Un algorithme de comptage de points pour les recouvrements cycliques de la droite projective

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1 Un algorithme de comptage de points pour les recouvrements cycliques de la droite projective Cécile Gonçalves Team GRACE - Inria Saclay LIX - École Polytechnique Vendredi 18 Octobre 2013 Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 1 / 23

2 Pourquoi cet algorithme? On voudrait calculer le polynôme de Weil de over F 49, where C 15,3,2,0 : y 3 = f 15,2(x) f 15,2(x) =x 15 + (2a + 5)x ax 12 + ax 11 + (2a + 6)x x 9 + (2a + 4)x 8 + 4ax 7 + 6ax 6 + 6x 4 + ax 3 + (4a + 5)x 2 + (6a + 5)x où a est un élément de F 49 tel que a 2 a + 4 = 0. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 2 / 23

3 Pourquoi cet algorithme? On voudrait calculer le polynôme de Weil de over F 49, where C 15,3,2,0 : y 3 = f 15,2(x) f 15,2(x) =x 15 + (2a + 5)x ax 12 + ax 11 + (2a + 6)x x 9 + (2a + 4)x 8 + 4ax 7 + 6ax 6 + 6x 4 + ax 3 + (4a + 5)x 2 + (6a + 5)x où a est un élément de F 49 tel que a 2 a + 4 = 0. Problème : on ne peut pas le calculer efficacement... Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 2 / 23

4 Pourquoi cet algorithme? On voudrait calculer le polynôme de Weil de over F 49, where C 15,3,2,0 : y 3 = f 15,2(x) f 15,2(x) =x 15 + (2a + 5)x ax 12 + ax 11 + (2a + 6)x x 9 + (2a + 4)x 8 + 4ax 7 + 6ax 6 + 6x 4 + ax 3 + (4a + 5)x 2 + (6a + 5)x où a est un élément de F 49 tel que a 2 a + 4 = 0. Problème : on ne peut pas le calculer efficacement... Courbe de genre 4 définie sur F 19 2 = F 19[t]/(t t + 2) par : y 3 = x 6 + t 222 x 5 + t 269 x 4 + t 303 x 3 + t 42 x 2 + x + t 207. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 2 / 23

5 Qu est ce que le comptage de points? Définition : Fonction zêta d une courbe Soit C une courbe définie sur F q, où q = p n. Z(C/F q; t) = exp t k N k, où N k = #C(F k q k ) n 1 Théorème de Weil avec : Z(C/F q; t) = L(t) (1 qt)(1 t), L(t) = 1+a 1 t +...+a g 1 t g 1 +a g t g +qa g 1 t g q g 1 a 1 t 2g 1 +q g t 2g a i ( 2g) i q i/2 g éléments N k L Zêta #J(C) = L(1) Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 3 / 23

6 Pourquoi le comptage de points? Exemple : y 2 = x 3 + x + 1, sur F q, avec q = Comptage naïf : x = 0, y 2 = 1 : donne deux solutions : (0, 1) et (0, 1).. x = 3, y 2 = 31 : ne donne pas de solution.. x = , y 2 = 1 : ne donne pas de solution. Le nombre de points sur la courbe est : N = Cette méthode d énumération prend beaucoup de temps... (O(q)). On peut faire mieux... Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 4 / 23

7 Compter efficacement les points C définie sur F q de caractéristique p. Frobenius { arithmétique d ordre p : Fq F σ : q x x p Fix(σ k ) = F p k, pour k N. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 5 / 23

8 Compter efficacement les points C définie sur F q de caractéristique p. Frobenius { arithmétique d ordre p : Fq F σ : q x x p Fix(σ k ) = F p k, pour k N. Définition étendue à C : Frobenius géométrique d ordre p : { C C ϕ : Fix(ϕ k ) = C(F p P = (x, y) (x p, y p k ), pour k N. ) s étend en un endomorphisme de J(C). Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 5 / 23

