Corrigé du baccalauréat ES Polynésie 10 juin 2016

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1 Corrigé du baccalauréat ES Polynésie 0 juin 06 EXERCICE Commun à tous les candidats Partie 5 points. Voici un arbre qui convient (les données du texte sont en noir) : K 0,76 0,4 0,4 0,5 L 0,65 0,5 0, 0,8 M 0,8. La probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée est donnée par : p(k ). p(k )= p(k ) p K () p(k )=0,4 0,76 p(k )=0,9 p(k ) 0,9.. D après la formule des probabilités totales on obtient : p()= p(k )+ p(l )+ p(m ) p()=0,9+0,5 0, 65+0, 0,8 p()=0,9+0,75+0,886 p() = 0,75 p() 0, On cherche p (M). Or, p (M)= p( M) p() p (M)= 0,886 0,75 p (M) 0,56 Partie B

2 Baccalauréat ES. P. M. E. P.. On calcule P( X 7) 0,68 La probabilité que la durée d un prêt soit comprise entre et 7 ans est d environ 0, 68.. On cherche a tel que P(X > a)=0,. P(X > a)=0, P(X a)=0, P(X > a)=0, P(X a)=0,9 La calculatrice nous permet de trouver a 8, 97. La probabilité qu un prêt dure plus de 8,97 ans est de 0,. EXERCICE 7 points Commun à tous les candidats. a. u = 5000, or u = a u 0 + b= b car u 0 = 0 donc b = b. u = 000, et u = a u +b= a u donc 000=a d où a= =, 5000 Donc,pour tout entier n, on a : u n+ =, u n a. u =, u =800 u 4 =, u =6840 b. En 0 et 04, l entreprise a vendu respectivement et écrans D. La modélisation semble pertinente car u = 800 et u Dans toute la suite, on fait l hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d écrans D que l entreprise va vendre jusqu en 0.. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n a. Pour tout entier naturel n, v n+ = u n =,u n =,u n =,(u n ) =,v n La suite (v n ) n N est donc bien une suite géométrique de raison q =,. v 0 = u = 5000 Son premier terme est v 0 = b. Puisque (v n ) n N est une suite géométrique de raison q =, et de premier terme v 0, on a, pour tout entier naturel n, v n = v 0 q n, soit v n = 5000, n. Comme, pour tout entier naturel n, on a v n = u n , alors u n = v n 5000 Donc, pour tout entier naturel n, u n = 5000, n a. Or, pour tout entier naturel n, u n > , n 5000> , n > , n > 05000, n > 8, Polynésie 0 juin 06

3 Baccalauréat ES. P. M. E. P. c. n=. b. Variables : N est un entier naturel W est un nombre réel Initialisation : N prend la valeur 0 W prend la valeur Traitement : Tant que W 8, W prend la valeur W, N prend la valeur N+ Fin du Tant que Sortie : fficher N d. Le nombre de ventes en 0 est u = 5000, À partir de 0, l entreprise prévoit une baisse de 5 % par an du nombre de ses ventes d écrans D. Donc u 5 = ( 0,5) En 05 elle peut donc prévoir de vendre 57 écrans D. EXERCICE Obligatoire. On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par 5 points f (x)= x ln x x+. f (x)= ln x+ x = ln x+ =ln x. x f (x)= x. ffirmation : La fonction f est croissante sur l intervalle ]0 ; [. ffirmation fausse car sur l intervalle ]0 ; [ f (x)<0 donc f est décroissante. ffirmation B : La fonction f est convexe sur l intervalle ]0 ; + [. ffirmation vraie car sur l intervalle ]0 ; + [, x > 0 donc f (x)>0 donc la fonction f est convexe sur l intervalle ]0 ; + [. utre méthode : f est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [ donc f est convexe sur cet intervalle. ffirmation C : Pour tout x appartenant à l intervalle ]0 ; + [, f (x) 50. ffirmation fausse f () 50,6. On donne ci-dessous la courbe représentative C g d une fonction g définie sur R. On admet que g est dérivable sur R et on rappelle que g désigne la fonction dérivée de la fonction g. On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe C g au point de cette courbe, d abscisse et d ordonnée. Cette tangente coupe l axe des abscisses au point d abscisse. Polynésie 0 juin 06

