Les principes des tests d hypothèse

Transcription

1 Remarqe La valer de α doit être choisie a priori, jamais en fonction des données observées. 6 2 Le risqe de dexième espèce Le rejet de l hypothèse H 0 se fait a bénéfice d ne atre hypothèse, dite hypothèse alternative, qe nos noterons H 1. Comme sos H 0, la statistiqe étdiée sit sos H 1 ne distribtion théoriqe, centrée sr ne valer δ et dont les caractéristiqes pevent être étdiées. Une fois les données observées, ne atre errer pet être commise si le résltat de la statistiqe d test de comparaison appartient à la zone d acceptation de H 0 alors qe H 0 est fasse (H 1 est vraie). Ce risqe, noté β, est représenté par la srface en gris foncé sr la figre.13. Le risqe de dexième espèce β (o errer de dexième espèce o risqe d errer β) est la probabilité de ne pas rejeter H 0 qand H 0 est fasse : β = P (U < V s /H 1 vraie) sos H 0 sos H 1 Figre.12 Distribtion de la statistiqe étdiée U sos H 1. V s 0 +V s résltat de la statistiqe résltat de la statistiqe A total, ne décision d acceptation o de rejet d ne hypothèse est tojors prise avec incertitde (la réalité n est pas conne). Ces différentes sitations décisionnelles sont représentées dans le tablea ci-dessos. sos H 1 Figre.13 Types d errers possibles dans n test. réalité (inconne) résltat de la statistiqe H 0 vraie H 0 fasse décision retene a v d résltat de la statistiqe H 0 crédible non rejet de H 0 pas d errer risqe β H 0 non crédible rejet de H 0 risqe α pas d errer Biostatistiqe 1

2 modifier dédire. conclsion 2. sitation interpréter sos H 0 sos H 0 1. hypothèse 4. confrontation V s 0 +V s + V s 0 + +V s 3. observations Figre.14 Distribtion normale centrée rédite sos H 0. Les zones de rejet de H 0 correspondant a risqe de première espèce α sont repérées en gris clair. Le degré de signification p est repéré en gris foncé (sitation où p α). Figre.1 Distribtion normale centrée rédite sos H 0. Le degré de signification p est repéré en gris foncé (sitation où p > α). 7 Interprétation et conclsion Le résltat d n test statistiqe s interprète donc en fonction de la valer seil V s choisie. Premier cas : V s On a : p α ; on rejette H 0 a risqe α de le faire à tort ; il existe ne différence statistiqement significative entre l échantillon et la poplation de référence ; il est sovent écrit : «le test est significatif». Le résltat de la procédre de rejet s exprime avec n risqe d errer α fixé a priori. Le degré de signification p permet de qantifier l incompatibilité de l observation avec l hypothèse nlle. Second cas : < V s On a : p > α ; on ne rejette pas H 0 a risqe β de le faire à tort ; on ne met pas en évidence de différence statistiqement significative entre la poplation d où est iss l échantillon et la poplation de référence ; il est sovent écrit : «le test n est pas significatif». Dans l exemple d paragraphe., nos avons calclé, à l aide de l échantillon de 30 sjets, z = 9,86. La valer seil por α = % est V s = 1,96. Alors : x µ ; on rejette H 0 a risqe α = % de le faire à tort ; il existe ne différence statistiqement significative entre l échantillon et la poplation de référence (c est-à-dire le tor de taille moyen de la poplation française en 2006 est différent de la valer de référence 84,6 cm) ; cette différence est dans le sens d n tor de taille moyen pls grand en 2006 q il ne l était en Biostatistiqe