9 Compter efficacement les points C définie sur F q de caractéristique p. Frobenius { arithmétique d ordre p : Fq F σ : q x x p Fix(σ k ) = F p k, pour k N. Définition étendue à C : Frobenius géométrique d ordre p : { C C ϕ : Fix(ϕ k ) = C(F p P = (x, y) (x p, y p k ), pour k N. ) s étend en un endomorphisme de J(C). Proposition Le polynôme L est le polynôme réciproque du polynôme caractéristique du Frobenius agissant sur J(C) : Si P(t) = χ ϕ(t) = a 0 + a 1t a 2g t 2g, alors L(t) = a 2g + a 2g 1t a 1t 2g 1 + a 0t 2g Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 5 / 23

10 Le comptage de points un problème difficile. Comment calculer la fonction zeta en pratique? Algorithmes : à la Schoof (1985) à la Satoh (1999) à la Kedlaya et méthodes de déformation (2001) Si l on veut compter les points d une telle courbe, y 2 + h(x)y = f (x), définie sur F q, avec q = p n et f de degré d. on utilisera l algorithme le mieux adapté selon le tableau suivant : Dépendance en : Schoof Satoh Kedlaya log(p) polynomial exponentiel (gros) exponentiel (petit) n polynomial (gros) polynomial (petit) polynomial d exponentiel exponentiel polynomial Pour les courbes auxquelles nous nous intéressons, Schoof et Satoh ne sont pas praticables. Notre seul espoir est un algorithme la Kedlaya. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 6 / 23

11 Recouvrements cycliques de la droite projective Définition : Recouvrements cycliques de la droite projective Courbe projective non singulière C définie sur F q par C : y r = f (x), avec f un polynôme unitaire défini sur F q, sans facteur carré et de degré d, et la caractéristique p de F q ne divise pas r. Genre et g = points à l infini. Automorphisme d ordre r défini par (r 1)(d 1) 2 δ = gcd(r, d) δ 1 2, ρ r : (x, y) (x, ζ r y) avec ζ r une racine primitive r-ième de l unité dans F q. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 7 / 23

12 L anneau des entiers p-adiques. Définition : L anneau des entiers p-adiques Z p Un entier p-adique x est une série formelle x = x k p k, avec 0 x k p 1 k 0 Il est muni d une valuation : v p(x) = min {k N x k 0}. Exemple : Dans Z 5, x = 5 4 = = k 1 5k et v 5(x) = 1. Remarque : Z p est naturellement muni de la projection { Zp F p π : x x 0 Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 8 / 23

13 L anneau des entiers p-adiques. Définition : Le corps des p-adiques Q p Le corps des fractions de Z p est noté Q p. Ses éléments sont de la forme : x = k α x k p k, avec x k Z/pZ et α Z Remarque : En pratique, les p-adiques sont tronqués à précision fixée N. Proposition - Définition : Extension non ramifiée de Q p. Soit f Z p[x] un polynôme de degré n tel que π(f ) est irréductible de degré n. L anneau Z q = Z p[x]/ f (x) est un Z p-module de rang n. Son corps des fractions, noté Q q, est une extension non ramifiée de degré n de Q p. Exemple : Q 4 = Q2[t]/ t 2 + t + 1. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 9 / 23

14 Cohomologie de Monsky Washnitzer des recouvrements cycliques But de l algorithme : Calculer l action du Frobenius sur HMW 1 (C, Q p) défini par ( HMW 1 (C, Q p) = (A dx + A dy)/da ) Zq Q q, avec A = Z q[[x, y]]/ y r f (x), f un relèvement de degré d = deg(f ) de f à Z q et Z q[[x, y]] est l anneau des séries surconvergentes de Z q, ie les séries i,j a i,jx i y j telles que α, β R, α > 0 tels que ord p(a i,j ) α i + j + β, i, j. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 10 / 23

15 Cohomologie de Monsky Washnitzer des recouvrements cycliques Déterminer une base Soit C = C \ ( { { (α, 0) C(F q) f (α) = 0} P,k k [1, δ]} ). Une base de HMW 1 ( C, Q p) est { } B = x i dx i [0, d 2], j [1, r]. y j Décomposition de H 1 MW ( C, Q p) sous l action de ρ r : (x, y) (x, ζ r y) : H 1 MW ( C, Q p) 1 qui correspond aux points fixes de ρ r, les HMW 1 ( C, Q p) ζ j r pour 1 j < r, qui a pour base { } x i dx i [0, d 2]. y j Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 11 / 23

