Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge

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1 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Table des matières Introduction Des tablettes d'argile aux ordinateurs Premiers systèmes linéaires...2 a- Système linéaire le plus simple...2 b- Interprétation géométrique...3 I- Qu'est-ce qu'un système linéaire? Définitions Structure de l'ensemble des solutions...5 II- Quels systèmes sait-on résoudre? les système triangulaires et échelonnés Systèmes triangulaires Matrices et systèmes échelonnés...8 a- Définitions...8 b- Résolution d'un système linéaire échelonné...9 III- Comment se ramener à des systèmes plus simples? Les systèmes équivalents... - Opérations élémentaires sur les lignes d'un système Traduction matricielle des opérations élémentaires sur les lignes...2 IV- Algorithme du pivot de Gauss-Jordan La méthode Les exemples Applications : matrices inversibles...7 a- Caractérisation des matrices inversibles...7 b- Calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible...8 /8

2 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Introduction - Des tablettes d'argile aux ordinateurs. Voir «Toute l'algèbre de la Licence» de Jean-Pierre Escofier. Babylone : 800 avant Jésus-Christ. Tablettes d'argile deux équations à deux inconnues Liu Hui «Neuf chapitres de la science du calcul» : on y trouve la méthode du pivot de Gauss. Viète ( ): introduction des lettres pour décrire des situations générales. Leibniz (646-76): introduction d'indice. Gabriel Cramer ( ): mathématicien suisse. Formule de Cramer en 750. Gauss ( ) : résolution de systèmes linéaires liée aux observations astronomiques et géodésiques. Systèmes linéaires : problème de modélisation : conception d'une aile d'avion, prévisions météorologiques, systèmes mécaniques, problèmes industriels. (000 équations à 000 inconnues). La méthode de Gauss (O(n 3 )) est beaucoup plus efficace que les formules de Cramer. 2- Premiers systèmes linéaires. a- Système linéaire le plus simple. ax=b a=0 et b=0 une infinité de solutions. Tout réel x est solution. a=0 et b 0. Pas de solutions. a 0, une solution unique : x= b a (Généralisation lorsque A sera une matrice carrée inversible : X =A B ) Sur cet exemple simple on distingue déjà 3 cas : pas de solution, une infinité de solutions, une unique solution. 2/8

3 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge b- Interprétation géométrique. Deux équations : deux inconnues. Intersection de deux droites : une droite, un point, le vide. ax + b y + c = 0 a ' x + b ' y + c ' = 0 Avec (a,b) (0,0) et (a ', b') (0,0). Si les 2 équations sont proportionnelles, les deux droites sont confondues et l'ensemble des solutions est une droite. Si les 2 équations ne sont pas proportionnelles et (a,b) et (a ', b') sont proportionnelles (ab'a' b=0) : les deux droites sont distinctes et parallèles et l'ensemble des solutions est l'ensemble vide. Si : ab'a' b 0 l'intersection est un point. Trois inconnues : interprétation dans l'espace. Intersection de 2 plans : un plan, une droite, ou le vide. Intersection de 3 plans : un plan, une droite, un point, ou le vide. 3/8

4 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge I- Qu'est-ce qu'un système linéaire? - Définitions Définitions : on appelle système linéaire de n équations à système (S) de la forme : p inconnues (x,... x p ), tout a, x + a,2 x a, pxp = b ai,x + ai,2x ai, pxp = bi a x + a x a x = b n, n,2 2 n, p p n Les termes a i, j sont les coefficients du système. Second membre : Le vecteur de K n, B=(b b 2... b n) Système homogène : lorsque le second membre est nul. On dit aussi «sans second membre». Système homogène associé à un système linéaire, noté S 0 : le système avec les mêmes coefficients et sans second membre. Solutions du système (S) : tout vecteur de K p X=(x x 2... x p) p-liste, p-uplet. qui vérifie les n équations de (S). Compatibilité : un système est compatible s'il admet au moins une solution. Tout système homogène est compatible car il admet au moins le vecteur nul comme solution. Matrice du système : A=(a i, j ) i n j p, A M n, p ( K). Matrice augmentée ( A B). Traduction matricielle du système : AX =B 4/8