3 Remarqes Attention, n test statistiqe rejette (o ne rejette pas) niqement l hypothèse nlle spécifiée. Il fadra donc tojors expliciter H 0 avant de faire le test et s y reporter por interpréter le résltat d test. De pls, nos avons dit q à ne hypothèse nlle donnée étaient associées n certain nombre de sppositions en fonction d test statistiqe choisi, o conditions d application (qi seront spécifiées lors de la présentation de chaqe test statistiqe). En effet, dans notre exemple, nos avons spposé qe la distribtion d tor de taille moyen était normale, ce qi nos a permis d tiliser le test Z (o test de l écart rédit). Une atre condition nécessaire por ce test est l indépendance des sjets. Par la site, et por chaqe test statistiqe, il fadra vérifier les conditions d application. Il existe sovent des errers d interprétation d degré de signification p. L errer la pls corante est d oblier qe p est calclée si H 0 est vraie. Il s agit donc d ne probabilité conditionnelle. Une atre errer fréqente consiste à confondre signification statistiqe et signification biologiqe. En effet, n résltat statistiqe significatif doit être cohérent avec les connaissances biologiqes sr le sjet. De pls, l importance de la signification statistiqe ne doit pas être confonde avec l importance de l effet étdié : p représente la force de conviction qe l observation soit incompatible avec l hypothèse nlle ; il ne préjge pas de l importance de l effet étdié. Par exemple, n tor de taille moyen observé de 84,6 cm pet être (fortement) significativement différent (p = 0,0001) de la valer de référence 84,6 cm, bien qe cet écart en cm soit très faible (0,0 cm). Inversement, n tor de taille moyen observé de 90 cm, par rapport à la même valer de référence, ne préjge pas d degré de signification. Il se pet assi qe p soit petit par hasard et même par errer de première espèce. Enfin, il est également fréqent de conclre à tort qe l hypothèse nlle est vraie lorsqe le test n est pas significatif. Cela dépend, entre atre, de la pissance d test. Les assertions sivantes sont donc fasses : p est la probabilité qe H 0 soit vraie ; 1 p est la probabilité qe H 1 soit vraie ; p est la probabilité qe les résltats sont ds a sel hasard ; si p > %, alors H 0 est vraie ; pls p est petit, pls l effet d facter étdié est important. Il ne fat pas oblier qe, por des mécanismes complexes liés a vivant, de nombrex facters conns o non entrent en je. Une grande part de ces mécanismes restant inconne, il est sovent nécessaire de faire des sppositions, qe l on ne pet pas tojors vérifier. Il ne sffit donc pas d appliqer des formles mathématiqes, il fat assi qe les conclsions qe l on en tire soient réellement en cohérence avec l ensemble des connaissances scientifiqes. Paragraphe.11 Paragraphe.8 Biostatistiqe 17

4 sos H 0 V s 0 +V s Figre.16 Pissance d n test. 8 Notion de pissance Lorsqe la conclsion d n test d hypothèse revient à ne pas rejeter H 0, il est cotme de dire qe, par exemple dans le cadre de l étde de l efficacité d n traitement, «l activité d traitement n a pas été démontrée», o qe «l effet favorable d traitement n a pas été mis en évidence». D ne manière assez implicite, cette conclsion s interprète compte ten de l expérience qi a été effectée. Elle n a de sens qe si nos povons envisager q ne atre expérience sos H 1 résltat de la statistiqe 1 : pissance résltat de la statistiqe arait p mettre en évidence ne différence si elle existe, c est-à-dire qe le test arait rejeté H 0 alors q elle est fasse. La probabilité de rejeter H 0 qand H 0 est fasse (H 1 vraie) s appelle la pissance d n test : 1 β = P (U V s /H 1 vraie) La pissance d n test se définit sos H 1. C est la valer complémentaire à 1 d risqe de dexième espèce : pissance = 1 β (c est la srface en gris foncé sr la figre.16). 9 Les variations de la pissance d n test statistiqe Exprimée simplement, la pissance d n test d hypothèses est la «probabilité de discerner ne différence lorsq elle existe». Nos povons alors facilement concevoir q n chercher sohaite entreprendre son étde dans les meilleres conditions, c est-à-dire avec ne pissance a priori maximale. Cependant, le calcl de la pissance d n test d hypothèse est relativement complexe car il fait intervenir différents paramètres statistiqes. Nos allons présenter les variations de la pissance en fonction de certains de ces paramètres statistiqes. 9 1 La variation de la pissance en fonction de α Spposons qe le même test d hypothèse soit réalisé, d ne part, a risqe α 1 et, d atre part, a risqe α 2, avec α 2 < α 1. Alors V s1 est la valer seil déterminée avec le risqe α 1 et V s2 est la valer seil déterminée avec le risqe α 2 et V s2 > V s1. 18 Biostatistiqe

5 Par exemple, si la loi de la statistiqe étdiée est la loi normale rédite, α 1 = % donne V s1 = 1,96 et α 2 = 1% donne V s2 = 2,8. Totes choses égales par aillers, la dimintion d risqe α agmente la valer seil, entraînant de ce fait ne dimintion de la pissance d test (1 β). (a) avec 1 sos H 0 sos H V s1 (b) avec 2 1 sos H 0 sos H V s2 1 2 Figre.17 Variation de la pissance en fonction de α. Totes choses égales par aillers, la pissance et α varient dans le même sens. 9 2 La variation de la pissance en fonction de la taille de l échantillon Chapitre 4 La précision d ne estimation agmente avec la taille de l échantillon (la variabilité dimine lorsqe la taille de l échantillon agmente). D ne manière graphiqe, cela se tradit par n resserrement de la corbe de distribtion ator de la valer estimée. Ainsi, sos H 0, la corbe de la distribtion théoriqe d n échantillon de taille n 2 > n 1 se resserre ator de son paramètre central et, por conserver n risqe α = %, la valer seil d test dimine. La corbe de la distribtion sos H 1 se resserrant également d fait de l agmentation de n, il s ensit ne agmentation de la pissance (dimintion de β). (a) avec n 1 sos H 0 sos H 1 (b) avec n 2 n 1 Figre.18 Variation de la pissance en fonction de la taille de l échantillon. sos H 0 sos H Biostatistiqe 19