16 Cohomologie de Monsky Washnitzer des recouvrements cycliques Déterminer une base avec B = B = H 1 MW (C, Q p) ker(c), { } x i dx i [0, d 2], j [1, r 1], y j et c : B H 1 MW (C, Q p) est le morphisme qui envoie un vecteur de B sur son représentant dans H 1 MW (C, Q p). On procède en deux étapes : 1 On calcule l action du Frobenius sur les vecteurs de B. 2 On enlève le facteur qui correspond à l action du Frobenius sur ker(c). Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 12 / 23

17 Action du Frobenius d ordre p sur les vecteurs de B. Formes différentielles : { } B = x i dx i [0,..., d 2], j [1,..., r 1]. y j Action de F sur l anneau des coordonnées : F(x) = x p F(y) = y p (1 + (F (f (x)) f (x) p ) τ p ) 1 r, où τ = y r. ( ) µ = y p 1/r (F (f (x)) f (x) p ) i τ pi + O(p N ) i i=0 Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 13 / 23

18 Action du Frobenius d ordre p sur les vecteurs de B. Formes différentielles : { } B = x i dx i [0,..., d 2], j [1,..., r 1]. y j Action de F sur l anneau des coordonnées : F(x) = x p F(y) = y p (1 + (F (f (x)) f (x) p ) τ p ) 1 r, où τ = y r. ( ) µ = y p 1/r (F (f (x)) f (x) p ) i τ pi + O(p N ) i i=0 Action de F sur les différentielles : F(dx) = d (F(x)) = px p 1 dx. ( ) F x i dx p(i+1) 1 dx = px y j F(y) j = px p(i+1) 1 y jp i 0 ( j/r i ( j/r i ) (F(f (x)) f (x) p ) i τ pi dx ) ) (F(f (x)) f (x) p ) i τ pi ( = px p(i+1) 1 y a i 0 = µ i=0 R kτ k dx + O(p N ), avec a et l tels que jp = ar + l. y l dx y l Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 13 / 23

19 Algorithme de réduction But : Exprimer ω = 0 k µ R k(x)τ k dx y l en fonction des vecteurs de B. Les df sont nulles dans H 1 MW (C, Q p). Soustraire des formes différentielles de cette forme. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 14 / 23

20 Algorithme de réduction But : Exprimer ω = 0 k µ R k(x)τ k dx y l en fonction des vecteurs de B. Les df sont nulles dans HMW 1 (C, Q p). Soustraire des formes différentielles de cette forme. ( ) Entrée : ω = 0 k M R k(x)τ k Sortie : ω = T (x) dx y l, avec deg(t ) d 2 et ω équivalente à ω. dx y l Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 14 / 23

21 Algorithme de réduction But : Exprimer ω = 0 k µ R k(x)τ k dx y l en fonction des vecteurs de B. Les df sont nulles dans HMW 1 (C, Q p). Soustraire des formes différentielles de cette forme. ( ) Entrée : ω = 0 k M R k(x)τ k Sortie : ω = T (x) dx y l, avec deg(t ) d 2 et ω équivalente à ω. 1 Faire baisser le degré en τ de ω pour obtenir S(x) dx y l : Utiliser autant de fois que nécessaire la relation : ( R(x)τ k dx y l = A(x) + dx y l ) r r(k 1) + l B (x) τ k 1 dx si R = Af + Bf y l Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 14 / 23

22 Algorithme de réduction But : Exprimer ω = 0 k µ R k(x)τ k dx y l en fonction des vecteurs de B. Les df sont nulles dans HMW 1 (C, Q p). Soustraire des formes différentielles de cette forme. ( ) Entrée : ω = 0 k M R k(x)τ k Sortie : ω = T (x) dx y l, avec deg(t ) d 2 et ω équivalente à ω. 1 Faire baisser le degré en τ de ω pour obtenir S(x) dx y l : Utiliser autant de fois que nécessaire la relation : ( R(x)τ k dx y l = A(x) + dx y l ) r r(k 1) + l B (x) τ k 1 dx si R = Af + Bf y l 2 Faire baisser le degré de S jusqu à ce qu il soit inférieur ou égal à d 2. Utiliser autant de fois que nécessaire la relation : ( ) r(δ d + 1)x δ+d f (x) + (r l)x δ d+1 f dx (x) y 0 l Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 14 / 23