5 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge 2- Structure de l'ensemble des solutions Théorème : L'ensemble S 0 est non vide et stable par combinaison linéaire. ( X 0, X ' 0 ) S 0 2 X 0 + X ' 0 S 0 α K X 0 S 0 α X 0 S 0 S 0 est un sous-espace vectoriel de K p. Remarque : les deux propriétés sont équivalentes à : (α,α') K 2 :( X 0, X ' 0 ) S 0 2 α X 0 +α' X ' 0 S 0. Théorème : Si le système S est compatible et admet la solution particulière Ω, on a : X S X Ω S 0. L'ensemble des solutions est : Ω+S 0. Une solution de S est la somme d'une solution particulière et d'une solution du système homogène associé. Démonstration : X S AX =B AX =AΩ AXAΩ=0 A( X Ω)=0 X Ω S 0. Remarque : lorsque le système est compatible, l'ensemble des solutions forment un sous-espace affine : un point + un sous-espace vectoriel. Corollaire Pour tout système linéaire, on a 3 cas : pas de solution. une unique solution une infinité de solutions. 5/8

6 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge II- Quels systèmes sait-on résoudre? les système triangulaires et échelonnés - Systèmes triangulaires. Rappels : Définition : un matrice carrée est triangulaire supérieure si : (i, j), n 2 :i> j a i, j =0 Notation : l'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note : T n ( K) Définition Un système linéaire de n équations à n inconnues est dit triangulaire supérieure si sa matrice de coefficient est une matrice triangulaire supérieure. Théorème : Un système triangulaire supérieure admet une solution unique si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Démonstration La démonstration s'effectue en deux étapes : Première étape : Si les coefficients diagonaux sont non nuls, alors on a une solution unique. La dernière ligne donne la valeur de x n (a n,n 0), puis on obtient x n, avec la ligne L n et on obtient toutes les valeurs en remontant. Puis il est facile de vérifier que les valeurs obtenues sont solution du système. Deuxième étape : On montre que si les coefficients de la diagonale ne sont pas tous non nuls, alors la solution si elle existe n'est pas unique. D'après le corollaire du chapitre précédent, il suffit de montrer que le système homogène associé n'admet pas la solution nulle comme solution unique. On suppose que les coefficients de la diagonale ne sont pas tous non nuls. On considère le premier coefficient de la diagonale nul en partant du haut a i0,i 0 =0. Soit on n'a pas de solution, et la démonstration est terminée, car dans ce cas on n'a pas une unique solutions. Soit on a une solution X 0 qui vérifie AX 0 =B. On montre qu'elle n'est pas unique en construisant un vecteur X tel que : AX =0. 6/8

7 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Dans ce cas : X 0 + X est une autre solution du système. On pose : i>i 0 x i =0, x i0 =. Pour i i 0, les équations L i sont vérifiées. On on détermine x i pour i<i 0, en résolvant un système linéaire triangulaire avec une diagonale non nulle par remontée. À retenir la méthode de résolution : on parte de la dernière équation et on remonte. Exemple : 2x+3y+z= y+2z= z=4 Solution : x=9 ; y=7 et z=4. 7/8

8 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge 2- Matrices et systèmes échelonnés a- Définitions Définition Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes : si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi. À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul à partir de la gauche est située à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente. Remarque : autrement dit une matrice est échelonnée par ligne si chaque ligne non nulle commence par davantage de zéro que la ligne précédente. Définition On appelle pivot le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle. Définition Une matrice échelonnée par lignes est dite échelonnée réduite par ligne si elle est nulle ou si tous ses pivots sont égaux à et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne. Exemples : Matrice échelonnée par ligne : A=( ) Matrice échelonnée réduite par ligne : A=( ) 8/8