6 Totes choses égales par aillers, la pissance et n varient dans le même sens. 9 3 La variation de la pissance en fonction de l écart des paramètres sos H 0 et sos H 1 Pls n test est pissant, et pls petit pet être l écart entre le paramètre sos H 0 et celi sos H 1. (a) avec 1 sos H 0 sos H (b) avec 2 1 sos H 0 sos H Figre.19 Variation de la pissance en fonction de l écart des paramètres sos H 0 et sos H 1. Totes choses égales par aillers, la pissance et l écart entre H 0 et H 1 varient dans le même sens. 9 4 La variation de la pissance en fonction de la variance Enfin, la pissance d n test varie également en fonction de la variance de la poplation (ce qi est pls difficile à représenter sos la forme de schéma). En effet, si la variance est petite, il est pls facile d attriber n écart entre H 0 et H 1 à n effet réel pltôt q à ne errer d échantillonnage. Pls la variabilité (et donc la variance) sera grande, et pls la pissance sera faible. Remarqe Bien qe cela pisse être difficile o parfois pe pertinent en pratiqe, la variabilité pet être rédite en limitant l étde à ne sos-poplation (par exemple, étde limitée à n échantillon d hommes afin de spprimer la variabilité de a sexe). Totes choses égales par aillers, la pissance et la variabilité (et donc la variance) varient en sens inverse. 160 Biostatistiqe

7 10 Test nilatéral et test bilatéral En débt de ce chapitre, nos avons donné différents exemples concernant la formlation de l hypothèse nlle H 0. Cependant, por ne même hypothèse H 0, il est possible de considérer dex sitations permettant de définir n type d hypothèse alternative H 1. Exemple On s intéresse, d ne part à la drée moyenne vraie de séjor en réanimation après ne chirrgie abdominale µ 1 et, d atre part à la drée moyenne vraie de séjor en réanimation après ne chirrgie vasclaire µ 2. On a prélevé a hasard, parmi les dossiers d n service de réanimation, n 1 = 300 dossiers de malades réanimés après ne chirrgie abdominale et n 2 = 300 dossiers de malades réanimés après ne chirrgie vasclaire. La qestion qe l on se pose est de savoir si la différence m 1 m 2 observée sr les dex échantillons pris a hasard est significative. Dépend-elle des flctations d échantillonnage o d ne atre case? L hypothèse H 0 est µ 1 = µ 2 (o D = µ 1 µ 2 = 0), ax flctations aléatoires près. Si nos pensons qe la drée moyenne vraie de séjor en réanimation après ne chirrgie abdominale est spériere à celle après chirrgie vasclaire, alors H 1 est µ 1 > µ 2 (o D = µ 1 µ 2 > 0), ax flctations aléatoires près. Dans cette sitation, l hypothèse H 1 est formlée de manière nilatérale. Il fat donc avoir des raisons de penser qe la drée moyenne vraie de séjor en réanimation après ne chirrgie abdominale est spériere à celle faisant site à ne chirrgie vasclaire. Nos avons affaire à n test d hypothèses nilatéral. En revanche, si nos pensons qe les drées moyennes vraie de séjor sont différentes, mais sans présmer d sens de cette différence (µ 1 > µ 2 o µ 2 > µ 1 ), alors H 1 est µ 1 > µ 2 o µ 1 < µ 2 (D = µ 1 µ 2 > 0 o D = µ 1 µ 2 < 0), ax flctations aléatoires près. Dans cette sitation, l hypothèse H 1 est formlée de manière bilatérale. Nos avons affaire à n test d hypothèses bilatéral Le test bilatéral Cette sitation se reconnaît par des affirmations symétriqes comme «différent de», «change en miex», «change en pire», etc. On vet savoir si les dex paramètres d intérêt sont statistiqement différents o non, sans s occper de savoir leqel est spérier à l atre (H 1 : µ 1 > µ 2 o µ 1 < µ 2 ). Dans cette sitation, sos H 0, le risqe errer α doit être réparti de part et d atre de 0 afin de tenir compte d signe de la différence (H 1 : D = µ 1 µ 2 > 0 o D = µ 1 µ 2 < 0). test bilatéral sos H 0 : 1 = 2 = 2, % = 2, % rejet de H 0 a profit de H 1 : 1 2 Figre.20 Test bilatéral. V s 0 +V s résltat de la statistiqe rejet de H 0 a profit de H 1 : 1 2 Biostatistiqe 161