23 Retrouver la fonction Zêta Ce qui précède nous fournit la matrice par blocs : M F = Mat B (F) du Frobenius d ordre p, à coefficients dans Q q. On retrouve la matrice du Frobenius d ordre q grâce à la relation : où M σ i,j = σ (M i,j ). M = Mat B (F n ) = M F M σ F M σn 1 F Le polynôme caractéristique de cette dernière matrice nous fournit, à un facteur près, le polynôme réciproque du numérateur de la fonction Zêta. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 15 / 23

24 Expression du facteur à retirer Théorème [Gon.] Le polynôme de Weil P de C est P(t) = χ M(t) U(t), où χ M (t) est le polynôme caractéristique de la matrice M de l action du Frobenius d ordre q sur les vecteurs de B et U(t) = i δ, i>1 (t k i q) ϕ(i) k i, avec k i l ordre q dans Z/ϕ(i)Z et ϕ désigne la fonction d Euler. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 16 / 23

25 Notre algorithme en pratique Et la précision dans tout ça? But : Bien estimer la précision p-adique N. Lemme [Gon.] : Perte de précision dans l algorithme de réduction Étape 1 : Passage de R(x)τ k dx y l logp (r(k 1) + l) à S(x) dx y l : perte d au plus Étape 2 : Passage de S(x) dx y l plus log p (r(m + 1) ld). à T (x) dx y l, avec deg(t ) < d 1 : perte d au Théorème [Gon.] : Pour tenir compte des pertes de précision, on utilise des p-adiques tronqués à précision N telle que : { N = min n log p (p(rn 1) r) N 0 + log p (dp(r 1) + r) }. n N où ( ( ) 2g N 0 = log p 2 )q g/2. g Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 17 / 23

26 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

27 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

28 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. 1 Choisir un relèvement de C à Z p n. 2 Choisir une base de l espace des formes différentielles (de H 1 MW (C, Q p)). Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

29 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. 1 Choisir un relèvement de C à Z p n. 2 Choisir une base de l espace des formes différentielles (de H 1 MW (C, Q p)). 3 Calculer la matrice M de l action du Frobenius dans HMW 1 (C, Q p) : Relever le Frobenius d ordre p dans HMW 1 (C, Qp). Calculer l action du Frobenius d ordre p sur les formes différentielles. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

30 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. 1 Choisir un relèvement de C à Z p n. 2 Choisir une base de l espace des formes différentielles (de H 1 MW (C, Q p)). 3 Calculer la matrice M de l action du Frobenius dans HMW 1 (C, Q p) : Relever le Frobenius d ordre p dans HMW 1 (C, Qp). Calculer l action du Frobenius d ordre p sur les formes différentielles. Obtenir la matrice M F du Frobenius d ordre p en appliquant une réduction. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

31 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. 1 Choisir un relèvement de C à Z p n. 2 Choisir une base de l espace des formes différentielles (de H 1 MW (C, Q p)). 3 Calculer la matrice M de l action du Frobenius dans HMW 1 (C, Q p) : Relever le Frobenius d ordre p dans HMW 1 (C, Qp). Calculer l action du Frobenius d ordre p sur les formes différentielles. Obtenir la matrice M F du Frobenius d ordre p en appliquant une réduction. Calculer la matrice M = Mat B (F n ) = M F MF σ Mσn 1 F. 4 Calculer le polynôme caractéristique P de M. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

32 L Algorithme Entrée : Revêtement cyclique C : y r = f (x) défini sur F p n, p r et f un polynôme de degré d. C de genre g = (r 1)(d 1) 2 gcd(r,d) 1 2. Sortie : polynôme de Weil : P(t) = t 2g + a 1t 2g , avec a i ( ) 2g i p ni/2. Complexité : Õ(pn3 d 4 r 3 + n 3 s 2 c 2 d ν+1 + n 2 s 2 c ν+1 d ν+1 ). 0 Estimer la précision p-adique requise. 1 Choisir un relèvement de C à Z p n. 2 Choisir une base de l espace des formes différentielles (de H 1 MW (C, Q p)). 3 Calculer la matrice M de l action du Frobenius dans HMW 1 (C, Q p) : Relever le Frobenius d ordre p dans HMW 1 (C, Qp). Calculer l action du Frobenius d ordre p sur les formes différentielles. Obtenir la matrice M F du Frobenius d ordre p en appliquant une réduction. Calculer la matrice M = Mat B (F n ) = M F MF σ Mσn 1 F. 4 Calculer le polynôme caractéristique P de M. 5 Diviser P par U(t) = (t k i q) ϕ(i) k i, avec k i l ordre q dans Z/ϕ(i)Z. 6 Renvoyer P. i δ, i>1 Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 18 / 23