9 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Définition Un système linéaire est échelonnée par lignes (respectivement échelonnée réduit par ligne) si sa matrice de coefficients est échelonnée par ligne (respectivement échelonnée réduit par ligne) Définitions Le rang du système est le nombre de pivots. (voir la notion de rang en algèbre linéaire) L, L 2, et L r sont les équations principales. L r+,., L n sont les équations auxiliaires ou les équations de compatibilité. Les inconnues qui correspondent aux colonnes des pivots sont les inconnues principales. Les autres sont les inconnues secondaires ou paramètres. b- Résolution d'un système linéaire échelonné Compatibilité? Il faut que les nr équations équations auxiliaires soient vérifiées. Théorème Si le système est compatible : On a une solution unique si et seulement si r= p. (pas d'inconnues secondaires) On a une infinité de solution si et seulement si : r< p Dans ce cas, on passe les paramètres au second membre et on les considère comme étant fixés. Et on détermine les inconnues principales par remontée. L'ensemble des solutions forment un sous-espace affine : X 0 +S H Exemples : A=( ) B= ( 2 3) x ; x 3 et x 4 inconnues principales. x 2 et x 5 sont les inconnues secondaires. 9/8

10 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge x =2x 2 2x 5 ; x 3 =22x 5 ; x 4 =4x 5 Solution particulière X 0 =(,0,2,4,0). 0/8

11 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge III- Comment se ramener à des systèmes plus simples? Les systèmes équivalents - Opérations élémentaires sur les lignes d'un système Échange de lignes : L i L j Ajout de λ L j à L i pour i j. L i L i +λ L j Multiplication de L i par λ 0. Définition L i λ L i Deux systèmes sont équivalents si on peut passer de l'un à l'autre par une suite finie d'opérations élémentaires sur les lignes. Théorème Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions. Démonstration : On montre que lorsqu'on passe d'un système S à un autre S' par une opération élémentaire, alors toute solution de S est solution de S'. Puis on montre de même que toute solution de S' est solution de S en utilisant les opérations élémentaires réciproques. Réciproque elle même L i λ L i, réciproque L i λ L i L i L i +λ L j, réciproque L i L i λ L j Définition L L i j Deux matrices sont dites équivalentes par lignes si elles se déduisent l'une de l'autre par une suite finie d'opérations élémentaires sur les lignes. On note : A L A' /8

12 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Remarque : c'est une relation d'équivalence : elle est : réflexive, symétrique et transitive. Propriété Si l'on passe d'un système S à un autre système S' par une suite finie d'opérations élémentaires sur les lignes, la matrice augmentée de S' s'obtient en effectuant la même suite d'opérations élémentaires sur la matrice augmentée de S. Exemples : 2- Traduction matricielle des opérations élémentaires sur les lignes. Les matrices élémentaires : matrices de transposition, de transvection et de dilatation. Elles sont inversibles. Théorème Une opération sur les lignes correspond à la multiplication à gauche par des matrices élémentaires. Remarque : pour trouver la matrice correspondante, il suffit de remarquer que U=U I n. Et la matrice qui correspond à l'opération souhaitée est la matrice qui résulte de l'opération effectuée sur la matrice identité. Multiplication d'une ligne d'une matrice par un scalaire non nul. D i λ ( λ) = 2/8

13 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge L'opération inverse, revient à multiplier la ième ligne par λ soit multiplier à gauche par D i( λ) : C'est une affinité (ou une dilatation). On a déjà rencontré les affinités lors de l'étude de la représentation graphique d'une fonction : On passe de la représentation graphique sur f à celle de g : g( x)= f (ax). Affinité d'axe (Oy) et de direction (Ox) et de rapport a g( x)=af ( x). Affinité d'axe (Ox) et de direction (Oy) de rapport a. Addition du multiple d'une ligne à une autre. Ajout de λ fois la j ième ligne à la i ème ligne. Soit : U ij =I n +λ E ij une matrice de transvection. U ij (λ) GL n (K)et U ij (λ)=u ij (λ) 3/8 ( ) i i D D λ λ λ = =... ( )... U ij λ λ =

