithmétiqe défiie sr * de premier terme et de raiso O cherche tel qe () () 8

12 O écrit : A A 6 e méthode : O factorise par la somme O tilise la formle sommatoire qi doe la somme de tos les etiers atrels jsq à oltio détaillée : Calclos la somme, B,,,,, B,,, Doc = = ( * ),,,, O pet laisser le résltat sos cette forme (valer exacte) o e doer e valer approchée 6 oltio détaillée : Calclos la somme de tos les etiers atrels pairs jsq à Écritre e extesio de la somme : Il s agit de trover e formle sommatoire ère méthode : tilisatio d e site arithmétiqe O itrodit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Cherchos tel qe () () O écrit : k NB : La somme pet s écrire sos la forme k oltio détaillée : Détermios la atre de la site La site est e site géométriqe de premier terme et de raiso q 8 oltio détaillée : Détermios la atre de la site k

13 La site est e site géométriqe de premier terme et de raiso 9 k k k k Détermios e expressio simplifiée de k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k q ) Objectif : calcler e somme «à la mai» (compredre l tilisatio d symbole ) ) r TI 8 blee somme(site(/k, K,, )) r TI-8 CE Premimm o TI-8 Plsfr r TI-pire O obtiet le résltat sos forme d e fractio affichage :,998 affichage :,88 Il s agit de valers approchées Tos les termes de la site sot des ratioels O e pet écrire, 998 mais,99 O pet retrer la site = somme des k por k allat de à O a obte e formle sommatoire simple de O observe e simplificatio e cascade o e domios Cette méthode est appelée méthode d télescopage Ue maière pls viselle cosiste à écrire les termes les s e dessos des atres et à les barrer Les logiciels de calcl permettet de simplifier (rédire) de telles sommes Il semble cepedat qe le logiciel XCas e parviet pas à trover l expressio simplifiée de otre somme Qestio spplémetaire : Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o l o a : Mode site TI-8 blee somme site / K,K,, K TI-8 Plsfr et TI-8 Premimm / K Esite, o va das le tablea de valers de graphe Ato o Dém

14 ) Détermios le ses de variatio de la site * k k k k k k * k k k k k k (k : variable mette) * * doc la site est strictemet croissate à partir de l idice Remarqe : La site ted vers + La site va letemet