33 Une autre pseudo-base pour la cohomologie Théorème [Gon.] Soit 0 i d 2 et 1 j r 1. La première étape de réduction transforme F(x i dx ) en une forme y j différentielle dont les dénominateurs ont une valuation bornée par logp (r). Ensuite, la seconde étape donne une combinaison linéaire des ( vecteurs de ) B dont les dénominateurs ont une valuation bornée par log 2g+(δ 2) p. δ Lorsqu on la matrice M F a des coefficients dans Q q\z q : perte de contrôle de la précision. On souhaiterait que les coefficients soient dans Z q. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 19 / 23

34 Une autre pseudo-base pour la cohomologie Théorème [Gon.] Soit 0 i d 2 et 1 j r 1. La première étape de réduction transforme F(x i dx ) en une forme y j différentielle dont les dénominateurs ont une valuation bornée par logp (r). Ensuite, la seconde étape donne une combinaison linéaire des ( vecteurs de ) B dont les dénominateurs ont une valuation bornée par log 2g+(δ 2) p. δ Lorsqu on la matrice M F a des coefficients dans Q q\z q : perte de contrôle de la précision. On souhaiterait que les coefficients soient dans Z q. En suivant l approche de Harrison pour les courbes hyperelliptiques : Utiliser { } B = x i dx i [0,..., d 2], j [1,..., r 1]. y r+j Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 19 / 23

35 Une autre pseudo-base pour la cohomologie { B = x i } dx i [0,..., d 2], j [1,..., r 1]. y r+j Théorème [Gon.] Soit ( 0 i d 2 et 1 j r 1. La première étape de réduction transforme F x i dx en une combinaison linéaire des vecteurs de B dont les y j+r ) dénominateurs ont une valuation bornée par p log p (2r 1). Conséquences : Si p 2r, alors M est à coefficients entiers. On peut affiner les bornes de précision. Le facteur à retirer est légèrement différent Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 20 / 23

36 Une autre pseudo-base pour la cohomologie Théorème [Gon.] : Pour tenir compte des pertes de précision en utilisant la base B, on utilise des p-adiques tronqués à précision N telle que : { ) N = min n log p (pr(n } + 1) 3r N 0 n N où ( ( ) 2g N 0 = log p 2 )q g/2. g Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 21 / 23

37 Une autre pseudo-base pour la cohomologie Théorème [Gon.] Le polynôme de Weil P de C est P(t) = χ M(t) U(t), où χ M (t) est le polynôme caractéristique de la matrice M de l action du Frobenius d ordre q sur les vecteurs de B et U(t) = i δ, i>1 (t k i 1) ϕ(i) k i, avec k i l ordre q dans Z/ϕ(i)Z et ϕ désigne la fonction d Euler. Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 22 / 23

38 Applications Numériques : sur F 49. C 15,3,2,0 : y 3 = f 15,2(x) Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 23 / 23

39 Applications Numériques : sur F 49. C 15,3,2,0 : y 3 = f 15,2(x) Après 9 minutes, le prototype de notre algorithme renvoie : L(T ) = T a 1T a 2T a 3T a 4T a 5T a 6T a 7T a 8T a 9T a 10T a 11T a 12T a 13T 13 + a 12T 12 + a 11T a 10T 10 + a 9T 9 + a 8T 8 + a 7T 7 + a 6T 6 + a 5T 5 + a 4T 4 + a 3T 3 + a 2T 2 + a 1T + 1 avec a 1 = 4, a 2 = 88, a 3 = 317, a 4 = 3477, a 5 = 45743, a 6 = a 7 = , a 8 = , a 9 = , a 10 = a 11 = , a 12 = and a 13 = Cécile Gonçalves Comptage de points sur les recouvrements cycliques 18 Octobre 23 / 23