14 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge L'opération inverse de l'addition de λ fois la j ième ligne à la i ième ligne est la soustraction de λ fois la j ième ligne à la i ième ligne. Remarque : une transvection est une application linéaire telle qu'il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x)=x+h(x)u. Échange de deux lignes. L ij.. 0. =. 0.. On a : L 2 ij =I n donc : L ij =L ij. (transformation involutive). L ij =I n E ii E jj +E ij +E ji Remarque Soit B=(e, e 2,...,e n ) si on considère la base B ' qui est obtenue à partir de la base B en échangeant les vecteurs e i et e j. L ij =P(B, B ')=P(B',B). L ij est une matrice de permutation qui correspond à une transposition. Remarque : les opérations sur les colonnes (A C A ') correspondent à la multiplication à droite par des matrices élémentaires. Pour la résolution des systèmes linéaires, on n'utilisera que l'échange de 2 colonnes ce qui revient à permuter les inconnues. 4/8

15 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge IV- Algorithme du pivot de Gauss-Jordan. - La méthode. Théorème Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes. Corollaire Soit A M n, p ( K). Il existe une matrice E produit de matrices élémentaires et une unique matrice échelonnée réduite par ligne R elles que : A= ER. Démonstration et méthode du pivot Mise en place du pivot. On cherche dans la première colonne un coefficient non nul. S'il existe par échange de lignes on se ramène à a, 0, sinon on passe à la deuxième colonne. Annulation des termes de chaque ligne Li avec i Gauss-Jordan : on divise la ligne du pivot par : a,. L a, L Puis on effectue L i L i a i, a, L pour toutes les lignes de la matrice (i ) Test d'arrêt. Taille de la matrice. (r=n ou r = p) L'algorithme arrive à la matrice nulle. Sinon, on continue l'algorithme en passant à la ligne et à la colonne suivante. Théorème On considère un système linéaire de n équations à p inconnues. Il possède soit : aucune solution. une solution unique. une infinité de solution. 5/8

16 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge 2- Les exemples. 2x+ yz= x y+z=2 4x+3y+z=3 Solution unique : (, 2, 2) 2x+3yz +t =2 2x+3y+z =4 Solution : 2x+3y+2z =3 { λ,λ,4 } 2x+3y =5 Espace affine de dimension. Si on prend comme second membre (2,3,4,4) on a pas de solutions. 6/8

17 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge 3- Applications : matrices inversibles. a- Caractérisation des matrices inversibles. Théorème : Les propriétés suivantes sont équivalentes : () A est inversible. (2) A L I n (3) Le système AX =0 n'admet que la solution nulle. (4) Pour tout B, le système AX=B admet une unique solution. (5) Pour tout B, le système AX=B admet au moins une solution. Démonstration : (2) () Il existe une matrice inversible E telle que : E A=I n. Ce qui implique que : A GL n (K) () (2) Si A est inversible, alors AX=0 admet la solution nulle comme solution unique. A est équivalente à une matrice échelonnée. Les 2 systèmes ont les mêmes solutions. E X =0, admet la solution nulle comme solution unique. Donc nécessairement : r= p=n, car une matrice triangulaire supérieure qui a un zéro sur la diagonale n' n'admet pas de solution unique. Et la réduite par ligne est la matrice identité. () (3) et non non3. Si A est non inversible, alors on aura un zéro sur la diagonale de sa réduite par ligne et le système admettra une solution non nulle. Donc (), (2) et (3) sont équivalents. () (4) Et non non 4 () (5) Et non non5 Si la matrice échelonnée réduite par ligne n'est pas l'identité alors sa dernière ligne est nulle et on prend B'=(0,0,0,...). Pas de solution. Définition : un système dont la matrice vérifie les conditions précédentes est un système de Cramer. Exemples : cas des matrices 2 2. Formules de Cramer. 7/8

18 Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge b- Calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible. Deux méthodes : Inverser un système linéaire. On écrit AX =Y. On résout le système et on obtient les x en fonction des y. Soit : X =A Y Algorithme de Gauss-Jordan. On applique l'algorithme de Gauss-Jordan à la matrice A en effectuant les même opérations sur la matrice identité. Et lorsque A s'est transformée en la matrice identité, alors l'identité s'est transformée en la matrice A A=( L 2 ) 2 L 2 + L ( 0 ) I=( 0 L ) L +L 2 ( 0 A 0 ) =( 2 ) A=( 2 ) A=( On trouve : A ) =( ) /8