4 Baccalauréat ES. P. M. E. P C g O T ffirmation D : g ()=. ffirmation vraie. En effet g () représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point. Cette tangente passe par ( ; ) et le point de coordonnées ( ; 0). Son coefficient directeur est : 0 = ffirmation E : En effet 0 0 g (x) dx <. ffirmation vraie. g (x) dx représente l aire exprimée en u. a. de la surface limitée par les droites d équations x = 0 et x=, la courbe C g et l axe des abscisses. L aire de cette surface est inférieure à. EXERCICE Spécialité 5 points Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée. Les questions, et sont indépendantes. On donne le graphe probabiliste suivant : 0,6 0,4 B 0,7 0, Polynésie 4 0 juin 06

5 Baccalauréat ES. P. M. E. P. ( ffirmation : L état stable associé à ce graphe est ( ) 0,4 0,6 La matrice de transition M de ce graphe est : M =. Les termes de cette 0, 0,7 matrice ne sont pas nuls, donc l état P n converge vers un état stable P = ( a b ) vérifiant l équation : { { a = 0,4a+ 0,b 0,6a = 0,b P = P M soit b = 0,6a+ 0,7b 0,b = 0,6a Mais on a de plus a+ b=, donc a et b vérifient le système : { 0,6a = 0,b = 0,6( b)=0,b 0,6 0,6b = 0,b 0,6=0,9b a+ b = b= 0,6 0,9 =, puis a= b=. ( ) Donc l état stable est P =. ffirmation fausse. On donne le graphe pondéré G suivant : ). B C F 4 4 E D ffirmation B : Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe. Voici le tableau des sommets degrés : Sommets B C D E F Degrés 4 4 Ce graphe est connexe. Il y a deux sommets de degré impair. D après le théorème d Euler, le graphe G admet une chaîne eulériennne (une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes du graphe). ffirmation B vraie ffirmation C : La plus courte chaîne entre les sommets et D est une chaîne de poids 5. ffirmation C vraie. C est la chaîne B E D.. On considère la matrice 0 0 M = On suppose que M est la matrice d adjacence d un graphe à quatre sommets,b,c,d dans cet ordre. ffirmation D : Il existe exactement chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D M 4 = Le nombre de chaînes de longueur 4 reliant B à D est donné par m (4) 4 = 6. ffirmation D fausse 4. On considère les matrices = ( ) a 0 et B = 0 a ( ) 0. 0 a ffirmation E : Il existe un nombre réel a pour lequel B est l inverse de. Polynésie 5 0 juin 06

6 Baccalauréat ES. P. M. E. P. ( a 0 B est l inverse de si et seulement si B = I B = 0 a { a = a = ffirmation E vraie. Ce nombre est ) { a =. B = I a = EXERCICE 4 Commun à tous les candidats points Un publicitaire envisage la pose d un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 0] par : f (x)=4e 0,4x. Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d origine O : 5 y (en mètres) 4 D C x (en mètres) B C f Le rectangle BCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point est situé à l origine du repère, le point B est sur l axe des abscisses, le point D est sur l axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f.. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x=. L aire du panneau publicitaire est l aire du rectangle BCD. B BC = f () = 4e 0,8 = 8e 0,8,6.. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l aire est la plus grande possible? L aire d un panneau répondant aux contraintes de l énoncé est donnée par (x) = x f (x)=4xe 0,4x. On cherche la valeur de x pour laquelle (x) est maximal. Pour cela on étudie la fonction x (x). On calcule (x) (x)=4e 0,4x,6xe 0,4x = e 0,4x (4,6x) On étudie le signe de (x) Pour tout réel x, e 0,4x > 0 donc (x) est du signe de 4,6x sur l intervalle [0 ; 0]. Si x <,5, (x)>0 donc est strictement croissante sur [0 ;,5[ ; Si x >,5, (x)<0 donc est strictement décroissante sur ],5 ; 0] ; (,5)=0 et admet un maximum en,5. Les dimensions du panneau sont donc,5 m et f (,5)=4e,47 m. Polynésie 6 0 juin 06